2. Матрицы. матрицами 1 Матрицы и их виды. 2.

Джеймс Джозеф
Сильвестр
2. Матрицы.
2.1 Матрицы и их виды.
Действия над матрицами.
1
Определение: Матрица – прямоугольная таблица,
образованная из элементов некоторого множества и
состоящая из m строк и n столбцов.
Обычно матрицу обозначают двойными вертикальными
черточками или круглыми скобками.
 a11

 a21
A

a
 m1
a12
a22
...
am 2
... a1n 

... a2 n 


... amn 
A
a11
a21
a12
a22
... a1n
... a2 n
am1
...
am 2 ... amn
Если m=n матрица называется квадратной.
2
Среди квадратных матриц выделяют класс
диагональных матриц, т.е. матрицы, которые имеют
элементы не равные нулю только на главной
диагонали:
Если
d1  d 2  ...  d n  1
то матрица называется
единичной
 d1 0 ... 0 


 0 d 2 ... 0 
D

...


 0 0 ... d 
n

1

0
E  0


0

0 0
1 0
0 1
...
0 0
... 0 

... 0 
... 0 



... 1 
3
Матрица, у которой все элементы нулевые, получила
название нулевой:
 0 0 0 ... 0 


 0 0 0 ... 0 
0

...


 0 0 0 ... 0 


Понятие нулевой матрицы можно вводить и для
неквадратных матриц .
Матрицы A и B считаются равными, если они
одинакового размера, т.е. число строк и столбцов
матрицы A соответственно равны числу строк и
столбцов матрицы B и элементы стоящие на
одинаковых местах, равны между собой .
4
Основные операции, которые производятся
над матрицами:
1. Сложение матриц.
2. Вычитание матриц.
3. Умножение матрицы на число.
4. Умножение матриц
5
1. Суммой двух матриц А и В, одинаковых
размерностей, называется матрица той же размерности,
элементы которой равны суммам соответствующих
элементов матриц А и В:
 a11

 a21
A

a
 m1
... a1n 
 b11


... a2 n 
 b21
B

...


b
am 2 ... amn 
 m1
 a11  b11 a12  b12

 a21  b21 a22  b22
A B  
...

a  b
 m1 m1 am 2  bm 2
a12
a22
... b1n 

... b2 n 

...

bm 2 ... bmn 
... a1n  b1n 

... a2 n  b2 n 


... amn  bmn  6
b12
b22
Сумма матриц обладает следующими свойствами:
1. А+В=В+А, сложение матриц коммутативно,
2. А+(В+С)=(А+В)+С, свойство ассоциативности,
3. А+0=А, где 0 – нулевая матрица той же размерности.
2. Аналогично определяется разность двух матриц:
 a11  b11

 a21  b21
A B  

a b
 m1 m1
a12  b12
a22  b22
...
am 2  bm 2
... a1n  b1n 

... a2 n  b2 n 


... amn  bmn 
7
3. Произведением матрицы
А на число λ, называется
 a11 a12
матрица, элементы которой

получаются из
A
...
соответствующих элементов
 a
 m1 am 2
матрицы А, путём умножения
их на число λ:
Операция произведения матрицы на число
удовлетворяет следующим свойствам:
1) 1 A  A
... a1n 


... amn 
2)   ( A)  (   ) A
3) (   ) A  A  A 4)  ( A  B)  A  B
5) A  ( A)  0
, 
Где A,B – произвольные матрицы,
-произвольные числа,
0 – нулевая матрица.8
4. Произведение АВ матрицы А на матрицу В
определяется только в том случае, когда число
столбцов матрицы A равно числу строк
матрицы В.
В результате умножения получится новая матрица
C, у которой число строк будет равно числу
строк матрицы А, а число столбцов равно
числу столбцов матрицы В.
Пусть даны матрицы
 a11 ... a1n 


A
...

a

...
a
mn 
 m1
 b11 ... b1k 


B
...

b

...
b
nk 
 n1
9
В таком случае произведением матрицы A на матрицу
B является матрица С
 c11 ... c1k 


C 
...

c

...
c
mk 
 m1
элементы которой определяются по следующему
правилу
n
cij  ai1b1 j  ai 2 b2 j  ...  ain bnj   ai bj
 1
где i=1,…,m; j=1,…,k.
10
c
Т.е. для получения элемента
ij
надо элементы i-строки матрицы А умножить на
соответствующие элементы j – го столбца
матрицы B и полученные произведения сложить.
Получение элемента
c ij
схематично изображается так:
I
J
11
Пример:
Перемножить матрицы
1 0 2


0 1 3
3 2 1


1  5 3 


и  6 2  4
5 1 7 


Решение:
1 0 2 1  5 3 

 

 0 1 3   6 2  4 
3 2 1 5 1 7 

 

 11  0  6  2  5 1 (5)  0  2  2  (1) 1 3  0  (4)  2  7 


 0 1  (1)  6  3  5 0  (5)  (1)  2  3  (1) 0  3  (1)  (4)  3  7  
 3 1  2  6  1  5

3

(

5
)

2

2

1

(

1
)
3

3

2

(

4
)

1

7


12
 11  7 17 


  9  5 25 
 20  12 8 


Свойства умножений матриц:
1) A B  B  A
произведение матриц не
коммутативно;
Если AB=BA, то матрицы А и В называются
перестановочными;
13
2) A  ( B  C )  ( A  B)  C
свойство ассоциативности
3)  ( A  B)  (  A)  B
4) A  ( B  C )  A  B  A  C
свойство дистрибутивности
Непосредственной проверкой можно убедиться, что
A  D  D  A (2.1)
A  E  E  A  A (2.2)
A0  0 A  0
(2.3)
14
2.2 Обратная матрица.
Пусть дана
квадратная матрица:
и

a11 a12 ... a1n
a21 a22 ... a2 n
an1
...
an 2 ... ann
 a11 a12 ... a1n 


 a21 a22 ... a2 n 
A

...


a

a
...
a
n2
nn 
 n1
(2.4)
определитель матрицы.
Матрица определитель которой равен нулю,
называется вырожденной (или особенной), а
матрица определитель которой отличен от нуля невырожденной (или неособенной).
15
Если для данной матрицы А существует матрица Х,
такая, что
         (2.6)
где Е – единичная матрица, то матрица Х называется
обратной матрицей по отношению к матрице А, а
сама матрица А - обратимой.
Обратная для А матрица обозначается

1
Теорема.
Для каждой обратимой матрицы существует
только одна обратная матрица.
Доказательство.
16
Пусть для матрицы А существует обратная матрица Х,
тогда должно выполняться условие (2.6)
    
Пусть для матрицы А существует ещё одна обратная
матрица  ,
тогда согласно (2.6)
    
Умножим слева последнее выражение на матрицу Х:
X  ( A  X )  X  E  X
Согласно свойству произведение матриц левую часть
выражения можно записать
X  ( A  X )  ( X  A)  X   EX   X 
Т.е. получили
  
Что и требовалось доказать.
17
Запишем выражение для обратной матрицы
Пусть дана квадратная
обратимая матрица А:
Найдём алгебраические
дополнения для каждого
элемента и составим
матрицу В:
A
1
 a11 a12 ... a1n 


 a21 a22 ... a2 n 
A

...


a

a
...
a
n2
nn 
 n1
 A11

 A12
B

A
 1n
A21 ... An1 

A22 ... An 2 

...

A2 n ... Ann 
Заметим, что в i строке матрицы В расположены
алгебраические дополнения элементов j столбца
определителя. Матрицу В называют присоединенной
18
для матрицы А.
Обратную матрицу можно найти по формуле
1
  

1
 A11

1  A12
1
  


A
 1n
A21 ... An1 

A22 ... An 2 

...

A2 n ... Ann 
19
Пример: Найти матрицу обратную данной
Решение:
2 3
 1


    3 1 1 
 2 1  1


Проверим, обратима матрица А или нет, т.е. является
ли она вырожденной
1
2
3
7
5
0
7
5
   3  1 1   1 0 0  1(1)
 5  0
1 0
2 1 1 2 1 1
6
Найдем алгебраические дополнения всех элементов
матрицы А
20
2 3
 1


    3 1 1 
 2 1  1


3
1
3 2
2 1
11  (1)
 1  1  0  21  (1) 1  1  (2  3)  5
1 1
3
3 1
4 1
12  (1)
 (3  2)  1  22  (1) 2  1  1  6  7
2 1
3
 3 1
13  (1)
 3  2  1
2
1
4
 23
1 2
 (1)
 (1  4)  3
2 1
5
3
2 3
5 1
 10
 31  (1)
 2  3  5 32  (1)
3 1
1 1
21
4
1
2
 33  (1)
5
 3 1
6
Запишем обратную
матрицу
5
5 
0

1
1
     1  7  10 
5


1
3
5


Для проверки правильности решения достаточно
проверить следующее равенство:
1
A A  E
5
5  1
2 3  1 0 0
0

 

1
1
A  A     1  7  10   3  1 1    0 1 0 
5
 2
 0 0 1

1
3
5
1

1


 

22
2.3 Ранг матрицы.
Рассмотрим произвольную
прямоугольную матрицу:
 a11 a12

 a21 a22


 ak 1 ak 2


a
 m1 am 2
... a1k
... a2 k
...
... akk
...
... amk
... a1m 

... a2 m 


... akm 


... amm 
Возьмем в этой матрицы k строк и k столбцов.
Элементы, стоящие на пересечении этой строки и
столбца образуют квадратную матрицу.
Определитель данной матрицы называется минором
k-ого порядка
Mk
Минор M k 1 порядка k+1, который содержит в себе
минор M
k
называется окаймляющим минором.
23
Если любой минор
Mk
а все возможные миноры
не равен нулю,
M k 1
равны нулю, то говорят, что ранг матрицы равен k
(rangA=k).
Отличный от нуля минор
Mk,
называют базисным минором .
24
Пример:
Вычислить ранг матрицы:
 1  2 1 3 


0
1  1
2

1  2  2 4 


 7  6 1 7 


Решение:
Выберем минор второго порядка, находящийся в
верхнем левом углу,
12
12
M
1 2

4
2 0
Минор второго порядка не равен нулю, следовательно
ранг не менее двух.
Составляем миноры третьего порядка, окаймляющие
отличный от нуля минор второго порядка. Для этого
добавим к M 12 третью строку и третий столбец.
12
25
1
M
123
123
M
1
3 2
M
3 2
 2
0
1 0 0
1  1  (1)
 (6  6)  0
3 2
1  2  2 3  2  2
2
3
7 2
3
7 2
 2
0  1  0 0  1  1  (1)
0
7 2
1  2 4
7 2 4
5
1  2 1
123
124
1
5
1
124
123
2
3  2 1
3 2
2 0
1 0 0
1  1  (1)
0
9 6
7  6 1 9  6 1
5
26
1 2
M
124
124
3
7
2
3
7
2
 2 0  1  0 0  1  1 (1)
0
21  6
7 6 7
21  6 7
5
Все миноры третьего порядка, окаймляющие минор
второго порядка, равны нулю. А это значит, что
rang A=2.
Другим простым способом вычисления ранга матрицы
является метод Гаусса, основанный на элементарных
преобразованиях, выполняемых над матрицей. Такими
преобразованиями являются:
1.вычёркивание строки состоящей из нулей,
2.прибавление к элементам одной из строк
соответствующих элементов другой строки, умноженных
на любое число,
3.перестановку двух строк (двух параллельных рядов),
4.все строки заменить столбцами
27
Метод Гаусса вычисления ранга матрицы заключается
в том, что при помощи элементарных преобразований
матрицу можно привести к виду:
 b11 b12 ... b1k

 0 b22 ... b2 k
0
0 ... b3k

.... ......

0
0 0 bkk

...
...
...
...
...
В этой матрице все диагональные элементы
и т.д. отличны от нуля, а элементы других строк
расположенные ниже, равны нулю.
b1n 

b2 n 
b3n 


bkn 
b11 , b22 , b33
Т.к. ранг не меняется при элементарных
преобразованиях, то ранг исходной матрицы будет
равен рангу данной матрицы и равен числу не
нулевых строк .
28
Пример:
Найти ранг матрицы:
Решение:
 1

 2

1

 2

2
1
2
3
1
3
2
4
5

5
7

 1 2 
4
3
1
Добьемся, чтобы все элементы первого столбца, кроме первого
были нулями. Первую строку оставим без изменения, затем первую
строку умножим на -2 и прибавим ко второй, первую строку
умножим на -1 и прибавим к третьей, и наконец, первую строку
умножим на 2 и прибавим к четвертой строке.
 1

 2
 1

 2

2 3
1 1
2 3
2
4
5 1
 
5 0


7
0
 
 1 2   0
4
3
1
2
3
3 5
0
0
6
10
4
5 

 5  5
3 2 

7 12 
29
Применим теперь элементарные преобразования таким
образом, чтобы в матрице все элементы второго столбца кроме
первых двух, были нулями. Умножим вторую строку на 2 и
прибавим к четвертой
1

0
0

0

2
3
3 5
0
0
0
0
4
5
3
3
5 

 5
2 

2 
Умножим третью строку на -1 и сложим с четвертой
3
4
5 
1 2


 0  3  5  5  5
0 0
0 3 2 


0 0

0
0
0


Вычеркивая нулевую строку, получим rang A=3.
30