Дистанционный курс высшей математики НИЯУ МИФИ Математический анализ 1 семестр Лекция 5 Пределы функций. 9 октября 2014 года Лектор: Доцент НИЯУ МИФИ, к.ф.-м.н. Гришин Сергей Анатольевич Основные определения, примеры Предположение: функция y f (x) определена в U a 0 def Число A называется пределом функции y f (x) в точке a по Коши, если 0 : 0 : x : 0 x a f ( x) A f ( x) A Обозначение: lim xa def Число A называется пределом функции y f (x) в точке a по Гейне, если x n , x n a, : lim x n a lim f ( x n ) A n n Пример 1 Функция, не имеющая предела в точке a = 0 1, x 0 y sgn x 1, x 0 Основные определения, примеры A 1 0 : sgn x A x 0 A 1 0 x x 0 : sgn x 1 1 A 1 0 x x 0 : sgn x 1 1 Пример 2 Доказать, что lim x 2 4 0 min x 2 4 2,2 4 : x U 2 x2 4 Примеры разрывов Эквивалентность определений Т.1. Если число A – предел функции в точке a по Коши, то A – предел той же функции по Гейне и наоборот. Док. Пусть A – предел по Гейне – не является пределом по Коши. 1 x n : 0 x n a f ( x n ) A ~ n Для последовательности xn : lim x n a и по Гейне ~ 0 : n n~ : n n~ f ( xn ) A ~ Пусть A – предел по Коши 0 : x : 0 x a f ( x) A Для любой последовательности xn : lim x n a n n : n n xn a f ( xn ) A lim f ( xn ) A n Теоремы о пределах Def Функция y f (x) ограничена в окрестности U a , если 0 0 M 0 : f ( x) M , x U (a) Т.2. Функция, имеющая предел в точке a, ограничена в U a . 0 Док. Для 1 0 f ( x) A f ( x) A 1 f ( x) A 1 M , x U (a) Т.3. Если функция имеет предел в точке a, то он только один. Док. Противное: два предела A и B. A B. Выберем 0,5 A B . Тогда U a : B f ( x) A , x U a) B A 2 0 противоречие с выбором 0,5 A B . 0 Переход к пределу в неравенствах Т.4. Функции y f (x), y g (x) такие, что 1) f ( x) g ( x) x U a 2) lim f ( x ) A lim g ( x ) B. Тогда A B. xa xa Док. Противное: A B. : 0 0,5 A B : x U a 0 0 g ( x) B A f ( x), x U (a) g ( x) f ( x) противоречие с 1) Т.5. О знаке функции в окрестности точки. Функция y f (x), такая, что lim f ( x) A 0. Тогда xa 0 существует 0, для которой f ( x) 0 x U a . 0 Док. 0,5 A 0 : f ( x) A 0, x U (a) Теорема о промежуточной функции Т.6. Пусть функции y f (x), y g (x), y (x) удовлетворяют 0 условиям: 1) f ( x) ( x) g ( x), x U (a) 2) lim f ( x) lim g ( x) A xa x a ( x) A Тогда lim x a Док. 0 : 0 : x : 0 x a A f ( x) ( x) g ( x) A т.е. A ( x) . Критерий Коши для функций Def Функция y f (x) , определенная в окрестности U a , удовлетворяет условию Коши, если 0 0 0 : 0 : x, x U (a) f ( x) f ( x) Т.7. Для того, чтобы функция y f (x) , определенная в окрестности U a , удовлетворяла критерию Коши 0 необходимо и достаточно, чтобы она имела предел в точке a. Доказательство критерия Коши Док. Пусть критерий выполнен и xn произвольная последовательность, для которой lim xn a. Тогда n f ( xn ) удовлетворяет критерию Коши для последовательностей и lim f ( xn ) A. Если для другой посл. xn lim f ( xn ) B, то A B, n n т.к. в противном для посл. xn xn xn предела f ( xn ) нет. Пусть lim f ( x) A. Тогда xa 0 0 : 0 : x, x U (a) f ( x) A 0,5 , f ( x) A 0,5 f ( x) f ( x) f ( x) A ( f ( x) A) f ( x) A f ( x) A Бесконечно малые функции Def Функция y (x) называется бесконечно малой в точке x = a, если lim ( x) 0. x a Т.8. Если функция y f (x) имеет предел в точке x= a равный A, то f ( x) A ( x), где (x ) - б.м.ф. Док. следует из предела по Гейне и теоремы 3 лекции 2 Т.9. Арифметическая теорема о б.м.ф. 1. Сумма двух б.м.функций в точке x = а – б.м.ф. 2. Произведение б.м.функции в точке x = а на на ограниченную в окрестности той же точки есть б.м.ф. Док. следует из предела по Гейне и теорем 4, 5 лекции 2 Бесконечно большие функции Def Функция y f (x) , определенная в окрестности U a 0 точки x = a, бесконечно большой в этой точке, если 0 M 0 M : 0 M : x U M f ( x) M Обозначение: lim f ( x ) xa Def по Гейне. Функция y f (x) - б.б.ф., если xn , xn a, : lim xn a lim f ( xn ) n n Т.10. О связи б.м.ф. и б.б.ф. 1. Если y f (x) б.б.ф. в точке x = a, то ( x) 0 1 - б.м.ф. f ( x) 2. Если (x ) - б.м.ф. ( x) 0, x U (a), то f ( x) 1 - б.б.ф. ( x) Арифметические теоремы о пределах Т.11. Пусть для функций y f (x), y g (x), существуют g ( x) B lim f ( x) A, lim xa x a 1) lim ( f ( x) g ( x)) A B xa f ( x) A , B 0 2) lim ( f ( x) g ( x)) A B 3) lim x a g ( x) x a B Тогда существуют Док. следует из def по Гейне и теоремы 6 лекции 2 Вопрос 1. Произведение ограниченных функций ограниченная функция? Вопрос 2. Отношение ограниченных функций ограниченная функция? Вопрос 3. Сумма двух б.б. функций может быть б.м.ф.? Ответ на вопрос 1 Ответ положительный. Из ограниченности y f (x) и y g (x) следует существование константы M 0 , для которой f ( x) M , g ( x) M x U a 0 Тогда f ( x) g ( x) M x U a 2 0 Ответ на вопрос 2 Ответ отрицательный Пример. f ( x) x - ограниченная функция в окрестности точки a = 0 g ( x) x 2 - ограниченная функция в окрестности точки a = 0 ( x) f ( x) x 1 2 - б.б.ф. g ( x) x x Ответ на вопрос 3 Ответ положительный Пример. 1 f ( x) x x g ( x) x - б.б.ф. в окрестности точки a = 0 1 - б.б.ф. в окрестности точки a = 0 x 1 1 f ( x) g ( x) x x 2 x - б.м.ф. в окрестности точки a = 0 x x Пределы на бесконечности Def Функция y f (x) имеет предел на бесконечности, обозначение lim f ( x ) A, если x 0 0 : x f ( x) A Def Функция y f (x) имеет предел на обозначение lim f ( x ) A, если x 0 0 : x : x f ( x) A Def Функция y f (x) имеет предел на обозначение lim f ( x ) A, если x 0 0 : x : x f ( x) A Вопросы Вопрос 4 Функция имеет предел на . Существует ли у нее предел на Вопрос 5 Функция имеет предел на ? . Существует ли у нее предел на ? Ответ на вопрос 4 Ответ отрицательный Пример. f ( x) x x lim f ( x) lim x x 0 x x lim f ( x) не существует, поскольку для положительных x значений x: f ( x) 2 x и функция не является даже ограниченной. Ответ на вопрос 5 Ответ положительный Существование предела на . гарантирует тот же предел на и . Например, для . lim f ( x) A 0 0 : x f ( x) A x В окрестности , x 0 0 0 : x : x f ( x) A т.е. lim f ( x) A, x Односторонние пределы Def Функция y f (x) имеет предел в точке x = a справа, обозначение: lim f ( x) A, если xa 0 0 0 : x : a x a f ( x) A Def Функция y f (x) имеет предел в точке x = a слева, обозначение: lim f ( x) A, если xa 0 0 0 : x : a x a f ( x) A Утверждение Функция y f (x) имеет предел в точке x = a в том и только в том случае, если lim f ( x) lim f ( x) A, xa 0 xa 0 Примеры Вопрос 6 Приведите пример функции, имеющей в заданной точке различные пределы справа и слева. Ответ на вопрос 6 f ( x) x lim x x a 0 xa lim x a x a x a 0 xa xa lim x x a 0 Вопрос 7 При каком a функция имеет предел? xa lim ( x) a x a x a 0 Раскрытие неопределенностей Пример. Вычислить предел: 1 x x Преобразование: 1 x x x Тогда 2 1 x x 1 x x 2 lim x 2 1 x x2 1 x x 2 2 1 x x 2 1 x x2 1 x x2 2x 1/ x 2 1/ x 1 1/ x 2 1/ x 1 lim x 1 x x 2 1 x x2 1 x x 2 1 2 2 o(1) Раскрытие неопределенностей Пример. Вычислить предел: lim arctg x 1 0 1 1 x Замена. t x 1 x t 1 lim arctg t 0 1 1 lim arctg 1 x t 0 2 t Вопросы к экзамену 1) Определение предела функции по КОШИ и ГЕЙНЕ и их эквивалентность. 2) Ограниченность функции в окрестности точки. Теорема об ограниченности функции, имеющей предел. 3) Теорема об единственности предела функции. 4) Теорема о переходе к пределу в неравенствах. 5) Теорема о промежуточной функции. 6) Критерий Коши для функции в окрестности точки. Теорема об эквивалентности критерия существованию предела у функции . 7) Бесконечно малые функции, теорема о связи функций, имеющих предел, и бесконечно малых функций. 8) Бесконечно большие функции, теорема об их связи с бесконечно малыми функциями. 9) Арифметическая теорема о пределах функций. Дистанционный курс общей физики НИЯУ МИФИ Математический анализ. Пределы функций. Лекция 5 Завершена. Спасибо за внимание! Тема следующей лекции: Раскрытие неопределенности для функции. Лекция состоится в четверг 16 октября 2014 г. в 10:00 по Московскому времени.