Лекция №10 ИССЛЕДОВАНИЕ ПАРАМЕТРИЧЕСКИХ АЛГОРИТМОВ ОБНАРУЖЕНИЯ СИГНАЛОВ Одним из важнейших практических приложений статистической радиотехники является возможность разработки алгоритмов обнаружения полезных сигналов на фоне помех, и оценить эффективность работы. Задача обнаружения сигналов состоит в принятии однозначного решения: либо 1 сигнал есть (решение ), либо 0 ). сигнала нет (решение Эффективность работы алгоритмов обнаружения оценивается рядом характеристик, к числу которых относят зависимости вероятностей правильного обнаружения, ложной тревоги и пропуска сигнала от исходных данных задачи. Первая зависимость рассчитывается как функция отношения сигнал/помеха: PS D D Pn где Ps и Pn - мощности (дисперсии) сигнала и помехи, а вторая – как функция мощности помехи при отсутствии сигнала. Важнейшей характеристикой алгоритма обнаружения является его эффективность, оценивается пороговым сигналом. Пороговым сигналом называется то минимальное отношение сигнал/помеха по b Ps Pn мощности , которое при фиксированном объеме выборки n и заданной вероятности ложной тревоги F обеспечивает требуемое значение вероятности правильного обнаружения D. Значения F, D и n определяются характером задач, в частности, в задачах радиолокационного обнаружения обычно стремятся обеспечить 7 F 10 10 9 D 0,9 0,99 n 8, 16, 32 Рассмотрим алгоритм обнаружения с накоплением отсчетов огибающей случайного процесса на примере задачи обнаружения флюктуирующего нормального сигнала на фоне нормального некоррелированного шума. Структурная схема обнаружения показана на рис.1 xt Детектор огибающей y t S 11 Дискретизатор fg yi Накопитель Z Пороговая схема Vp S 0 0 На вход детектора огибающей в отсутствие полезного сигнала ( S 0 ) поступает узкополосный случайный процесс, который представляет собой нормальный (гауссовский) шум с нулевым матожиданием и имеет плотность распределение вероятности вида: 2 1 x f x S0 exp 2 n 2 2 n 2 где n - дисперсия (мощность) шума. При наличии на входе, детектора полезного сигнала ( S1 ) с нулевым матожиданием плотность распределения аддитивной смеси сигнала и шума также имеет нормальное распределение: f x S1 1 2 n 2 s x exp 2 2 2 s n 2 2 2 где s - дисперсия сигнала. (1) При выводе формулы (1) использована теорема сложения дисперсий: дисперсия суммы некоррелированных случайных величии равна сумме дисперсий слагаемых. Кроме того, известно что сумма нормальных процессов также распределена по нормальному закону. Распределение (1) удобно записать в виде f x S 1 x2 exp 2 2 2 1 b 2 1 b 1 где - отношение мощности b n сигнала к мощности помехи. 2 s 2 На выходе детектора выделяется огибавшая входного случайного процесса. Известно, что плотность распределения огибающей нормального случайного процесса при линейном детектировании описывается законом Релея: y2 f y S0 2 exp 2 2 при отсутствии сигнала и y (2) y y f y S1 2 exp 2 1 b 2 1 b при наличии сигнала. 2 (3) yt Огибавшая случайного процесса поступает на дискретизатор по времени, на выходе которого формируются дискретные y1 отсчеты амплитуды которых равны мгновенным значениям огибающей в моменты стробирования. Моменты взятая отсчетов огибающей определяются частотой f g . Полученное отсчеты дискретизации поступает на накопитель, осуществляющий суммирование текущих отсчетов. Выходное напряжение Z , накопителя в этом случае равно: n Z yi i 1 (4) Накопленная сумма сравнивается с порогом решения V p . Если в результате сравнения значение суммы окажется больше то Vp принимается решение о наличии сигнала ( 1 ), в противном случав – альтернативное решение ( 0 ) , т.к. вид решения зависит от выполнения условия n Z yi V p i 1 (5) Рассмотрим задачу оценки эффективности обнаружителя по схема рис. 1. Накопленная по выборке объемом сумма n (4) называется проверочной статистикой. Согласно центральной предельной теореме, если y1 ,..., y n - это независимые случайные величины, то при неограниченном увеличении n закон распределения суммы этих величин приближается к нормальному. На практике при n>10 закон распределения суммы считается нормальным. При малых n распределение суммы подчиняется закону Эрланга. На основании центральной предельной теоремы можно записать выражение для плотности распределения проверочной статистики Z f Z Z mZ exp 2 2 DZ 2DZ 1 (6) В формуле (6) mZ и DZ - матожидание и дисперсия статистики : mZ n m y DZ n D y (7) my и Dy дискретных равные - матожидание и дисперсия релеевских отсчетов Vi , my 2 4 2 Dy 2 (8) при отсутствии сигнала и 1 b m ys 2 4 2 D ys 1 b (9) 2 при наличии сигнала. 2 На рис. 2 показаны кривые распределения отсчетов огибающей процесса при отсутствии и при наличии сигнала f y my f y S 0 f y S m ys 1 y На рис. 3 - соответствующие кривые распределения проверочной статистики Z. f z f z S 0 f z S 1 D mz F Vp mzs Z Для принятия решения S1 о том, что на входе обнаружителя имеется полезный сигнал, необходимо, чтобы случайная величина Z превысила порог Vp. Значение порога при обнаружение сигналов выбирают в соответствии с критерием Неймана-Пирсона так, чтобы вероятность превышения его статистикой Z в отсутствий сигнала была бы не более наперед заданной. Эта вероятность F называется вероятностью ложной тревоги (см.рис. 3) F f z S0 dz Vp (10) Подставив формулу (6) а формулу (10), после упрощения получим V p m z F 1 Dz где t2 x exp dt 2 2 1 x табулированные интеграл вероятности. При заданном значении вероятности ложной тревоги F значение порога решении Vp может быть найдено с помощью таблиц из уравнения (11). Вероятность D обнаружения сигнала определяется выражением: правильного (см.рис.3) D f z S1 dz Vp равным с учетом формулы (6) V p m zs D 1 Dzs Значение зависит D от отношения сигнал/шум b . Характеристики обнаружения D(b) для различных объемов выборки и показаны на рис.4. D 1 D зад n2 n1 n2 n1 F b1 b2 b s2 n 2 Из графиков видно, что заданная вероятность правильного обнаружения Dзад при увеличении объема накопления n может быть достигнута при меньшем отношении сигнал/шум b . Другими словами, при заданном b увеличение n обеспечивает увеличение вероятности правильного обнаружения. Рассмотрим алгоритм обнаружения с накоплением квадратов отсчетов огибающей случайного процесса. Структурная схема обнаружителя, реализующего алгоритм с накоплением квадратов отсчета огибающей случайного процесса, соответствует схеме рис. 1, однако накопитель вычисляет значение статистики Z не по формуле (4), а по формуле n Z y i 1 2 i Аналогично рассмотренной выше схеме принятия решения (см. формулу (2)) при выполнении условия n Z y Vp i 1 2 i принимается решение о наличии сигнала ( 1 ) , в противном случае, когда условие не выполняется, принимается решение вида 0 . Известно, что квадрат огибающей нормального случайного процесса (квадрат релеевской случайной величины) подчиняется показательному (экспоненциальному) закону распределения, имевшему вид (через u обозначен квадрат случайной величины y, входящей в формулы (2), (3)): 2 1 u f u S 0 exp 2 2 2 n 2 n с параметрами mu 2 n Du m 2 2 u при отсутствии сигнала, и 2 u f u S1 exp 2 2 2 2 2 2 s n s n 1 с параметрами mus 2 n 2 s 2 Du 4 n 4 s 4 Задача оценки эффективности обнаружителя решается аналогично, при этом в формулу для расчета вероятностей ложной тревоги и правильного обнаружения необходимо подставить величины mZ n mu DZ n Du Кривые распределения квадратов отсчетов огибающей процесса при отсутствии и наличии полезного сигнала показаны на рис. 5. f u f u s0 f u s1 u РАЗЛИЧЕНИЕ СИГНАЛОВ МНОГОАЛЬТЕРНАТИВНЫЕ ЗАДАЧИ ВЫБОРА РЕШЕНИЯ При различении сигналов имеет место многоальтернативная ситуация, когда полезный сигнал X может иметь много значений и приемное устройство должно определить, какое именно значение из этого множества имеет место в действительности. Различение многих сигналов в принципиальном отношении мало отличается. От случая обнаружения сигнала, т. е. случая различения двух сигналов. В соответствии с этим многоальтернативных решений обобщением соответствующих двухальтернативных решений. методы являются методов Пусть сигнал X может иметь т возможных значений х1 ,х2,...,хт с априорными вероятностями р(х1), р(х2),…,p(хт) соответственно x1 p x1 x px 2 2 X .......... ........ xn p xn При этом пространство сигнала V разбивается на т. областей v1,v2,... ,vm соответствующих принятию гипотез Н1, Н2, ... , Нт о том, что X =х1 ,X = х2, …, X = хт соответственно. Правила принятия решений и разбивка пространства V на области v1,v2,...,vm могут производиться в соответствии с любым из критериев, рассмотренных для случая двухальтернативной ситуации и обобщенных на случай многоальтернативной ситуации. Процедура работы решающего устройства приемника при различении сигналов следующая. По данным выборки Y определяются функции правдоподобия L(х1)=w(Y/x1), L(х2)=w(Y/x2),...,L(xm) = w (Y/xm) и вычисляются отношения ji f Y / x j f Y / xi Для всех возможных сочетании пар xj и xi. Сравниваются полученные значения отношений правдоподобия с пороговым значением и выбирается такое значение сигнала хj ji1,2,0... , т). для которого все (i= Рассмотрим в качестве примера случай, когда используется критерий минимального риска. В случае многоальтернативной ситуации ошибки принятия решения заключается в том, что наблюдаемая выборка оказывается в области vk, в то время, как в действительности сигнал X имеет значение xj. Цена ошибочных решений учитывается путем введения весовых коэффициентов rjk. Для заданного значения сигнала xj средняя величина потерь за счет неправильных решений может быть оценена коэффициентом rj rjk pY vk / x j rjk f Y / x j dY m m k 1 k 1 vk где — условная вероятность p Y vk / x j попадания выборки Y в область vk, если в действительности сигнал X равен хj. Величины rj носят название условного риска. Усредняя условный риск по всем возможным значениям X, получим средний риск r rj p x j m m k 1 m i 1 i 1 r pY v m k 1 jk k / x j p x j r px f Y / x dY m k 1 jk j j vk Критерий минимального риска для случая многоальтернативной ситуации сводится к минимизации функции r = мин. Рассуждая аналогично, можно показать, что реализация условия дает следующую систему т неравенств, обеспечивающих принятие гипотезы Нk, что X = хk pxi f Y / xi rij rik 0 px1 f Y / x1 i 1 m j 1,2,..., m; j k Cинтез структуры решающего устройства Оптимальное решающее устройство должно строиться таким образом, чтобы оно могло вычислить функции правдоподобия L (X) и отношение правдоподобия с последующим сравнением его с некоторым пороговым значением 0 . Следовательно, в первую очередь решающее устройство должно вычислять условные плотности вероятности f(Y/xi). Очевидно, схема решающего устройства определяется в основном видом этой функции. Рассмотрим общий случай многоальтернативной ситуации, когда полезный сигнал X может принимать т значений. Будем полагать помеху нормальной с нулевым математическим ожиданием и аддитивной. Следовательно, принимаемый сигнал у y(t) x(t) (t). Для любого отсчетного значения принятого сигнала yi можно записать yi x i i где — отсчетные значения полезного сигнала; i — отсчетные значения помехи, распределенные по нормальному закону 2 1 i f i exp 2 2 2 2 Вектор помехи определяется многомерным законом распределения f 1 ,2 ,..., n , где n — объем выборки. Полагая помеху стационарной и отсчеты некоррелированными, можно многомерный закон распределения вектора помехи представить в виде f 1 , 2 ,..., n f 1 f 2 ,..., f n n 2 n i 1 i 1 exp 2 2 2 2 При взаимной независимости полезного сигнала и помехи функция определяется законом распределения помехи n 2 n 1 i exp i 1 f Y / X 2 2 2 2 n 2 n 1 yi xi exp i 1 2 2 2 2 Для принятия оптимального решения необходимо определить отношения правдоподобия f Y / xk kj f Y / x j 2 2 yi xij yi xki i 1 i 1 exp 2 2 n n