Электроемкость проводника. Энергия электрического поля

Электроемкость проводника.
Энергия электрического поля
Электроемкость проводника
● Электроемкость уединенного
проводника.
Уединенный проводник – проводник,
вблизи которого нет других тел,
способных повлиять на распределение
зарядов на нем.
Электроемкость уединенного проводника
Проводнику сообщили заряд q, который
распределился по поверхности проводника
так, что внутри проводника поле Е = 0.
Если проводнику сообщить дополнительный
заряд, то он распределится таким образом,
чтобы Е = 0, при этом потенциал изменится,
но по-прежнему во всех точках проводника
будет одинаков.
Отношение поверхностных плотностей зарядов
любых двух точек величина постоянная при
любых зарядах, сообщенных проводнику.
Поверхностная плотность заряда
пропорциональна сообщенному ему
заряду.
Напряженность электрического поля
Е =σ / ε0.
Е ~ σ ~ q.

 
 Edr  1   2 ,
r
 2  0.


 
 Edr   ,
r
где φ – потенциал проводника.
Е ~ φ.
Е ~ q.
q =Cφ,
C – коэффициент пропорциональности
(электроемкость).
Электроемкость проводника
• В СИ С измеряется в фарадах
[1Ф = 1Кл / 1В].
• Электроемкость проводника – это
физическая величина численно равная
заряду, который необходимо сообщить
проводнику, чтобы увеличить его
потенциал на 1В.
• Диэлектрик электроемкостью не
характеризуется, так как он не является
эквипотенциальным телом.
Электроемкость проводника
● Электроемкость шара.
Связь напряженности поля и потенциала
d
E ,
dr
Edr  d .
(1)

(2)
 4 r 2
R
0
Поле вне сферы
r  R, E 
q
4 0r
qdr
2
.(3)
2
   d.
1
(4)
Электроемкость шара
q

dr




.
1
2

4 0 R r 2
 2    0.
(5)
q

4 0R
C
C  4 0R.
(6)
Электроемкость проводника зависит от его
формы и размеров, свойств окружающей
среды (ε).
 .
q

.
Электроемкость шара
• Электроемкость Земли:
C Земли  4 0 R  4  8,85  10 12 6400  10 3  0,7 мФ.
• Фарад – большая величина, обычно
используют единицы: микрофарад
(мкФ), пикофарад (пФ).
• Для того чтобы проводник обладал
большой емкостью, он должен иметь
большие размеры.
Взаимная электроемкость
q
Е
q
Е
В поле проводника
П роводник
помещаем
металлическую
пластину.
М етал ли ческая
Металлическая
пласти на
пластина заряжается
в поле проводника.
Ближе к проводнику
будет находиться
поверхность
П роводник
пластины,
зарядившаяся
противоположным
Д иэлек тр и к
зарядом.
Взаимная электроемкость
q
П роводник
Е
М етал ли ческая
пласти на
q
П роводник
Е
Д иэлек тр и к
Поле, создаваемое
зарядом проводника
понизится, понизится
и потенциал
проводника.
       ;   
q  const
С=q / φ - увеличится.
Взаимная электроемкость
q
П роводник
Е
М етал ли ческая
пласти на
q
П роводник
Е
Д иэлек тр и к
В поле заряженного
проводника диэлектрик
поляризуется, что
приводит к тому, что
потенциал проводника
уменьшается, а его
емкость увеличивается.
Взаимная электроемкость больше, чем емкость
уединенного проводника.
Особенно большой электроемкостью
обладает конденсатор.
Конденсаторы
Конденсатор – система из двух проводников,
разделенных
слоем
диэлектрика,
продольные размеры которых много больше
расстояния между ними.
Проводники
называются
обкладками
конденсатора.
П роводник
Е
Д иэлек тр и к
П роводник
Конденсаторы
П роводник
Конденсаторы
конструируют
Д иэлек тр и к
Е
таким образом,
П роводник
чтобы поле
было сосредоточено
между обкладками.
В этом случае на емкость конденсатора не
оказывают влияния окружающие тела.
Конденсаторы
При зарядке конденсатора от
электрической машины процесс
происходит так, как если бы некоторый
заряд был перенесен с одной обкладки
на другую. Модуль заряда, который
необходимо перенести с одной
обкладки на другую, чтобы зарядить
одну из них отрицательно, а другую
положительно, называется зарядом
конденсатора.
Конденсаторы
• Конструктивно конденсаторы бывают
плоские, цилиндрические,
сферические.
(а) плоский конденсатор – две плоские металлические
обкладки, разделенные диэлектриком, (б) плоский
многопластинчатый конденсатор, содержащий n
обкладок, соединенных параллельно. Конструкции (а, б)
применяются в конденсаторах с неорганическими
диэлектриками.
В керамических конденсаторах используются другие
конструкции – цилиндрическая (в), многосекционная (г).
В конденсаторах с органическими диэлектриками базовой
конструкцией является спиральный конденсатор (д), в
котором обкладки и диэлектрики представляют собой
ленты, скручиваемые спиралью.
Плоский, сферический и цилиндрический
конденсаторы
q
Емкость конденсатора
С



1
2
где q – заряд конденсатора,
φ1 – φ2 – разность потенциалов между
обкладками.
● Плоский конденсатор
Расстояние между
обкладками d много
меньше линейных
размеров
конденсатора.
Следовательно, поле
конденсатора можно
рассматривать как
поле между двумя
бесконечными
пластинами.
● Плоский конденсатор

Е
.
 0
d
E
dr
(1)
.
(2)
2
dr
     d.(3)
0
0
1
d
 d
 1   2 . (4)

S
q
0
 0
C

.
1   2
d
q  S .
(5)
(6)
● Сферический конденсатор
Состоит из двух
концентрических
обкладок
сферической
формы,
разделенных
слоем
диэлектрика.
● Сферический конденсатор
Поле равномерно
заряженной сферической
поверхности (вне сферы)
эквивалентно полю
точечного заряда:
E
q
4 0 r
2
dr
q 1 1
  .
1  2   Edr 


2
40 r r
40  r1 r2 
r1
1
r2

q
r2
q
r1  r2
C
 40
.
1  2
r2  r1
● Цилиндрический конденсатор
Состоит из двух полых
коаксиальных
цилиндров с
радиусами r1 и r2,
вставленных один в
другой (r1 < r2) и
разделенных слоем
диэлектрика.
● Цилиндрический конденсатор
r1 < r2 ; r1, r2 < длины
поля бесконечного заряженного

цилиндра:
E
2 0 r
r2
 r2 dr

1   2   Edr 

ln .

2 0 r r 2 0 r1
r1
1
r2
r2
1   2 
ln .
2 0l r1
q
q

l
2 0l
q
C

r2
1   2
ln
r1
Конденсаторы
Конденсаторы характеризуются
пробивным напряжением – разность
потенциалов, при которой происходит
пробой – электрический разряд через
слой диэлектрика. Пробивное
напряжение зависит от формы
обкладок, свойств диэлектрика и его
толщины.
Соединения конденсаторов
● Последовательное
• Заряд каждого
конденсатора равен
заряду батареи
конденсаторов.
• Применяется для деления
напряжения. U = U1 + U2.
q q
q


C C1 C2

1 n 1
 .
С i 1 Сi
1 1
1


.
C C1 C2
С1  С2
(1) С 
.
С1  С2
С < С1, С < С2 . С = С / n.
● Последовательное соединение конденсаторов
Для n конденсаторов:
1 n 1
 .
С i 1 Сi
С < С1, С < С2 .
Если конденсаторы
одинаковы, то общая
емкость С = С / n.
Соединения конденсаторов
● Параллельное
• Разность потенциалов на
обкладках конденсаторов
одинакова и равна U.
• Заряд батареи согласно
закону сохранения заряда
q1 + q2 = const.
C1U  C2U  CU

При параллельном соединении
конденсаторов емкость батареи
увеличивается.
C  C1 n C2 .
C   Ci .
i 1
(2)
Энергия электрического поля
● Энергия заряженного проводника.
В поле проводника перемещаем заряд dq.
При переносе заряда dq из бесконечности
на проводник емкостью С, имеющий
потенциал φ, совершается работа.
Энергия заряженного проводника
dA    dq.
q
 .
C
qdq
dA 
.
C
При этом заряд проводника увеличивается на dq.
Работа, затрачиваемая на зарядку проводника от
нулевого потенциала (φ = 0) до φ
2
qdq q
A   dA  

.
C
2C
Энергия заряженного проводника
• Энергия заряженного проводника равна
работе, которую необходимо
совершить, чтобы зарядить этот
проводник:
q
C
W

.
2C
2
2
2
Энергия электрического поля
● Энергия заряженного конденсатора.
Если заряженный конденсатор замкнуть
на электрическую лампочку, то она
какое-то время будет гореть.
Следовательно, конденсатор обладает
энергией.
● Энергия заряженного конденсатора.
dA  U  dq.
qdq
dA 
.
C
q
U .
C
2
2
q
CU
qU
W


.
2C
2
2
Объемная плотность энергии
электрического поля
На вопрос о том, где аккумулируется энергия
электрического поля: 1) на зарядах или 2) в
пространстве, окружающем заряды, в рамках
электростатики не отвечают.
Описание электрических явлений с помощью
прямого силового взаимодействия (теория
дальнодействия) и с помощью
промежуточного электрического поля (теория
близкодействия) эквивалентны в рамках
электростатики.
Только в электродинамике, где существуют
свободные электромагнитные волны,
независимые от породивших их зарядов,
доказана реальность электромагнитного
поля. Электромагнитная волна обладает
энергией (радио, телевидение).
Соответственно, энергия
электростатического поля сосредоточена в
пространстве между зарядами
(электростатическое поле обладает энергией
с определенной объемной плотностью
энергии).
Объемная плотность энергии электрического поля
Объемная плотность энергии:
2
W CU
 
V
2Sd
S – площадь обкладок конденсатора,
d – расстояние между обкладками.
 0 S Ed 
С Ed 


2Sd
d  2Sd
2
2


 0 E
2
2
ED

2
- энергия, приходящаяся на единичный объем
dW    dV ,
W     dV .
V
однородного поля.
Уравнение Пуассона и Лапласа.
Основная задача электростатики
 
divE  .
Ex E y Ez 


 .(1)
x
y
z  0
0




       
E     i 
j
k   Exi  E y j  Ez k .(2)
y
z 
 x



Ex   ; E y   ; Ez   .
x
y
z
 





.
2
2
2
0
x
y
z
2
 
2
 
2
Уравнение Пуассона
 





.
2
2
2
0
x
y
z
2
 
2
 
2
Уравнение Пуассона описывает
распределение потенциалов в пространстве,
если электрическое поле создано системой
проводников и в пространстве между
проводниками имеются свободные заряды.
Уравнение Лапласа
Если в пространстве между
проводниками свободных зарядов нет,
следовательно объемная плотность
зарядов ρ = 0.
 2
x 2

 2
y 2

 2
z 2
 0.
– Уравнение Лапласа.
Основная задача электростатики:
нахождение
решения
дифференциальных
уравнений Пуассона и Лапласа, то есть
функции
φ(x,y,z),
которая
во
всем
пространстве удовлетворяет уравнениям
Пуассона или Лапласа, а на поверхности
проводников принимает заданные значения .
В теоретической физике доказано, что эта
задача имеет единственное решение, это
утверждение
называют
теоремой
единственности.