сложные учетные ставки

Финансовые вычисления
Сложные учетные ставки
Красина Фаина Ахатовна
доцент кафедры Экономики ТУСУР
Сложные учетные ставки
Сумма, получаемая заемщиком:
в конце первого интервала:
P1  F  dF  F (1  d )
в конце второго интервала:
P2  P1  P1d 
P1 (1  d ) 
.
 F (1  d ) 2
2
Сложные учетные ставки
Сумма, получаемая заемщиком:
через n лет:
P  F (1  d )
n
для определения наращенной суммы:
.
P
F
n
(1 - d)
3
Сравнение скорости наращения
Приращение капитала
1
D  F  P  P  [1 
]
n
(1  d )
не пропорционально ни сроку n, ни ставке
для любого i < 1
d
1
 1 i
1 i
скорость наращения выше при применении сложной учетной
ставки, чем при ссудной
4
График наращенной суммы в 100 единиц. Наращение по
ссудной и учетным ставкам
350
значение величины F
300
250
200
d=10%
150
r=10%
100
50
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
показатель степени n
5
Сравнение простых и сложных учетных
ставок- дисконтирование
Рассчитать дисконтированную сумму при
учете 1 млн руб. по простой и сложной
учетным ставкам
d=18 %
n= 30, 90, 180 дней, 1, 2 , 3 года, 5 лет.
Каждый год считать равным 360 дням.
P  F (1  d )
n
P  F (1  nd )
6
Сравнение простых и сложных ставок- учет векселя
номиналом 1 млн. руб.
30 дней
n = 1/12
90 дней
n = 1/4
180 дней 1 год
n = 1/2
n=1
2 года
n =2
3 года
n=3
5 лет
n=5
Простая
ставка, млн.
Сложная
ставка, млн.
7
Простая
ставка, млн.
Сложная
ставка, млн.
30 дней
n = 1/12
90 дней
n = 1/4
180 дней 1 год
n = 1/2
n=1
2 года
n =2
3 года
n=3
5 лет
n=5
0,985
0,955
0,91
0,82
0,64
0,46
0,1
0,984
0,952
0,905
0,82
0,67
0,55
0,37
Для владельца векселя при сроке учета меньше года
выгоднее простая учетная ставка
 Для владельца векселя при сроке учета больше года
выгоднее сложная учетная ставка

8
Сравнение простых и сложных
учетных ставок- наращение
Пример
Рассчитать наращенную сумму 1 млн. руб. по
простой и сложной учетным ставкам,
d= 18 % годовых
n= 30, 90, 180 дней, 1, 2 , 3 года, 5 лет.
Каждый год считать равным 360 дней
9
Сравнение простых и сложных
исходная сумма 1 млн. руб.
ставок-
n=1/12 n=90
дней
n=2
n=180 n=1
дней
наращение
n=3
n=5
F=P/(1-nd)
F=P/(1-d)n
10
Сравнение простых и сложных
исходная сумма 1 млн. руб.
ставок-
n=1/12 n=90
дней
n=180 n=1
дней
n=2
1,015
1,047
1,099
1,22
1,563 2,174 10,0
1,017
1,051
1,104
1,22
1,487 1,814 2,697
Простые
ставки,
млн.руб.
Сложные
ставки,
млн. руб.
наращение
n=3
n=5
11

при сроке меньше года для должника
выгодна простая учетная ставка

при сроке больше года для должника выгодна
сложная учетная ставка
Учет по сложной ставке может выполняться при
любых ставках и сроках, т.к. всегда верно :
(1  d )  0
n
12
Сложные учетные ставки
При начислении процентов m раз за период
F  P /(1  d / m)
mn
период начисления не является целым числом,
F  P /(1  d )  (1  fd )
w
где w — целое число лет; f — дробная часть года.
13
Сложные учетные ставки
n1 , n2 ,  — продолжительность интервалов начисления
учетные ставки,
d1 , d 2 ,  — годовые
этим интервалам
соответствующие
k
F  P /  (1  d i )
ni
i 1
14
Сложные учетные ставки
F  P / lim( 1  d / m)
m n
n
F  Pe
При бесконечно малых интервалах начисления
разница
между начислением процентов в начале
и конце
интервала исчезает.
15
Пример 1.Вексель на сумму 70 тыс.
руб. со сроком погашения через 4
года учтен за 32 месяца по сложной
учетной ставке 24% годовых.
Определить суммы, которые получит
предъявитель векселя при различных
способах учета.
16
Решение:
1) Схема сложных процентов
n = 32/12 = 8/3, F = 70 тыс. руб., d = 0,24,
P  70(1  0,24)
8
3
 33,7
17
2) смешанная схема
w = 2, f = 2/3
2
P  70(1  0,24) (1   0,24)  33,96
3
2
18
Пример 2.
Долговое обязательство на выплату 46
тыс. руб. учтено за 4 года до срока
погашения. Определите сумму,
полученную при учете этого
обязательства, если производилось
1) полугодовое; 2) поквартальное;
3) ежемесячное дисконтирование по
сложной учетной ставке 24% годовых.
19
Решение:
0,24 24
)  16,543
1) P  46(1 
2
0
,
24
44
2) P  46(1 
)  17,092
4
0,24 124
3) P  46(1 
)  17,443
12
20
Пример 3.
На вклад 200 тыс. руб. 5 лет, начисляются
проценты по плавающей годовой учетной
ставке : в первые 2 года –16%, в следующие 2
года - 19%, в оставшийся год- 23%.
1) Определить наращенную сумму.
2) При использовании какой постоянной
сложной учетной ставки можно накопить
такую же сумму?
21
Решение:
d1 = 16%, d2 = 19%, d3 = 23%
20
F
 56,106
2
2
(1  0,16) (1  0,19) (1  0,23)
(1  d )  (1  0,16) (1  0,19) (1  0,23)
5
2
2
d = 0,1864
22
Вопрос:
Вы планируете открыть депозит в банке на
5 лет. Какую ставку вы выберите, чтобы
на депозите накопилась максимальная
сумма?
1)
2)
3)
4)
Простую ссудную ставку 10% годовых
Простую учетную ставку 10% годовых
Сложную ссудную ставку 10% годовых
Сложную учетную ставку 10% годовых
23
Задачи для самостоятельного решения
Задача 1.
Определить сложную процентную ставку по кредиту
размером 12 млн. руб., выданному на 2 года, если при
возвращении кредита заемщик выплатил банку в качестве
процентов по кредиту 1 млн. 800 тыс. руб.
P =12; F=12+1,8 =13,8; n=2; m =1; r-?
Решение:
F
r  m  [( )
P
1
nm
 1]
r=0,072=7,2%
24
Задачи для самостоятельного решения
Задача 2
В банк вложены деньги в сумме 800 тыс. руб. на
полтора года под 10% годовых с ежемесячным
начислением сложных процентов. Определите
доход клиента в этой финансовой операции.
P =800; n=1,5; r=0,1; m=12
Решение:
r nm
F  P (1  )
m
P = 812,09
25
Задачи для самостоятельного решения
Задача 3
Рассчитать накопленную сумму, если на вклад в 2 млн. руб.
в течение 5 лет начисляются непрерывные проценты с
силой роста 10%
P =2000; n=5;  =0,1; F –?
Решение:
P  Fe
 n
F = 3297,44
26
Задачи на дом
Задача 1. В банк за полтора года до
срока погашения предъявлен для
учета вексель на сумму 1 млн. руб.
Банк учитывает вексель по сложной
учетной ставке 10% годовых с
полугодовым начислением
процентов. Какую сумму получит
владелец векселя?
27
Задачи на дом
Задача 2. Долговое обязательство было
учтено по номинальной учетной ставке
32% годовых при полугодовом
дисконтировании. За какое время до
срока погашения было учтено
обязательство, если его
дисконтированная сумма составила треть
от суммы, которую нужно выплатить по
этому обязательству?
28