Методы математической физики в компьютерном инженерном анализе Лекция 1
реклама
Лекция 1 Методы математической физики в компьютерном инженерном анализе Инженерные задачи - параметры CAEngineering • В инженерных задачах ведется поиск параметров, распределенных по выделенной в пространстве области, а также изменение этих параметров во времени. В о многих случаях искомый параметр является функцией четырех переменных – трех пространственных координат и времени. • Например, следует найти изменение температурного поля в конструкции с течением времени. Температура в такой постановке задачи является функцией времени и трех пространственных координат: T f (t , x, y, z ) 2 2007 © О. М. Огородникова Дифференциальные уравнения CAEngineering • Анализируемые в инженерных задачах процессы описываются дифференциальными уравнениями. • Поскольку искомая функция зависит от нескольких переменных, в решаемых дифференциальных уравнениях присутствуют ее частные производные. • В инженерных задачах интересующие параметры вычисляются решением дифференциальных уравнений второго порядка с частными производными. • Пример дифференциального уравнения второго порядка в частных производных, описывающего явление теплопроводности в технических системах – уравнение теплопроводности Фурье для изотропных тел, одномерный случай: T 2T C K 2 Q t x 3 2007 © О. М. Огородникова Аналитическое решение CAEngineering • Если в задаче анализируется несколько физических процессов, например, теплопередача и деформация, приходится решать систему дифференциальных уравнений, описывающих каждый из этих процессов. • Аналитическое решение дифференциальных уравнений и систем дифференциальных уравнений в большинстве случаев инженерных задач, сформулированных в полной постановке, невозможно. • Традиционно решение проводилось приближенно с использованием эмпирических данных, обработанных статистически. • Результатом разработки полуэмпирических методов является огромное количество справочников с графиками, таблицами и номограммами, по которым достаточно точно можно произвести инженерные расчеты. 4 2007 © О. М. Огородникова Численное решение CAEngineering • С появлением компьютеров и развитием компьютерных программ инженерного анализа появилась возможность решать дифференциальные уравнения дискретно. • Вместе с тем появляется необходимость развивать и осваивать компьютерные методы вычислений, оценивать точность расчетных результатов. 5 2007 © О. М. Огородникова Концепция моделирования CAEngineering • Под математическим моделированием технических систем и устройств понимают адекватную замену исследуемого технического объекта его математической моделью и ее последующее изучение методами вычислительной математики с привлечением современных вычислительных средств и компьютерных программ. • Математическое моделирование как универсальный инструмент познания завоевывает прочные позиции в различных областях деятельности человека и становится важнейшим направлением в проектировании и исследовании новых систем, в анализе свойств различных объектов, в выборе и обосновании оптимальных условий их функционирования. • Необходимость моделирования определяется тем, что многие объекты непосредственно исследовать невозможно, либо их исследование требует больших затрат времени и средств. Подходящими объектами для сугубо компьютерного моделирования являются, например, имплантанты и их поведение внутри человеческих органов или долговечность конструкций, функционирующих в космическом пространстве. 6 2007 © О. М. Огородникова Построение модели CAEngineering • Процесс моделирования включает построение, изучение и применение моделей. Первый и главный этап математического моделирования – построение модели. Под компьютерной моделью понимают некоторый виртуальный объект, который в процессе исследования замещает объект-оригинал таким образом, что его непосредственное изучение дает новые знания об объекте-оригинале. Любая модель содержит ограничения и акцентирует внимание на некоторых выделенных свойствах объекта, важных с точки зрения исследуемых процессов. • Математическая модель технической системы состоит из уравнений, описывающих существенные процессы; в эти уравнения в виде коэффициентов входят характеристики материалов и тел, участвующих в анализируемых процессах. Выбор связей и характеристик явления, существенных для данной задачи, является наиболее ответственным этапом при формулировании математической модели. Познавательные возможности модели обуславливаются тем, что модель отражает некоторые существенные черты объекта-оригинала. 7 2007 © О. М. Огородникова Математическое исследование CAEngineering • Второй этап моделирования – математическое исследование. В процессе исследования свойств объекта при моделировании модель выступает как самостоятельный объект исследования. Одной из форм такого исследования является проведение вычислительных экспериментов, при которых согласно некоторому плану изменяются условия функционирования модели и систематизируются данные об откликах системы на вариации условий. В зависимости от сложности модели применяются различные математические подходы. Для значительно формализованных и несложных моделей зачастую удается получить аналитическое решение, но физическая точность исследования упрощенных моделей невелика и позволяет оценить только порядок расчетных параметров. • Для комплексных и более сложных моделей (например, зубчатые передачи или режимы резания в механообработке) аналитическое решение получить не удается. В этих случаях используют приближенные математические модели, основанные в указанных примерах на статистической обработке большого числа экспериментальных данных, в других случаях это может быть, например, разложение искомой функции по малому параметру. Наконец, для наиболее сложных и точных моделей основными являются численные методы решения, требующие проведения расчетов на компьютерах. 8 2007 © О. М. Огородникова Расчет и верификация CAEngineering • Заключительным этапом моделирования является применение модели для расчета процессов данного типа, но предварительно модель должна подвергаться верификации, т.е. сопоставлению расчетных результатов с экспериментальными данными. 9 2007 © О. М. Огородникова Техническое применения моделей CAEngineering • Одним из наиболее ярких примеров моделирования в области современных полупроводниковых технологий является работа, выполненная недавно сотрудниками Национальной лаборатории имени Лоуренса в Беркли. Благодаря прямому численному моделированию квантового поведения тысяч атомов на суперкомпьютере Seaborg, были решены некоторые проблемы так называемых квантовых точек. • Использование квантовых точек – нововключений из сотен или тысяч атомов одного полупроводника в другом – позволяет изготовлять разнообразные полупроводниковые устройства – от небывало эффективных свето- и фотодиодов до кубитов для квантовых компьютеров и систем квантовой криптографии. Однако прогресс в их применении идет медленно. Дело в том, что многие из свойств квантовых точек до сих пор не очень понятны и технологам при их создании приходится действовать методом проб и ошибок. А теоретики часто бывают бессильны, поскольку известные квантовые методы, хорошо работающие для отдельного атома или для кристаллической решетки, оказываются малопригодны, если структура включает несколько сотен атомов. 10 2007 © О. М. Огородникова Суперкомпьютеры CAEngineering • Задача была решена методом математического моделирования. Проведенные на суперкомпьютере расчеты прекрасно описали хорошо известные эффекты, а также помогли получить новую информацию об объекте. В частности, построенная модель предполагает, что локальные диэлектрические свойства внутри квантовой точки точно такие же, как и в сплошном материале. А все изменения свойств полупроводников тесно связаны с квантовыми эффектами на поверхности квантовой точки. • Построенная модель после математического исследования и верификации стала мощным инструментом для развития новых технологий в изготовлении полупроводниковых устройств и осознанного научно-технического поиска. 11 2007 © О. М. Огородникова Математические модели инженерных систем CAEngineering • В основе компьютерного анализа инженерных систем лежат математические модели физических явлений. Такие модели описывают конкретные физические процессы, а методы их построения и исследования являются математическими. • Математические модели базируются на фундаментальных законах природы, в том числе на законах сохранения таких физических субстанций, как масса, энергия, импульс, и в силу этого обладают свойством общности, т.е. одни и те же математические модели описывают явления различной природы. • В технических задачах исследованию обычно подвергают процессы, протекающие в пространственной области, заполненной непрерывной материальной средой. Для обозначения такой среды вводят понятие сплошной среды. Как правило, параметры, описывающие состояние среды и протекающие в ней физические процессы, зависят от пространственных координат и времени. 12 2007 © О. М. Огородникова Уравнения модели CAEngineering • В общем случае математическая модель с помощью уравнений и дополнительных условий описывает поведение технической системы на трех уровнях: 1) взаимодействие системы с внешней средой (граничные и начальные условия); 2) взаимодействие между элементарными объемами системы (на основе законов сохранения физических субстанций и их переноса в пространстве); 3) свойства отдельно взятого элементарного объема (уравнения состояния среды). 13 2007 © О. М. Огородникова Дифференциальные уравнения CAEngineering • Математическую основу модели в инженерной задаче, как правило, составляют дифференциальные уравнения с частными производными, в некоторых случаях – интегральные и интегро-дифференциальные уравнения. • Такие уравнения относят к классу функциональных, поскольку их решением являются функции (в отличие от уравнений, решением которых являются числа). 14 2007 © О. М. Огородникова CAE – Computer Aided Engineering CAEngineering • CAE – Computer Aided Engineering – инженерные расчеты с использованием компьютерных программ. • Средства САЕ выполняют самую разнообразную работу по расчету напряжений, деформаций, теплообмена, распределения магнитного поля, потока жидкостей и других параметров сплошных сред. • Например, программы для кинематических расчетов способны определить траектории движения и скорости звеньев в механизмах. • Программы динамического анализа могут использоваться для определения нагрузок и смещений в сложных составных устройствах типа автомобилей. • Программы верификации и анализа логики и синхронизации имитируют работу сложных электронных цепей. 15 2007 © О. М. Огородникова МЭМС CAEngineering • Классические методики расчета конструкций не применимы к новыми техническим объектам, например, к микроэлектромеханическим системам (МЕМС), где значимыми становятся силы трения, что не учтено в ранее определенных эмпирических коэффициентах. • Междисциплинарные расчеты •Электричество •Теплопередача •Твердотельная •механика •Гидродинамика •Магнетизм 16 2007 © О. М. Огородникова МЭМС – междисциплинарный анализ • ANSYS Multiphysics • Пространственная модель термоэлектрического активатора • Поверхностная микромеханическая обработка консольной балки: CAEngineering 17 2007 © О. М. Огородникова МЭМС – междисциплинарный анализ CAEngineering •1 ANSYS Multiphysics AREAS • 1 AREA NUM Геометрическая и сеточная модели ELEMENTS 5 2006 13:32:43 APR Y Z APR 5 2006 13:38:57 X Y Z X 18 2007 © О. М. Огородникова МЭМС – междисциплинарный анализ • ANSYS Multiphysics • Расчетное распределение температуры 1 NODAL SOLUTION APR STEP=1 SUB =1 TIME=1 TEMP (AVG) RSYS=0 SMN =298 SMX =1100 CAEngineering 5 2006 13:57:58 Y Z X MX MN 298 387.165 476.33 565.495 654.66 743.824 832.989 922.154 1011 1100 19 2007 © О. М. Огородникова МЭМС – междисциплинарный анализ • ANSYS Multiphysics • Расчетное смещение активатора 1 NODAL SOLUTION APR STEP=1 SUB =1 TIME=1 UY (AVG) RSYS=0 DMX =2.67 SMN =-.110E-03 SMX =2.669 CAEngineering 7 2006 15:53:55 MX Y MN Z -.110E-03 .296464 .593039 X .889613 1.186 1.483 1.779 2.076 2.372 2.669 20 2007 © О. М. Огородникова Классификация САЕ-систем CAEngineering • Все многообразие инженерных расчетов укладывается в два основных направления по функциональной направленности – моделирование технологий и конструкторские расчеты. • Моделирование технологий – сварка, штамповка, прокатка, термообработка, литье. • Расчет конструкций предполагает три типа задач – кинематика, статика и динамика. В кинематике вычисляют траектории, в статике приложенные нагрузки уравновешиваются реакциями опор и сумма всех сил, приложенных к конструкции равна нулю; в задачах статики обязательным является закрепление конструкции; в задачах динамики сумма сил, приложенных к объекту, равна массе, умноженной на ускорение. 21 2007 © О. М. Огородникова Уровни САЕ-систем CAEngineering • Конструктор • Расчетчик • Аналитик 22 2007 © О. М. Огородникова
