Тема урока: Уравнение касательной

Открытый урок учителя математики Гукасовой А.П.
Тема урока:
«Уравнение касательной»
Цель урока: вывести уравнение касательной к графику функции и находить его для
конкретных функций
I.
II.
III.
Ребята, мы научились с вами находить производные простых и сложных функций,
решать неравенства методом интервалов и, наконец, изучили геометрический
смысл производной функции в точке.
Итак, цель нашего сегодняшнего урока:
1. Проверить все полученные вами знания по этим темам
2. вывести уравнение касательной к графику функции в заданной точке
( x 0 ; f ( x 0 ))
В начале урока проведём тест (на 10-12 мин) - тест в Приложении №1
 пишут на двойных листах, выписывая ответы в свои тетради
 после того как работы собраны учителем, ученики проверяют верность своих
решений по ответам, выписанным на обратной стороне доски.
Решим у доски задание, аналогичное тому, что было задано на дом. Это задание
поможет в объяснении новой темы.
Итак, открываем учебник Калягин, стр. 34, №80 (б)
Дано:
α = П/6
X0 = 6
Y0 = -5
Составим уравнение прямой
4) уравнение имеет вид y =
1) Уравнение прямой имеет вид y=kx+b
2) Что показывает коэффициент k?
3
k =tg α = tg П/6 =
3
3
y=
x+b
3
3) т.к. точка (X0, Y0)  этой прямой, то
3
-5 =
*6+b
3
-5 = 2 3 +b
b = -5- 2 3
3
x -5-2 3
3
Дополнительные вопросы:
1. Какая прямая называется касательной к графику функции
2. В чем состоит геометрический смысл производной
3. Если f `(x)<0, то какой угол образует касательную с положительным
направлением оси OX. А если f `(x)>0 ? А если f `(x) = 0?
Ребята, а если бы задача звучала бы так:
Составить уравнение прямой, имеющей с графиком функции y= f (x) единственную точку
(6; -5) и образующую с положительным направлением оси OX угол α=П/6
1
Открытый урок учителя математики Гукасовой А.П.
Тогда, как бы мы назвали эту прямую? Необходимо знать y =
3
x -5-2 3 - уравнение
3
касательной к графику функции y=f(x).
Решение задачи поможет в составлении уравнения касательной к графику функции в
точке ( x 0 ; f ( x 0 ))
Запишем тему урока «Уравнение касательной»
Y
y=f(x)
y=kx+b
f(X0)
α
0
X0
X
Пусть нам дана дифференциальная функция y = f(x)
Точка ( x 0 ; f ( x 0 )) - точка касания графика функции y=f(x) с прямой y=kx+b
y=kx+b, т.к. k= f `(X0), то уравнение примет вид y = f `(X0)*x+b (*)
т.к. касательная проходит через точку ( x 0 ; f ( x 0 )) , то координаты этой точки
удовлетворяют уравнению
Y0= f `(X0)*x+b, т.е. Y0= f `(X0)*X0+b
Отсюда b= f (X0) - f `(X0)*X0
Y= f (X0) + f `(X0)*(X-X0)
Мы вывели уравнение касательной, где ( x 0 ; f ( x 0 )) - координаты точки касания.
(x, y) – координаты любой точки этой касательной.
Пример №1 (№84(2), стр.35)
Дано:
2
f(x)=x-3x
x0=2
___________________
Написать уравнение
касательной
y=f(x0) + f `( x0)(x-x0)
1) f(x0)=2-3*4=-10
2) f `( x)=1-6x
3) f `( x0)=1-6*2=-11
4) y=-10-11*(x-2)
y=-10-11*x+22
y=-11*x+12
2
Открытый урок учителя математики Гукасовой А.П.
Запишем алгоритм решения:
1. вычислить f(x0)
2. найти f `(x)
3. вычислить f `( x0)
4. подставим в уравнение касательной Y= f (X0) + f `(X0)*(X-X0)
Пример №2 (№85(3))
Дано:
f(x)= x  4
x0=0
___________________
Написать уравнение
y=f(x0) + f `( x0)(x-x0)
1) f(x0)= 0  4  2
1
2) f `( x)=
2 x4
1
1

3) f `(0)=
2 04 4
1
1
4) y= 2  ( x  0)  x  2
4
4
касательной
Вопрос Какой угол образуется касательной с положительным направлением оси OX?


Самостоятельная работа (№84(1) и 84(4))
На оборотах доски учениками решаются эти задания
№84(1)
f(x)=x2+x+1
x0=1
1)
2)
3)
4)
Решение:
f(x0)=3
f `( x)=2x+1
f `(1)=3
y=3+3(x-1)
y=3x
№84(4)
1
f (x) = 2  x  2
x
Решение:
1
1) f(x0)=
4
x0=-2
2) f `( x) = -2x-3= 
2
x3
1
3) f `( x0) =(-2)/(-8)=
4
1 1
1
3
4) y= + (x+2)= x+
4 4
4
4
1
3
y = x+
4
4
Вернёмся к домашнему заданию №89(6). В ней надо было найти точки графика функции
y=f(x), в которой касательная к этому графику параллельна прямой y=kx
Вспомним условие II двух прямых: если две прямые параллельны, то их угловые
коэффициенты равны.
3
Открытый урок учителя математики Гукасовой А.П.
Усложним условие задачи №89
Дана функция f(x)=x2-3x+4.Составим уравнение касательной,параллельной прямой y=3x-1
f(x)= x2-3x+4
y=3x-1
Т.к. касательная параллельна прямой y=3x-1, то k=3
Зная, что k= f `( x0), имеем
2x0-3=3
2x0=6
x0=3
Y= f (X0) + f `(X0)*(X-X0)
Пусть f `(X0)=K
f (X0)=32-3*3+4=4
Y=4+3(x-3)=4+3x-9=3x-5
Y=3x-5
Подведём итоги урока:
1. Перечислить пункты алгоритма. Составить уравнение касательной.
2. Если надо составить уравнение касательной, параллельной данной прямой, с чего
надо начинать решение таких заданий?
Домашнее задание учебник Калягина, стр.32 №84 (3, 5, 8),
№85(1, 2, 4)
4
Открытый урок учителя математики Гукасовой А.П.
Приложение
I вариант
II вариант
1.Найти производную функции
f(x)=(x+1)(x+2)-(x-1)(x-3)=(x+1)(x+2)-(x-1)(x-3)
1) -7 ; 2) -1; 3) -7; 4) 1
1. Найти производную функции
1
f(x) = x 4 
x
1
1
1
1
1) 4x - 2 ; 2) 4x3 - 2 ; 3) 4x + 2 ; 4) 4x3 + 2
x
x
x
x
касательной, 2. Найдите угловой коэффициент касательной,
проведённой к графику функции y=sin 2x в его
точке с абсциссой 0
1) 0; 2) 1; 3) 2; 4) -1
2.Найдите тангенс угла наклона
проведённой к графику
2
y = 6x в его точке с абсциссой (-1)
x
1) -4; 2) -6; 3) 6; 4) 8
3. Решить неравенство f `( x)>0, если f ( x)=-x2-4x-2007
1) (2; +∞) ; 2) (-2; +∞) ; 3) (- ∞; 2) ; 4) (- ∞; - 2)
4. Найти производную y = 2 sin x +cos x - 3
1
1) y`( x) = tg x +7;
2) y`( x) =
2 ;
sin x
3) y`( x) = 3 sin x - 2; 4) y`( x) = 2 cos x – sin x
(4 x  4)( 4  x )
0
( x  5) 3
1) (- ∞; -5)  1;4 ; 2) (-5; 1)  4; ;
3) (- ∞; -5)  1;5 ; 4) (-5; 1)  4; ;
3. Решить неравенство
x2  7
4. Найти производную f ( x ) 
cos x
1) f `( x) = 2x + 7 sin x ;
2 x  ( x 2  7)  tgx
2) f `( x) =
;
cos x
2 x  ( x 2  7)  ctgx
3) f `( x) =
;
sin x
2x
4) f `( x) = 
;
sin x
Ответы: вариант I – 3444,
вариант II - 1312
5