О 1

11 класс.
МОУ СОШ №256
г.Фокино.
Цели урока:
• Ввести понятия угла между
векторами и скалярного
произведения векторов.
• Рассмотреть формулу
скалярного произведения в координатах.
• Показать применение скалярного произведения
векторов при решении задач.
Проверка выполнения д/з: № 439(а)
• Дано: О0;0;0 А4;0;0 В0;6;0
у
АОВ - прямоугольный
• Найти:
1) К  х; у; z  - центр окружности,
В
описанный около АОВ.
2) АК  R
К
1
О 1
1
А
х
z
Проверка выполнения д/з: № 439(а)
• Решение:
Центр окружности К – середина
гипотенузы АВ. Найдем координаты К.
00
06
40
0
3 z 
х
2 у
2
2
2
4  2
Ответ:
2
 0  3  0  0  13
2;3;0;
В
К
К (2; 3; 0)
R  АК 
у
2
2
13
х
А
1
О 1
1
z
Повторение:
• Какие векторы называются равными?
а
a  b, если a  b ; а  b
b
• Как найти длину вектора по координатам его
начала и конца?
В
АВ 
х
 хА    уВ  у А 
2
2
А
• Какие векторы называются коллинеарными?
а  b или а  b
а
b
В
 x1    x2

а    b  y1    y 2
z    z
2
 1
Повторение. (Устно)
Векторы в пространстве.
А 3;2;4 В 4;3;2
1) Дано:
Найти: АВ
30
А2;3;1 В4;5;0 С 5;0;4 D7;2;3
2) Дано:
Равны ли векторы АВ и CD ?
Нет, т.к.равные векторы имеют равные
координаты.
АВ2;2;1
CD2;2;1
3) Дано: ? Коллинеарны ли векторы АВ и CD ?
А1;3;4
В5;1;2
С 2;0;1
D4;2;2
АВ8;4;6 CD2;2;1
Нет
Угол между векторами.
b
ОА  а ОВ  b
ab  

а
Если а  b, то
0
 

А
α
О
аb  0

В
Если а  b то ab  180
 
0

Если а  b то ab  90
0
Сопоставьте углы между векторами
и их градусной мерой.
00
а
450
О
c и f
d и a
a и f
a и b
b
300
450
d
1800с
f
1150
1350
Скалярное произведение векторов.
Скалярным произведением
двух векторов называется
произведение их длин
на косинус угла между
ними.
а

b
a  b  a  b  cos
Скаляр – лат. scale – шкала.
Ввел в 1845 г.
У. ГАМИЛЬТОН,
английский
математик.
Вспомним планиметрию…
a  b  a  b  cos 
 b , то
cos 90  0
0
 a b  0
Если
a
Если
a  b
Если
а  b
Если
a  b , то a  b  a  a  a  a  a  a
Скалярное произведение a  a называется
, то
, то
cos180  1  a  b   a  b
0
cos 0  1  a  b  a  b
0
скалярным квадратом вектора
2
2
Пример применения скалярного
произведение векторов в физике.
F
α
S
 

Если F S   , то
A  F  S  cos
Скалярное произведение векторов.
Формула скалярного произведения
векторов в пространстве.
аx1 ; y1 ; z1 
bx2 ; y2 ; z2 
a  b  x1 x2  y1 y2  z1 z2
Скалярное произведение двух векторов равно
сумме произведений соответствующих
координат этих векторов.
Докажем формулу скалярного
произведения в координатах для случая,
когда векторы неколлинеарны.
Желающий выходит к доске. Подсказки - на экране.
Для доказательства потребуется вспомнить
теорему косинусов.
В
АВ 2  ОА2  ОВ2  2  ОА  ОВ  cos
b
О
OA  a
α
а
А
OB  b
AB  b  a
Ваше доказательство:
Дома, следуя рекомендациям в
учебнике, вывести формулу cos α
для двух ненулевых векторов в
пространстве, зная их координаты.
cos 
x1 x2  y1 y2  z1 z 2
x y z  x y z
2
1
2
1
2
1
2
2
2
2
«Геометрия 10-11», глава V, § 2, п.47.
+
№№ 141 (в – з); 443 (д; е)
2
2
Решение задач.
Дан куб АВСDA1B1C1D1.
Найдите угол между векторами:
B1
В1 В и В1С
450
б) ВС и АС
450
а)
C
1
A1
D1
B
в) DA
и B1 D1
1350
A
C
D
№ 443 (г)
Дано: куб АВСDA1B1C1D1;
АВ = а; О1 – центр грани А1В1С1D1
Найти: ВА1  ВС1
1 способ:
ВА1С1  правильный
ВА1  ВС1  а 2
ВА ВС   60
C1
D1
A1
B1

1
0
1
ВА1  ВС1  а 2  а 2  cos60  а
0
Ответ: а2
D
2
A
C
B
№ 443 (г)
Дано: куб АВСDA1B1C1D1;
АВ = а; О1 – центр грани А1В1С1D1
Найти: ВА1  ВС1
2 способ:
ВА1  ВА  АА1
ВС1  ВС  СС1

C1
D1
ВА1  ВС1  ?

A1
B1

ВА1  ВС1  ВА  АА1  ВС  СС1 
 ВА  ВС  ВА  СС1  АА1  ВС 
D
 АА1  СС1 
 0  0  0  а  а  cos0  a
0
2
A
C
B
Ответ: а2
№ 443 (г)
Дано: куб АВСDA1B1C1D1;
АВ = а; О1 – центр грани А1В1С1D1
Найти: ВА1  ВС1
3 способ: Введем прямоугольную
систему координат.
A1
ВА1 а;0; а
Ответ: а2
х
C1
D1
ВС1 0; а; а
ВА1  ВС1  а  0  0  а  а  а  а
z
B1
у
2
D
A
C
B
Решаем по группам:
№ 443
1 – а)
а2
2 – б)
-2а2
3 – в)
0
Дополнительная задача:
Вычислите угол между вектором а и
координатным вектором i.
а2;1;2