Баллистическое движение

МОУСОШ № 8
Баллистическое
движение
Выполнила: Музалевская Вероника 10 «И»
2007 год
Цель
Изучить баллистическое движение.
Разъяснить для чего и как оно возникло.
Рассмотреть всяческие примеры и основные
параметры на основе баллистического
движения. Научиться строить графики.
Раскрыть смысл скорости баллистического
движения и скорости в атмосфере. Понять
для чего и в каких целях его используют. И
самое главное научиться решать задачи
используя знания баллистического движения.
Баллистическое движение
Возникновение баллистики. В многочисленных войнах на протяжении всей
истории человечества враждующие стороны, доказывая свое превосходство,
использовали сначала камни, копья и стрелы, а затем ядра, пули, снаряды и
бомбы.
Успех сражения во многом определялся точностью попадания в цель. При этом
точный бросок камня, поражение противника летящем копьем или стрелой
фиксировались воином визуально. Это позволяло (при соответствующей
тренировке) повторять свой успех в следующем сражении.
Баллистика – раздел механики, изучающий движение тел в поле тяжести
Земли.
Пули, снаряды и бомбы, так же как и теннисный, и футбольный мячи, и ядро
легкоатлета, при полете движутся по баллистической траектории. Для
описания баллистического движения в качестве первого приближения удобно
ввести идеализированную модель, рассматривая тело как материальную
точку, движущуюся с постоянным ускорением свободного падения g. При этом
пренебрегают изменением высоты подъема тела, сопротивлением воздуха,
кривизной поверхности Земли и ее вращение вокруг собственной оси. Это
приближение существенно облегчает расчет траектории тел. Однако такое
рассмотрение имеет определенные границы применимости. Например, при
полете межконтинентальной баллистической ракеты нельзя пренебрегать
кривизной поверхности Земли. При свободном падении тел нельзя не
учитывать сопротивление воздуха.
Траектория движения тела в поле тяжести. Рассмотрим основные
параметры траектории снаряда, вылетающего с начальной скоростью U0 из
орудия, направленного под углом ą к горизонту.
X
U0
U0y = U0 sin ą
ą
0
Y
U0x = U0 cos ą
Движение снаряда происходит в вертикальной плоскости XY, содержащей U0.
Выберем начало отсчета в точке вылета снаряда.
В евклидовом физическом пространстве перемещение тела по координатным
осям X и Y можно рассматривать независимо.
Ускорение свободного падения g направлено вниз, поэтому по оси X движение
будет равномерным. Это означает, что проекция скорости Ux остается
постоянной, равной ее значению в начальный момент времени U0x.
Закон равномерного движения снаряда по оси X имеет вид
X = X0 + U0xt.
По оси Y движение является равнопеременным, так как вектор ускорения
свободного падения g постоянен.
Закон равномерного движения по оси Y можно представить в виде
Y = Y0 + U0yt + ayt²/2
Криволинейное баллистическое движение тела можно рассматривать как
результат сложения двух прямолинейных движений: равномерного
движения по оси X и равнопеременного движения по оси Y.
В выбранной системе координат
X0 = 0,
Y0 = 0;
U0x = U0 cos ą,
U0y = U0 sin ą.
Ускорение свободного падения направлено противоположно оси Y, поэтому
ay = -g.
Подставляя X0, Y0, U0x, U0y, ay, получаем закон баллистического движения в
координатной форме:
X = (U0 cos ą) t,
Y = (U0 sin ą) t - gt²/2.
График баллистического движения. Построим баллистическую траекторию
Y = X tg ą - gx²/2U²0 cos² ą
Графиком квадратичной функции, как известно, является парабола. В рассматриваемом
случае парабола проходит через начало координат, так как из формулы следует,
что Y = 0 при X = 0. Ветви параболы направлены вниз, так как коэффициент (g/2U²0 cos² ą) при X² меньше нуля.
Определим основные параметры баллистического движения: время подъема на
максимальную высоту, максимальную высоту, время и дальность полета. Вследствие
независимости движений по координатным осям подъем снаряда по вертикали
определяется только проекцией начальной скорости U0y на ось Y. В соответствии с
формулой tmax = U0/g, полученной для тела, брошенного вверх с начальной
скоростью U0 время подъема снаряда на максимальную высоту равно
tmax = U0y/g = U0 sin ą/g.
В любой момент времени тело, брошенное вертикально вверх, и тело, брошенное под
углом к горизонту с той же вертикальной проекцией скорости, движутся по оси Y
одинаково.
Y
tmax =
U²0/2g
U0 sin ą/g
Ymax
tп = 2U0 ą/g
U0
U0
U²0y/2g = U²0 sin² ą/2g
U0y
ą
U0x = Ux
U²0 /g sin 2ą
X
Так как парабола симметрична относительно вершины, то время полета tп
снаряда в 2 раза больше времени его подъема на максимальную высоту:
Tп = 2tmax = 2U0 sin ą/g.
Представляя время полета в закон движения по оси X, получаем
максимальную дальность полета:
Xmax = U0 cos ą 2U0 sin ą/g.
Так как 2 sin ą cos ą = sin 2ą, то
Xmax = U²0/g sin 2ą.
Следовательно, дальность полета тела при одной и той же начальной скорости
зависит от угла, под которым тело брошено к горизонту.
Дальность полета максимальна, когда максимален sin 2ą.
Максимальное значение синуса равно единице при угле 90º, т.е.
Sin 2ą = 1, 2ą = 90º, ą = 45º.
Y
75º
60º
45º
30º
15º
0
X
Скорость при баллистическом движении. Для расчета скорости U снаряда в
произвольной точки траектории, а также для определения угла β, который
образует вектор скорости с горизонталью, достаточно знать проекции
скорости на оси X и Y.
Если Ux и Uy известны, то по теореме Пифагора можно найти скорость
U = √U²x + U²y
В любой точке траектории проекции скорости на ось X остается постоянной. По
мере подъема снаряда проекция скорости на ось Y уменьшается по
линейному закону . При t = 0 она равна Uy = U0 sin ą. Найдем промежуток
времени, через который проекция этой скорости станет равна нулю:
0 = U0 sin ą – gt, t = U0 sin ą/g.
Y
u
uy = 0 u
Uy
β
Ux
U0y
Uy
U0
β
U
ą
Ux
ą
U0x = Ux
Uy
Uy = - Uoy
U
Полученный результат совпадает со временем подъема снаряда на
максимальную высоту. В верхней точке траектории вертикальная
компонента скорости равна нулю.
Баллистическое движение в атмосфере. Полученные результаты справедливы
для идеализированного случая, когда можно пренебречь сопротивлением
воздуха. Реальное движение тел в земной атмосфере происходит по
баллистической траектории, существенно отличающейся от
параболической из-за сопротивления воздуха. При увеличении скорости
движения тела сила сопротивления воздуха возрастает. Чем больше
скорость тела, тем больше отличие баллистической траектории от
параболы.
Y, м
в вакууме
в воздухе
0
200
400
600
800
1000
X, м
Отметим лишь, что расчет баллистической траектории запуска и выведения
на требуемую орбиту спутников Земли и их посадки в заданном районе
осуществляют с большой точностью мощные компьютерные станции.
Мяч, брошенный
под углом 45º к
горизонту, упруго
отскочив от
вертикальной
стены,
расположенный на
расстоянии L от
точки бросания,
ударяется о Землю
на расстоянии ℓ от
стены. С какой
начальной
скоростью был
брошен мяч?
Задача
Y
45º
0
ℓ
L
X
Решение задачи
Дано:
ą = 45º
L; ℓ
U0 - ?
Решение:
X(T) = U0t cos ą,
Y(t) = U0t sin ą - gt²/2
В момент времени Т падения мяча на землю
выполняются соотношения:
L + ℓ = U0 T cos ą, 0 = U0 T sin ą - gT²/2.
Выражаем Т из первого уравнения и подставляем во
второе, получаем:
T = L + ℓ/U0 cos ą; 0 = U0 sin ą – g(L + ℓ)/2U0 cos ą;
U²0 sin 2ą = g(L + ℓ);
U0 = √g (L + ℓ)/sin 2ą =
=
√g (L + ℓ) .
Ответ: U0 = √g (L + ℓ) .
√g (L + ℓ)/sin 2 · 45º =
Тест
1. Раздел механики, изучающий движение тел в поле тяжести Земли.
а) кинематика б) электродинамика в) баллистика г) динамика
2. Из окна дома с высоты 19,6 м горизонтально брошена монета со скоростью 5
м/с. Пренебрегая сопротивлением воздуха, найдите, через какой промежуток
времени монета упадет на Землю? На каком расстоянии по горизонтали от дома
находится точка падения?
а) 2 с; 10 м б) 5 с; 25 м в) 3 с; 15 м г) 1 с; 5 м
3. Используя условие задачи 2, найдите скорость падения монеты и угол, который
образует вектор скорости с горизонтом в точки падения.
а) 12,6 м/с; 58º б) 20,2 м/с; 78,7º в) 18 м/с; 89,9º г) 32,5 м/с; 12,7º
4. Длина скачка блохи на столе, прыгающей под углом 45º к горизонту, равна 20
см. Во сколько раз высота ее подъема над столом превышает ее собственную
длину, составляющую 0,4 мм?
а) 55,8 б) 16 в) 125 г) 159
5. Под каким углом к горизонту охотник должен направить ствол ружья, чтобы
попасть в птицу, сидящую на высоте Н на дереве, находящемся на расстоянии ℓ
от охотника? В момент выстрела птица свободно падает вниз на землю.
а) ą = cos (H/ℓ) б) ą = sin (H/ℓ) в) ą = ctg (H/ℓ) г) ą = arctg (H/ℓ)