Практическая работа Действия над матрицами. Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы. Сложение матриц. Складывать можно матрицы только одинаковой размерности. Опр. Суммой двух матриц А и В называется матрица С (той же размерности, что и матрицы А и В), элементы которой равны сумме соответствующих элементов матриц А и В: a11 a12 a1n b11 b12 b1n a11 b11 a12 b12 a1n b1n a 21 a 22 a 2 n b21 b22 b2 n a 21 b21 a 22 b22 a 2 n b2 n + = a b a b a b a b a a b b m1 m1 2 2 mn m1 m2 1 m2 m m mn mn m mn A C B Пример 1. Сложите матрицы А и В 3 7 1 2 4 0 , В= а) А= 1 5 7 1 0,5 3 0 3 2 1 б) А= 4 7 , В 3 5 1 5 Решение. а) Согласно определению сложения матриц имеем 3 7 1 0 2 3 4 7 1 5 11 1 2 4 0 + = = . А+В= 1 5 7 1 0,5 3 1 (1) 5 0,5 7 3 2 5,5 10 б) Данные матрицы А и В сложить невозможно, так как их размерность различна, точнее, матрица А имеет размерность 3 х 2, а матрица В – 2 х 2. Умножение матрицы на число. Опр. Для того, чтобы умножить число k (k R ) на матрицу А нужно это число k умножить на каждый элемент матрицы А, в результате мы получаем матрицу той же размерности, что и матрица А: a11 a12 a1n k a11 a 21 a 22 a 2 n k a 21 k∙ = a a m 2 a mn k a m1 m1 k a12 k a 22 k am2 A 1 4 1 Пример 2. Вычислить: 3∙ 3 3 k a1n k a2n k a mn Решение. 1 4 1 3 4 3 3 12 1= 1 = 3∙ 3 3 3 3 9 1 3 3 Умножение матриц. Опр. Произведением матрицы А, имеющей размерность m х n, на матрицу В имеющей размерность n x p называется матрица С, имеющая размерность m x p, и элементы матрицы С определяются следующей формулой: n Cij аik bkj , i=1,2, … , m, j=1,2, … , p. k 1 a11 a 21 a m1 a12 a 22 am 2 mxn a1n b11 b12 a 2 n b21 b22 ∙ a mn bm1 bm 2 b1n c11 b2 n c21 = bmn cm1 nxp c12 c22 cm 2 c1n c2 n cmn nxp Для обозначения произведения матрицы А на матрицу В используют запись: С=А∙В. Очень важное замечание; матрицу А можно умножить не на всякую матрицу В. Для того чтобы можно было перемножить матрицы А и В нужно, чтобы число строк матрицы В совпадало с числом столбцов матрицы А, а в результате произведения мы получаем матрицу, которая имеет столько строк, сколько матрица А и столько столбцов сколько матрица В. Пример 3. Выполните умножение матриц: 1 2 4 2 а) А 2 0 1 , В 1 ; 1 2 0 0 1 2 4 1 3 0 б) А 2 0 1 , В 0 2 2 . 1 2 0 1 1 0 Решение. 1 2 2 1 4 0 4 а) А В 2 2 0 1 1 0 4 1 2 2 1 0 0 4 1 1 2 0 4 1 1 3 2 2 4 1 1 0 2 2 4 0 5 11 4 б) А В 2 1 0 0 1 1 2 3 0 2 1 1 2 0 0 2 1 0 3 7 0 1 1 2 0 0 1 1 3 2 2 0 1 1 0 2 2 0 0 1 7 4 Для того, чтобы матрицу А возвести в степень n, ее нужно n раз умножить саму на себя 2 4 Пример 4. Найдите А4, если А= 1 0 Решение. 8 2 4 2 4 2 4 2 4 2 4 2 4 0 ∙ ∙ ∙ = ∙ ∙ = А4= 1 0 1 0 1 0 1 0 2 4 1 0 1 0 8 0 2 4 16 32 ∙ = = 0 0 8 1 0 8 Матрицу, обратную к матрице А, обозначают А-1. Рассмотрим квадратную матрицу А порядка n: a11 a12 a1n a 21 a 22 a 2 n А= a m1 a m 2 a mn Пусть DA=det A (определитель А), тогда обратная матрица к матрице А задается формулой: a11 a12 a1n 1 a 21 a 22 a 2 n 1 . (4) A DA a a a m2 mn m1 Аij=(-1)i+j∙Mij, i=1, 2 …, n; j=1, 2 …, n. Аij – алгебраическое дополнение элемента аij в матрице А, Mij – минор – определитель, полученный вычеркиванием iой строки jого столбца в матрице А. Замечание: первый индекс элемента обратной матрицы показывает на то, к какому столбцу принадлежит данный элемент, второй – к какой строке принадлежит данный элемент. Правило нахождения обратной матрицы к квадратной матрице второго порядка: Чтобы найти обратную матрицу к квадратной матрице второго порядка нужно поменять местами элементы, стоящие на главной диагонали и приписать знак минус к элементам, 1 стоящим на побочной диагонали и полученную матрицу умножить на . DA Пример 5. Найдите обратную матрицу для квадратной матрицы третьего порядка 3 4 5 А= 2 3 1 3 5 1 Решение. A11 A21 A31 1 1 A A12 A22 A32 ; DA A13 A23 A33 3 4 5 DA 2 3 1 =3∙(-3)∙1+2∙(-5)+3∙(4)∙1-(5∙(-3)∙3+1∙(-5)∙3+1∙(-4)∙2)=9-50-12+45+15+ +8=-1. 3 5 1 Далее находим элементы обратной матрицы: 3 1 2 1 А11=(-1)1+1∙М11= =3+5=8, А12=(-1)1+2∙М12==-(-2-3)=5, 5 1 3 1 2 3 4 5 А13=(-1)1+3∙М13= =-10+9=-1, А21=(-1)2+1∙М21= =-(4+25)=-29, 3 5 5 1 3 5 3 4 А22=(-1)2+2∙М22= =-3-15=-18, А23=(-1)2+3∙М23= =-(4+25)=-29, 3 1 3 5 4 5 3 5 А31=(-1)3+1∙М31= =-4+15=11, А32=(-1)3+2∙М32= =-(3-10)=7, 3 1 2 1 3 5 А33=(-1)3+3∙М33= =-9+8=-1. 2 3 8 29 11 1 Имеем, A1 5 18 7 1 1 1 3 Проверка: А∙А-1=Е 3 4 5 8 29 11 1 0 0 2 3 1 ∙ 5 18 7 = 0 1 0 3 5 1 1 3 1 0 0 1 Решение системы линейных уравнений с помощью обратной матрицы рассмотрим на примере. Пример 6. Решите систему х 2 у 3z 6 2 x 3 y 4 z 20 3x 2 y 5 z 6 Решение. 1 2 3 х 6 А 2 3 4 , Х у , В 20 3 2 5 z 6 Запишем систему в матричном виде: А Х В . Найдём Х, получим Х А 1 В . Найдём обратную матрицу A11 A21 A31 1 1 A A12 A22 A32 . DA A13 A23 A33 1 2 3 3 4 2 4 2 3 DА 2 3 4 1 (2) 3 1 (15 8) 2 (10 12) 3 (4 9) 2 5 3 5 3 2 3 2 5 23 4 39 58 . 3 4 А11=(-1)1+1∙М11== 15 8 23 , 2 5 2 4 А12=(-1)1+2∙М12= (10 12) 2 , 3 5 2 3 А13=(-1)1+3∙М13= 4 9 13 , 3 2 2 3 А21=(-1)2+1∙М21= (10 6) 16 , 2 5 1 3 5 9 14 , А22=(-1)2+2∙М22= 3 5 1 2 (2 6) 4 , А23=(-1)2+3∙М23= 3 2 2 3 8 9 1 , А31=(-1)3+1∙М31= 3 4 1 3 (4 6) 10 , А32=(-1)3+2∙М32= 2 4 1 2 3 4 7 . А33=(-1)3+3∙М33= 2 3 23 16 1 23 16 1 1 1 А 2 14 10 2 14 10 58 58 13 4 7 13 4 7 23 16 1 6 1 Х 2 14 10 20 58 13 4 7 6 23 6 16 20 1 6 464 8 1 1 2 6 14 20 10 6 232 4 58 58 116 2 13 6 4 20 7 6 1 8 Х 4 2 Ответ : х=8, у=4, z=2. Задания для самостоятельного решения 1. Выполните действия над матрицами А+В, -2,5В, АВ, АС 3 7 2 4 3 0 2 а) А= 7 6 3,5 , В= 6 7 4 , С= 4 . 3 3 2 4 3 5 2 2 3 1 5 2 1 1 б) А= 0 6,5 3 , В= 1 7 6 , С= 3 . 2 1 2 0 3 2 2 4 0 2 1 2 1 1 в) А= 2,5 2 3 , В= 5 3 4 , С= 2 . 1 3 3 5 0 5 1 4 1 3 4 3 3 4 г) А= 1,5 0 6 , В= 1 0 4 , С= 1 . 3 2 1 2 3 1 0 2. Решите систему линейных уравнений с помощью обратной матрицы 2 х у 2 z 1 а) 3x y 2 z 1 4 x y 5 z 3 3x 2 y z 3 б) 2 x y 3z 21 x y z 5 2 x y 3z 0 в) x 3 y 4 z 11 3x 2 y z 7 4 x 3 y 2 z 1 г) 2 x 5 y 3z 16 3x 2 y 4 z 4