применение производной к решению математических задач с

ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ К РЕШЕНИЮ
МАТЕМАТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ С
ПРАКТИЧЕСКИМ СОДЕРЖАНИЕМ
«…Нет ни одной области в
математике, которая когда-либо не
окажется применимой к явлениям
действительного мира…»
Н.И. Лобачевский
Любое понятие в математике имеет чёткое
определение:
- Какая из записей точно соответствует
определению производной?
1.
f ( x)
x
2.
f ( x0  x)  f ( x0 )
x
3.
lim x 0
f ( x )
x
Ответ: 3.
Производная имеет физический смысл.
- В каком из перечисленных случаев можно говорить
о физическом смысле?
1.
2.
3.
S (t 2 )  S (t1 )
;
t 2  t1
S
;
t
lim t 0
S
t
Ответ: 3
Производная имеет геометрический смысл.
- В каком из случаев полная информация об
угловом коэффициенте касательной?
1. k = tg ;
2. k = tg  = f’(x0);
3. k = f’ (x0),
где  - угол наклона касательной,
х0 – абсцисса точки касания
Ответ: 2.
На рисунке изображен график функции f(x) и
касательная к нему в точке с абсциссой х0.
Найдите значение производной функции в точке х0.
(ЕГЭ В8).
у
х0
х
На рисунке изображен график функции f(x) и
касательная к нему в точке с абсциссой х0.
Найдите значение производной функции в точке х0.
(ЕГЭ В8).
у
х0
х
На рисунке изображен график функции f(x) и
касательная к нему в точке с абсциссой х0.
Найдите значение производной функции в точке х0.
(ЕГЭ В8).
у
х
х0
y=f(x)
На рисунке изображен график функции f(x) и
касательная к нему в точке с абсциссой х0.
Найдите значение производной функции в точке х0.
(ЕГЭ В8).
у
х0
х
При каком условии функция возрастает (убывает)?
На рисунке изображен график функции у = f(x). Найдите среди
точек те, в которых производная функции f(x) отрицательна (ЕГЭ
В8).
у
y=f(x)
х1
х2
х3
х4
х5
х6
х7
х
На рисунке изображен график производной для функции у = f(x). По
графику определите:
а) точки экстремума функции у = f(x);
б) промежутки возрастания и убывания функции у = f(x) (ЕГЭ В8).
у
-4
5
х
Применение производной:
в физике и технике;
 в химии и биологии;
 в географии и экономике

Автомобиль приближается к мосту со скоростью
72 км/ч. У моста вист дорожный знак «36 км/ч». За 7
с. до въезда на мост, водитель нажал на тормозную
педаль. С разрешаемой ли скоростью автомобиль
въехал на мост, если тормозной путь определяется
формулой S = 20t – t2?
Этапы исследования:
 найти v(t) = S’(t);
 найти значение скорости за заданный промежуток
времени;
 перевести скорость м/с в км/ч;
 сравнить полученное значение с v = 36 км/ч.
Автомобиль приближается к мосту со скоростью
72 км/ч. У моста вист дорожный знак «36 км/ч». За 7
с. до въезда на мост, водитель нажал на тормозную
педаль. С разрешаемой ли скоростью автомобиль
въехал на мост, если тормозной путь определяется
формулой S = 20t – t2?
при t = 7 с. автомобиль въедет на мост со
скоростью v = 21,6 км/ч
 при t = 5 с. - v = 36 км/ч (успеет)
 при t = 4 с. - v = 42,2 км/ч(не успеет)

Применение производной в
химии и биологии.
Уровень
Консультация
Содержание задачи
A
Пусть популяция бактерий в момент
времени t насчитывает х(t) особей.
х(t) = 3000 + 100t2 . Найти скорость роста
популяций в момент t = 1 сек.
P(t) = x’(t)
B
Количество некоторого вещества,
вступившего в химическую реакцию к
моменту времени t, вычисляется по формуле
m(t) = (x – 3)3. Найти скорость химической
реакции в момент t = 5 сек.
v(t) = m’(t)
C
Размер популяции бактерий в момент
времени t вычисляется по формуле
P(t) = (t2 +3)/(2 – t) + 200. Найти скорость
роста популяций в момент времени t = 1 час.
v(t) = P’(t)
A
B
C
200
20
6
Применение производной в
экономике.
Экспериментально установлено, что
расход горючего автомобилем зависит от
скорости его движения и определяется
формулой
f(x) = 18 – 0,3x + 0,003x2, 30 x 110, где х –
скорость (км/ч), f(x) – расход горючего на
100 км/ч пути (л). Определите скорость
сгорания топлива при скоростях автомобиля
40 км/ч, 100 км/ч.
Домашнее задание:
Уровень
Задача
1. S(t) = 2t3 – 3t + 4. Найти скорость и ускорение в
момент времени t = 2.
А
2. Точка массой m0 движется прямолинейно по
закону S(t) =2.(2 t-1). Докажите, что сила,
действующая на неё пропорциональна кубу
пройденного пути. Докажите, что сила, действующая
на неё пропорциональна кубу пройденного пути.
B
C
Консультация
v(t) = S’(t),
a(t) = v’(t) ;
F = m·a
a(t) = S’(t)/
3. Известно, что тело массой m = 3 кг движется
прямолинейно по закону S = 4 t2 + 2. Найдите
кинетическую энергию тела через 3 с после начала
движения.
E(t) = mv2 /2;
v(t) = S’(t)/
4. Прямолинейные движения двух материальных точек
заданы уравнениями S1 = 2t3 – 5t2 – 3t,
S2 = 2t3 – 3t2 – 11t + 7. Найти ускорения точек в тот
момент, когда их скорости равны.
v1 (t) = S1’(t);
v2 (t) = S2’(t);
v1(t) = v2(t);
5. Объем продукции u (усл.ед.) цеха в течение
рабочего дня представляет функцию
u = -t3 – 5t2 + 75t + 425, где t – время (ч). Найти
производительность труда и скорость ее изменения
через 2 ч после начала работы.
П (t) = u / (t);
v(t)=П’(t)
a(t) = v’(t)
ИТОГ
ПРОИЗВОДНАЯ
Рефлексия.
1. Удовлетворен ли ты своей работой на уроке?
а) да;
б) частично;
в) нет;
г) затрудняюсь ответить.
2. Каким образом ты собираешься устранить пробелы?
а) спросить у учителя;
б) спросить у товарища;
в) справлюсь сам;
г) не знаю.
3. Смог бы объяснить процесс решения задачи своему товарищу?
а) да;
б) частично;
в) нет;
г) затрудняюсь ответить;
4. Какую форму работы на уроке ты предпочитаешь?
а) индивидуальную;
б) парную;
в) групповую;
г) всем классом.
Выбери картинку, соответствующую твоему настроению на уроке:
Кроссворд










По вертикали:
1.Создатель дифференциального
исчисления, использовавший понятие
бесконечно малой.
2. Коэффициент пропорциональности
между бесконечно малыми изменениями
взаимосвязанных величин.
3. Создатель дифференциального
исчисления, опирающийся на физическое
представление о мгновенной скорости,
считавший его очевидным и сводящий к
нему другие случаи производной.
4. Производная от работы по времени.
5.Производная от количества
электричества по времени - …?…. тока.
По горизонтали:
Производная от скорости по времени.
Производная от пути по времени.
Производная от массы неоднородного
стержня по длине – линейная …….? .
1
2
1
4
3
2
5
Благодарю за внимание!