электрические колебания

ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ
КОЛЕБАНИЯ
Чужков Юрий Петрович
Доцент каф. физики
Канд. Физ.- мат .наук
Тема занятий
1 Электрические колебания
2 Квазистационарные токи
3 Свободные колебания в электрическом контуре без
активного сопротивления
4 Затухающие электрические колебания
5 Вынужденные электрические колебания. Резонанс
6 Мощность, выделяемая в цепи переменного
тока
7 Сложение электрических колебаний ( фигуры
Лиссажу,)
Общие сведения о колебаниях
Колебаниями называются процессы,
которые характеризуются определенной
повторяемостью во времени
В зависимости от природы
различают:
Механические
колебания
Электрические
колебания
Механические и электрические колебания
Механические колебания
– это механическое движение
тела или системы тел которое
обладает повторяемостью во
времени
Электрические колебания
– это колебания
электрических и магнитных
полей которые
сопровождаются
периодическим изменением
заряда тока и напряжения
+q
I
C
L
-q
Колебательный
контур
Колебательный контур
С
Простейшей системой где могут
возникать и существовать
L
электрические колебания является
колебательный контур.
Колебательный контур – цепь состоящая из
последовательно включенных катушки индуктивности L и
конденсатора C (идеальный контур).
С
R
L
Реальный колебательный контур кроме
катушки индуктивности и конденсатора
содержит активное сопротивление R а
также сопротивление проводов катушки и
соединительных проводов.
Возбуждение электрических колебаний
С
-q
+q
Если зарядить конденсатор и замкнуть на
катушку, то по катушке потечет ток.
I
L
dI
 S  L
dt
Когда конденсатор разрядится ток в цепи не
прекратится из – за самоиндукции в катушке.
Индукционный ток, в соответствии с правилом
Ленца, будет течь в ту же сторону и
перезарядит конденсатор.
Ток в данном направлении прекратится, и процесс
повторится в обратном направлении. Таким образом,
в колебательном контуре будут происходить
электрические колебания.
Работа колебательного контура
-q
+q
q=0
+q
-q
q=0
-q
+q
C
C
C
C
C
L
L
L
L
L
WE=q2/2C
WE=0
WE=q2/2C
WH=0
WH=LI2/2
WH=0
kx2
WK 
2
m 2
WП 
2
kx2
WK 
2
WE=0
WE=q2/2C
WH=LI2/2
m 2
WП 
2
WH=0
kx2
WK 
2
Происходит превращение энергии
электрического поля конденсатора в энергию
магнитного поля катушки и наоборот.
Характеристики колебательного контура
Электрические колебания в контуре – гармонические.
Это означает, что заряд , напряжение на конденсаторе, сила
тока в цепи, энергия изменяются по закону :
q  qm sin 0 t   0  или
q  qm cos0 t   0 
где qm - амплитуда колебаний, максимальное значение заряда;
 0 - круговая или циклическая частота колебаний; (рад/с)

2
  2 
T
- частота колебаний (число колебаний в ед. времени)
T - период колебаний
T  2 LC
Формула
Томсона
Характеристики колебательного контура
0 t   0 
q
qm
0
t
0  0
  /2
 
q
qm
0
- фаза колебаний
(состояние колеблющейся
величины в данный момент
времени)
φ0 – начальная фаза колебаний
(определяет смещение
колеблющейся величины в
момент начала отсчета времени).
q  qm cos0 t   0 
0   / 2
Энергия электромагнитных колебаний в контуре
Энергия электрического поля конденсатора
2
2
q
q 2 qm
WE 

 sin 2 t  m 1  cos 2t 
2C 2C
2C
Энергия электрического поля катушки
2
2
LI
LI 2 LI m
WH 

cos 2 t  m 1  cos 2t 
2
2
2
W  WE  WH
Колебания энергий
происходят с частотой в 2
раза превышающей частоту
колебаний заряда и силы тока
и со сдвигом фаз, равным
W
WH

W/2
WE
0
t
t
Электрические колебания
Задача 1
В колебательном контуре сила тока изменяется согласно графику,
представленному на рисунке. Заряд конденсатора возрастает в
интервале времени…?
1) от 0 до a; от b до c.
2) от a до b; от c до d.
3) от 0 до a; от c до d.
4) от a до b; от b до c.
I, A
5) от 0 до a; от a до b.
b
0
d
a
c
t·10t-2 ctt 6) от b до b; cот b до d.
Электрические колебания
Задача 2
В колебательном контуре заряд конденсатора изменяется со временем
согласно графику на рисунке. Определить силу тока в катушке
индуктивности в моменгт времени t = 0,2·10-3 с.
q  qm sin 0 t   0   0  0
q,mКл
2
2
3
1



2

10

c
T
1,0  10 3
 
0,6
6
0,4
4
2
0,2
0
0,2
0,5
1,0
t  10 3 c
dq
I
  0 q m cos 0 t 
dt

0
Ответ:
qm=6 mКл
I  0,6  10 3 2  10 3  cos 2  10 3  0,2  10 3
I  1,16 A
I  1,2  3,14   cos0.4   1,16 A

Электрические колебания
Задача 3
Электрический заряд на обкладках конденсатора в колебательном контуре
изменяется по закону q = 0,2cos(4πt+π/3), мКл. Определите: амплитуду колебаний
заряда на обкладках конденсатора, циклическую частоту, частоту, период и
начальную фазу колебаний заряда, амплитуду силы тока в контуре через через 1 с.
Дано: q = 0,2cos(4πt+π/3), мКл.
Найти: qm; ω0;  0 T; φ; Im.
Решение
Из заданного закона изменения электрического заряда на
обкладках конденсатора q = qm cos(4πt+π/3), следует:
амплитуда колебаний заряда на обкладках конденсатора qm=0,2мКл
циклическая частота ω0 = 4π с-1;начальная фаза колебаний заряда φ0 = π/3 рад.
Искомые частота и период колебаний соответственно равны:
0
0 
2
2
dq
  0 q m sin  0 t      0 q m cos 0 t     / 2
0
dt
I m  0 qm
Откуда искомая амплитуда силы тока в контуре
T
I
Ответ: qm= 0,2 мКл; ω0 = 4π с-1; φ0= π/3 рад;
 0 = 2 Гц;
Т = 0,5 с; Im = 0,8π мА.
Квазистационарный ток
При выводе дифференциального уравнения
механических колебаний применяются законы
механики.
Для получения дифференциального
уравнения электромагнитных колебаний в
контуре необходимо применить законы
электродинамики.
Но закон Ома и правила Кирхгофа
установлены для постоянного тока, а
электромагнитные колебания совершаются с
большой частотой.
Квазистационарный ток
Закон Ома и правила Кирхгофа установлены для
постоянного тока. Электромагнитные колебания
совершаются с большой частотой.
При определенных условиях мгновенные значения
изменяющегося тока можно считать постоянными.
 Т
(1)
Условие квазистационарности
Токи, удовлетворяющие такому условию,
называются квазистационарными.

Пример:
Т
Длина цепи l = 3
Скорость распространения
сигнала с= 3·108 м/с
t
Время прохождения сигналом цепи
l
3
8
 

10
c
8
c 3  10
для   0,01Т
Условие (1) выполняется для
частот
  100МГЦ
Свободные
электрические
Свободные электрические колебания – это
колебания
периодически
повторяющиеся изменения
электромагнитных величин (заряда, тока в катушке,
напряжения на конденсаторе), происходящие без
потребления энергии от внешних источников.
В соответствии со вторым правилом Кирхгофа (и
законом сохранения энергии)
UC
С
R
L
dq
I
dt
UR
U R  UC   S
q
dI
IR    L
C
dt
d 2q
dq q
L 2 R
 0
dt C
dt
Дифференциальное уравнение свободных колебаний контура
Уравнение свободных электрических колебаний
0 
d 2q
dq
2

2



0 q  0
2
dt
dt
1
LC
Собственная частота
колебаний (рад/с)
q
t
x
Коэффициент
затухания
q  q m cos 0 t   
d q
2
 0 q  0
2
Решение уравнения
dt
2
Т
0
Для идеального контура R = 0
R

2L
В колебательном контуре без активного
сопротивления происходят незатухающие
гармонические колебания с собственной
частотой w0
Незатухающие электрические колебания
С
L
С
R=0
Дифференционное уравнение незатухаюших колебаний
q
d 2q
2


0 q 0
2
t dt
qm
t1
x
0 t     
UC UL
Фаза колебаний в
момент времени t1
I
0 
1
LC
q  q m cos 0 t   
q qm
U 
cos 0 t     U m cos 0 t   
C C
dq


I
  0 q m sin  0 t     I m cos  0 t    
dt
2

q  q m cos 0 t   
Колебания тока I опережают по фазе
колебания заряда q на π/2
Затухающие электрические колебания
Дифференциальное уравнение затухающих колебаний
d 2q
dq
2
 2
 0 q  0
2
dt
dt
q
qm e
q  q0e  t cost   
Коэффициент затухания
 t
  0   2
2

0
2LR
t
Частота затухающих колебаний
Экспоненциальный
характер убывания
амплитуды колебаний

1
R2
 2
LC 4 L
 0
Затухающие электрические колебания
Логарифмический декремент затухания –
At 
At 
  ln
 T ,
At  T 
At  T 
где A(t) - амплитудные значения
соответствующей величины q, U, I .
Время релаксации

- время, в течение которого
амплитуда колебаний
уменьшится в е-раз
Физический смысл
A0
 
1
e e
A
T  1
βи θ

1

Коэффициент затухания β – есть физическая величина, обратная
времени , в течение которого амплитуда колебаний уменьшается в е
раз.
Пусть N - число колебаний, после которых амплитуда уменьшилась в е
раз. Тогда

= NT
1
1
  T 

 N N
1

N
Логарифмический декремент затухания – есть величина, обратная
числу полных колебаний по истечению которых амплитуда
колебаний уменьшается в е раз
Задача 4
Затухающие колебания
Контур состоит из катушки с индуктивностью L = 2·10-2 Гн, активного
сопротивления R = 8 Ом и конденсатора емкостью С = 6,6·10-9 Ф. Найти
логарифмический декремент затухания колебаний в контуре.
Дано: L = 2·10-2 Гн; R = 8 Ом; С = 6,6·10-9 Ф.
Найти: 
Решение
Логарифмический декремент затухания    Т
Коэффициент затухания

R
2L
Период затухающих колебаний
T
2


2
1 / LC  R 2 / 4 L2
Подставляем числовые данные

Ответ:
8  3,14
2  10  2 1 / 2  10  2  6,6  10 9  8 2 /( 4  2  10  2 ) 2
  1,4  10 2
  1,4  10  2
Задача 5
Затухающие колебания
На рисунке приведен график зависимости амплитуды колебаний в контуре
от времени. Определить по графику: 1) время релаксации ;
2) коэффициент затухания; 3) логарифмический декремент затухания
1) Время релаксации (время, за которое
амплитуда уменьшится в е раз (е = 2,72).
= 6 mс.
находим по графику
2,7
1,0
10
t, mc
2) Коэффициент затухания

1
1
1
 

170
с
 6  10 3
3) Логарифмический декремент затухания равен обратному числу полных
колебаний за время релаксации. По графику число колебаний N = 3,
следовательно, θ = 0.51
Ответ:
 = 6 mс;
  170с 1 ;
Добротность колебательного контура
Добротность контура – физическая величина,
обратно пропорциональная логарифмическому
декременту затухания

Q   N

В случае слабого
затухания
1 L
Q
R C
Добротность колебательной системы с точностью до
множителя 2π равна отношению энергии, запасенной в
системе в данный момент, к убыли этой энергии за один
период колебаний
W
0
W(t) W(t+T)
t
W t 
Q  2
W t  T 
Добротность колебательного контура
Добротность колебательного контура Q = 0.7. Определить,
на сколько процентов отличается частота затухающих
колебаний контура от частоты собственных колебаний.
Задача 6
Дано: Q = 0.7.
0  
Найти: 
0
Решение
1) Добротность колебательного контура
Q


  Т
2) Логарифмический декремент затухания
1



 2  0 2   2 Разделим


Q



2
3)

обе
части
на
2
Q
T  2 2
или  0  1  
и
2
2


л
и 
2Q
4) Окончательно

0




2 2 2
2
2
2
2
0
Частота затухающих
колебаний
2
4Q 2  1
0 2
1
4Q 2  1
 1

2
2

4Q
4Q 2

2  0,707
1,414


 0,82
0
4  0,5  1
3
  0.820 , что составляет 18% от 0
Апериодический процесс
Апериодический процесс – процесс, происходящий при очень
сильном затухании.
Частота собственных колебаний системы становится
мнимой при ω0 ˂ β.
   2 2
0
При увеличении коэффициента затухания период затухающих
колебаний растет и при ω0 = β обращается в бесконечность,
т.е. процесс перестает быть периодическим.
2
T
1 / LC  R 2 / 4L2
Сопротивление контура, при котором
колебательный процесс переходит в
апериодический, называется критическим
сопротивлением.
Rкр  2
q
0
L
C
t
Задача 7
Апериодический процесс
Колебательный контур содержит конденсатор емкостью С = 450мкФ,
катушку индуктивностью L = 0,66 Гн и активное сопротивление R =100
Ом. Возникнут ли в контуре электрические колебания? Если возникнут, то
какова будет частота колебаний?
Дано: С = 450мкФ; L = 0,66 Гн ; R =100 Ом
Найти: 
Решение
Рассчитаем величину критического сопротивления
Rкр  2
L
C
Rкр  2
0,66
 76Ом
6
450  10
Критическое сопротивление равно 76 Ом, а в контуре активное
сопротивление 100 Ом, т.е. больше критического. Следовательно, в
контуре, содержащем указанные значения R, L и C, колебания не
возникнут.
Ответ: Колебания не возникнут.
Вынужденные электрические колебания
Незатухающие колебания в цепи, содержащей
индуктивность и емкость, под действием внешней
периодически изменяющейся ЭДС, называются
вынужденными электромагнитными колебаниями
С
U  U m cos t 
R

2L
R
L
Um
d 2q
dq
 2
 0 q 
cos t
2
dt
dt
L
0 
Дифференциальное уравнение вынужденных
электромагнитных колебаний
1
LC
Вынужденные электрические колебания
Um
d 2q
dq
 2
 0 q 
cos t
2
dt
dt
L
Решение неоднородного дифференциального уравнений, равно сумме
общего решения, соответствующего однородного уравнения q1 и частного
решения неоднородного уравнения q2
q1  q m1e  t cos1t   
q = q1 + q2
q2  qm cost   
q
0
t
x
Установление колебаний
Установившиеся колебания
Вынужденные колебания совершаются с
частотой вынуждающей ЭДС
Вынужденные электрические колебания
Явление резонанса
При вынужденных колебаниях ведичина заряда зависит от
частоты вынуждаюшей ЭДС
U
d 2q
dq
q  qm cost   
dt
dq


 qm sin t     qm cos t    
dt
2

2
 2
dt
 0 q 
d q
2
2





q
cos

t




qm cost       2 q
m
2
dt


L
2qm
cos t
Um / L

2
 2 q m cost       2q m cos t   
m

2
0

2
  2 qm

0 2 qm
Um
2




q
cos

t



cos t

0
m
2
L
Чтобы уравнение выполнялось, сумма трех этих векторов должна
совпадать с вектором, изображающим функцию U m
cos t
L
Явление резонанса
Резонанс – это резкое возрастание амплитуды колебаний
при частоте вынуждающей силы равной или близкой
собственной частоте системы.
qm 

Um / L
2
0


2 2
 4  2 2
Чтобы найти резонансную частоту ωрез - частоту, при которой
амплитуда заряда достигает максимума – нужно найти максимум этой
функции

d
0 2   2
d

2

 4  2 2 


d
 0 4  2 0 2 2   4  4 2 2  0
d


 40  2  4 3  8 2  4 0   2  2 2  0
2
2
 рез  0 2  2 2
Резонансная частота при R = 0 равна
собственной частоте контура 
0
Резонанс напряжений
Резонанс напряжений возникает в цепи последовательно
соединенных катушки индуктивности, конденсатора и
сопротивления при совпадении частоты колебаний внешней
ЭДС с собственной частотой контура
R
UR
L
C
UL UC
U
~
2
1 

2
2
Z  R 2   L 
  R  X L  X C 
C 

X L  L
Реактивные сопротивления
индуктивности и емкости
При    0 реактивные сопротивления равны
I
L 
U R= U
UL
1
XC 
C
Полное
сопротивление
контура
UC
1
C
Векторная диаграмма
резонанса напряжений
p 
1
LC
Резонансная частота
Резонанс напряжений
Напряжения на катушке и на конденсаторе противоположны по фазе и
компенсируют друг друга. Полное сопротивление при этом будет равно
активному сопротивлению Z = R, что вызовет увеличение тока в цепи, а,
следовательно, и напряжения на индуктивности и емкости.
Резонанс напряжений выражается в том, что полное
сопротивление контура становится наименьшим и равным
активному сопротивлению, а ток становится
максимальным.
Резонанс токов
Резонанс токов наблюдается в цепи, содержащей
параллельно соединенные индуктивность и емкость
Условия получения резонанса токов такие же, как и для резонанса
напряжений    0 и XL = XC. Однако в этом случае на катушке и на
конденсаторе напряжение такое же, как у генератора.
Резонанс тока проявляется в уменьшении амплитуды тока во
внешней цепи и при этом резкого увеличения тока в катушке
индуктивности, при приближении частоты приложенного
напряжения ω к ωр,
I
Z
U
IR = I
IC
I = Ia
IL
Мощность, передаваемая в цепи переменного тока
Мгновенное значение мощности переменного тока равно произведению
мгновенных значений напряжения и силы тока:
Pt   U t I t 
Pt   U m cos t  I m cost   

Pt   I mU m cos 2 t cos   sin t cos t sin 

Практический интерес представляет не мгновенное значение
мощности, а ее среднее значение за период колебания
Учитывая, что
 cos 2 t  
1 а также
sin t  cos t   0
2
UL
LI m
1
Im
C
U
Um

RIm
1 

 L 
I m
C 

1
 P  I mU m cos 
2
cos 
- Коэффициент мощности
UR
Из диаграммы
U m cos   RI m
Мощность, передаваемая в цепи переменного тока
1
22
P

RI
P  RI mm
2
2
Такую же мощность рассеивает постоянный ток I 
Im
I
2
,
U 
Um
Im
2
2
Действующие (эффективные) значения тока и напряжения
Все амперметры и вольтметры градуируются по действующим значениям
тока и напряжения.
P  IU cos 
Допустимое значение cos  для промышленных установок примерно 0,85.
Для првышения коэффициента мощности существуют разные способы.
Основной способ – включение параллельно приемнику электрической энергии
специальных устройств, называемых компенсаторами (батарея конденсаторов).
При включении компенсатора по нему проходит ток, опережающий
напряжение на 900. Угол сдвига фаз уменьшается.
Мощность, передаваемая в цепи переменного тока
Задача 8
Контур состоит из катушки индуктивностью 25 мкГн, резистора
сопротивлением 2 Ом и конденсатора емкостью 3000 пФ. Какую
мощность должен потреблять контур, чтобы в нем
поддерживались незатухающие колебания, при которых
максимальное напряжение на конденсаторе равно 5 В?
Дано: L = 2,5·10-5 Гн; С = 3·10-9; R = 2 Ом; Um = 5 В.
Найти: Р.
Решение
Средняя мощность, передаваемая в цепи переменного тока
P 
1
2
RI m
2
qm  U m C
dq
I
 q m cost   
dt
Im 
U mC
3
Ответ: P  1,5  10 Вт
LC
 Um
C
L
2
U CR
P m
2L
I m  q m 
qm
LC
Подставляем
числовые данные
5 2  3  10 9 2
3
P

1
,
5

10
Вт
5
2  2,8  10
Сложение гармонических колебаний
1) Одинаковой частоты
2) Близкие частоты
Вид результирующего колебания определяется
соотношением фаз складываемых колебаний
  Возникают биения
3) Взаимно перпендикулярные одинаковой частоты
Эллипс, окружность, прямые (зависит от соотношения амплитуд и фаз)
4) Взаимно перпендикулярные с кратными частотами
Фигуры Лиссажу
1 / 2  m / n
Спасибо за внимание