Системные эффекты и теория макросистем Попков Ю.С. профессор, чл.-корр. РАН Институт системного анализа РАН, кафедра «Системные исследования» МФТИ – ИСА РАН popkov@isa.ru Феноменология макросистемы М А К Р О С И С Т Е М А Макроуровень Макросостояние N {N 1 ,, N m } Микроуровень ресурсы Вариационный принцип Модели стационарных состояний A). С полным использованием ресурсов H ( N ) max k (t , N ) qk , k 1, r Б). С неполным использованием ресурсов H ( N ) max k (t , N ) qk , k 1, r Транспортные потоки 1 Модель транспортных потоков H ( X ) xij ln i, j xij max aij Ограничения: А). Балланс xij Pj , xij Qi , i j Б). Стоимость cij xij T i, j В). Пропускная способность ijk xij Wk i , jk Транспортные потоки 2 Загрузка УДС в Москве в утренние часы Транспортные потоки 3 Программный комплекс TransNet. Моделирование транспортных потоков. Восстановление изображений по проекциям A) Статические процедуры Б) Динамические процедуры Восстановление изображений по проекциям Энтропийная модель H ( x, E ) xn ln n xn (1 xn ) ln(1 xn ) max En Проекции akn xn hn , k 1, r n А) Статическая процедура H ( x, E 0 ) max, akn xn hk , k 1, r Б) Динамическая процедура E t 1 L[ E t , x*t ] x*t arg max{ H ( x, E t ) | akn xn hkt , k 1, r} Энтропийно-линейное программирование H ( y ) max y D { y : Ty v, T~y v~} H ( y ) энтропия m yn ln n 1 yn an yn ln yn (bn yn ) ln( bn yn ) an v, v~ векторы с положитель ными компонента ми T , T~ матрицы с неотрицате льными ээлемента и Мультипликативные алгоритмы x n1 x n f ( x n ) Алгоритмы с p-активными переменными xkn1(1n ) xkn1 ( n ) f k1 ( n ) ( x n ) p-активные xknp(1n ) xknp ( n ) f kp ( n ) ( x n ) xkn 1 xkn 1. 2. k k1 (n ),, k p ( n ) Проблемы Мультипликативные алгоритмы с использованием производных Параллельные вычислительные схемы Чувствительность и робастность Математическая модель I вх I вых параметры Исходная информация Чувствител ьность s Робастност ь I вых I вх I вых Наихудшее I вх Наихудшее Модели стационарных состояний H ( x, a, G ) max tkn xn qk k 1, r n x* F ( a, G, T , q) А) Модели с полным использованием ресурсов (гладкие задачи) x* ( (a, G, T , q); a, G, T , q) ( ; a, G, T , q) 0 множители Лагранжа Б) Модели с неполным использованием ресурсов (негладкие задачи) Моделирование нестационарных состояний 1 Процессы Природа процессов Воспроизведение Распределение Участники Специфические и неспецифические элементы Универсальный продукт Факторы неопределенности Детерминированный процесс Случайный процесс Динамические характеристики Медленные процессы Быстрые процессы Моделирование нестационарных состояний 2 А) Эволюция состояния блоков x i (t ) Fi ( x(t ), Y * (t )), Y * (t ) локально - стационарн ые состояния распределе ния потоков Б) Состояние распределения потоков H (Y , x) max, Y (t ) D( x) Автономная модель x i (t ) Fi ( x(t ), Y * (t )) Y* Y * (t ) arg max{ H (Y , x ) | Y D( x )} x F ( x,Y *) x Y * arg max Y* Неавтономная модель x i (t ) Fi ( x (t ), Y * (t ), u(t )) Y * (t ) arg max{ H (Y , x, v ) | Y D( x, v )} u Y* x F ( x,Y *) x Y * arg max v Y* Приложение: пространственная динамика населения Воспроизводство (медленный процесс) • рождаемость • смертность d Миграция (быстрый процесс) • потоки из i в j xij (t ) Динамика численности населения n n j 1 j 1 N i( t ) ( d ) N i( t ) xij* (t ) x*ji (t ) Локально-стационарные состояния миграционного процесса H ( X , N ) xij ln i, j xij max aij ( N ) cijk( N ) xij qk ( N ), k 1, r X * (t ) локально стационарн ые состояния миграционн ого процесса Динамические модели стохастической сети Региональная структура сети X i (t ) — объем информационно-вычислительных ресурсов в регионе i (медленные переменные) yij (t ) — информационный поток между регионами I и j (быстрые переменные) 0 X (t ) M (t ) 0 Y (t ) C (t ) или 0 Y (t ) C(t ) Факторы влияющие на изменение информационно-вычислительных ресурсов • естественное «старение» (зависит от X(t)) • обновление ресурсов (внешнее воздействие U(t)) • информационные потоки (Y(t)) Факторы влияющие на изменение информационных потоков • информационно-вычислительные ресурсы (X(t)) • объемы потребностей (Q(t)) • информационные потоки (Y(t)) Динамическая модель dX ~ dY F [ X (t ),U (t ), Y (t )]; Ф[Y (t ), X (t ), Q(t )] dt dt А. Динамика ресурсов - позитивность F~i ( X 1 ,, X i 1 ,0, X i 1 ,, X n | U , Y ) 0 i 1, n F~ ( X | U , Y ) ( X ) F ( X ,U , Y ), где ( X ) 0, F () i i i dX X F ( X ,U , Y ) dt - ограниченность Fi ( X | U , Y ) 0 для X i i { X : 0 X j (t ) M i (t ); X i (t ) M i (t ), j 1, n; j i} Например: Fi ( X | U , Y ) bi (U , Y ) X i si (U , Y ) i 1, n Типы моделей 1. Старение с постоянной скоростью и линейным влиянием потоков Fi ( X , Y ) bi X i PiY i bi const 2. Старение и обновление с постоянной скоростью и линейным влиянием потоков i i i i i i F ( X , Y ) b b~U X P Y b , b~ const i i 3. Обновление с постоянной скоростью и линейным влиянием потоков i i i i i F ( X ,U ) b~U X P Y b~ const i P – (m x n) матрица; Pi – i –я строка матрицы P; Yi – i –й столбец матрицы Y; B. Квази-стационарные состояния распределений информационных потоков max H (Y , X , t ) Y D( x ) Общая динамическая модель стохастической сети dX X ( b(U , Y * ( X , t )) X s(U , Y * ( X , t ))) dt Y * ( X , t ) arg max( H (Y , X , t ) | Y D( x )) Позитивная динамическая система с энтропийным оператором