1. Уравнение овалов Кассини в прямоугольных декартовых координатах

1. Уравнение овалов Кассини в прямоугольных декартовых
координатах
Пусть даны две фиксированные точки – обозначим их F1 и F2 (см. рис.1)
– и некоторое постоянное число b, причем
F1 F2  2c
Овалом Кассини (овалами Кассини) называют множество точек M, для
которых выполняется равенство
F1 M * F2 M  b 2 (1)
Рассмотрим данную кривую в прямоугольной декартовой системе
координат. Прямую F1 F2 сонаправим с осью абсцисс и за начало координат
примем середину отрезка F1 F2 . Расположив координаты таким образом,
найдем уравнение кривой в данной системе координат.
Пусть M(x, y) - произвольная точка рассматриваемого множества.
Поскольку, по условию, F1 F2  2c , то точки F1 и F2 в выбранной системе
координат будут иметь координаты F1 (c,0) и F1 (c,0) . Учитывая то, что
точка М имеет координаты M(x, y) , получим, что длины отрезков F1 M и F2 M
равны:
F1 M  ( x  c) 2  y 2
F2 M  ( x  c) 2  y 2
Подставив полученные значения длин F1 M и F2 M в формулу (1),
получим
( x  c) 2  y 2 * ( x  c) 2  y 2  b 2
Возведя обе части равенства в квадрат, получим эквивалентное
равенство:
(( x  c) 2  y 2 )(( x  c) 2  y 2 )  b 4
Раскрыв скобки и перегруппировав слагаемые в обоих сомножителях,
получим:
(( x 2  y 2  c 2 )  2 xc)(( x 2  y 2  c 2 )  2 xc)  b 4
Раскрывая скобки и приводя подобные в предыдущем равенстве,
имеем:
( x 2  y 2  c 2 ) 2  4x 2c 2  b 4
Отсюда следует, что
( x 2  y 2 ) 2  2( x 2  y 2 )c 2  c 4  4 x 2 c 2  b 4
При перегруппировке слагаемых и переносе слагаемых четвертой
степени в правую часть уравнения, получим окончательное уравнение овалов
Кассини:
( x 2  y 2 ) 2  2c 2 ( x 2  y 2 )  b 4  c 4 (2)
Если в полученном уравнении принять b  c , то получим уравнение
кривой, именуемой лемнискатой Бернулли:
( x 2  y 2 ) 2  2c 2 ( x 2  y 2 )  0
2. Исследование овалов Кассини в прямоугольных декартовых
координатах
К сожалению, вопрос о полном исследовании овалов Кассини в
литературе освещен недостаточно, поэтому в моей работе данная кривая
исследуется с помощью математического аппарата, доступного студенту 1
курса.
Прежде всего, докажем симметричность кривой относительно осей
координат и начала координат. Из того, что
F ( x, y)  (( x) 2  y 2 ) 2  2c 2 (( x) 2  y 2 )  b 4  c 4  ( x 2  y 2 ) 2  2c 2 ( x 2  y 2 )  b 4  c 4  F ( x, y)
следует симметричность овалов Кассини относительно оси Оу, а вследствие
того, что
F ( x, y)  ( x 2  ( y) 2 ) 2  2c 2 ( x 2  ( y) 2 )  b 4  c 4  ( x 2  y 2 ) 2  2c 2 ( x 2  y 2 )  b 4  c 4  F ( x, y)
рассматриваемая кривая симметрична относительно оси абсцисс. Кроме того,
при замене у на –у, х на –х, уравнение овалов Кассини не изменится, т.е
F ( x, y)  (( x) 2  ( y) 2 ) 2  2c 2 (( x) 2  ( y) 2 )  b 4  c 4  ( x 2  y 2 ) 2  2c 2 ( x 2  y 2 )  b 4  c 4  F ( x, y)
значит, данная кривая симметрична относительно начала координат.
Доказанные свойства будут использованы в дальнейшем рассмотрении овалов
Кассини. В частности, можно рассматривать кривую только в первом
квадранте координатной сетки, распространяя доказанные свойства на
остальные квадранты с помощью рассмотренной симметрии.
Найдем пересечение кривой с осями координат. Подставив в уравнение
(2) х=0, получим точку пересечения кривой с осью ординат
(0 2  y 2 ) 2  2c 2 (0 2  y 2 )  b 4  c 4  0
y 4  2c 2 * y 2  (b 4  c 4 )  0
D  4c 4  4(b 4  c 4 )  4b 4
 2c 2  2b 2
 c 2  b 2
2
2
 2c  2b 2
y 22 
 c 2  b 2  b 2  c 2
2
y12 
Рассмотрим полученные результаты.
Первый корень уравнения
2
2
необходимо отбросить, т.к.  c  b  0 при c, b  R , а y12  0 при y1  R .
Количество точек пересечения графика с осью ординат будет зависеть от
соотношения между параметрами b и c. Если b  c , то второй корень
уравнения больше 0, и уравнение имеет 2 корня:
y   b2  c2
значит, график функции пересекает ось Оу в 2 симметричных точках:
(0, b 2  c 2 ), (0, b 2  c 2 ) . Если же b  c , то график функции не имеет
пересечений с осью ординат. При условии, что b  c получим единственный
корень (у=0), т.е график, представляемый в данном случае лемнискатой
Бернулли, будет пересекать начало координат.
Отыщем точку пересечения графика кривой с осью абсцисс. Подставив
в уравнение (2) у=0, получим точку пересечения кривой с осью ординат
(0 2  x 2 ) 2  2c 2 ( x 2  0 2 )  b 4  c 4  0
x 4  2c 2 * x 2  (b 4  c 4 )  0
D  4c 4  4(b 4  c 4 )  4b 4
2c 2  2b 2
x 
 c2  b2
2
2
2c  2b 2
x 22 
 c2  b2
2
2
1
Рассмотрим полученные результаты. Количество точек пересечения
графика с осью абсцисс будет зависеть от соотношения между параметрами b
и c. Если b  c , то первый корень уравнения меньше 0, и уравнение имеет 2
корня:
x   b2  c2
значит, график функции пересекает ось Ох в 2 симметричных точках:
( b 2  c 2 ,0), ( b 2  c 2 ,0) . Если же b  c , то график функции имеет 4 точки
пересечения с осью абсцисс, попарно симметричных между собой, а именно:
( b 2  c 2 ,0), ( b 2  c 2 ,0), ( c 2  b 2 ,0), ( c 2  b 2 ,0)
При условии, что b  c получим единственный корень (х=0), т.е.
график, представляемый в данном случае лемнискатой Бернулли, будет
пересекать ось абсцисс лишь в начале координат.
Для того, чтобы найти промежутки монотонности рассматриваемой
функции, необходимо задать ее явно, т.е. в виде у=у(х). Выразим требуемое
уравнение из формулы (2):
( x 2  y 2 ) 2  2c 2 ( x 2  y 2 )  b 4  c 4
x 4  2 x 2 y 2  y 4  2c 2 x 2  2c 2 y 2  b 4  c 4  0
y 4  y 2 (2 x 2  2c 2 )  ( x 4  2c 2 x 2  b 4  c 4 )  0
D  4 x 4  8 x 2 c 2  4c 4  4 x 4  8c 2 x 2  4b 4  4c 4  16c 2 x 2  4b 4
y 2  (c 2  x 2 )  4c 2 x 2  b 4
Исследуем полученное уравнение. Во-первых, D  0 при c, x, b  R .
Кроме того, первый корень не подходит, ибо  (c 2  x 2 )  4c 2 x 2  b 4  0 при
c, x, b  R , а y 2  0 для любых действительных значений у. Проверим, будет
ли выражение, определяющее второй корень, больше 0 при любых значениях
соответствующих переменных. Допустим, что это не так, т.е имеет место
неравенство
4c 2 x 2  b 4  c 2  x 2
Возведя в квадрат обе части неравенства и перенося слагаемые в левую
часть неравенства, получим:
x 4  2c 2 x 2  c 4  b 4  0
Чтобы оценить данное неравенство, подставим вместо переменной х её
максимальное значение, а именно x  b 2  c 2 . Имеем:
b 4  2b 2 c 2  c 4  2c 4  2c 2 b 2  c 4  b 4  0
Приводя подобные в последнем неравенстве, получаем явственное
противоречие, а именно - 0  0 , что и показывает ложность допущения.
Следовательно, полученное уравнение
y 2  (c 2  x 2 )  4c 2 x 2  b 4
имеет смысл при любых действительных значениях переменных. Из
полученного уравнение следует, что
y   (c 2  x 2 )  4c 2 x 2  b 4
Следует заметить, что извлекая корень из правой части уравнения,
определяющего функцию, мы опускаем отрицательные значения у. Однако
это действие является правомерным вследствие положений о симметричности
овалов Кассини. Исследуя интервалы, где функция принимает только
неотрицательные значения, полученные результаты можно распространить на
остальные промежутки существования функции.
Для определения промежутков монотонности данной функции, найдем
ее первую производную.
y' 
1
2 *  (c 2  x 2 )  4c 2 x 2  b 4


8c 2 x

 2x  


2 2
4
 2 4c x  b

x
 (c 2  x 2 )  4c 2 x 2  b 4


2c 2

 1


2 2
4
 4c x  b

Производная равна 0 в точке с абсциссой х=0. Кроме того, производная
не определена в точке, для абсциссы которой справедливо равенство:
 (c 2  x 2 )  4c 2 x 2  b 4  0
т.е в точке, где x  b 2  c 2 (см. определение нулей функции). Второе
значение переменной х можно не рассматривать вследствие симметричности
графика овалов Кассини. Определив значение производной в произвольном
значении, взятом из полученного промежутка x  (0, b 2 c 2 ) получим y ' 0 ,
следовательно, в первом квадранте функция убывает. Вследствие доказанной
симметрии получим:
1 квадрант – функция убывает
2 квадрант – функция возрастает
3 квадрант – функция возрастает
4 квадрант – функция убывает.
Следует отметить, что приведенные выше рассуждения справедливы
для значений b  c . Если же данное неравенство не выполняется, т. е. b  c , то
должна быть еще одна точка экстремума, кроме вышеназванных.
Существование этой точки подтверждается выполнением условий теоремы
Ролля. Абсцисса данной точки равна x  c , т. е учитывая симметричность
графика функции, промежутки монотонности в рассматриваемом случае
будут такими:
убывает
(( c 2  b 2 ;0); (c;2c 2  4c 4  b 4 ))  (( c 2  b 2 ;0); (c;2c 2  4c 4  b 4 ));
((c;2c 2  4c 4  b 4 ); ( b 2  c 2 ,0))  ((c;2c 2  4c 4  b 4 ); ( c 2  b 2 ;0));
возрастает
((  c 2  b 2 ;0); (c;2c 2  4c 4  b 4 ))  ((  c 2  b 2 ;0); (c;2c 2  4c 4  b 4 ));
(( c;2c 2  4c 4  b 4 ); ( b 2  c 2 ,0))  (( c;2c 2  4c 4  b 4 ); ( c 2  b 2 ;0));
убывает
возрастает
Для того чтобы определить промежутки вогнутости и выпуклости
графика, необходимо найти вторую производную данной функции. Чтобы не
перегружать работу громоздкими вычислениями, достаточно заметить, что
х=0 не будет являться нулем второй производной, т.е. останется только один
вариант – те точки, в которых знаменатель равен 0, т.е вторая производная не
существует. Т.к в знаменателе находится сама функция, то искомые точки
совпадут с нулями функции. Следовательно, при b  c будем иметь (с учетом
симметрии):
1-2 квадрант – функция выпукла
3-4 квадрант – функция вогнута
Для варианта b  c получим, что часть графика, расположенная выше
оси абсцисс – выпукла, а ниже оси Ох – вогнута.
2. Определение уравнения овалов Кассини в полярных
координатах
Для определения уравнения овалов Кассини в полярных координатах
воспользуемся рис.2. (ось полярных координат сонаправлена с осью Ох)
Из ∆OMF1 и ∆OMF2 получим:
MF12  r 2  c 2  2cr * cos 
MF22  r 2  c 2  2cr * cos 
Следовательно, по определению,
MF12 * MF22  b 4  (r 2  c 2 )  4c 2 r 2 * cos 2 
Раскрывая скобки и группируя слагаемые относительно переменной r ,
получим:
r 4  r 2 (2c 2  4c 2 cos 2  )  (c 4  b 4 )  0
D  4(b 4  c 4 sin 2 (2 ))
r 2  c 2 cos 2  b 4  c 4 sin 2 2
Рассмотрим дискриминант полученного выражения, полагая b  c .
Допустим, что D  0 , т. е.
b 4  c 4 sin 2 2  0
b4
sin 2  4  1
c
2
Т.к Sin  1 (при любом аргументе), то полученное противоречие
доказывает тот факт, что дискриминант больше 0 при любых значениях
параметров. Необходимо исключить один из корней уравнения. Докажем, что
если в правой части уравнения взять знак «минус», то значение выражения,
стоящего в правой части будет менее 0. Допустим, что это не так, т.е
c 2 cos 2  b 4  c 4 sin 2 2  0
c 2 cos 2  b 4  c 4 sin 2 2
c 4 cos 2 2  b 4  c 4 sin 2 2
b4  c4  0
Т.к., по предположению b  c , то последнее неравенство неверно.
Полученное противоречие показывает, что в правой части уравнения знак
«минус» стоять не может. Проверим оставшийся вариант, а именно r 2  c 2 cos 2  b 4  c 4 sin 2 2 .
Проверим, при каких значениях параметра  правая часть уравнения
меньше 0.
b 4  c 4 sin 2 2  c 2 cos 2
c 4 cos 2 2  b 4  c 4 sin 2 2
b4  c4  0
Следовательно, правая часть уравнения больше 0 при любых значениях
аргумента. Искомое уравнение кривой при b  c будет
r 2  c 2 cos 2  b 4  c 4 sin 2 2
В случае b  c получим уравнение лемнискаты Бернулли в полярных
координатах:
r 2  2c 2 cos 2
В случае b  c при рассмотрении дискриминанта получим, что
b4
c4

b2
sin 2  2
c


b4
sin
2




c4

1
1
b4
   arcsin 4
2
2
c
4
1
b
 arcsin 4   
2
c
sin 2 2 
1
b4
    arcsin 4
2
c
4
1
1
b
  arcsin 4
2
2
c
Таким образом, мы получили углы наклона к оси
прямых,
ограничивающих график овалов Кассини при b  c . При граничном случае, т.
 3
,
е b  c такими углами наклона к полярной оси будут
. Кроме того,
4
4
необходимо заметить, что приведенные выводы относительно уравнения
кривой при b  c полностью противоположны выводам при b  c . Т.е в данном
случае уравнение кривой будет иметь вид:
r 2  c 2 cos 2  b 4  c 4 sin 2 2
Также необходимо отметить, что все рассуждения относительно
симметрии, монотонности, выпуклости и вогнутости овалов Кассини,
рассмотренные в прямоугольных декартовых координатах, полностью
справедливы для полярных координат.