ТЕЧЕНИЯ ГАЗА С УДАРНЫМИ ВОЛНАМИ

ТЕЧЕНИЯ ГАЗА С УДАРНЫМИ ВОЛНАМИ
КОСЫЕ СКАЧКИ УПЛОТНЕНИЯ
Плоская поверхность разрыва параметров в газовом потоке, нормаль которой не совпадает по направлению со скоростью невозмущенного потока,
называется косым скачком уплотнения. Косые скачки уплотнения возникают
при обтекании клиньев, при нерасчетном истечении плоских сопел. Скорость
потока при переходе через косой скачок меняется по величине и по направлению.
В дальнейшем обозначаются:  - угол наклона фронта скачка к скорости
невозмущенного потока,  - угол отклонения потока на скачке (рис.16).
Рис.16
Разрывы параметров на косом скачке являются функциями не только
числа Маха М 1 до скачка, но и одного из углов  или  .
Основные теоремы механики для элемента газа на косом скачке представлены в виде следующих уравнений ( Vn - нормальная, Vt касательная к
направлению скачка – составляющие скорости):
уравнение сохранения массы:
(10)
1Vn1   2Vn 2 ,
уравнение изменения количества движения в проекции на направление
скачка:
(11)
1Vn1 (Vt1  Vt 2 )  0 ,
откуда следует неизменность проекции скорости до и после скачка на
направление скачка;
уравнение изменения количества движения в проекции на нормаль к
скачку:
(12)
1Vn21   2Vn22  p2  p1 ;
уравнение энергии:
14
Vn21
Vn22
Vt 2
.
(13)
 i1 
 i2  i0 
2
2
2
Из (10) - (13) следует основное соотношение косого скачка:
k 1 2
Vn1Vn 2  akp2 
Vt .
(14)
k 1
В ряде соотношений на косом скачке основным параметром служит величина М 1 sin  :
1 Vn 2
2 
1
k  1  tg (    )
 2 2 



,
 2 Vn1 k  1  M 1 sin 
2 
tg
p2
2k
k 1
,

M 12 sin 2  
p1 k  1
k 1
(15)
(16)
T2
2 
1
k  1  2k
k  1
 2



M 12 sin 2  
,
2
T1 k  1  M 1 sin 
2  k  1
k  1
(17)
1
k
1

k 1 
k 1 
k 1
2 
1
k  1  
 2k
 2 2 
  .
(18)
  
M 12 sin 2  
 
k

1
k

1
k

1
M
sin

2




1

 



1
Из (15) - (18) следует, что при sin  
косой скачок исчезает, выM1
рождаясь в линию Маха.
При sin   1 (17) - (20) переходят в соотношения для прямого скачка.
Связь угла наклона скачка с углом отклонения потока устанавливается
формулой:
 k 1

1  M 12 
 sin 2  
 2
  tg .
(19)
ctg 
2
2
M 1 sin   1
Зависимость между параметрами потока воздуха на косом скачке для нескольких чисел M 1 дана в табл. 11.
Для каждого числа Маха M 1 существует предельный угол поворота потока в косом скачке, присоединенном к носику клина. Если угол раствора
клина, обтекаемого потоком газа, превышает предельный угол  max (M 1 ) , то
скачок становится отсоединенным и криволинейным.
При заданной скорости потока и изменении угла поворота потока на
скачке конец вектора скорости после скачка описывает в плоскости переменных u,   кривую (годограф), называемую ударной полярой. С помощью
ударной поляры графически решается ряд задач. Уравнение ударной поляры:
15
2
k  1  u 2 akp 
  2 
2
2
 V1 V1  .
 22  V1  u 2 
2
k  1  u 2 akp 
 

1
2  V1 V12 
(20)
Удобнее пользоваться безразмерной формой ударной поляры, которую
u

получим из (20), введя величины  u 
и  
:
akp
akp
  2   1   u 2 
2
 u2 
2
1
1
.
(21)


2
1
 1    u 2  
k 1
1

Уравнение (21) в координатах  u ,    изображается декартовым листом
(рис. 17).
Через точку С проходит асимптота к поляре:
2
1
1
1
  ua ,
ОА = ; ОВ =  1 ; ОС =
1
k 1
1
где  ua - координата асимптоты к годографу;
ОК =  2 - скорость после скачка, вызванного поворотом потока на угол  .
Рис.17
16
Касательная к поляре, проведенная из точки О, определяет угол поворота
потока  max , при превышении которого происходит отсоединение скачка от
носика обтекаемого клина.
Из трех точек поляры К, К 1 , К 2 , соответствующих некоторому углу поворота потока на косом скачке, физический смысл для присоединенных скачков имеет только точка К.
Задачи 25 - 44
м
, истекающей из баллона,
сек
где температура T0  288 K , возник плоский скачок уплотнения, фронт которого наклонен под углом   50  к направлению скорости воздуха до скачка.
Найти V2 - величину скорости потока после скачка и  - угол отклонения потока в скачке.
м
26. Поток воздуха, имеющий скорость V1  530
и M 1  2 , обтекает
сек
внутренний тупой угол, поворачиваясь при этом на 20 . Определить V2 - скорость потока после скачка.
27. Скорость невозмущенного потока воздуха, обтекающего клин с полум
углом раствора 20 , равна V1  800
. Угол наклона косого скачка   53
сек
измерен по фотографии. Геометрическим построением найти V2 - скорость потока за скачком.
28. Клин с углом полураствора   10,5 летит на уровне земли со скором
стью 680
. Определить направление и величину абсолютной скорости
сек
спутного движения воздуха за головной ударной волной.
25. В струе воздуха со скоростью V1  700
Указание: задачу решить, используя таблицы газодинамических функций
и графическое построение.
29. Полуугол раствора клина   22 . Теневой фотоснимок показывает,
что угол наклона косого скачка на носике клина к скорости невозмущенного
потока   64 . Найти соотношение плотностей воздуха
ка.
17
1
до и после скач2
30. Воздух течет по плоскому каналу, форма и размеры которого указаны
на рис.18. До поворота потока около точки А, коэффициент скорости потока
1  1,75 , давление p1  1ата , критическая скорость звука aкp  400
м
.
сек
Найти поля скоростей, давлений и температур. Начертить расположение
скачков уплотнения, построить линий тока.
Рис.18
Рис.19
31. Для течения воздуха с числом М 1  2,30 в плоском канале, форма которого дана на рис.19, определить максимальный угол  поворота нижней
стенки, при котором еще возможно правильное отражение косого скачка от
верхней стенки.
32. Проанализировать с помощью ударной поляры взаимодействие двух
симметричных косых скачков уплотнения, показанных на рис. 20, если коэффициент скорости в области   1  1,85 и скачки возникают под действием
перепада давлений
p2
 1,9 . (Задача об истечении из сопла с перерасширениp1
ем).
Указание: плоскость симметрии течения при расчете можно считать
твердой стенкой.
33. Воздух течет по каналу, форма которого показана на рис. 21. В сечении АВ число Маха М 1  2,3 ; давление p1  pa равно атмосферному. За точкой А стенка отклоняется на угол 1  20  . Рассчитать течение. Продолжить
стенку АС таким образом, чтобы после волны расширения получить параллельный поток.
34. Дать качественную картину истечения воздуха из плоского сопла, при
числе Маха М 1  2,5 и давлении р1  0,3ата , в среду, где давление
рa  1ата . Течение безотрывно.
18
Рис.20
Рис.21
35. Сравнить расчет обтекания контура ABCD (рис. 22) воздухом: а) с
учетом неизэнтропичности процесса в скачках уплотнения; б) по характеристическим числам.
Вдоль АВ число Маха М 1  2,25 ; 1  6,8  ; 2  4,7  .
Рис.22
Рис.23
36. Воздух истекает из сопла с косым срезом (   45  ) при числе Маха
M 1  2 . Рассчитать струю в областях 1, 2, 3, 4 (см. рис.23), если давление на
срезе сопла p1  0,775 pa . Течение плоское.
37. Определить коэффициент восстановления давления торможения в потоке воздуха на косом скачке при M 1  3 и   14,7  .
38. 1. Изучить поведение коэффициента восстановления давления торможения в зависимости от угла наклона скачка (   30  , 50  , 70  , 90  ) при
числах M 1  2 и M 2  4 .
2. Какой выигрыш в восстановлении давления торможения дает замена
прямого скачка косым, за которым будет звуковая скорость при указанных
числах M до скачка?
19
39. Найти полуугол раствора клина, обеспечивающий при  1  2
наилучший коэффициент восстановления давления торможения на входе в
двухскачковый плоский диффузор (рис. 24) (косой скачок и прямой). Сравнить с коэффициентом восстановления давления торможения диффузора,
имеющего простой вход (прямой скачок уплотнения при входе).
Рис.24
Рис.25
Указание: решить задачу с помощью ударной поляры, составляя таблицу:
40. Рассчитать течение в трехскачковом плоском диффузоре (рис 25) при
условиях:  1  2,0 ; 1  10  ; а)  2  10  , б)  2  20  . В случаях а) и б) найти
 2 ,  3 ,  4 и  . Сравнить с простым входом.
41. Рассчитать оптимальный трехскачковый диффузор (два косых скачка
и один прямой) (см. рис. 25); считать M 1  3,2 .
42. Проанализировать с помощью ударных поляр взаимодействие двух
несимметричных косых скачков уплотнения, показанных на рис. 26, если
 1  1,75 ;  a  36,5  ; b  41  .
20
Рис.26
Указание: при решении воспользоваться тем, что 1)  a  b   c   d .
2) p4  p5 .
43. Воздух обтекает ломаную стенку АОВС (рис. 27). Угол 1  33  , угол
 2  23,5  . Вдоль отрезка АО поток имеет число Маха M 1  3. Найти форму
скачка уплотнения ОО 1 в результате интерференции его с волной расширения
в точке В. Завихренность потока за скачком и отраженную волну не учитывать.
Рис.27
Рис.28
44. Воздух обтекает ломаную стенку АОВС (рис. 28) у которой 1  15  ,
 2  35  . Вдоль АО число Маха M 1  2,5 . Найти форму скачка уплотнения (отходящего от точки В) в результате взаимодействия с волной расширения, возникающей точке О.
21