Дифференциальное исчисление Дифференциальное исчисление функций одной переменной 1. Производные 2. Таблица производных 3. Дифференциал 4. Производные и дифференциалы высших порядков 5. Некоторые теоремы о дифференцируемых функциях 6.Применение производных к исследованию функций 7. Общая схема исследования функции и построение графика Производная. Задача о касательной y М М0 к f ( x0 x) f ( x0 ) 0 y x x0 x0 x Определение. Если существует предельное положение секущей M 0 M при стремлении M M 0 вдоль по кривой, то оно называется касательной к графику функции в точке M 0 . Производная. Задача о касательной Обозначим угол наклона касательной к графику функции в точке M 0 . y x 0 , Очевидно, при а tg x стремится к tg y tg lim tg lim . x 0 x 0 x Тогда угловой коэффициент y касательной равен k lim . k tg x 0 x Производная. Определение Пусть функция у = f x определена в интервале a, b и пусть точка x0 a, b. Рассмотрим далее точку x0 x a, b. В обеих точках вычислим значения функции и разность y f ( x0 x) f ( x0 ). Эту разность будем называть приращением функции в фиксированной точке x0 . Производная. Определение Если существует конечный (или бесконечный) y f x0 x f x0 = lim , lim x x 0 x x 0 то он называется конечной (или бесконечной) производной функции f x в точке x0 и обозначается ' символами у ' или f x0 , т.е. y y lim . x 0 x ' Примеры Ясно, что угловой коэффициент касательной равен производной в точке касания. Приведем примеры. y y f ' ( x0 ) 0 y' в точке 0 x0 x0 Уравнение касательной Касательную как прямую, проходящую через точку касания M 0 ( x 0 ; y 0 ) , задают уравнением y y 0 y 0 ( x x 0 ). Например, уравнение касательной к 2 кривой y x в точке (1;2) имеет вид у-2=2(х-1) или 2х-у=0. Теоремы о производных Теорема 1. Если существуют ' производные u x и v' x функций u (x) и vx , то существуют ux vx' u v' u'v' ; u v' u' v uv' ; u u ' v uv' v 0. 2 v v Теоремы о производных Следствие. cy ' c' y cy' cy' , так как c' 0 , т.е. постоянный множитель выносится за знак производной. Теоремы о производных Теорема 2. Если функция в точке x0 имеет производную, то она в этой точке непрерывна. Обратное неверно. Возможен случай, когда непрерывная функция не имеет производной в точке непрерывности. Теоремы о производных Например: y y x y' не существует в точке x0 x Примеры Выведем формулы некоторых производных, применяя определение производной: 1) y x 2 имеет производную y' lim x x 2 x 2 x 0 x x 2 2 xx x 2 x 2 2 xx x 2 lim lim x x x 0 x 0 lim 2 x x 2 x ; x0 Примеры x x x x x e e e e 1 x 2) e ' lim lim x x x 0 x 0 x e 1 x e lim e x 1 e x . x 0 x Таким же образом можно получить производные sin x ' cos x , cos x ' sin x , а по правилу вычисления производных сложных функций можно вычислить и другие производные. Производная обратной функции Теорема. Пусть функция х=f(y) монотонна и дифференцируема в некотором интервале (a,b) и имеет в точке у этого интервала не равную нулю f ( y ) в производную . Тогда соответствующей точке х обратная 1 y f ( x) имеет производную функция 1 1 1 [ f ( x)] или y x . f ( y ) xy Примеры Для функции y=arcsinx обратной является функция x=siny , которая в интервале (-π/2;π/2) монотонна и дифференцируема. Ее производная в этом интервале в нуль не обращается. Поэтому 1 1 1 1 y x . x y cos y 1 sin 2 y 1 x2 Примеры Итак, (arcsin x) 1 1 x2 . Аналогично можно получить (arccos x) 1 1 x2 1 (arctgx) , 2 1 x 1 (arcctgx) . 2 1 x , Теорема о производной сложной функции Пусть функция u u x имеет производную в точке x0 , а функция y f u имеет производную в точке u0 ux0 . Тогда сложная функция y f ux имеет производную в точке x0 , причем y' f ' u 0 u' x0 . Или: y' f 'u u ' x в произвольной точке x. Производная степенной функции Справедливо тождество Тогда x e n y (e ) e (n ln x) n ln x n ln x n n ln x n n n1 n n 1 e x nx , ( x ) nx . x x n ln x . Производные гиперболических функций Гиперболическими называют функции x e e e e shx ; chx 2 2 shx chx thx ; cthx . chx shx x x x ; Производные гиперболических функций Поэтому 1 x 1 x x x ( shx ) (e e ) (e e ) chx. 2 2 (chx) shx; shx ch 2 x sh 2 x 1 (thx) ( ) 2 ; 2 chx ch x ch x 1 (cthx) 2 sh x. Таблица производных 7. log a u ' 1. c ' 0, 2. (u )' nu n n 1 u' , 1 3. u ' u' , 2 u 1 1 4. ' 2 u ' , u u 5. a u ' a u ln a u ' , 6. e u ' e u u ' , 1 u' , u ln a 1 8. ln u ' u ' , u 9. sin u ' cos u u ' , 10. cos u ' sin u u ' , 11. tgu ' 1 u' , 2 cos u 1 12. ctgu ' u' , 2 sin u Таблица производных 13. (arcsin u ) (arccos u ) 1 1 u2 14. ( shu) chu u . .u 1 1 u2 u , 1 (arctgu ) u , 2 1 u 1 (arcctgu ) u . 2 1 u (chu) shu u ; 1 u ; 2 ch u 1 (cthu) 2 u sh u. (thu) Лекция 5 Дифференцируемая функция Определение. Если функция f x в точке x имеет (конечную) производную, то она называется дифференцируемой в этой точке. Если функция дифференцируема в каждой точке некоторого промежутка, то она называется дифференцируемой на этом промежутке. Дифференциал функции Рассмотрим пример. Найдем приращение функции y x 2 в точке x0 . Известно, что y f x0 x f x0 . В нашем примере f x0 x0 2 , f x0 x x0 x 2 , а приращение. y x0 x 2 x0 2 x0 2 2 x0 x x 2 x0 2 Итак, y 2 x0 x x 2 , где, как известно, 2x0 является производной функции x 2 в точке x0 . Определение дифференциала Пусть приращение функции в точке может быть представлено в виде y Ax o(x) , где x приращение аргумента, А-величина, не зависящая от x , o(x) -бесконечно малая более высокого порядка , чем x при x 0. Определение дифференциала Тогда главная линейная относительно x часть приращения функции называется дифференциалом функции в точке и обозначается dy . Итак, по определению dy Ax . Теорема. Для того чтобы в точке х функция имела дифференциал, необходимо и достаточно, чтобы она в этой точке имела производную. Дифференциал функции Приращение аргумента x в этом случае принято обозначать dx и тогда dy f ' x0 dx , где dx x . В произвольной точке x dy f ' x dx . Замечание. Из последней формулы получается еще одно обозначение dy производной f ' x . dx Дифференциал функции Пример. d sin x cos xdx; 1 1 d tgx dx; d ln x dx; 2 x cos x 2 d x 2 xdx; d x a dx Дифференциал функции Как и для производной, для дифференциала функции имеют место формулы: 1. d u v du dv; 2. d uv vdu udv ; u vdu udv v 0 ; 3. d 2 v v 4. d (cu) cdu . Инвариантность дифференциала По правилу дифференцирования сложной функции dy yu u x dx yu (u x dx) y du. Здесь форма дифференциала остается неизменной, но под дифференциалом аргумента понимается не приращение этого аргумента, а его дифференциал. Производные высших порядков Введем теперь понятие производной второго порядка функции f x . Производную от первой производной функции f x , т.е. y '' будем называть производной второго порядка (тогда y ' производная первого порядка) и будем ее обозначать y ' ' или f ' ' x . Далее y ' ' y ' ' ' f ' ' ' x - это производная третьего порядка, … а y n 1 ' y n - это производная n-го порядка. Дифференциалы высшего порядка Дифференциал от дифференциала данной функции называется ее дифференциалом второго порядка и 2 2 обозначается d y d f ( x) . По определению d y d (dy) d ( f ( x)dx) ( f ( x)dx)dx f ( x)dx . 2 2 2 d y f ( x)dx , 2 Итак, d y f ( x)dx 3 3 и т.д. Дифференцирование функций, заданных параметрически Пусть функция у от х задана параметрическими уравнениями x x(t ), y y (t ), t ( , ). И пусть эти функции dy ytdt yt дифференцируемы. Тогда dx xtdt xt Если существует вторая производная, то ( y x )t y xx xt Пример Найти производную функции Имеем x a (t sin t ), y a (1 cos t ). t t 2 sin cos a sin t t 2 2 y x ctg . a(1 cos t ) 2 2 t 2 sin 2 y xx 1 t 2a sin (1 cos t ) 2 2 1 t 4a sin 2 4 . Производные неявных функций Пусть значения х и у связаны уравнением F(x,y)=0. Если функция у=f(х), определенная на некотором промежутке, при подстановке ее вместо у в уравнение F(x,y)=0 обращает это уравнение в тождество, то говорят, что это уравнение задает функцию у=f(х) неявно. Пример Продифференцируем функцию y x ln y . 1 Имеем y 1 y. Отсюда y 1 y (1 ) 1, y y y . y 1 Продолжение Найдем вторую производную. y , то Так как y y 1 y y ( y 1) yy y ( y 1 y ) ( y 1) ( y 1) y y . 2 3 ( y 1) ( y 1) 2 2 Логарифмическое дифференцирование Найти производную функции y (cos x) . Прологарифмируем обе части: ln y x cos x. Теперь берем производную y cos x x sin x, y y (cos x x sin x). y x Окончательно y (cos x) x (cos x x sin x).