Цмакаог - 2015 О неклассической теории вычислимости С.А. Нигиян Ереванский государственный университет Цмакаог – 2015 Классическая теория вычислимости, 1936 год. Алонзо Черч (1903-1995), лямбда-исчисление Алан Тьюринг (1912-1954), машины Тьюринга Эмиль Пост (1897-1954), машины Поста Курт Гедель (1906-1978), Стефан Клини (1909-1994), рекурсивные функции • Kleene S. Introduction to Metamathematics. // D.Van Nostrand Company, Inc., 1952. • Rogers H. Theory of Recursive Functions and Effective Computability. // McGraw-Hill Book Company, 1967. • Barendregt H. The Lambda Calculus. Its Syntax and Semantics. // NorthHolland Publishing Company, 1981. Цмакаог – 2015 Арифметические функции с неопределенными значениями аргументов. MN{}, где N{0,1,2,...} – множество натуральных чисел, – элемент, соответствующий неопределенному значению. Введем на множестве М частичный порядок . Для всякого mM имеем: m и mm. Всякое отображение φ:MкM, k1, назовем арифметической функцией с неопределенными значениями аргументов. Цмакаог – 2015 Функцию φ назовем монотонной, если для всяких (m1,…,mk) и (1,…,k), где mii, mi,iM, i1,…,k, имеем: φ(m1,…,mk)φ (1,…,k). Функцию φ назовем естественно расширенной, если φ( ... , , ...). Легко видеть, что всякая естественно расширенная функция монотонна. Такие функции рассматривались в монографии: • Manna Z. Mathematical Theory of Computation. // McGraw-Hill Book, Co.1974. Цмакаог - 2015 Вычислимость и Сильная вычислимость. Функцию φ назовем вычислимой, если существует алгоритм (машина Тьюринга), который для всяких m1,…,mkM останавливается со значением φ(m1,…,mk), если φ(m1,…,mk) и, останавливается со значением , либо функционирует бесконечно, если φ(m1,…,mk). Функцию φ назовем сильно вычислимой, если существует алгоритм (машина Тьюринга), который для всяких m1,…,mkM останавливается со значением φ(m1,…,mk). Цмакаог – 2015 Пример 1. Сильно вычислимая, естественно расширенная арифметическая функция с неопределенными значениями аргументов: add(x,y) равно , если x= или y=, равно x+y, если x≠, y≠. Примеры 2,3,4 являются примерами сильно вычислимых, не естественно расширенных, монотонных арифметических функций с неопределенными значениями аргументов. Пример 2. if(x,y,z) равно , если x=, равно y, если x≠ и x>0, равно z, если x≠ и x=0. Цмакаог – 2015 Пример 3. and(x,y) равно 0, если x0 или x, x1, y0, равно 1, если x,y и x,y1, равно в остальных случаях. Пример 4. (x,y) равно 0, если x0 или y0, равно 1, если x,y и x,y1, равно в остальных случаях. Цмакаог – 2015 Пример 5. Вычислимая, естественно расширенная арифметическая функция с неопределенными значениями аргументов, которая не является сильно вычислимой. Пусть Т0, Т1, … Тn, … геделева нумерация машин Тьюринга, n≥0. Определим функцию h: h(x) равно , если x=, равно , если x≠ и машина Тьюринга Тx не останавливается на входе 0, равно 1, если x≠ и машина Тьюринга Тx останавливается на входе 0. Цмакаог - 2015 -определимость арифметических функций с неопределенными значениями аргументов. Зафиксируем счетное множество переменных V. Определим множество термов . 1. если xV,то x; 2. если t1,t2 , то (t1t2); 3. если xV и t , то (xt) . Введем сокращенную запись термов: терм (… (t1t2)…,tk), где ti, i1,…k, k1, условимся обозначать t1t2…tk; терм (x1(x2(…(xnt)…), где xjV, t, j1,…,n, n0, условимся обозначать x1x2…xn.t. Цмакаог – 2015 Термы t1 и t2 назовем конгруэнтными (обозначим t1t2), если один терм можно получить из другого переименованием связанных переменных. Далее мы не будем отличать конгруэнтные термы. Подстановку терма в терм t вместо всех свободных вхождений переменной x (обозначим t[x]) назовем допустимой, если ни одно свободное вхождение переменной терма не связывается в результате подстановки. Мы будем рассматривать только допустимые подстановки. Понятие -редукции: {( (x.t), t[x] ) | t,, xV} Одношаговая -редукция (), -редукция () и -равенство () определяются обычным образом. Терм (x.t) называется -редексом, а терм t[x] – его сверткой. Цмакаог – 2015 Нормальные формы. Терм, не содержащий β-редексов, называется -нормальной формой (далее просто нормальной формой). Множество всех нормальных форм условимся обозначать NF. Будем говорить, что терм t имеет нормальную форму, если существует такой терм tNF, что tβt. Терм вида: x1x2…xn.xt1t2…tk, где x,xiV, tj, i1,…,n, n0, j1,…,k, k0, называется головной нормальной формой. Множество всех головных нормальных форм условимся обозначать HNF. Будем говорить, что терм t имеет головную нормальную форму, если существует такой терм tHNF, что tβt. Известно, что NFHNF, но HNFNF. Цмакаог – 2015 Вводятся обозначения для некоторых термов: Ix.x, Txy.x, Fxy.y, (x.xx)(x.xx), if t1 then t2 else t3 t1t2t3, Zerox.xT, , 0I, nx.xFn, где x,yV, t1,t2,t3, nN. Терм не имеет головной нормальной формы, if T then t2 else t3 β t2, if F then t2 else t3 β t3, Zero0βT, Zeron1βF, Zero не иммеет головной нормальной формы, терм n является замккнутой нормальной формой, причем, если n1n2, то термы n1 и n2 не конгруэнтны, где n,n1,n2N. Цмакаог – 2015 Функцию φ:MкM, k1, назовем -определимой, если существует терм такой, что для любых m1,…,mkM имеем: m1…mk βφ( m1,…,mk), если φ( m1,…,mk) и m1…mk не имеет головной нормальной формы, если φ( m1,…,mk). В этом случае будем говорить, что терм -определяет функцию φ. Цмакаог – 2015 Теорема 1. Всякая -определимая арифметическая функция с неопределенными значениями аргументов монотонна. Теорема 2. Всякая -определимая арифметическая функция с неопределенными значениями аргументов вычислима. Теорема 3. Всякая вычислимая, естественно расширенная арифметическая функция с неопределенными значениями аргументов -определима. Цмакаог – 2015 Теорема 4. Существуют сильно вычислимые, монотонные, не естественно расширенные арифметические функции с неопределенными значениями аргументов, которые определимы. Терм And xy. if Zero x then 0 else (if Zero y then 0 else 1) -определяет функцию and. Теорема 5. Существуют сильно вычислимые, монотонные, не естественно расширенные арифметические функции с неопределенными значениями аргументов, которые не определимы. Таковой является функция . Цмакаог – 2015 Теорема 6. Вычислимые, естественно расширенные арифметические функции с неопределенными значениями аргументов -определимые арифметические функции с неопределенными значениями аргументов Вычислимые, монотонные арифметические функции с неопределенными значениями аргументов. Цмакаог – 2015 Проблема δ-редекса для сильно вычислимых, монотонных арифметических функций с неопределенными значениями аргументов. Пусть :MкM, k1, сильно вычислимая, монотонная арифметическая функция с неопределенными значениями аргументов. Выражение φ(υ1,…,υk), где υi либо элемент из M, либо переменная, i1,…,k, назовем δ-редексом, если при любых значениях переменных, входящих в φ(υ1,…,υk), значение данного выражения одно и то же. Цмакаог – 2015 Проблема δ-редекса для функции φ формулируется следующим образом: существует ли алгоритм, который по всякому выражению вида φ(υ1,…,υk), где υi либо элемент из M, либо переменная, i1,…,k, определяет: является ли данное выражение δ-редексом или нет. Теорема 7. Существуют сильно вычислимые, λ-определимые арифметические функции с неопределенными значениями аргументов, для которых проблема δ-редекса неразрешима. Цмакаог – 2015 Приведем пример такой функции f:M2M. Пусть Т0, Т1, … Тn, … геделева нумерация машин Тьюринга, n≥0. f(x,y) равно , если x= или y=, равно , если x≠, y≠ и машинаТьюринга Тx не останавливается на входе 0, проделав ≤y шагов, равно 1, если x≠, y≠ и машина Тьюринга Тx останавливается на входе 0, проделав ≤y шагов. Машина Тьюринга Тn не останавливается на входе 0 f(n,y) является δ-редексом. Цмакаог – 2015 • Nigiyan S.A. On Non-classical Theory of Computability. // Proceedings of the YSU, Physical and Mathematical Sciences, N1, 2015, p.52-60.