скачки уплотнения в потоках углекислого газа

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
На правах рукописи
ШУМКОВ Сергей Григорьевич
СКАЧКИ УПЛОТНЕНИЯ В ПОТОКАХ УГЛЕКИСЛОГО ГАЗА
01.02.05 Механика жидкости, газа и плазмы
ДИССЕРТАЦИЯ
на соискание ученой степени кандидата
физико-математических наук
Научный руководитель:
доктор физ.-мат. наук, профессор
Рыдалевская Мария Александровна
Санкт-Петербург
2015 г.
2
СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
§1 Общая характеристика и структура диссертации . . . . . . . . . . .
§2 Развитие кинетической теории газов и ее применение
в задачах физико-химической газодинамики . . . . . . . . . . . .
4
4
10
ГЛАВА 1. Кинетическое и газодинамическое описание течений
углекислого газа в разных физических ситуациях
14
§1.1 Описание энергии молекул углекислого газа . . . . . . . . . . . . . 14
§1.2 Обобщенные кинетические уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . 20
§1.3 Газодинамическая скорость и макроскопические уравнения . . . . 22
§1.4 Иерархия времен релаксации. Выделение ведущего столкновительного оператора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
§1.5 Предельные решения кинетических уравнений в углекислом газе . 30
§1.6 Система уравнений релаксационной газодинамики. Приближение
идеальной жидкости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
§1.7 Скорость звука на разных стадиях релаксации . . . . . . . . . . . 42
ГЛАВА 2. Пространственно-однородная релаксация в условиях
энергетической накачки колебательных мод CO2
54
§2.1 Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
§2.2 Стадии релаксации газа после энергетической накачки на разные
колебательные моды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
§2.3 Метод Ньютона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
§2.4 Результаты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
ГЛАВА 3. Скачки уплотнения в равновесных потоках углекислого газа
69
3
§3.1 Обобщенные условия динамической совместности . . . . . . . . . .
§3.2 Схема описания скачков уплотнения в равновесных потоках углекислого газа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§3.3 Значения газодинамических параметров за ударной волной на границах различных релаксационных зон . . . . . . . . . . . . . . . .
69
74
77
ГЛАВА 4. Скачки уплотнения в колебательно неравновесных
потоках углекислого газа
92
§4.1 Схема описания скачков уплотнения в колебательно неравновесных потоках углекислого газа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
§4.2 Скачки уплотнения в неравновесных потоках углекислого газа,
соответствующих завершению стадии V V -релаксации . . . . . . . 94
§4.3 Скачки уплотнения в неравновесных потоках углекислого газа,
соответствующих завершению стадии V V ′(1−2) -релаксации . . . . 102
§4.4 Скачки уплотнения в неравновесных потоках углекислого газа, соответствующих завершению стадий V V ′(2−3) и V V ′(1−2−3) релаксации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
113
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
116
4
ВВЕДЕНИЕ
§1 Общая характеристика и структура диссертации
В работе рассматриваются физико-химические процессы в углекислом газе, молекулы которого наряду с поступательными обладают вращательными и
колебательными степенями свободы. Моделирование течений углекислого газа
осуществляется на основе методов кинетической теории газов. Поступательные
и вращательные степени свободы рассматриваются в классическом приближении, для описания колебательных степеней свободы используется модель гармонического осциллятора. При описании углекислого газа используется приведенная в [13] модификация уравнений Ванг–Чанг и Уленбека [106].
Учитывается, что в газах с внутренними степенями свободы столкновения, при которых происходят различные энергетические переходы, происходят
с разной частотой. Известно, что столкновения, при которых изменяется только поступательная и вращательная энергия, происходят значительно чаще тех,
при которых происходит изменение колебательной энергии. Это позволяет разделить происходящие в газе релаксационные процессы на две группы: быстрые
и медленные. В данной работе на основе модифицированного с учетом быстрых и медленных процессов метода Энскога-Чепмена [12, 27, 53, 54, 58] строится
замкнутая система макроскопических уравнений с минимальным числом макропараметров.
Основное внимание в настоящей диссертации уделяется колебательной
неравновесности. Исследование поступательной и вращательной неравновесности проводилось в монографии [40] (см. также работу [39]).
При умеренных температурах обычно используется модель гармонического осциллятора. Различные колебательные обмены, в свою очередь, происходят
5
с разной частотой [20, 70]. В многоатомных молекулах значительно чаще происходят V V -обмены колебательной энергией одного типа (или одной моды),
в отличии от наиболее медленных V RT –обменов, при которых колебательная
энергия переходит в другие виды энергии. Для модели гармонического осциллятора при V V -обмене сохраняется колебательная энергия сталкивающихся частиц. Межмодовые V V ′ -обмены происходят реже (согласно ряду исследований
их частота зависит от доли колебательной энергии, переходящей в поступательную и вращательную) [60, 61].
В настоящей диссертации рассматривается углекислый газ в условиях, когда релаксационный процесс разделяется на стадии: поступательновращательную RT –релаксацию, внутримодовую V V -релаксацию, межмодовые
V V ′ -релаксации, когда учитывается какая-то часть межмодовых обменов колебательной энергией, и V RT -релаксацию, когда газ переходит в равновесное
состояние. В каждом случае исследуется состояние завершения соответствующей стадии.
Процессы диссоциации и рекомбинации не рассматриваются.
Актуальность. Исследование течений газов с внутренними степенями
свободы необходимо в задачах высокотемпературной и высокоскоростной аэродинамики, физики атмосферы, плазмохимии, в некоторых отраслях химической
технологии, в задачах космической и лазерной техники.
Диссертационная работа посвящена исследованию влияния колебательных степеней свободы молекул на газодинамические параметры и ударноволновые процессы в углекислом газе.
Колебательная релаксация является наиболее медленным процессом, ее
время в ряде случаев может превосходить характерное макроскопическое время
[20]. Это приводит к возникновению колебательной неравновесности в потоках
газа.
Актуальность подобных исследований объясняется наличием углекислого
газа в атмосферах Марса и Венеры [33,52]. Изучение релаксационных процессов
в углекислом газе имеет важное значение и для решения ряда технологических
и экологических проблем. Например, молекулы углекислого газа входят в состав активных сред ряда газодинамических лазеров [2, 48]. Уменьшение парникового эффекта в атмосфере Земли, в принципе, возможно за счет разложения
6
молекул CO2 с помощью возбуждения колебательных степеней свободы [93,94].
Целью работы являлось поэтапное исследование квазистационарных состояний углекислого газа в пространственно-однородном случае и на границах
релаксационных зон за фронтом ударных волн.
Достоверность результатов определяется использованием строгого математического аппарата кинетической теории и газовой динамики, а также на
основе физического анализа и качественного сравнения с работами других авторов.
Научная новизна работы. В диссертационной работе получены следующие основные научные результаты:
1. Определено поведение скорости звука на разных стадиях релаксации углекислого газа. Показано, что основное влияние на скорость звука оказывают
обмены между колебательной и поступательной энергией в молекулах CO2 .
2. Рассмотрены различные временные этапы колебательной релаксации углекислого газа после энергетических воздействий, которые осуществляются в активной среде газодинамических лазеров.
3. Предложена методика послойного исследования структуры ударных волн в
равновесных и неравновесных потоках углекислого газа.
4. При исследовании прямых и косых скачков уплотнения показано, что интенсивное изменение газодинамических параметров происходит в начальной зоне
RT -релаксации и завершающей зоне перехода к состоянию нового термодинамического равновесия.
Научная и практическая ценность. Предложенная схема
пространственно-временного разделения процессов колебательной релаксации в углекислом газе может служить основой для решения ряда научных
и технологических проблем. Результаты работы могут быть использованы в
лазерной технике и космической аэродинамике (в частности, при исследовании
процессов происходящих в атмосфере Марса).
7
Положения, выносимые на защиту:
1. Схема описания течений углекислого газа на разных стадиях релаксации.
2. Определение адиабатического коэффициента k для разных стадий релаксации и его влияния на скорость звука в углекислом газе; установлено, что околорезонансные межмодовые обмены колебательной энергией не меняют температурную зависимость скорости звука.
3. Рассчитаны температуры, определяющие заселенности колебательных уровней на разных временных этапах релаксации углекислого газа после энергетической накачки на различные колебательные моды.
4. Послойное исследование структуры прямых и косых скачков уплотнения в
равновесных потоках CO2 ; оценка роли межмодовых обменов в формировании
параметров газа на границах релаксационных зон.
5. Оценка влияния колебательной неравновесности набегающего потока на релаксационную структуру прямых и косых скачков уплотнения.
Апробация результатов. Результаты, представленные в диссертации,
докладывались на следующих международных конференциях:
1. Международная конференция по механике "Шестые Поляховские чтения"
(Санкт-Петербург, 2012 г.);
2. Международная конференции по механике "Седьмые Поляховские чтения"
(Санкт-Петербург, 2015 г.).
Результаты также докладывались на научных семинарах кафедры гидроаэромеханики Санкт-Петербургского государственного университета.
Публикации. Основные выводы и результаты расчетов опубликованы в
работах:
1*. Рыдалевская М.А., Шумков С.Г., Игнаткова М.Г. Релаксационная газодинамика углекислого газа при умеренных температурах // Вестн. С.-Петерб.
ун-та. Сер. 1. 2012. Вып. 3. С.129-135.
8
Научным руководителем Рыдалевской М.А. была поставлена задача, вычислительная работа проводилась Игнатковой М.Г., Шумкову С.Г. принадлежит получение квазистационарных распределений и оценка результатов вычислений.
2*. Шумков С.Г. Пространственно-однородная релаксация CO2 , выведенного из
состояния равновесия за счет энергетической накачки на разные колебательные
моды // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2013. Вып. 4. С. 117-126.
3*. Shumkov S. Shock Waves in Equilibrium Flows of Carbon Dioxide // 2015
International Conference on Mechanics - Seventh Polyakhov’s Reading 7106778.
4*. Шумков С.Г., Игнаткова М.Г. Релаксационная газодинамика углекислого
газа при умеренных температурах // Шестые Поляховские чтения. Тезисы докладов Международной научной конференции по механики, Санкт-Петербург,
31 января - 3 февраля 2012 г. М.: Издатель И.В. Балабанов, 2012. С. 197.
Вычисления проводились Игнатковой М.Г., Шумкову С.Г. принадлежит
получение квазистационарных распределений и оценка результатов вычислений.
5*. Шумков С.Г. Скачки уплотнения в потоках углекислого газа // Седьмые
Поляховские чтения. Тезисы докладов Международной научной конференции
по механики, Санкт-Петербург, 2 - 6 февраля 2015 г. М.: Издатель И.В. Балабанов, 2015. С. 152.
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех
глав, заключения и списка литературы. Каждая глава содержит краткую аннотацию, основные выводы приводятся в конце главы. Диссертация изложена
на 125 страницах, содержит 32 рисунка, 2 таблицы и список литературы, включающий 108 наименований.
Во введении приводится краткая характеристика работы, обосновывается ее актуальность и достоверность. Приводится структура диссертации и ее
объем. Дан краткий исторический обзор развития методов кинетической теории газов. Основные исследования в работе осуществляются на основе этих
методов.
9
Глава 1 посвящена кинетическому и газодинамическому описанию течений углекислого газа с внутренними степенями свободы в разных физических
ситуациях. Основное внимание уделяется описанию стадий колебательной релаксации углекислого газа и виду квазистационарных распределений молекул
на этапах завершения рассматриваемых стадий. При этом используется подход
и модели, описанные в [66]. Кратко описывается аналитическая формула для
скорости распространения малых возмущений, которая в аэродинамике отождествляется со скоростью звука. Выражение, полученное в [64] рассматривается
для разных стадий релаксации углекислого газа. Исследуется влияние колебательной неравновесности на коэффициент k и скорость звука.
Глава 2 посвящена пространственно-однородной релаксации углекислого газа после энергетического воздействия на отдельные колебательные моды.
Рассматривается ситуация, когда некоторый изолированный газовый объем, который находился в состоянии термодинамического равновесия, выводится из
этого состояния в результате энергетической накачки на одну из колебательных мод молекулы CO2 . Выписываются условия нормировки на этапе завершения каждой стадии релаксации. Эти условия представляют собой замкнутые
системы нелинейных алгебраических уравнений, в результате решения которых
находятся температура газа и дополнительные колебательные температуры, соответствующие рассматриваемым стадиям релаксации.
В главе 3 рассматриваются косые и прямые скачки уплотнения в потоках углекислого газа. Предполагается, что набегающий на ударную волну
поток углекислого газа является равновесным. Ударная волна рассматривается как узкий (по сравнению с характерными размерами течения) переходный
слой между двумя состояниями термодинамического равновесия. Ударная волна разделяется на несколько релаксационных зон, соответствующих установлению нового равновесия по некоторым степеням свободы [14, 16]. Проводится
послойное исследование прямых и косых скачков уплотнения. Выделяются зоны RT , V V , V V ′ и V RT –релаксации. На границе каждой из релаксационных
зон выписываются обобщенные условия динамической совместности. Во всех
ситуациях условия совместности соответствуют замкнутым системам алгебраических уравнений, неизвестными в которых являются интенсивные параметры,
входящие в квазистационарные распределения. Решение этих систем позволя-
10
ет найти значения газодинамических параметров на границах релаксационных
зон в косых и прямых скачках уплотнения.
Глава 4 посвящена изучению структуры прямых и косых скачков уплотнения в неравновесных потоках диоксида углерода. Ударная волна рассматривается как узкий переходный слой между двумя неравновесными состояниями
газа. Проводится оценка влияния колебательной неравновесности набегающего потока на релаксационную структуру прямых и косых скачков уплотнения.
Последовательно рассматриваются ситуации, при которых в низкотемпературном потоке углекислого газа до ударной волны сформировались квазистационарные колебательные распределения, соответствующие этапам завершения
разных стадий релаксации. Ударная волна разделяются на несколько релаксационных зон. Условия, накладываемые на разрывы газодинамических величин
на границах этих зон, могут быть получены на основе результатов главы 3. Они
соответствуют замкнутым системам алгебраических уравнений. Неизвестными
величинами, как и в главе 3, являются интенсивные параметры, сопряженные
соответствующим экстенсивным параметрам. С помощью численных методов
проводится расчет параметров газа на границах релаксационных зон.
§2 Развитие кинетической теории газов и ее применение
в задачах физико-химической газодинамики
Исследование колебательной неравновесности углекислого газа является
важной проблемой современной газовой динамики. Такие исследования, в основном, проводятся методами кинетической теории газов. Она позволяет на
основе молекулярного подхода получить описание явлений, происходящих на
макроскопическом уровне, и предсказать поведение макропараметров в неравновесных условиях в зависимости от рассматриваемых молекулярных процессов.
Кинетическая теория газов прочно вошла в науку на рубеже XIX и XX веков и дала возможность решить ряд важных задач. В частности, она позволила
исследовать сильно и слабо разреженные газы.
11
Основы кинетической теории газов были заложены Максвеллом и Больцманом [7]. В первых работах молекулы рассматривались как твердые шарики
или точечные силовые центры [30, 74]. В дальнейшем, в связи с рассмотрением
новых явлений, появилась необходимость учета внутренних степеней свободы
молекул. В работе [106] было представлено обобщение кинетической теории для
однородных по химическому составу газов с внутренними степенями свободы.
Осуществлялись попытки учета вращательных степеней свободы с помощью
рассмотрения молекул как эллипсоидов и шероховатых сфер [19,74]. Было проведено распространение кинетической теории на смеси газов [13, 19, 103], рассмотрены газы с химическими реакциями [12, 13, 57], диссоциацией и рекомбинацией [9, 67].
Наряду с этим велась разработка методов решения уравнений кинетической теории. Наиболее удачными стали такие методы как метод ЭнскогаЧепмена [19, 74] и метод Грэда [21]. Большое число работ было посвящено развитию этих методов [11, 24, 36, 51, 62, 65].
Появление нового класса задач, связанных с рассмотрением течений газов в условиях сильного отклонениях от состояния термодинамического равновесия, определило дальнейшее направление развития кинетической теории.
Подобные проблемы возникают при решении задач, связанных со входом в атмосферы планет космических аппаратов, при сверхзвуковых течениях газов в
соплах, при решении экологических проблем, связанных с загрязнением атмосферы, а также при решении ряда технологических задач. В первых исследованиях рассматривались только слабые отклонения от равновесия. В дальнейшем
(при рассмотрении сверхзвуковых струй, состояний газа за ударными волнами
и т.д.) исследовались ситуации, при которых возможно значительное отклонение от равновесного состояния. Наличие обменов энергией, протекающих в
макроскопическом масштабе, позволило построить иерархию времен релаксации и модифицировать метод Энскога-Чепмена с учетом быстрых и медленных
процессов. Подобные исследования проводились в работах [26,27,37,38,53,54,67].
В дальнейшем для моделирования течений неравновесных газов были использованы квазистационарные функции распределения. Первые модели в этом
направлении были развиты В.Н. Жигулевым, В.М. Кузнецовым и другими авторами. Наряду с нарушением равновесия между различными видами энергии
рассматривались нарушения равновесных распределений внутри одного вида
12
энергии. Первым таким распределением стало распределение Тринора [105].
Развитие небольцмоновских квазистационарных распределений применительно к теории процессов переноса было проведено в работах Е.В. Кустовой и Е.А.
Нагнибеды (см., например, [43, 55]).
Новым и одним из важнейших направлений дальнейшего развития кинетической теории газов стало исследование колебательной кинетики в многоатомных газах, в частности, углекислом газе. Исследование углекислого газа
и смесей, содержащих его молекулы, стало актуально в связи с обнаружением
диоксида углерода в атмосферах Марса и Венеры (в атмосфере Марса содержится более 95% CO2 ). Кроме того, углекислый газ нашел широкое применение
в лазерной технике (в составе активной среды газодинамических лазеров).
Исследованию многоатомных молекул и, в том числе, углекислого газа посвящено множество работ. Структура и строение многоатомных молекул рассматривается в [17, 32]. В работах [20, 22, 23] изучались колебательные
распределения при релаксации системы нижних колебательных уровней молекулы CO2 , когда справедлива модель гармонического осциллятора. В некоторых из этих работ был обнаружен эффект инверсии заселенности колебательных уровней. Квазистационарные распределения с учетом ангармоничности колебаний молекул были получены в работах [46, 56, 63, 87, 88]. Множество
работ посвящено релаксации колебательно неравновесного CO2 , в том числе,
в условиях неравновесной диссоциации молекул углекислого газа (см., например, [31, 45, 79, 87, 90, 95, 96]), экспериментальные данные о колебательной кинетике CO2 и других многоатомных молекул приводятся в обзоре [92].
Большой проблемой при исследовании многоатомных молекул является
недостаток сведений о скоростях обменов между колебательными уровнями.
Некоторые экспериментальные данные можно найти в [92]. Результаты экспериментов для углекислого газа также даны в [3, 4, 28, 91]. Данные о временах
релаксационных процессов можно найти в [70]. Этих данных недостаточно для
расчета сечений столкновений и коэффициентов переноса. Существуют теоретические модели для расчета вероятностей колебательных переходов, большинство из которых основано на SSH-теории [76,85]. Однако, SSH-теория применима только при умеренных температурах. Наиболее точные современные теоретические методы расчета сечений столкновений в углекислом газе основаны на
трехмерных квазиклассических вычислениях [84, 102].
13
Современные исследования углекислого газа связаны с изучением релаксационных процессов в сверхзвуковых течениях и процессов переноса в условиях сильной колебательной неравновесности [41, 44, 92, 95, 97, 98, 101, 108]. В
совместных работах научных групп университетов Бари и Санкт-Петербурга
[80–83] применялся подход, основанный на упрощении уравнений динамики
неравновесного газа.
В последнее десятилетие появилось много работ посвящено проблеме
неравновесности течений у космических аппаратов при входе в атмосферу Марса и Венеры [71, 77, 98–100].
Серьезной проблемой является рост концентрации углекислого газа в атмосфере Земли, что может оказать значительное влияние на глобальное изменение климата. Решению задачи уменьшения парникового эффекта в атмосфере
Земли за счет разложения молекул CO2 с помощью возбуждения уровней колебательной энергии посвящены, например, работы [93, 94].
В данной работе исследуется влияние возбуждения колебательных степеней свободы на газодинамические параметры и ударно-волновые процессы в
углекислом газе при умеренных температурах. Процессы диссоциации не рассматриваются. Учитывается возбуждение лишь сравнительно невысоких колебательных уровней молекулы CO2 . Для их описания используется модель гармонического осциллятора.
14
Глава 1
КИНЕТИЧЕСКОЕ И ГАЗОДИНАМИЧЕСКОЕ
ОПИСАНИЕ ТЕЧЕНИЙ УГЛЕКИСЛОГО ГАЗА В
РАЗНЫХ ФИЗИЧЕСКИХ СИТУАЦИЯХ
§1.1 Описание энергии молекул углекислого газа
В настоящей работе рассматривается углекислый газ с внутренними степенями свободы. Как известно (см., например, [17]), молекула углекислого газа —
это линейная трехатомная молекула, имеющая в основном электронном состоянии три колебательные моды: симметричную валентную моду с частотой ν1 ,
дважды вырожденную деформационную моду с частотой ν2 и антисимметричную валентную моду с частотой ν3 . Каждая из трех мод соответствует одному
из типов колебаний молекулы CO2 .
Схематически структуру молекулы и типы колебаний можно представить
в виде:
O
C
O
n
~
n
n
~
n
ν2
n
?
~
n
ν2
·
n
+
~- -
ν1
·
n
ν3
Рис. 1. Схема строения молекулы CO2 .
15
Энергию каждой молекулы можно представить как сумму энергии ее поступательного движения как целого и внутренней энергии, так как известно,
что движение центра масс системы можно рассматривать независимо от относительных движений частиц, образующих эту систему [6].
Состояние газа изменяется с повышением температуры, при этом в газе
возбуждаются вращательные и колебательные степени свободы молекул. При
достаточно высоких температурах возможны процессы диссоциации и рекомбинации. В настоящей работе работе рассматриваются умеренные температуры,
поэтому эти процессы не рассматриваются, также как электронные степени свободы и химические реакции.
В основном электронном состоянии энергия молекулы CO2 определяется
формулой
ε = εtr + εrot + εvibr ,
(1.1.1)
где εtr , εrot и εvibr — поступательная, вращательная и колебательная энергия
молекул.
При сравнительно низких температурах молекулы углекислого газа обладают лишь поступательной энергией, и можно не учитывать возбуждение
внутренних степеней свободы. В газе происходят только упругие столкновения.
При этом поступательная энергия молекулы имеет вид
p2
mu2
εtr =
=
,
(1.1.2)
2m
2
где m – масса молекулы; ⃗u – ее скорость; p⃗ – импульс частиц.
Дальнейшее повышение температуры приводит к возбуждению вращательных, а затем и колебательных степеней свободы, когда молекулы, наряду
с поступательной энергией, обладают вращательной и колебательной энергией. Вид этой энергии зависит от типа рассматриваемой молекулы. Существует
несколько различных моделей, позволяющих описывать соответствующие внутренние движения атомов в молекуле.
Как уже говорилось выше, молекула углекислого газа — линейная молекула. Линейные молекулы обладают только двумя вращательными степенями
свободы. Поэтому вращательное движение молекулы CO2 описывается аналогично вращательному движению двухатомных молекул. Для описания враще-
16
ния можно применять как классическое, так и квантовое представление.
При классическом описании вращательная энергия молекулы может быть
вычислена по формуле [18]:
Iω 2
,
(1.1.3)
2
где ω – угловая скорость молекулы; I – момент инерции молекулы относительно
оси вращения.
В настоящей диссертации вращательные степени свободы считаются квантованными. Простейшей квантовой моделью, служащей для описания вращательного движения, является жесткий ротатор, когда вращающиеся атомы соединены жестким невесомым стержнем. Этой модели соответствуют уровни
вращательной энергии [18]
εrot =
∗
εrot
r = hc Br(r + 1), r = 0, 1, ..., R.
(1.1.4)
Здесь c∗ – скорость света; r – уровень вращательной энергии; R – максимальный
уровень вращательной энергии; величину B = h/8π 2 c∗ I называют константой
вращения. Модель (1.1.4) предполагает независимость вращательной и колебательной энергии.
Предположение о том, что вращающиеся атомы соединены не жестким
невесомым стержнем, а невесомой пружиной, дает несколько лучшую модель
нежесткого ротатора. Это более строгая модель. Ей соответствуют уровни вращательной энергии
(
)
εr = hc∗ Br(r + 1) − Dr2 (r + 1)2 , r = 0, 1, ..., R.
(1.1.5)
Для учета зависимости вращательной энергии от колебательного уровня
v двухатомной молекулы постоянные B и D заменяются переменными величинами
)
(
Bv = Be − αe v + v2 + ...;
(
)
Dv = De − βe v + v2 + ....
Здесь Be , De , αe , βe – спектроскопические постоянные, соответствующие равновесному положению атомов в молекуле.
В трехатомной молекуле CO2 возможны три типа колебаний. Поэтому,
для учета связи между вращательной и колебательной энергией нужно опреде-
17
лить зависимость коэффициентов B и D от трех уровней колебательной энергии
v1 , v2 и v3 . В данной работе мы будем пренебрегать этим влиянием молекулярных колебаний на вращательную энергию и будем считать величины B и D
постоянными.
При конкретных расчетах для описания вращательной энергии мы часто
будем использовать классическое приближение, которому соответствует формула (1.1.3).
При возбуждении колебательных степеней свободы в газе наряду с упругими столкновениями и вращательными переходами, происходят столкновения
молекул, при которых изменяется колебательная энергия. В большинстве случаев для описания колебательного движения атомов в молекуле нельзя использовать классические или квазиклассические модели. В данной работе колебательные степени свободы молекул считаются квантованными. Колебательная
энергия εvibr молекулы CO2 представляет собой суммарную энергию трех типов колебаний (трех колебательных мод) [17].
В монографии [17] для описания колебательной энергии линейных трехатомных молекул была получена формула:
εvibr
v1 v l v3
2
hc∗
) ∑
)(
)
(
3 ∑
3 (
dk
dj
dk
=
+
vk +
vj +
+
vk +
2
2
2
k=1
k=1 j≥k
(
)(
)(
)
3 ∑
3
3
∑
∑
dk
dj
dn
+
vk +
vj +
vn +
+
2
2
2
3
∑
ωke
k=1 j≥k n≥j≥k
+xell l2
+
3
∑
ykll l2 , vi = 1, ..., vimax (i = 1, 2, 3).
(1.1.6)
k=1
Здесь v1 , v2 , v3 – колебательные квантовые числа, соответствующие 1-й (симметричной), 2-й (деформационной) и 3-й (антисимметричной) модам; vimax –
максимальные значения учитываемых уровней возбуждения i-й моды; l – дополнительное квантовое число, описывающее проекцию момента деформационных колебаний на ось молекулы; ωke = νk /c∗ – волновое число k-й моды (νk –
e
частота колебаний k-й моды); xekj и ykjn
– постоянные ангармоничности.
Во многих работах колебательная энергия молекул CO2 отсчитывается от
нулевого уровня. При этом записывается выражение:
18
ε̃vibr
v1 v l v3
2
hc∗
=
3
∑
ωkf vk
+
3
3 ∑
∑
k=1
k=1 j≥k
+xfll l2
+
3
∑
xfkj vk vj
+
3 ∑
3
3
∑
∑
f
vk vj vn +
ykjn
k=1 j≥k n≥j≥k
f 2
ykll
l , vi = 0, 1, ..., vimax (i = 1, 2, 3).
(1.1.7)
k=1
Далее предполагается, что энергия отсчитывается от нулевого уровня,
знак ˜ опускается. Данные о спектроскопических постоянных молекулы углекислого газа [89] представлены в таблице 1.
Таблица 1. Спектроскопические постоянные молекулы CO2 .
f
ωkf , см−1
xfkj , см−1
ykjn
, см−1
xfll , см−1
f
ω1f = 1345, 04 xf11 = −3, 63
y111
= 0, 13
0, 775
f
f
f
ω2 = 667, 25
x12 = 3, 44
y112 = 0, 08
f
f
f
ω3 = 2361, 71 x13 = −19, 28
y113
=0
f
xf22 = −0, 635 y122
= −0, 07
f
xf23 = −12, 51 y123
= 0, 02
f
f
x33 = −12, 56 y133 = 0, 07
f
y222
= 0, 01
f
y223 = 0
f
y233 = 0, 01
f
= 0, 015
y333
Если в выражении (1.1.7) ограничиться только слагаемыми с ωif vi , то получим простейшую молекулярную модель колебательного движения атомов в
молекуле – модель гармонического осциллятора.
εvibr
v1 v l v3
2
hc∗
=
3
∑
ωkf vk , vi = 0, 1, ..., vimax (i = 1, 2, 3).
(1.1.8)
k=1
Эта модель применяется в ситуациях, когда можно учитывать возбуждение
лишь нижних колебательных уровней молекулы.
Выбор определенной степени точности δ вычисления колебательной энергии позволяет выделить отрезки колебательного спектра каждой моды, удовлетворяющих соотношениям
xkk vk2
≤ δ, k = 1, 2, 3.
ωk vk
(1.1.9)
19
Максимальное значение vk∗ , удовлетворяющее соотношению (1.1.9), позволяет найти область применения модели гармонического осциллятора.
Если в заданном диапазоне температур исследуемого течения известна
максимальная степень возбуждения vk∗ (k = 1, 2, 3) каждой колебательной моды, то можно заранее сделать вывод о том, можно ли ограничиться моделью
гармонического осциллятора или нужно использовать более сложные модели.
Если для всех колебательных мод справедливы соотношения vk∗ ≤ vkmax , более
сложные модели колебательной энергии использовать не нужно.
В настоящей работе δ выбирался равным 5% и при расчетах мы ограничивались возбуждением 10 колебательных уровней первой моды, 20 уровней
второй моды и 5 уровней третьей моды.
Замечание.
В условиях, когда нужно учитывать возбуждение высоких колебательных
уровней молекул, обычно используется более точная молекулярная модель —
модель ангармонического осциллятора. При этом в выражении для колебательной энергии учитываются квадратичные члены.
В двухатомной молекуле, если колебательная энергия, отсчитываемая от
нулевого уровня, описывается с помощью модели ангармонического осциллятора, она имеет вид
εv = vε1 − ∆εv(v − 1), v = 1, ..., v ∗ ,
(1.1.10)
где ε1 /hc∗ = ω(1 − 2x), ∆ε/hc∗ = xω.
Квадратичные члены в колебательной энергии (1.1.7) описывают не только ангармонизм колебаний каждой моды, но и взаимное влияние колебательных
мод.
Для простоты мы остановимся на использовании модели гармонического
осциллятора, что соответствует сравнительно умеренным температурам.
В этих условиях полная энергия молекул CO2 определяется в результате
подстановки формул (1.1.2), (1.1.3) и (1.1.8) в (1.1.1).
20
§1.2 Обобщенные кинетические уравнения
В настоящей работе состояние углекислого газа описывается методами кинетической теории. Кинетическая теория описывает динамику газов и кинетику
протекающих в них процессов на основе функций распределения.
Предположим, что большую часть времени молекулы газа движутся независимо друг от друга, вступая во взаимодействие лишь при столкновениях.
Продолжительностью столкновений в сравнении со временем свободного пробега молекул можно пренебречь. Будем рассматривать только парные столкновения. Это означает, что газ является достаточно разреженным, допускающим
описание на уровне одночастичных функций распределения.
Пусть fv1 v2 v3 r (⃗r, ⃗u, t) – одночастичная функция распределения молекул углекислого газа по уровням колебательной v1 , v2 , v3 и вращательной r энергии
в пространстве скоростей ⃗u, координат ⃗r и времени t. Функция fv1 v2 v3 r (⃗r, ⃗u, t)
определяется как плотность математического ожидания числа частиц с фиксированными значениями v1 , v2 , v3 , r в элементе фазового пространства (⃗r, ⃗r +d⃗r),
(⃗u, ⃗u +d⃗u) в момент времени t. Любой параметр газа может быть вычислен, если
известны функции fv1 v2 v3 r (⃗r, ⃗u, t). Чтобы определить эти функции, необходимо
решить обобщенные кинетические уравнения Больцмана.
Система обобщенных кинетических уравнений для углекислого газа может быть записана в виде [106]
Dvr fvr = Jvr (f ) , v = 0, 1, ..., v max , r = 0, 1, ..., R,
(1.2.1)
где индекс v = (v1 , v2 , v3 ) (v max = (v1max , v2max , v3max )) определяет колебательную энергию молекулы; Dfvr и Jvr (f ) – дифференциальный и интегральный
операторы.
Дифференциальный оператор характеризует изменение функции распределения при движении молекул вдоль фазовой траектории и может быть записан в виде [12, 74]:
∂fvr
F⃗ ∂fvr
Dfvr =
+ ⃗u · ∇fvr + ·
,
(1.2.2)
∂t
m ∂⃗u
где u – скорость движения молекул; F⃗ – массовая сила.
Интегральный оператор Jvr (f ) характеризует изменение функции распределения за счет столкновений молекул друг с другом и соответствует суммарно-
21
му воздействию на функции распределения всех, происходящих в газе, парных
столкновений, вида:
Avr (⃗u) + Av1 r1 (⃗u1 ) ↔ Av′ r′ (⃗u′ ) + Av′1 r′1 (⃗u′1 ) .
(1.2.3)
Здесь Avr (⃗u) и Av1 r1 (⃗u1 ) – сталкивающиеся частицы со скоростями ⃗u и ⃗u1 на колебательных уровнях v = (v1 , v2 , v3 ) и v 1 = (v11 , v21 , v31 ) и вращательных уровнях
r и r1 . Штрихом обозначены скорости и уровни энергии частиц после столкновения. Интеграл Jvr (f ), описывающий столкновения (1.2.3), имеет вид [55, 72]:
)
∑ ∑ ∫ (
1 r1
s
s
vr
v
− fvr fv11 r1 ×
Jvr (f ) =
fv′ ′ r′ fv′1′1 r′1
′
′
′1
′1
sv r sv r
1 ′ ′1 1 ′ ′1
v vv r rr
v ′ r′ v ′1 r′1
×gσvrv
dΩd⃗u1 ,
1 r1
v = 0, 1, ..., v max , r = 0, 1, ..., R.
(1.2.4)
Здесь svr , sv1 r1 , sv′ r′ и sv′1 r′1 – статистические веса сталкивающихся и получающихся в результате столкновений (1.2.3) частиц, причем svr = sv sr =
sv1 sv2 sv3 sr = (v2 + 1) sr , так как дважды вырожденной является только вторая
′ ′
v′ r′ v 1 r1
мода; σvrv
– дифференциальное сечение столкновения частиц углекислого
1 r1
газа, находящихся на v-м и v 1 -м колебательных и r-м и r1 -м вращательных
уровнях, движущихся с относительной скоростью ⃗g = ⃗u1 − ⃗u, в результате ко′
торого частицы переходят на колебательные уровни v ′ и v 1 и вращательные
′
уровни r′ и r1 , а вектор относительной скорости ⃗g ′ после столкновения попадает в телесный угол dΩ. Используются следующие обозначения для функций
распределения до и после столкновения:
fvr = fvr (⃗r, ⃗u, t),
fv′ ′ r′ = fv′ r′ (⃗r, ⃗u′ , t),
(
)
(
)
fv11 r1 = fv1 r1 ⃗r, ⃗u1 , t , fv′1′1 r′1 = fv′1 r′1 ⃗r, ⃗u′1 , t .
Интегралы столкновений (1.2.4) могут быть записаны в симметричной
форме [66]
∑ ∑ ∫ ( f ′ ′ ′ f ′1′1 ′1 fvr f 11 1 )
vr v r
v r
Jvr (f ) =
−
×
′ r ′ sv ′1 r ′1
1
1
s
s
s
v
vr
v r
v 1 v ′ v ′1 r1 r′ r′1
(
)
v ′ r′ v ′1 r′1
×Wvrv
⃗u, ⃗u1 |⃗u′ , ⃗u′1 d⃗u1 d⃗u′ d⃗u′1 .
1 r1
(1.2.5)
22
′ ′ ′1 ′1
vrv r
Здесь Wvrv
– плотность вероятности появления частиц Av′ r′ и Av′1 r′1 со ско1 r1
ростями ⃗u′ и ⃗u′1 при столкновении частиц Avr и Av1 r1 со скоростями ⃗u и ⃗u1 .
Операторы (1.2.4) и (1.2.5) описывают как упругие столкновения, так и
неупругие столкновения, приводящие к изменению внутренней энергии молекул.
Интеграл столкновений в форме (1.2.4) удобен для проведения конкретных вычислений, а в форме (1.2.5) — для доказательства интегральной леммы:
)
(
)
fv′ ′ r′ fv′1′1 r′1 fvr fv11 r1
v ′ r′ v ′1 r′1
Φvr
−
Wvrv
⃗u, ⃗u1 |⃗u′ , ⃗u′1 d⃗ud⃗u1 d⃗u′ d⃗u′1 =
1 r1
sv′ r′ sv′1 r′1
svr sv1 r1
)
(
∫
∫
∫
∫
(
) fv′ ′ r′ fv′1′1 r′1 fvr fv11 r1
1∑
1
′
′1
=
Φvr + Φv1 r1 − Φv′ r′ − Φv′1 r′1
−
×
4
sv′ r′ sv′1 r′1
svr sv1 r1
(
)
v ′ r′ v ′1 r′1
⃗u, ⃗u1 |⃗u′ , ⃗u′1 d⃗ud⃗u1 d⃗u′ d⃗u′1 ,
×Wvrv
1 r1
(1.2.6)
∑∫ ∫ ∫ ∫
(
где Φvr (⃗r, ⃗u, t) – произвольная функция времени, векторных аргументов ⃗r и ⃗u.
§1.3 Газодинамическая скорость
и макроскопические уравнения
При изучении течений различных газов исследователей интересуют макроскопические параметры.
Величины
∫
nvr (⃗r, t) =
fvr (⃗r, ⃗u, t)d⃗u
(1.3.1)
соответствуют числу молекул газа с фиксированным значением квантовых чисел v1 , v2 , v3 , r в единице объема. Общая числовая n и массовая ρ плотности
газа определяются выражениями:
n(⃗r, t) =
∑
vr
nvr (⃗r, t),
(1.3.2)
23
ρ(⃗r, t) = mn(⃗r, t).
(1.3.3)
Наибольший интерес представляет скорость газовых потоков ⃗v (⃗r, t), которая определяется в данный момент времени в каждой точке пространства как
среднемассовая скорость частиц исследуемого газа:
ρ(⃗r, t)⃗v (⃗r, t) =
∑∫
fvr (⃗r, ⃗u, t)m⃗ud⃗u,
(1.3.4)
vr
где m – масса молекул.
В химически однородном углекислом газе, который мы рассматриваем:
∑∫
n(⃗r, t)⃗v (⃗r, t) =
fvr (⃗r, ⃗u, t)⃗ud⃗u.
(1.3.5)
vr
В кинетической теории часто бывает удобно перейти к собственной скорости движения молекул
⃗c = ⃗u − ⃗v (⃗r, t).
(1.3.6)
Полная энергия определяется как:
e(⃗r, t) = eT R + eROT + eV IBR ,
(1.3.7)
где eT R , eROT , eV IBR – поступательная, вращательная и колебательная энергии,
определяемые по формулам:
eT R
∑ ∫ mc2
=
fvr (⃗r, ⃗u, t)d⃗u,
2
vr
(1.3.8)
εrot
r, ⃗u, t)d⃗u,
r fvr (⃗
(1.3.9)
εvibr
r, ⃗u, t)d⃗u.
v fvr (⃗
(1.3.10)
eROT =
∑∫
vr
eV IBR =
∑∫
vr
Учитывая (1.3.6), систему уравнений (1.2.1) можно переписать в собственных скоростях. Тогда fvr (⃗r, ⃗u, t) = f˜vr (⃗r, ⃗c, t), и частные производные по времени
t, пространственным координатам и компонентам скорости ⃗u можно переписать
следующим образом
24
∂ f˜vr ∂ f˜vr ∂⃗v
∂fvr
=
−
· ,
∂t
∂t
∂⃗c ∂t
∂fvr
∂ f˜vr ∂ f˜vr ∂⃗v
·
=
−
, k = 1, 2, 3,
∂xk
∂xk
∂⃗c ∂xk
∂fvr
∂ f˜vr
=
, k = 1, 2, 3.
∂uk
∂ck
(1.3.11)
(1.3.12)
(1.3.13)
При этом дифференциальный оператор Dvr fvr принимает следующий вид
[55, 74]:
∂ f˜vr
D̃vr f˜vr =
+ ⃗c · ∇f˜vr +
∂t
(
F⃗
d⃗v
−
m dt
)
·
∂ f˜vr ∂ f˜vr
−
⃗c : ∇⃗v ,
∂⃗c
∂⃗c
(1.3.14)
где f˜vr = f˜vr (⃗r, ⃗c, t).
Интегральный оператор столкновений в собственных скоростях J˜vr (f˜vr )
по форме совпадает с оператором (1.2.4) или (1.2.5) с точностью до перехода к
интегрированию по собственным скоростям ⃗c соответствующих частиц.
Формально систему (1.3.14) можно записать в виде
( )
( )
˜
˜
D̃ fvr = Jvr f˜ .
(1.3.15)
В дальнейшем знак˜будем опускать, предполагая, что осуществлен переход к собственной скорости молекул.
Пусть φvr (⃗r, ⃗c, t) — некоторый молекулярный признак, тогда соответствующий ему макроскопический параметр выражается следующим образом:
n⟨φ⟩(⃗r, t) =
∑∫
fvr (⃗r, ⃗c, t)φvr (⃗r, ⃗c, t)d⃗c.
(1.3.16)
vr
Используя кинетическую теорию, можно получить уравнения переноса
молекулярного признака. Для этого умножим каждое из уравнений (1.3.15) на
молекулярный признак φvr (⃗r, ⃗c, t), затем проинтегрируем полученное выражение по всему пространству скоростей ⃗c и просуммируем по v = (v1 , v2 , v3 ) и r.
Тогда придем к общему уравнению переноса молекулярного признака φvr (⃗r, ⃗c, t)
[12, 25, 56, 66]:
25
(⟨ ⟩
d
dφ
(n⟨φ⟩) + n⟨φ⟩div⃗v + ▽ · (n⟨φ⃗c⟩) − n
− ⟨⃗c · ▽φ⟩+
dt
dt
(
) ⟨ ⟩ ⟨
⟩
)
⃗
F
d⃗v
∂φ
∂φ
+
−
·
−
⃗c : ▽⃗v = n⟨∆φ⟩.
m dt
∂⃗c
∂⃗c
(1.3.17)
При записи уравнения (1.3.17) использовалось соотношение (1.3.16).
За n⟨∆φ⟩ в (1.3.17) обозначено изменение молекулярного признака
φvr (⃗r, ⃗c, t) в единице объема за счет молекулярных столкновений:
Φ (⃗r, t) = n⟨∆φ(⃗r, t)⟩ =
∑∫
Jvr (fvr ) φvr (⃗c, ⃗r, t)d⃗c.
(1.3.18)
vr
§1.4 Иерархия времен релаксации.
Выделение ведущего столкновительного оператора
При решении кинетических уравнений их обычно записывают в безразмерной форме. При переходе к безразмерной записи кинетических уравнений
вводятся в рассмотрение характерные значения макроскопических параметров,
соответствующие рассматриваемому течению (как правило, массовыми силами
можно пренебречь): n∗ – характерное значение числовой плотности молекул; l∗
– характерный размер течения; T∗ – характерная температура газа. Среднюю
величину собственной скорости молекул c∗ можно определить как среднюю ско√
рость теплового движения молекул c∗ = 2kT∗ /m (k – постоянная Больцмана).
Далее, считая что g ∼ c∗ , можно ввести характерное сечение столкновений σ∗ .
Характерное время θ∗ изменения макроскопических параметров газа определяется как θ∗ = l∗ /c∗ .
Введем безразмерные координаты и время: x̂ = x/l∗ , ŷ = y/l∗ , ẑ = z/l∗ и
t̂ = t/θ∗ . При этом безразмерные функции распределения выглядят следующим
(
)
образом: fˆvr = fvr / n∗ c−3
∗ .
В результате кинетические уравнения принимают вид [12, 66, 72]:
26
( )
1
ˆ
ˆ
D̂vr fvr = Jvr fˆvr .
n∗ l∗ σ∗
(1.4.1)
Здесь D̂vr fˆvr – дифференциальный оператор (1.3.14) в безразмерной форме;
Jˆvr – интегральный оператор столкновений (1.2.4) или (1.2.5) в безразмерной
форме.
В газе с внутренними степенями свободы молекулярные столкновения,
вообще говоря, происходят с разной частотой.
Так, например, упругие столкновения, когда изменяется энергия поступательного движения, а внутреннее состояние молекул остается неизменным,
происходят чаще неупругих столкновений, при которых изменяется внутреннее
состояние молекул. Как известно, время установления равновесия по поступательным степеням свободы измеряется несколькими временами свободного пробега молекул [70]. В свою очередь, среди неупругих столкновений значительно
чаще происходят столкновения, при которых изменяется вращательная энергия, а колебательная энергия остается неизменной. Согласно экспериментальным данным, вращательная релаксация происходит за время порядка пяти или
десяти времен свободного пробега. Столкновения, сопровождающиеся наряду
с изменениями поступательно-вращательной энергии изменениями колебательной энергии молекул, происходят значительно реже остальных.
Интегральный оператор Jvr (fvr ) в уравнениях Больцмана (1.4.1) в виде
суммы интегральных операторов столкновений трех типов:
(tr)
(rot)
(vibr)
Jˆvr = Jˆvr
+ Jˆvr
+ Jˆvr
.
(1.4.2)
(tr)
(rot)
(vibr)
Здесь Jˆvr соответствует упругим столкновениям; Jˆvr и Jˆvr
– столкновениям с изменениями вращательной и колебательной энергии молекул. В свою
очередь, вероятности столкновений, сопровождающихся изменениями колебательной энергии, также могут различаться по величине. Соответственно, характерные сечения σ∗ в (1.4.1) имеют различные значения для разного типа
столкновений, и можно ввести средние сечения для каждого типа столкновений
σ∗α , где α обозначает тип столкновения. Сечениям σ∗α соответствуют интегральα
ные операторы Jvr
(1.2.4) или (1.2.5).
Тогда уравнения (1.4.1) можно записать так:
27
D̂vr fˆvr =
∑
α
n∗ l∗ σ∗α Jˆvr
(
)
ˆ
fvr .
(1.4.3)
α
Рассмотрим комбинацию величин n∗ l∗ σ∗α . Заметим, что произведение
n∗ σ∗α c∗ можно связать со средним числом столкновений типа α в единице объема в единицу времени. Выражение 1/ (n∗ σ∗α c∗ ) соответствует среднему времени
τα между этими столкновениями, l∗ = θ∗ c∗ .
Учитывая это, запишем
1
λα
τα
=
= ϵα
=
n∗ l∗ σ∗α
θ∗
l∗
(1.4.4)
Здесь λα = τα c∗ - средняя длина свободного пробега молекул между столкновениями типа α.
Величина ϵα = λα /l∗ = τα /θ∗ является аналогом числа Кнудсена для
столкновений, которым соответствуют средние сечения σ∗α .
Уравнение (1.4.3) можно переписать в виде [12, 55, 66]:
D̂vr fˆvr =
( )
∑ 1
α
ˆ
Jvr fˆvr .
ϵα
α
(1.4.5)
Учитывая экспериментальные данные, приведенные в [70], (1.4.2) можно
записать следующие цепочки неравенств:
τtr < τrot << τvibr
(1.4.6)
ϵtr < ϵrot << ϵvibr .
(1.4.7)
и
В уравнениях (1.4.5) индексы α занумерованы в порядке возрастания ϵα .
Кроме того, будем считать, что осуществлен переход к безразмерным уравнениям (1.4.5), и опустим в дальнейшем символ ˆ. Времена между разными типами
колебательных переходов также могут сильно различаться даже при использовании модели гармонического осциллятора.
Если газ вывести из состояния термодинамического равновесия, то его
релаксация будет представлять собой сложный многоступенчатый процесс. В
ряде случаев это позволяет разделить во времени релаксацию различных видов
28
энергии, а иногда и выделить разные стадии релаксации одного и того же вида
энергии, и разделить процесс релаксации на соответствующие стадии.
Ранее процесс релаксации был разделен на поступательную, вращательную и колебательные стадии (см. (1.4.2)). При этом были записаны неравенства
(1.4.6) и (1.4.7). За счет того, что столкновения, сопровождающиеся колебательными переходами, происходят с разной частотой, колебательная релаксация тоже может быть разделена на стадии в соответствии с типами энергетических
обменов, происходящих при столкновениях.
Например, в многоатомных газах и смесях двухатомных газов наиболее
часто происходят внутримодовые колебательные обмены. В газе из гармонических осцилляторов обычно выделяется стадия V V -релаксации, когда при столкновениях происходят обмены колебательной энергией одного вида
(vi ) + (vi′ ) ↔ (vi ± 1) + (vi′ ∓ 1).
(1.4.8)
Межмодовые колебательные обмены происходят реже внутримодовых.
Частота этих колебательных обменов определяется долей колебательной энергии, переходящей в поступательную и вращательную (так называемым дефектом резонанса) [20, 61].
В некоторых работах (см., например, [60, 61]) теоретически отмечалось,
что в ситуациях когда частоты колебаний двух мод νi и νk относятся как небольшие целые числа νi : νk ≈ m : n, вероятности обменов вида
(vi ) + (vk ) ↔ (vi ± n) + (vk ∓ m)
(1.4.9)
возрастают более чем на порядок по сравнению с другими.
Это позволяет выделить некоторые группы наиболее частых столкновений, при которых происходят межмодовые колебательные обмены, — V V ′ обмены.
Переход к состоянию полного термодинамического равновесия осуществляется за счет всех межмолекулярных столкновений.
В газе без химических реакций может быть выписана система неравенств
для характерных времен релаксации:
(1)
(k)
τtr ≤ τrot << τV V << τV V ′ << ... << τV V ′ << τV RT ≈ τEQ .
(1.4.10)
29
Здесь k-количество межмодовых колебательных обменов; τV RT – среднее время
между столкновениями, при которых происходят любые обмены энергией (оно
соответствует времени τEQ перехода к состоянию термодинамического равновесия). Вероятность таких столкновений самая маленькая. Стадией V RT завершается процесс релаксации газа.
Соотношения вида (1.4.10) обычно называют иерархией времен релаксации.
При сильно неравновесных условиях различие характерных скоростей
процессов играет принципиальную роль [55]. При исследовании течений в расширяющихся соплах, а также на орбитах спускаемых космических аппаратов
наблюдались ситуации, когда часть ϵα << 1, а другие ϵα ∼ 1.
В связи с этим, рассматриваемые процессы можно разбить на две группы:
быстрые и медленные процессы. Для быстрых процессов характерное время
ταrap ≪ θ∗ , а для медленных процессов ταsl ∼ θ∗ .
Тогда, учитывая различие в скоростях релаксационных процессов и разделение интегрального оператора на слагаемые, описывающие различные типы
столкновений, в интегральной части уравнений (1.4.5) можно выделить ведущий столкновительный оператор [27,53,58]. При этом система уравнений (1.4.5)
может быть записана в виде
1 rap
sl
Dvr fvr = Jvr
+ Jvr
.
ϵ
(1.4.11)
rap
sl
Здесь Dvr , Jvr
, Jvr
– дифференциальный и интегральные операторы быстрых
rap
и медленных процессов. Причем оператор Jvr
содержит только те слагаемые,
для которых ϵα << 1. Параметр ϵ = maxα {ϵα , ϵα << 1}; соответственно ϵ << 1.
rap
Оператор Jvr
описывает столкновения, среднее время τ между которыми
sl
много меньше θ; Jvr
– столкновения, среднее время τ между которыми сравнимо
rap
с θ или превосходит его. Оператор Jvr
обычно называют ведущим столкновительным оператором.
Перепишем уравнение (1.4.11) в виде
rap
sl
ϵDvr fvr = Jvr
+ ϵJvr
.
(1.4.12)
и устремим ϵ → 0. Тогда уравнения системы (1.4.11) переходят в уравнения
30
rap
Jvr
= 0.
(1.4.13)
Решения уравнений (1.4.13) часто называют предельными решениями.
В ситуации, когда все процессы являются быстрыми по сравнению с газодинамическими, уравнения (1.4.11) принимают вид
1 rap
.
(1.4.14)
Dvr fvr = Jvr
ϵ
Эти уравнения соответствуют локально равновесным и близким к ним течениям.
§1.5 Предельные решения кинетических уравнений
в углекислом газе
В настоящей работе рассматриваются течения углекислого газа. В соответствии с §1.4, внутримодовые обмены (1.4.8) можно учитывать для каждой
из трех мод линейной молекулы CO2 .
Среди наиболее частых групп межмодовых обменов (1.4.9) особенно четко
прослеживается так называемый «Ферми-резонанс» [17, 60].
Следствием того, что отношение частот симметричной и деформационной
мод ν1 : ν2 ≈ 2 : 1 является резкое увеличение вероятности V V ′(1−2) -обменов:
(v1 , v2 ) + (v1′ , v2′ ) ↔ (v1 ± 1, v2 ) + (v1′ , v2′ ∓ 2).
(1.5.1)
При рассмотрении колебательных переходов, связанных с изменением
энергии третьей моды, можно заметить, что отношение частот колебаний симметричной и антисимметричной мод ν1 : ν3 ≈ 1 : 2. Согласно сказанному выше,
среди обменов типа (1.4.9) достаточно частыми должны быть обмены вида
(v1 , v2 , v3 ) + (v1′ , v2′ , v3′ ) ↔ (v1 ± 2, v2 , v3 ) + (v1′ , v2′ , v3′ ∓ 1).
(1.5.2)
31
Это позволяет выделить стадию V V ′(1−3) -релаксации, когда наряду с
поступательно-вращательными переходами и обменами (1.5.1) учитываются обмены вида (1.5.2).
Кроме того, среди колебательных обменов, включающих третью моду, были обнаружены трехквантовый V V ′(2−3) переход энергии между антисимметричной и деформационной модами и V V ′(1−2−3) обмен между всеми колебательными модами молекулы:
(v1 , v2 , v3 ) + (v1′ , v2′ , v3′ ) ↔ (v1 , v2 ± 3, v3 ) + (v1′ , v2′ , v3′ ∓ 1)
(1.5.3)
(v1 , v2 , v3 ) + (v1′ , v2′ , v3′ ) ↔ (v1 ± 1, v2 ± 1, v3 ) + (v1′ , v2′ , v3′ ∓ 1).
(1.5.4)
и
В принципе, обмены (1.5.1), (1.5.3) и (1.5.4) можно считать наиболее вероятными среди наблюдавшихся в экспериментальных исследованиях межмодовых обменов [96]. Обмен вида (1.5.2) хоть и является возможным с теоретической точки зрения на практике не наблюдается.
Суммируя все вышесказанное, систему неравенств (1.4.10) можно конкретизировать следующим образом:
(1−2)
(2−3)
(1−2−3)
τtr < τrot << τV V << τV V ′ << τV V ′ ≤ τV V ′
<< τV RT ≈ τEQ .
(1.5.5)
Иерархия (1.5.5) позволяет рассматривать ситуации, при которых столкrap
новительный оператор быстрых процессов Jvr
включает разные группы столкновений.
Кинетическая теория газов позволяет определить квазистационарные
функции распределения, которые формируются на разных стадиях релаксации. Для того чтобы определить квазистационарные функции распределения
рассмотрим уравнения (1.4.11) на разных стадиях релаксации. Функции, аннулирующие ведущий столкновительный оператор, могут быть записаны следующим образом [12, 54, 55, 58, 66]:
32
3
(0)
fvr
= svr
m
exp
h3
( Λ
∑
)
(λ)
γλ ψvr
, v = 0, 1, ..., v max , r = 0, 1, ..., R.
(1.5.6)
λ=0
(λ)
Здесь ψvr (λ = 0, 1, ..., Λ) – независимые аддитивные инварианты столкновений
rap
оператора Jvr
, учитываемые на данной стадии релаксации, то есть величины,
сохраняющиеся при рассматриваемых столкновениях; γλ – параметры, которые могут зависеть только от координат и времени. Их можно определить из
условий нормировки:
∑∫
(0) (λ)
fvr
ψvr d⃗c = Ψλ , λ = 0, 1, ..., Λ,
(1.5.7)
vr
(λ)
где Ψλ – суммарные значения аддитивных инвариантов столкновений ψvr в
единице объема.
Рассмотрим вид предельных решений (1.5.6) на каждой стадии релаксации.
1. Стадия поступательно-вращательной релаксации. На стадии RT релаксации аддитивным инвариантом столкновений является поступательновращательная энергия, уровни колебательной энергии не изменяются при
столкновениях:
mc2
+ εr , v = 0, 1, ..., v max , r = 0, 1, ..., R.
(1.5.8)
2
⃗ = m⃗c и, поскольку на данной стаКроме того, сохраняется импульс ψ
дии не происходит колебательная релаксация, номера колебательных уровней
каждой моды:
(0)
ψvr
=
(λ)
ψvr
= δv1 ,λ1 δv2 ,λ2 δv3 ,λ3 , λi = 0, 1, ..., vimax (i = 1, 2, 3),
(1.5.9)
где δvi ,λi (i = 1, 2, 3) – символ Кронекера.
На этапе завершения RT -релаксации квазистационарную функцию распределения можно представить в виде [68]:
fv(0)
1 v2 v3 r
( ( 2
)
)
mc
m3
+ εr + γv1 v2 v3 .
= sr 3 exp γ0
h
2
(1.5.10)
33
Функция (1.5.10) нормирована на суммарную поступательновращательную энергию eRT = eT R + eROT и на числовые плотности частиц
на определенных колебательных уровнях nv1 v2 v3 . Параметры γ0 и γv1 v2 v3
определяются из условий нормировки (1.5.7).
Вращательную энергию часто рассматривают в классическом пределе.
Учитывая это и условия нормировки (1.5.7) суммарную поступательно вращательную энергию можно представить в виде eRT = 5kT /2, где T – температура
газа. Это позволяет записать соотношение γ0 = −1/(kT ) (такое представление
для γ0 будем использовать и в дальнейшем).
(0)
Используя условия нормировки (1.5.7) функцию распределения fv1 v2 v3 r
можно представить в виде
fv(0)
1 v2 v3 r
(
)
nv1 v2 v3
m3
mc2 /2 + εr
=
sr
exp −
Ztr (T ) Zrot (T ) h3
kT
(1.5.11)
fv(0)
1 v2 v3 r
(
)
nv1 v2 v3 ( m )3/2
mc2 /2 + εr
=
exp −
.
Zrot (T ) 2πkT
kT
(1.5.12)
или
В формулах (1.5.11) и (1.5.12) использованы поступательная Ztr и вращательная Zrot статистические суммы:
(
Ztr (T ) =
2πmkT
h2
)3/2
,
εr )
Zrot (T ) =
sr exp −
.
kT
r=0
R
∑
(1.5.13)
(
(1.5.14)
Функция распределения (1.5.12) соответствует поуровневому описанию
колебательной кинетики углекислого газа [42, 55].
2. Стадия внутримодовых колебательных обменов. На стадии V V релаксации, когда происходят обмены вида (1.4.8), в газах из гармонических
осцилляторов наряду с поступательно-вращательной энергией (1.5.8) и импульсом сохраняется колебательная энергия каждой моды ψ (i) = εvi (i = 1, 2, 3).
Из закона сохранения числа частиц следует еще один инвариант — единица
ψ (4) = 1.
Таким образом, на этапе завершения V V -релаксации формируется ква-
34
зистационарная функция распределения (1.5.6), которую можно представить в
виде
)
( ( 2
)
3
mc
m
+ εr + γ1 εv1 + γ2 εv2 + γ3 εv3 + γ .
fv(0)
= (v2 + 1)sr 3 exp γ0
1 v2 v3 r
h
2
(1.5.15)
Симметричная и антисимметричная колебательные моды не вырождены, поэтому svi = 1 при i = 1, 3. Деформационная мода дважды вырождена, поэтому
sv2 = v2 + 1
Функция (1.5.15) нормирована на суммарную поступательновращательную энергию eRT , суммарную колебательную энергию каждой
(i)
моды eV (i = 1, 2, 3) и общее число частиц n. Параметры γ0 , γ1 , γ2 , γ3 и γ
определяются из условий нормировки (1.5.7). На этой стадии можно ввести
обозначения γi = −1/(kTi ) (i = 1, 2, 3).
Перепишем функцию (1.5.15) следующим образом
fv(0)
1 v2 v3 r
( m )3/2
n
=
×
Zrot (T ) Z1vibr (T1 ) Z2vibr (T2 ) Z3vibr (T3 ) 2πkT
(
)
mc2 /2 + εr
εv2
εv3
εv1
× exp −
−
−
.
−
kT
kT1 kT2 kT3
(1.5.16)
Кроме соотношений (1.5.13) и (1.5.14) в (1.5.16) использованы следующие
формулы для статистических сумм, соответствующих разным колебательным
модам:
)
(
ε vi
, i = 1, 2, 3.
(Ti ) =
svi exp −
kT
i
v =0
vimax
Zivibr
∑
(1.5.17)
i
При i = 1 и 3, svi = 1, при i = 2, sv2 = v2 + 1.
Функции распределения (1.5.16) соответствуют четырехтемпературному
описанию колебательной кинетики молекул CO2 [42].
3. Стадия межмодовых колебательных обменов V V ′(1−2) . Среди межмодовых обменов наиболее вероятными являются околорезонансные двухквантовые обмены V V ′(1−2) (1.5.1).
На стадии V V ′(1−2) -релаксации объединенная колебательная энергия пер-
35
вых двух мод сохраняется лишь приближенно. Аддитивными инвариантами являются: сумма поступательно-вращательной и колебательной энергии первых
(0)
⃗ = m⃗c , колебательная энердвух мод ψv1 v2 r = mc2 /2 + εr + εv1 + εv2 , импульс ψ
(1)
гия третьей моды ψv3 = εv3 и единица. Кроме этого, из соотношений (1.5.1)
следует, что при всех столкновениях в первых двух модах сохраняется число
(2)
(2)
(2)
колебательных квантов второй моды: ψv1 v2 = (2v1 + v2 )ε1 (ε1 – колебательная
энергия первого уровня второй моды). Поэтому квазистационарную функцию
распределения можно записать так:
fv(0)
1 v2 v3 r
( ( 2
)
m3
mc
= (v2 + 1)sr 3 exp γ0
+ εr + εv1 + εv2 +
h
2
)
(2)
+γ1,2 (2v1 + v2 )ε1 + γ3 εv3 + γ .
(1.5.18)
Функция (1.5.18) нормирована на суммарные значения инвариантов в единице объема: поступательно-вращательную и колебательную энергию первой и
(2)
(1)
второй мод e1,2 = eT R + eV + eV :
)
∑ ∫ ( mc2
e1,2 (⃗r, t) =
+ εr + εv1 + εv2 fv(0)
(⃗r, ⃗c, t)d⃗c
1 v2 v3 r
2
v v v r
(1.5.19)
1 2 3
(2)
и число W1,2 квантов ε1 :
W1,2 (⃗r, t) =
∫
∑
(2v1 +
(2)
v2 )ε1
fv(0)
(⃗r, ⃗c, t)d⃗c,
1 v2 v3 r
(1.5.20)
v1 v2 v3 r
(3)
а также на колебательную энергию третьей моды eV :
(3)
eV (⃗r, t)
=
∑ ∫
εv3 fv(0)
(⃗r, ⃗c, t)d⃗c
1 v2 v3 r
(1.5.21)
v1 v2 v3 r
и число частиц n. Параметры γ0 , γ1,2 , γ3 и γ определяются из условий
нормировки (1.5.7). Здесь можно сохранить обозначение γ3 = −1/ (kT3 ) и по
аналогии с работой [105] ввести обозначение γ1,2 = 1/ (kT ) − 1/ (kT1,2 ).
Учитывая это и вводя колебательную статистическую сумму по первым
двум модам
36
)
(
(
)
εv1 + εv2
1
1
(2)
(2v1 + v2 )ε1 ,
(v2 + 1) exp −
+
−
kT
kT
kT
1,2
=0
v1max v2max
vibr
Z1,2
(T, T1,2 ) =
∑∑
v1 =0 v2
(1.5.22)
запишем функцию распределения (1.5.18) в виде
( m )3/2
n
=
×
vibr (T, T ) Z vibr (T ) 2πkT
Zrot (T ) Z1,2
1,2
3
(
) 3
)
(
2
1
1
εv3
mc /2 + εr + εv1 + εv2
(2)
× exp −
+
−
(2v1 + v2 )ε1 −
.
kT
kT
kT1,2
kT3
(1.5.23)
fv(0)
1 v2 v3 r
На этот раз имеем трехтемпературную функцию распределения. Причем
в (1.5.23) учтен дефект резонанса колебательной энергии, соответствующий переходам (1.5.1). В случае, когда дефект резонанса равен нулю, распределение
(1.5.23) приобретает вид Больцмановского распределения по поступательным и
вращательным степеням свободы с температурой T , по колебательным степеням свободы, относящимся к первой и второй моде, – с температурой T1,2 , и с
температурой T3 по колебательному распределению третьей моды.
4. Стадия межмодовых колебательных обменов V V ′(2−3) и V V ′(1−2−3) .
На этих стадиях релаксации в колебательные обмены уже включается третья
мода.
На стадии V V ′(2−3) -релаксации происходят обмены вида (1.5.3), при которых приближенно сохраняется суммарная колебательная энергия второй и
третьей моды. Однако, на рассматриваемой стадии учитываются и предыду(0)
щие обмены. Поэтому будет сохраняться полная энергия ψv1 v2 v3 r = mc2 /2 + εr +
εv1 + εv2 + εv3 . Из соотношения (1.5.3) следует, что при столкновениях сохраняется число колебательных квантов второй моды во второй и третьей модах, а
(2)
учитывая предыдущие обмены, сохраняется число колебательных квантов ε1
(2)
(2)
во всех трех модах ψv1 v2 v3 = (2v1 +v2 +3v3 )ε1 . Как и ранее, сохраняется импульс
⃗ = m⃗c и единица.
ψ
Аналогичным образом, рассматривая стадию V V ′(1−2−3) , когда происходят
обмены вида (1.5.4), можно получить тот же набор аддитивных инвариантов
37
столкновений, что и на стадии V V ′(2−3) . В принципе, этот же набор инвариантов соответствует ситуации, когда нужно учитывать колебательные переходы
(1.5.1) и (1.5.2).
В итоге, на этапах завершения стадий релаксации V V ′(2−3) и V V ′(1−2−3)
квазистационарная функция распределения будет выглядеть как
fv(0)
1 v2 v3 r
( ( 2
)
m3
mc
= (v2 + 1)sr 3 exp γ0
+ εr + εv1 + εv2 + εv3 +
h
2
)
(2)
+γ1,2,3 (2v1 + v2 + 3v3 )ε1 + γ .
(1.5.24)
Функция (1.5.24) нормирована на суммарные значения инвариантов в единице объема: суммарную поступательно-вращательную и колебательную энер(2)
(3)
(2)
(1)
гию всех трех мод e1,2,3 = e = eT R + eV + eV + eV и число W1,2,3 квантов ε1 ,
определяемое выражением:
W1,2,3 (⃗r, t) =
∑
∫
(2v1 + v2 +
(2)
3v3 )ε1
fv(0)
(⃗r, ⃗c, t)d⃗c,
1 v2 v3 r
(1.5.25)
v1 v2 v3 r
а также число частиц n. Параметры γ0 , γ1,2,3 и γ определяются из условий нормировки (1.5.7). Здесь можно ввести обозначение γ1,2,3 = 1/ (kT ) −
1/ (kT1,2,3 ).
Учитывая вышесказанное, функцию (1.5.24) можно представить в виде:
( m )3/2
×
=
vibr (T, T
Zrot (T ) Z1,2,3
1,2,3 ) 2πkT
(
(
)
)
mc2 /2 + εr + εv1 + εv2 + εv3
1
1
(2)
exp −
+
−
(2v1 + v2 + 3v3 )ε1 .
kT
kT
kT1,2,3
(1.5.26)
fv(0)
1 v2 v3 r
Здесь введено выражение:
n
38
(
v1max v2max v3max
vibr
Z1,2,3
(T, T1,2,3 ) =
∑∑∑
v1 =0 v2 =0 v3 =0
(
+
εv1 + εv2 + εv3
+
kT
)
)
(2)
(2v1 + v2 + 3v3 )ε1 .
(v2 + 1) exp
1
1
−
kT
kT1,2,3
−
(1.5.27)
На этапах завершения V V ′(2−3) и V V ′(1−2−3) имеем двухтемпературные
распределения (1.5.26). В случае, когда дефект резонанса равен нулю, распределение (1.5.26) приобретает вид Больцмановского распределения по поступательным и вращательным степеням свободы с температурой T и по колебательным степеням свободы с температурой T1,2,3 .
5. Состояние термодинамического равновесия. Наконец, на стадии V RT релаксации, когда учитываются столкновения всех типов, сохраняется только
полная энергия и число частиц. Равновесная функция распределения имеет вид
fv(0)
1 v2 v3 r
( ( 2
)
)
m3
mc
= (v2 + 1)sr 3 exp γ0
+ εr + εv1 + εv2 + εv3 + γ .
h
2
(1.5.28)
Функция распределения (1.5.28) нормирована на полную энергию e и общее число частиц n. Параметры γ0 и γ определяются из условий нормировки.
Учитывая (1.5.7), (1.5.14) и выражение для равновесной колебательной
статистической суммы
(
)
εv1 + εv2 + εv3
(v2 + 1) exp −
,
kT
=0
v1max v2max v3max
Zvibr (T ) =
∑∑∑
v1 =0 v2 =0 v3
(1.5.29)
перепишем функцию (1.5.28) в виде распределения
(
)
( m )3/2
mc2 /2 + εr + εv1 + εv2 + εv3
n
exp −
.
=
Zrot (T ) Zvibr (T ) 2πkT
kT
(1.5.30)
Данное распределение имеет вид локально равновесного однотемпературного Максвелл-Больцмановского распределения [55, 66].
fv(0)
1 v2 v3 r
39
§1.6 Система уравнений релаксационной газодинамики.
Приближение идеальной жидкости
Для исследования газодинамических явлений нужно перейти от микроскопического описания движения газа с помощью функций распределения к
менее детальному описанию с помощью макроскопических величин.
Любые макроскопические параметры газа, как и те параметры, на которые нормированы функции распределения, выражаются через функции распределения. В §1.3 были выписаны выражения для основных макропараметров газа: массовой ρ и числовой n плотностей и газодинамической скорости ⃗v .
Кроме того, для суммарных значений Φ (⃗r, t) (1.3.18) молекулярного признака
φvr (⃗r, ⃗c, t) были записаны макроскопические уравнения (1.3.17).
Уравнения переноса молекулярного признака (1.3.17) позволяют получить
уравнения релаксационной газодинамики на каждой стадии релаксации.
При выводе уравнений релаксационной газодинамики важным аспектом
является выбор определяющих макропараметров. Если выбрать макропараметры в соответствии с аддитивными инвариантами всех молекулярных столк(λ)
новений ψvr , то правая часть в уравнении переноса молекулярного признака
(1.3.17), согласно интегральной лемме (1.2.6), будет равна нулю:
n⟨∆φ⟩ = ∆Ψλ = 0.
(1.6.1)
Здесь Ψλ определяются выражением (1.5.7).
(λ)
Если же ψvr являются инвариантами ведущего столкновительного операrap
тора Jvr
, то (снова используя интегральную лемму)
n⟨∆φ⟩ = ∆Ψλ =
∑∫
(λ) sl
ψvr
Jvr d⃗c.
(1.6.2)
vr
В дальнейшем в качестве определяющих макропараметров будем испольrap
зовать суммарные значения (1.5.7) аддитивных инвариантов оператора Jvr
.
Система аддитивных инвариантов столкновений быстрого процесса содержит величины, сохраняющиеся при любом столкновении (таким инвариантом
⃗ = m⃗c), а также инварианты наиболее частых столкноявляется импульс p⃗ = ψ
(0)
вений: ψvr = mc2 /2 + ε̃vr (за ε̃vr обозначена та часть внутренней энергии, которая обменивается с поступательной энергией при столкновениях, описываемых
40
rap
операторами Jvr
на данной стадии релаксации) и не зависящие от скорости
(λ)
инварианты ψvr , λ = 1, ..., Λ.
Согласно (1.3.17), уравнения для среднемассовой скорости ⃗v , энергетической плотности ẽ, включающей наряду с тепловой энергией суммарное значение
тех видов энергии, которые обмениваются с поступательной на данной стадии
(λ)
релаксации, и суммарных значений Ψλ инвариантов ψvr в единице объема имеют общий вид
d⃗v
− ρF⃗ + ∇P = 0;
dt
(1.6.3)
dẽ
+ ẽdiv⃗v + div⃗q0 + P : ∇⃗v = ∆ẽ;
dt
(1.6.4)
ρ
dΨλ
+ Ψλ div⃗v + div⃗qλ = ∆Ψλ , λ = 1, ..., Λ.
dt
Уравнения (1.6.5) содержат уравнение:
dn
+ ndiv⃗v = 0,
dt
которому соответствует уравнение неразрывности
(1.6.5)
(1.6.6)
dρ
+ ρdiv⃗v = 0.
(1.6.7)
dt
Параметры Ψλ , λ = 1, ..., Λ являются суммарными значениями дополнительrap
ных инвариантов оператора Jvr
; ∆Ψλ , λ = 0, 1, ..., Λ – изменение суммарного
значения аддитивных инвариантов за счет медленных процессов:
∆Ψ0 = ∆ẽ =
∆Ψλ =
∑∫
∑∫
(0) sl
ψvr
Jvr d⃗c,
(1.6.8)
vr
(λ) sl
ψvr
Jvr d⃗c, λ = 1, ..., Λ.
(1.6.9)
vr
Кроме этого, в уравнениях (1.6.3)-(1.6.5) введены следующие обозначения: ⃗qλ – потоки аддитивных инвариантов столкновений (⃗q0 – поток энергии ẽ
(тепловой поток)) и P – тензор давлений:
41
⃗q0 =
⃗qλ =
∑∫
vr
P=
∑∫
(0)
d⃗c;
⃗cfvr ψvr
(1.6.10)
(λ)
⃗cfvr ψvr
d⃗c, λ = 1, ..., Λ;
(1.6.11)
vr
∑∫
m⃗c⃗cfvr d⃗c.
(1.6.12)
vr
Для замыкания систем макроскопических уравнений (1.6.3)-(1.6.5) нужно
знать потоковые и релаксационные члены (1.6.10), (1.6.11) и (1.6.12) на каждой
стадии релаксации. Их можно найти, например, с помощью модифицированного
метода Энскога–Чепмена [12, 53, 55].
Подставляя предельные решения (1.5.6) в формулы для потоковых членов
(1.6.10)-(1.6.12), можно показать, что в нулевом приближении метода ЭнскогаЧепмена тензор напряжений имеет диагональный вид P = P(0) = pI, как и
в идеальной жидкости, а потоки аддитивных инвариантов равны нулю ⃗qλ =
(0)
⃗qλ = 0, λ = 1, ..., Λ. Здесь I — единичный тензор, а p = nkT — давление.
Тогда система уравнений релаксационной газодинамики (1.6.3)-(1.6.5) в
общем виде может быть переписана следующим образом
d⃗v
1
= − ∇p + F⃗ ;
dt
ρ
(1.6.13)
dẽ
+ (ẽ + p)div⃗v = ∆ẽ;
dt
(1.6.14)
dΨλ
+ Ψλ div⃗v = ∆Ψλ , λ = 1, ..., Λ.
(1.6.15)
dt
Следует отметить, что на каждой стадии релаксации будет справедливо
уравнение (1.6.6). На стадии RT -релаксации оно является следствием уравнений для nv1 v2 v3 , а на всех последующих стадиях соответствует одному из инва(λ)
риантов ψvr = 1.
Правые части в уравнениях (1.6.14) и (1.6.15) в нулевом приближении
имеют вид
∆ΨΛ =
∑∫
vr
(λ) sl(0)
ψvr
Jvr d⃗c, λ = 0, 1, ..., Λ
(1.6.16)
42
sl(0)
Jvr
=
sl
Jvr
(
f
(0)
)
(1.6.17)
.
Система уравнений (1.6.13)-(1.6.15) описывает течение невязкого нетеплопроводного релаксирующего газа [64, 66].
Система уравнений (1.6.13)-(1.6.15) представляет собой замкнутую систему уравнений для скорости ⃗v и плотностей экстенсивных параметров ẽ, n, Ψλ ,
λ = 1, ..., Λ. Для всех этих параметров справедливы соотношения
(
)(
)
∑ ( 2πm )3/2
∑
3
(λ)
ẽ = Ψ0 =
−
(v2 + 1)sr exp γ0 ε̃vr +
γλ ψvr
−
+ ε̃vr ,
2
γ
h
2γ
0
0
vr
λ
(1.6.18)
(
)
∑
∑ ( 2πm )3/2
(λ)
(v2 + 1)sr exp γ0 ε̃vr +
γλ ψvr
,
n=
−
2
γ
h
0
vr
(1.6.19)
λ
(
)
∑ ( 2πm )3/2
∑
(λ)
(ν)
Ψν =
−
(v2 + 1)sr exp γ0 ε̃vr +
γλ ψvr
ψvr
, ν = 1, ..., Λ.
2
γ
h
0
vr
λ
(1.6.20)
§1.7 Скорость звука на разных стадиях релаксации
Скорость звука является одной из важнейших характеристик при исследованиях потоков газа. В аэродинамике к числу наиболее часто наблюдаемых
явлений относится распространение звука, заключающееся в распространении
в газе волн слабого сжатия и разрежения [34]. В изотропных средах скорость
звука часто отождествляют со скоростью распространения малых возмущений.
Скорость звука также является важной величиной при изучении ударноволновых процессов в газах. Ударная волна (скачок уплотнения) — узкий (по
сравнению с характерными размерами течения) переходный слой, в котором
43
происходит резкое изменение газодинамических параметров. Поэтому при изучении релаксационных процессов в ударных волнах важно знать как при этом
изменяется скорость звука, и как на ее величину влияют происходящие в газе
энергетические переходы.
В данном параграфе мы рассмотрим скорость звука в потоках углекислого газа с физическими процессами, часть которых идет в равновесном режиме, а часть заморожена. Течения углекислого газа будем рассматривать в
нулевом приближении модифицированного метода Энскога–Чепмена (приближении идеальной жидкости), когда движение происходит с малыми возмущениями скорости, давления и плотности.
Если рассмотреть одномерное баротропное движение газа вдоль оси Ox,
то из уравнений (1.6.13) и (1.6.7), повторяя известный вывод формулы для скорости звука [34,47,62,69,75], можно получить уравнение для малого возмущения
скорости v ′ :
∂ 2v′
−
∂t2
(
dp
dρ
)
∂ 2v′
= 0,
2
0 ∂x
(1.7.1)
где (dp/dρ)0 – обыкновенная производная, вычисленная в невозмущенном состоянии газа.
Уравнение (1.7.1) представляет собой линейное гиперболическое уравнение. Как известно [8], общим решением этого уравнения является функция:
v ′ = f1 (x − a0 t) + f2 (x + a0 t).
(1.7.2)
Здесь введено обозначение a20 = (dp/dρ)0 , где a0 – скорость распространения
малых возмущений.
Решение (1.7.2) уравнения (1.7.1) складывается из решений, которые соответствуют двум распространяющимся со скоростью a0 в противоположные
стороны вдоль оси Ox волнам x − a0 t = c1 = const и x + a0 t = c2 = const.
Уравнение (1.7.1) является одномерным волновым уравнением. Распространение звука является волновым процессом. Поэтому скорость распространения
малых возмущений отождествляется со скоростью звука, и считается, что скорость звука в сжимаемой баротропной среде определяется формулой
44
√
a = a0 =
dp
.
dρ
(1.7.3)
Индекс ноль опускается, так как формула (1.7.3) верна и в случае как угодно
движущегося газа, если под величиной a понимать местную скорость распространения малых возмущений.
Для адиабатических течений простого баротропного газа, в котором справедлива адиабата Пуассона [10]
p
= const,
ρk
(1.7.4)
где k – константа (показатель адиабаты), согласно формуле (1.7.3) будем иметь:
p
a2 = k .
ρ
(1.7.5)
В газе с физико-химическими процессами баротропность часто нарушается, однако, в работах [15, 64] было показано, что формула (1.7.5) сохраняется и
в этом случае, но выражение для скорости звука имеет более сложный вид, и
dp/dρ – не обыкновенная производная, а отношение полных дифференциалов
давления dp и плотности dρ. Так как давление и плотность выражаются через
функции распределения (1.5.6), зависимость этих параметров от координат и
времени осуществляется через γλ (λ = 0, ..., Λ). Поэтому можно записать
∑Λ
dp
∂p/∂γλ · dγλ
a2 =
= ∑Λλ=0
.
dρ
∂ρ/∂γ
·
dγ
λ
λ
λ=0
(1.7.6)
Соответствующие производные были вычислены в [64]. В результате ряда преобразований и использования соотношений p = nkT = −n/γ0 и ρ = nm, где m
– масса микрочастиц, формула (1.7.6) была приведена к виду (1.7.5). Однако,
коэффициент k при этом не является постоянной величиной, а определяется
выражением [15, 64]:
k=
1
det
(
Ψ0 + p
det0 +
n
Λ
∑
Ψλ
λ=1
n
)
detλ ,
(1.7.7)
где определитель det состоит из элементов ∂Ψν /∂γλ и соответствует якобиану
перехода от экстенсивных параметров Ψ0 , Ψ1 , ..., ΨΛ к сопряженным интенсив-
45
ным параметрам γ0 , γ1 , ..., γΛ :
∂Ψν ;
det = ∂γλ (1.7.8)
определитель detλ соответствует определителю (1.7.8), в котором столбец производных по γλ заменен столбцом коэффициентов при div⃗v в уравнениях
(1.6.14), (1.6.15).
Аналитическое выражение (1.7.5) для скорости звука в газе с внутренними степенями свободы имеет такой же вид как и в случае простого газа, но
коэффициент k не является константой, а зависит от интенсивных параметров
γλ (λ = 0, 1, ..., Λ) и вычисляется по формуле (1.7.7).
Формулы (1.7.5) и (1.7.7) позволяют оценить влияние различных видов
внутренней энергии на коэффициент k и скорость звука a. Далее на основании
этих формул будут исследованы значения коэффициента k и зависимость скорости звука от температуры в углекислом газе на разных стадиях релаксации.
1. Стадия поступательно-вращательной релаксации. На этапе завершения этой стадии релаксации функции распределения имеют вид (1.5.11) или
(1.5.12).
Система аддитивных инвариантов будет состоять из поступательновращательной энергии (1.5.8) и заселенностей колебательных уровней (1.5.9).
Макропараметрами, соответствующими аддитивным инвариантам столкновений на данной стадии, будут Ψ0 = eRT и Ψv1 v2 v3 = nv1 v2 v3 .
Учитывая выражение (1.6.18) для энергии и (1.6.19) для числа частиц,
можем записать:
5
ẽ = nkT.
(1.7.9)
2
Здесь учтено, что вращательная энергия рассматривается классически:
∑
r
( ε )
r
εr exp −
= kT Zrot (T ) .
kT
(1.7.10)
Используя эти формулы и проводя простые математические вычисления
по формуле (1.7.7) получим, что k не зависит от температуры и равен 7/5 или
1, 4.
Это значение совпадает с известным результатом, полученным ранее по
46
формуле (см. [10, 34, 47, 62]):
2
k =1+ ,
j
(1.7.11)
где j – число степеней свободы молекулы.
Число поступательных степеней свободы линейной молекулы CO2 равно
3, вращательных степеней свободы – 2. Следовательно, в этом случае k = 1, 4 =
7/5.
2. Стадия завершения внутримодовой V V -релаксации. На данной стадии релаксации функции распределения имеют вид (1.5.16).
Система определяющих макропараметров включает, наряду со скоростью
⃗ = ⃗v , поступательно-вращательной энергией Ψ0 = eT R и числом частиц Ψ1 =
Ψ
n, колебательную энергию каждой из трех мод (см. формулу (1.6.20)):
)
(
∑
n
εvi
Ψ1+i =
(Ti ) =
= vibr
svi εvi exp −
, i = 1, 2, 3.
kTi
Zi (Ti ) v
i
(1.7.12)
Применение формулы (1.7.7) приводит к тому же результату, что и на
предыдущей стадии.
На этой стадии, как и на стадии RT -релаксации, температура газа, входящая в выражение для давления определяется лишь поступательной и вращательной энергией. Поэтому коэффициент k определяется только классическими
степенями свободы по формуле (1.7.11) и равен 1, 4.
Это можно объяснить тем, что на данной стадии нет обмена между поступательной и колебательной энергией. Значение энергии ẽ попрежнему определяется формулой (1.7.9).
evibr
i
n⟨evibr
i ⟩
3. Стадия завершения межмодовой V V ′(1−2) -релаксации. На данной стадии релаксации функции распределения имеют вид (1.5.23), система макропараметров, наряду со скоростью ⃗v и числом частиц n, включает сумму поступательной, вращательной и колебательной энергии первых двух мод Ψ0 = e1,2 ,
число квантов второй моды в колебательной энергии первых двух мод Ψ1 = W1,2
и колебательную энергию третьей моды Ψ2 = e3 .
При этом энергия Ψ0 = e1,2 вычисляется следующим образом
47
(
)
5
e1,2 (T, T1,2 ) = n
kT + ⟨evibr
1,2 ⟩ (T, T1,2 ) ,
2
(1.7.13)
где
∑
1
= vibr
(v2 + 1) (εv1 + εv2 ) ×
Z1,2 (T, T1,2 ) v ,v
1 2
(
(
)
)
εv1 + εv2
1
1
(2)
×exp −
+
−
(2v1 + v2 ) ε1 ,
kT
kT
kT1,2
⟨evibr
1,2 ⟩ (T, T1,2 )
(1.7.14)
vibr
а колебательная статистическая сумма Z1,2
рассчитывается по формуле
(1.5.22); суммарное значение квантов второй моды Ψ1 = W1,2 рассчитывается по формуле:
W1,2 (T, T1,2 ) = n⟨W1,2 ⟩ (T, T1,2 ) ,
(1.7.15)
где
∑
1
(2)
(v2 + 1) (2v1 + v2 ) ε1 ×
vibr
Z1,2 (T, T1,2 ) v ,v
)
)
(
( 1 2
1
εv1 + εv2
1
(2)
(2v1 + v2 ) ε1 .
×exp −
+
−
kT
kT
kT1,2
⟨W1,2 ⟩ (T, T1,2 ) =
(1.7.16)
При записи выражений для макропараметров использованы формулы (1.6.18)(1.6.20).
В этом случае коэффициент k определяется поступательной, вращательной и колебательной энергией первых двух мод. Он по-прежнему не зависит от
колебательной энергии третьей моды. Коэффициент k зависит от двух температур: температуры газа T и колебательной температуры первых двух мод T1,2 .
Аналитическое выражение для k может быть получено с помощью формулы
(1.7.7).
4. Стадия завершения межмодовых V V ′(2−3) и V V ′(1−2−3) обменов. На
этот раз функции распределения записываются в виде (1.5.26), а система определяющих макропараметров состоит из суммарной поступательной, вращательной и колебательной энергии всех трех мод Ψ0 = e1,2,3 , суммарного значения
48
квантов второй моды Ψ1 = W1,2,3 , числа частиц Ψ2 = n и импульса (здесь снова
использованы выражения (1.6.18)-(1.6.20)).
Суммарная поступательная, вращательная и колебательная энергия всех
трех мод Ψ0 = e1,2,3 вычисляется как
(
)
5
kT + ⟨evibr
e1,2,3 (T, T1,2,3 ) = n
1,2,3 ⟩ (T, T1,2,3 ) ,
2
(1.7.17)
где
∑
1
= vibr
(v2 + 1) (εv1 + εv2 + εv3 ) ×
Z1,2,3 (T, T1,2,3 ) v ,v ,v
1 2 3
(
)
)
(
1
1
εv1 + εv2 + εv3
(2)
+
−
(2v1 + v2 + 3v3 ) ε1 ;
×exp −
kT
kT
kT1,2,3
⟨evibr
1,2,3 ⟩ (T, T1,2,3 )
(1.7.18)
суммарное значение квантов второй моды Ψ1 = W1,2,3 вычисляется как
W1,2,3 (T, T1,2,3 ) = n⟨W1,2,3 ⟩ (T, T1,2,3 ) ,
(1.7.19)
где
∑
1
(2)
(v2 + 1) (2v1 + v2 + 3v3 ) ε1 ×
vibr
Z1,2,3 (T, T1,2,3 ) v ,v ,v
)
)
(
( 1 2 3
1
εv1 + εv2 + εv3
1
(2)
(2v1 + v2 + 3v3 ) ε1 . (1.7.20)
×exp −
+
−
kT
kT
kT1,2,3
⟨W1,2,3 ⟩ (T, T1,2,3 ) =
vibr
Колебательная статистическая сумма Z1,2,3
определяется по формуле
(1.5.27).
Коэффициент k определяется поступательной, вращательной и колебательной энергией всех трех мод и зависит от двух температур: температуры
газа T и колебательной температуры T1,2,3 . Аналитическое выражение для k
снова может быть получено с помощью формулы (1.7.7).
5. Состояние термодинамического равновесия. Наконец в состоянии термодинамического равновесия система макропараметров состоит из полной энергии, числа частиц и импульса, а функции распределения определяются как
(1.5.30). Коэффициент k определяется температурой газа, а его аналитическое
49
выражение может быть получено путем подстановки в формулу (1.7.7) выражений для макропарамметров Ψ0 = e
(
)
5
e (T ) = n
kT + ⟨evibr ⟩ (T ) ,
2
(1.7.21)
где
⟨evibr ⟩ (T ) =
(
∑
1
Zvibr (T ) v
1 ,v2 ,v3
εv + εv2 + εv3
(v2 + 1) (εv1 + εv2 + εv3 ) exp − 1
kT
)
(1.7.22)
и давления p = nkT . Аналитическая формула для коэффициента k будет выглядеть следующим образом:
7/2(kT )2 + ⟨e2vibr ⟩ − ⟨evibr ⟩2
k=
.
5/2(kT )2 + ⟨e2vibr ⟩ − ⟨evibr ⟩2
(1.7.23)
Здесь введено обозначение ⟨e2vibr ⟩:
⟨e2vibr ⟩ (T ) =
1
Zvibr (T ) v
∑
1 ,v2 ,v3
(
)
ε
+
ε
+
ε
v
v
v
2
3
(v2 + 1) (εv1 + εv2 + εv3 )2 exp − 1
.
kT
(1.7.24)
Из формулы (1.7.23) видно, что несмотря на то, что мы имеем дело с
локально равновесным течением, коэффициент k не является постоянным, а
сильно зависит от температуры.
Формула (1.7.23) соответствует классической формуле [55, 62, 75]:
k=
Cp
,
CV
(1.7.25)
где Cp и CV – теплоемкости при постоянном давлении и объеме.
Конкретные расчеты коэффициента k и скорости звука a на разных стадиях релаксации были проведены в диапазоне температур от 300 до 1500K.
При расчетах использовались спектроскопические постоянные CO2 таблицы 1,
а также универсальные физические константы и молекулярные характеристики
CO2 из таблицы 2. Полученные результаты продемонстрированы на рис. 2-4.
50
Таблица 2. Универсальные физические константы и молекулярные характеристики CO2 .
Название
Число Лошмидта
Постоянная Больцмана
Постоянная Планка
Скорость света
Масса молекулы CO2
Обозначение
Значение
nL
2, 687 · 1025
k
1, 380662 · 10−23
h
6, 626176 · 10−34
c∗
2, 99792458 · 108
m
7, 30637 · 10−26
Единицы измерения
м−3
Дж/К
Дж·с
м/с
кг
На рис. 2 представлена зависимость коэффициента k от температуры газа
на разных стадиях релаксации.
1,42
1,42
1,2
1,2
1,40
1,40
3
3
4
1,38
1,36
1,36
4
k
k
1,38
1,34
1,34
1,32
1,32
1,30
1,30
5
5
1,28
1,28
1,26
1,26
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
T, K
T, K
а) T1,2 = T1,2,3 = 600K
б) T1,2 = T1,2,3 = 900K
1,42
1,42
1,2
1,40
1,2
1,40
3
3
4
1,36
1,36
4
k
1,38
k
1,38
1,34
1,34
1,32
1,32
1,30
1,30
5
5
1,28
1,28
1,26
1,26
0
200
400
600
800
1000
1200
T, K
в) T1,2 = T1,2,3 = 1200K
1400
1600
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
T, K
г) T1,2 = T1,2,3 = 1500K
Рис. 2. Коэффициента k в зависимости от температуры газа T на разных стадиях релаксации
при разных температурах T1,2 и T1,2,3 . Кривые 1 соответствуют завершению стадии RT релаксации; кривые 2 – V V -релаксации; кривые 3 – V V ′(1−2) -релаксации; кривые 4 – V V ′(2−3)
и V V ′(1−2−3) -релаксации; кривые 5 – V RT -релаксации.
51
Как было отмечено, на стадиях RT и V V -релаксации коэффициент k не
зависит от температуры и равен 1, 4 (см. прямую 1, 2 на рис. 2).
В рассматриваемых условиях учет межмодовых обменов оказывает на величину k слабое влияние. На стадии V V ′(1−2) -релаксации (с учетом «Фермирезонанса») значения k практически совпадают со значениями на стадиях RT
и V V релаксации при всех значения T1,2 в диапазоне от 300 до 1500K (см.
кривую 3 на рис. 2). Обмены, происходящие на стадиях V V ′(2−3) и V V ′(1−2−3)
(когда учитываются все межмодовые обмены со сравнительно малым дефектом
резонанса), приводят к небольшому уменьшению величины k при сравнительно
малых значения температуры газа, когда отношение T1,2,3 /T достаточно велико
(см. кривую 4 на рис. 2). Влияние отношения температур T1,2,3 /T здесь более
заметно.
Следует отметить поведение k на стадиях V V ′ -релаксации. Более подробно это поведение демонстрирует рис. 3, на котором изображен коэффициент k
на стадии V V релаксации (прямая 1), на стадии V V ′(1−2) -релаксации при различных значения T1,2 (кривые 2 практически сливаются с прямой 1) и стадиях
V V ′(2−3) и V V ′(1−2−3) при разных T1,2,3 (кривая 3 – T1,2,3 = 600K, кривая 4 –
T1,2,3 = 900K, кривая 5 – T1,2,3 = 1200K, кривая 6 – T1,2,3 = 1500K).
1,404
1,402
1
1,400
2
3
k
1,398
1,396
4
1,394
1,392
5
1,390
1,388
6
1,386
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
T, K
Рис. 3. Коэффициент k в зависимости от температуры газ T на стадиях V V и V V ′ релаксации. Прямая 1 соответствует стадии V V -релаксации; кривые 2 – стадии V V ′(1−2) релаксации при разных T1,2 ; кривая 3 – V V ′(2−3) и V V ′(1−2−3) -релаксации при T1,2,3 = 600K;
кривая 4 – V V ′(2−3) и V V ′(1−2−3) -релаксации при T1,2,3 = 900K; кривая 5 – при T1,2,3 = 1200K;
кривая 6 – при T1,2,3 = 1500K.
52
Рис. 2 и 3 показывают, что с ростом температуры газа T коэффициент
k приближается к значению 1, 4. Когда значения колебательных температур
T1,2 и T1,2,3 выше, чем значения температуры газа, коэффициент k меньше 1, 4.
Особенно это заметно на стадиях V V ′(2−3) и V V ′(1−2−3) . Видимо, это связано
с увеличением заселенностей колебательных уровней при температурах T1,2 и
T1,2,3 , превосходящих температуру T .
В условиях равновесия значение k тем меньше, чем выше температура
газа (см. кривую 5 на рис. 2). При сравнительно низких температурах коэффициент k близок к 1, 4, с повышением температуры значение k резко уменьшается
и достигает значения 1, 28 при температуре T = 1500K. Подобное поведение
температурной зависимости k в локально равновесных гиперзвуковых потоках
газа отмечалось в монографиях [49, 50].
Используя расчеты коэффициента k, в настоящей работе были получены
зависимости скорости звука a от температуры газа T на этапах завершения
разных стадий релаксации, представленные на рис. 4.
650
1
2
600
3
550
a,
/
500
450
400
350
300
250
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
T, K
Рис. 4. Скорость звука a в зависимости от температуры газа T на разных стадиях релаксации.
Кривая 1 соответствует стадиям RT и V V -релаксации; кривая 2 (почти сливается с кривой
1) – стадиям V V ′ -релаксации; кривая 3 – состоянию термодинамического равновесия.
Значения a на стадиях V V ′ , представленные на данном рисунке кривой 2,
соответствуют T1,2 и T1,2,3 равным 1500K.
В условиях стадий RT и V V -релаксации, где k = 1, 4, имеем линейную
зависимость квадрата скорости звука a2 от температуры T и соответствующий
вид графика зависимости a от T (см. кривую 1 на рис. 4).
53
В масштабах стадий V V ′ -релаксации (когда происходят межмодовые обмены колебательной энергии) коэффициент k слабо отличается от значения 1, 4
(см. рис. 2 и 3). Значения скорости звука на этих стадиях мало зависят от изменений температур T1,2 и T1,2,3 , хотя здесь и нет линейной зависимости между
a2 и температурой газа.
Увеличение отношений T1,2 /T и T1,2,3 /T не приводит к значительным изменениям величины скорости звука (при T1,2,3 /T = 8 изменения не превышают
2%).
В условиях локального равновесия при сравнительно низких температурах значения a, в соответствии с поведением k, уменьшаются в сравнении с
предыдущими стадиями релаксации (см. кривую 3 на рис. 4) . Здесь также нет
прямой пропорциональной зависимости a2 от температуры T .
Таким образом, процессы близкие к резонансным практически не меняют
скорость звука. Она изменяется только при учете неупругих нерезонансных
процессов.
Рассчитанные в настоящем параграфе температурные зависимости коэффициента k и скорости звука a в разных физических условиях могут использоваться для определения влияния различных колебательных обменов на скорость звука.
54
Глава 2
ПРОСТРАНСТВЕННО-ОДНОРОДНАЯ РЕЛАКСАЦИЯ
В УСЛОВИЯХ ЭНЕРГЕТИЧЕСКОЙ НАКАЧКИ
КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ МОД CO2
§2.1 Постановка задачи
Изучение процессов релаксации естественно начать с рассмотрения
пространственно-однородных газов. В ситуации, когда изолированный объем
газа выведен из состояния термодинамического равновесия, он возвращается в
это состояние за счет релаксационных процессов.
Исследованию релаксационных процессов в пространственно-однородных
многоатомных газах посвящено много работ (см., например, [22,31,41,46,56,86,
107], а также уделено много внимания в монографиях [1, 48, 59].
Вывод газа из состояния термодинамического равновесия может происходить в результате быстрого нагрева или охлаждения газа, а также за счет
энергетического воздействия на какие-то виды внутренней энергии.
В активной среде многих газодинамических лазеров основную часть составляют молекулы углекислого газа, выведенного из состояния равновесия за
счет возбуждения определенных колебательных мод.
Принцип работы газодинамического лазера можно представить следующим образом. Вначале рабочий газ нагревается, затем поступает в сопло, где
ускоряется и охлаждается. Далее этот газ попадает в резонатор, в котором часть
энергии превращается в направленное излучение, образуя лазерный луч [2, 48].
55
Излучение происходит за счет инверсии заселенностей уровней колебательной
энергии.
Активная (инверсная) среда способна усиливать излучение. Для того, чтобы создать активную среду, необходимо получить инверсию заселенностей колебательных уровней, т.е. подать (накачать) молекулы на верхний уровень колебательной энергии. Такая накачка может осуществляться разными методами [48].
Например, при воздействии света (оптическая накачка), электрического разряда (накачка электронным ударом), при протекании в газе химических реакций
(химическая накачка) и при тепловом воздействии (тепловое возбуждение).
В газодинамических лазерах применяется тепловое возбуждение, которое
также может осуществляться разными способами: с помощью электрических
нагревателей и разрядов, путем сгорания топлива, при взрывах, в ударных волнах и т.д. При этом в газе не образуется инверсия заселенностей, а пока только
происходит возбуждение газа, приводящее к новому состоянию термодинамического равновесия с отличной от первоначальной температурой.
В данной главе рассматриваются ситуации, когда некоторый объем углекислого газа, который находился в состоянии термодинамического равновесия,
выведен из этого состояния в результате энергетической накачки на одну из
мод молекул CO2 . Исследуется пространственно-однородная релаксация углекислого газа в ситуациях, когда газ выведен из состояния термодинамического
равновесия в результате энергетической накачки на: 1) первую колебательную
моду; 2) вторую моду; 3) третью моду. Проводится исследование состояний газа
на этапах завершения разных стадий релаксационных процессов, возвращающих рассматриваемый газовый объем в состояние равновесия.
§2.2 Стадии релаксации газа после
энергетической накачки на разные колебательные моды
В рассматриваемых условиях после завершения энергетической накачки
распределение энергии в определенной колебательной моде является больцмановским, но с температурой, отличной от температуры газа. Можно считать,
что этот этап соответствует завершению процесса V V -релаксации.
56
Пусть газ находился в состоянии равновесия с температурой T0 . Рассмотрим последовательно три ситуации, при которых за счет энергетической накачки распределение молекул первой, второй или третьей моды стало соответствовать температуре T ∗ .
1. Энергетическая накачка на 1 моду. Рассмотрим ситуацию, когда за счет энергетической накачки распределение энергии первой моды стало
соответствовать температуре T ∗ . Функцию распределения можно записать следующим образом:
fv(0)
1 v2 v3 r
(
( 2
)
)
m3
(0) mc
∗
= (v2 + 1)sr 3 exp γ0
+ εr + εv2 + εv3 + γ εv1 + γ1 . (2.2.1)
h
2
Здесь, как и ранее, γ0 = −1/kT0 . Кроме этого, вводится обозначение γ ∗ =
−1/kT ∗ .
Дальнейшее исследование соответствует рассмотрению разных стадий
V V ′ -релаксации и завершающего состояния полного термодинамического равновесия (стадия V RT -релаксации).
(0)
1) В условиях завершения стадии V V ′(1−2) -релаксации функция
распределения (1.5.18) будет иметь вид [78]:
fv(0)(1−2)
1 v2 v3 r
( ( 2
)
m3
mc
′
= (v2 + 1)sr 3 exp γ0
+ εr + εv1 + εv2 +
h
2
)
(2)
(0)
+γ1,2 (2v1 + v2 )ε1 + γ0 εv3 + γ1′ .
(2.2.2)
Для удобства дальнейшего исследования введем следующие обозначения: γ0′ =
−1/kT (здесь T – температура газа на этапе завершения стадии V V ′(1−2) релаксации); γ1,2 = 1/kT − 1/kT1,2 . Температура T1,2 связана с выравниванием
колебательных температур 1-й и 2-й мод.
Интенсивные параметры γ0′ , γ1,2 , γ1′ определяются из условий нормировки
(1.5.7) на соответствующей стадии релаксации. Можем записать условия нормировки в виде следующих уравнений для γ0′ , γ1,2 , γ1′ :
evibr
1,2
(γ0′ , γ1,2 , γ1′ )
=
vibr(0)
e1,2
(
(0)
γ0 , γ ∗
)
,
(2.2.3)
57
W1,2 (γ0′ , γ1,2 , γ1′ )
n (γ0′ , γ1,2 , γ1′ )
=
(0)
W1,2
(0)
=n
(
(
(0)
γ0 , γ ∗
(0)
γ0 , γ ∗
)
(2.2.4)
,
)
(2.2.5)
.
Выражения в левой и правой частях системы уравнений (2.2.3)-(2.2.5) вычисляются по формулам (1.6.18)-(1.6.20). В левой части условия нормировки должны
соответствовать функциям распределения (2.2.2), а в правой части — функциям
(2.2.1) с известными начальными параметрами.
Учитывая, что сохраняется общее число частиц, можем исключить из системы последнее уравнение и неизвестную γ1′ . В итоге получим два уравнения
для двух неизвестных γ0′ , γ1,2 .
Система уравнений (2.2.3), (2.2.4) соответствует системе алгебраических
уравнений. Решая эту систему, получим зависимости температуры газа T на
этапе завершения данной стадии и температуры T1,2 от начальной температуры
газа T0 и температуры накачки T ∗ .
2) На этапе завершения стадий V V ′(2−3) и V V ′(1−2−3) -релаксации
функцию распределения (1.5.24) можно записать в виде
fv(0)(1−2−3)
1 v2 v3 r
( ( 2
)
m3
′′ mc
= (v2 + 1)sr 3 exp γ0
+ εr + εv1 + εv2 + εv3 +
h
2
)
(2)
+γ1,2,3 (2v1 + v2 + 3v3 )ε1 + γ1′′ .
(2.2.6)
Здесь, как и раньше, можно ввести обозначения: γ0 = −1/kT (в этом случае T — температура газа на этапе завершения стадий релаксации V V ′(2−3) и
V V ′(1−2−3) ); γ1,2,3 = 1/kT − 1/kT1,2,3 . Благодаря обменам вида (1.5.3) и (1.5.4)
выравнивается температура всех трех колебательных мод T1,2,3 .
Интенсивные параметры γ0′′ , γ1,2,3 , γ1′′ определяются из условий нормировки (1.5.7):
′′
′′
evibr
1,2,3 (γ0 , γ1,2,3 , γ1 )
=
vibr(0)
e1,2,3
(
(0)
γ0 , γ ∗
)
,
(
)
(0) ∗
=
γ0 , γ ,
(
)
(0) ∗
′′
′′
(0)
n (γ0 , γ1,2,3 , γ1 ) = n
γ0 , γ .
W1,2,3 (γ0′′ , γ1,2,3 , γ1′′ )
(0)
W1,2,3
(2.2.7)
(2.2.8)
(2.2.9)
58
На данной стадии левые части выражений (2.2.7)-(2.2.9) вычисляются через функцию (2.2.6) в соответствии с формулами (1.6.18)-(1.6.20), а правые попрежнему вычисляются через функцию (2.2.1).
Снова учитывая сохранение числа частиц, вместо уравнений (2.2.7)-(2.2.9)
и трех неизвестных γ0′′ , γ1,2,3 , γ1′′ получаем два уравнения для двух неизвестных γ0′′ , γ1,2,3 . В результате получим зависимость температуры газа T на этапе
завершения стадий V V ′(2−3) и V V ′(1−2−3) -релаксации и температуры T1,2,3 от
температур T0 и T ∗.
3) В состоянии термодинамического равновесия функция распределения (1.5.28) будет выглядеть следующим образом:
fv(eq)
1 v2 v3 r
)
)
( 2
(
m3
(eq)
(eq) mc
= (v2 + 1)sr 3 exp γ
+ εr + εv1 + εv2 + εv3 + γ1
.
h
2
(2.2.10)
Здесь γ (eq) = −1/kT .
(eq)
Интенсивные параметры γ (eq) , γ1 определяются из условий нормировки
(1.5.7), которые сводятся к одному уравнению относительно γ (eq) :
(
e γ
(eq)
)
(0)
=e
( )
(0)
γ0 ,
(2.2.11)
Выражение в левой части уравнения (2.2.11) вычисляется с помощью
функции (2.2.10), а в правой части — функции (2.2.1).
В результате решения уравнения (2.2.11) получаем зависимость равновесной температуры газа T от начальной температуры газа T0 и температуры
накачки T ∗ .
2. Энергетическая накачка на 2 моду. Теперь рассмотрим ситуацию,
когда за счет энергетической накачки распределение энергии второй моды стало
соответствовать температуре T ∗ . На этот раз начальная функция распределения будет иметь вид
fv(0)
1 v2 v3 r
(
( 2
)
)
mc
m3
(0)
+ εr + εv1 + εv3 + γ ∗ εv2 + γ1 , (2.2.12)
= (v2 + 1)sr 3 exp γ0
h
2
59
где все обозначения соответствуют обозначениям формулы (2.2.1).
Как и при рассмотрении энергетической накачки на первую моду, процесс
релаксации в данном случае будет включать в себя 3 этапа: 1) V V ′(1−2) стадию;
2) V V ′(2−3) и V V ′(1−2−3) стадию и 3) процесс перехода в состояние термодинамического равновесия. Соответствующие функции распределения и условия
нормировки выписываются аналогично тому, как это делалось при накачке на
первую моду. Однако, на этот раз правые части в уравнениях (2.2.3)-(2.2.5),
(2.2.7)-(2.2.9) и (2.2.11) вычисляются с помощью (2.2.12).
3. Энергетическая накачка на 3 моду. Наконец рассмотрим ситуацию, когда за счет энергетической накачки распределение энергии третьей
моды стало соответствовать температуре T ∗ .
После завершения накачки на третью моду функция распределения имеет
вид:
fv(0)
1 v2 v3 r
(
( 2
)
)
m3
(0) mc
= (v2 + 1)sr 3 exp γ0
+ εr + εv1 + εv2 + γ ∗ εv3 + γ1 . (2.2.13)
h
2
Легко видеть, что переход к состоянию равновесия после накачки на третью
моду включает только 2 стадии: 1) релаксацию за счет V V ′(2−3) и V V ′(1−2−3)
переходов и 2) процесс перехода к состоянию термодинамического равновесия.
Функция распределения и условия нормировки на стадиях V V ′(2−3) и
V V ′(1−2−3) определяются, соответственно, формулами (2.2.6) и (2.2.7)-(2.2.9),
а на стадии V RT – (2.2.10) и (2.2.11). В отличие от двух предыдущих случаев
правые части в уравнениях (2.2.7)-(2.2.9) и (2.2.11) выражаются через функцию
(2.2.13).
§2.3 Метод Ньютона
В предыдущем параграфе были выписаны условия нормировки, справедливые на этапах завершения релаксационных стадий после энергетической накачки на первую, вторую и третью колебательные моды. Эти условия соответствуют алгебраическим уравнениям. Задача определения интенсивных параметров γλ , λ = 0, 1, ..., Λ после завершения каждой стадии релаксации сводится
60
к решению систем алгебраических уравнений относительно некоторого набора
неизвестных величин. Этих неизвестных ровно столько, сколько уравнений.
Для решения подобных систем используется численный метод – метод
Ньютона (метод касательных) [5].
Метод Ньютона - итерационный метод. Суть этого метода заключается в
построении приближенного решения с нужной степенью точности.
По методу Ньютона система уравнений, которую необходимо решить,
представляется в виде
Fi (x1 , ..., xI ) = 0, i = 1, ..., I.
(2.3.1)
Для начала выбираем начальное приближение {x01 , ..., x0I }. Следующее
приближение {x11 , ..., x1I } представляется следующим образом:
x1i = x0i + ∆x1i , i = 1, ..., I.
(2.3.2)
Приращение ∆x находится при решении системы уравнений, получаемой
путем разложения функций (2.3.1) в ряд Тейлора [73] в окрестности нулевого
приближения и отбрасывания членов, содержащих ∆xni при n ≥ 2:
I
∑
∂F
i
· ∆xl = 0, i = 1, ..., I.
Fi (x01 , ..., x0I ) +
∂xl {x01 ,...,x0 }
l=1
(2.3.3)
I
Соотношения (2.3.3) можно переписать в виде
I
∑
( 0
)
∂Fi 1
0
·
∆x
=
−F
x
,
...,
x
i
l
1
I , i = 1, ..., I,
∂xl {x01 ,...,x0 }
l=1
(2.3.4)
I
и рассматривать как систему I линейных уравнений относительно I неизвестных ∆x1l .
При этом
∆x1l =
det
, l = 1, ..., I,
detl
(2.3.5)
где
D (F1 , ..., FI ) det =
=J
D (x1 , ..., xI ) {x01 ,...,x0 }
I
(2.3.6)
61
— Якобиан перехода от функций Fi (i = 1, ..., I) к неизвестным xl (l =
1, ..., I), вычисленный при значениях {x01 , ..., x0I }; detl соответствует определителю (2.3.6), в котором l-й столбец (столбец производных по xl ) заменен столбцом
свободных членов (столбцом значений функций Fi (x01 , ..., x0I )).
Подставляя (2.3.5) в (2.3.2), получим первое приближение x11 , ..., x1I .
(1)
(1)
После вычислений функций Fi (x1 , ..., xI ) можно определить, удовлетворяют ли эти функции системе (2.3.1) с нужной степенью точности ε. Если все
эти функции удовлетворяют соотношениям
(1)
(1) Fi (x1 , ..., xI ) ≤ ε, i = 1, ..., I,
(2.3.7)
то можно считать, что решение найдено.
Если приближение {x11 , ..., x1J } не удовлетворяет исходной системе уравнений (2.3.1) с нужной степенью точности, то вся процедура решения повторяется с новым начальным приближением (2.3.2). Действуя таким образом, можно
найти решение системы трансцендентных уравнений (2.3.1) с любой степенью
точности.
Корректность применения этого метода зависит от значения Якобиана
системы уравнений (2.3.1) в любом приближении.
В [67] было показано, что Якобианы систем, левые части которых содержат макропараметры, выраженные через функции распределения вида (1.5.6),
являются якобианами перехода от экстенсивных к сопряженным интенсивным
параметрам. Такие Якобианы отличны от нуля [67]. Следовательно, метод Ньютона может быть применен для решения этих уравнений.
В настоящей работе решение систем (2.3.1) определялось с точностью до
ε ≈ 10−4 .
Скорость сходимости метода Ньютона зависит от удачного выбора начального приближения. При решении выписанных ранее уравнений начальное
приближение выбиралось с учетом физического смысла искомых параметров.
Это позволило получить решения, за 5 − 9 итераций.
62
§2.4 Результаты
В данной главе рассматриваются разные стадии релаксационных процессов, в начале которых наблюдаются различные нарушения равновесия за счет
энергетической накачки на одну из колебательных мод молекул CO2 .
Исследуется влияние начальной температуры газа и температуры накачки на распределения колебательной энергии, которые формируются на промежуточных и завершающей (равновесной) стадиях релаксации. Вычисляются
значения промежуточных и завершающих параметров в процессах релаксации.
Определяются зависимости этих параметров от начальной температуры газа T0
и температуры накачки T ∗ на разные колебательные моды.
Параметры газа на этапах завершения соответствующих стадий релаксации после энергетической накачки на каждую из мод определяются из условий нормировки, выписанных в §2.2. Для каждой из стадии соответствующие
условия представляют собой системы алгебраических уравнений, причем число
неизвестных равно числу уравнений в этих системах.
Для каждой стадии релаксации при накачке на каждую из мод соответствующие системы уравнений были решены с использованием метода Ньютона,
описанного в предыдущем параграфе. В результате были получены значения
параметров газа на всех стадиях релаксации.
При вычислениях использовались постоянные из таблиц 1 и 2. Начальная
температура газа T0 и температура накачки T ∗ изменялись от 300 до 1500K.
Результаты расчетов для последовательности релаксационных процессов,
которые осуществляются условиях энергетического воздействия на отдельные
виды колебательной энергии, продемонстрированы на рис. 5-10.
На рис. 5 представлена зависимость температуры газа T от температуры
накачки T ∗ на первую моду на этапах завершения разных стадий релаксации
при различных значениях температуры T0 : кривые с номером 1 при T0 = 300K;
с номером 2 – T0 = 600K; с номером 3 – T0 = 900K; с номером 4 – T0 = 1200K.
63
1400
4
1200
4
4
1200
3
1000
3
800
T, K
T, K
4
3
1000
2
3
800
2
600
2
600
2
1
400
1
400
1
200
200
400
600
800
1000
1200
1400
1
200
200
1600
400
600
T*, K
800
1000
1200
1400
1600
T*, K
Накачка на 1 моду
Накачка на 2 моду
4
1200
4
1000
3
T, K
3
800
2
600
2
400
1
1
200
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
T*, K
Накачка на 3 моду
Рис. 5. Температура газа T в зависимости от температуры накачки T ∗ на разные моды при
разных температурах T0 : кривые с номером 1 соответствуют T0 = 300K; с номером 2 –
T0 = 600K; с номером 3 – T0 = 900K; с номером 4 – T0 = 1200K. Кривые а) соответствуют
завершению стадий V V ′ -релаксации; кривые б) – состоянию термодинамического равновесия.
На этапах завершения стадий V V ′ -релаксации температура T не зависит
от температуры накачки (см. кривые а) и, как следовало ожидать, практически равна начальной температуре газа. В случае энергетической накачки на
первую и вторую моду изменения начальной температуры не превосходят 1%.
В случае накачки на третью моду при значениях T ∗ ≥ 1200K температура газа
возрастает на величину до 8%. Таким образом, поскольку околорезонансные
межмодовые колебательные обмены практически изолированы, они не оказывают влияния на температуру газа.
В состоянии термодинамического равновесия во всех случаях температура
газа сильно зависит как от температуры накачки, так и от начальной темпера-
64
туры газа.
На рис. 6 представлена зависимость температуры газа T от начальной
температуры T0 после энергетической накачки с T ∗ = 1500K на разные колебательные моды на этапе завершения стадии V RT -релаксации
1600
1400
T, K
1200
1000
800
600
400
200
2
1
3
400
600
800
1000
1200
1400
1600
T , K
0
Рис. 6. Температура газа T в зависимости от начальной температуры T0 после энергетической
накачки с T ∗ = 1500K на разные колебательные моды в состоянии термодинамического
равновесия. Кривая 1 соответствует накачке на первую моду; кривая 2 – на вторую моду;
кривая 3 – на третью моду.
После завершения накачки газ приходит к новому состоянию равновесия
с температура газа выше начальной температуры T0 , причем разница между
ними увеличивается с ростом температуры накачки T ∗ . V RT -переходы оказывают сильное влияние на температуру.
В случае накачки на вторую моду наблюдаются наибольшие изменения
температуры, она возрастает более чем в два раза при T0 = 300K И T ∗ =
1500K. Влияние V RT -обменов снижает при уменьшении разницы между этими
температурами.
В случае энергетического воздействия на третью моду изменения температуры не превосходят 35%. Изменения температуры самые слабые, они значительно меньше по сравнению с накачкой во вторую моду.
На рис. 7 представлена зависимость колебательной температуры T1,2 от
температуры накачки T ∗ на разные колебательные моды (рис. 7а – накачка на
первую моду; рис. 7б – накачка на вторую моду) для различных начальных
температур газа T0 .
65
1600
1600
1400
1400
4
4
1000
800
800
600
400
400
1
200
200
400
3
2
2
600
1000
1,2
3
T
T
, K
1200
1,2
, K
1200
600
800
1000
1200
1400
200
200
1600
1
400
600
800
T*, K
1000
1200
1400
1600
T*, K
а) Накачка на 1 моду
а) Накачка на 2 моду
Рис. 7. Температура T1,2 в зависимости от температуры накачки T ∗ на разные колебательные
моды при разных начальных температурах газа T0 . Кривые 1 соответствуют T0 = 300K; 2 –
T0 = 600K; 3 – T0 = 900K; 4 – T0 = 1200K.
Значения температуры T1,2 монотонно возрастают как с ростом начальной
температуры газа, так и с ростом температуры накачки. В случае воздействия
на вторую моду температура T1,2 выше, разница между ними может достигать
40%.
На рис. 8 представлена зависимость T1,2 от температуры T0 при различных
температурах накачки T ∗ на первую (рис. 8а) и вторую (рис. 8б) колебательную
моду.
1600
1600
4
4
1400
1400
2
800
600
1000
2
800
600
1
400
200
200
3
1,2
, K
1000
T
T
1200
3
1,2
, K
1200
1
400
400
600
800
1000
1200
T , K
0
б) Накачка на 1 моду
1400
1600
200
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
T , K
0
б) Накачка на 2 моду
Рис. 8. Температура T1,2 в зависимости от начальной температуры газа T0 при разных температурах T ∗ накачки на первую и вторую моду. Кривые 1 соответствуют T ∗ = 600K; 2 –
T ∗ = 900K; 3 – T ∗ = 1200K; 4 – T ∗ = 1500K.
В случае накачки на вторую моду температура T1,2 меньшее зависит от
66
начальной температуры T0 . При этом отношение температур T1,2 /T0 является
наибольшим, что говорит о большем отклонении от равновесия. Следует отметить, что среди межмодовых колебательных обменов наиболее влиятельным
является V V ′(1−2) обмен, так как при накачке на симметричную или деформационную моду T1,2 ≈ T1,2,3 (см. рис. 9 и 10), разница между ними составляет не
более 0, 5%.
На рис. 9 представлена зависимость колебательной температуры T1,2,3 от
температуры накачки T ∗ на разные колебательные моды (рис. 9а – накачка на
первую моду; рис. 9б – накачка на вторую моду; рис. 9в – накачка на третью
моду) для различных начальных температур газа T0 .
1600
1600
1400
1400
4
4
1000
, K
1200
1,2,3
3
T
T
1,2,3
, K
1200
800
2
600
1000
3
800
2
600
400
400
1
1
200
200
400
600
800
1000
1200
1400
200
200
1600
400
600
T*, K
800
1000
1200
1400
1600
T*, K
а) Накачка на 1 моду
б) Накачка на 2 моду
1600
1400
4
T
1,2,3
, K
1200
1000
3
800
2
600
400
200
200
1
400
600
800
1000
1200
1400
1600
T*, K
б) Накачка на 3 моду
Рис. 9. Температура T1,2,3 в зависимости от температуры накачки T ∗ на разные колебательные моды при разных начальных температурах газа T0 . Кривые 1 соответствуют T0 = 300K;
2 – T0 = 600K; 3 – T0 = 900K; 4 – T0 = 1200K.
67
Значения температуры T1,2,3 также монотонно возрастают с увеличением
начальной температуры газа и температуры накачки. В случае энергетических
воздействий в симметричной и антисимметричной моде температура T1,2,3 не
сразу возрастает с ростом температуры накачки. Особенно это выделяется при
воздействии на третью моду: рост T1,2,3 начинается при T ∗ ≈ 2T0 . После воздействия на деформационную моду температура T1,2,3 возрастает более интенсивно.
На рис. 10 представлена зависимость T1,2,3 от температуры T0 при различных температурах накачки T ∗ на первую (рис. 10а), вторую (рис. 10б) и третью
(рис. 10в) колебательную моду.
1600
1600
4
4
1400
1400
1200
, K
3
1,2,3
1000
2
T
T
1,2,3
, K
1200
800
600
1000
2
800
600
1
400
200
200
3
1
400
400
600
800
1000
1200
1400
200
200
1600
400
600
T , K
800
1000
1200
1400
1600
T , K
0
0
б) Накачка на 1 моду
а) Накачка на 2 моду
1600
4
1400
T
1,2,3
, K
1200
3
1000
2
800
600
1
400
200
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
T , K
0
а) Накачка на 3 моду
Рис. 10. Температура T1,2, в зависимости от начальной температуры газа T0 при разных
температурах T ∗ накачки на первую, вторую и третью моду. Кривые 1 соответствуют T ∗ =
600K; 2 – T ∗ = 900K; 3 – T ∗ = 1200K; 4 – T ∗ = 1500K.
Качественно поведение температуры T1,2,3 после энергетической накачки
68
на третью моду аналогично поведению после накачки на симметричную моду. В количественном отношении разница между значениями T1,2,3 в этих двух
ситуациях может достигать 35%.
При накачке на каждую моду были получены зависимости температуры
газа и соответствующих колебательных температур на промежуточных и окончательных стадиях релаксации от начальной температуры газа T0 и температуры накачки T ∗ .
Вычисления показали, что при накачке на первую и вторую колебательные моды стадии межмодовых обменов V V ′ приводят к выравниванию колебательных температур T1,2 и T1,2,3 . При этом наиболее влиятельным является
V V ′(1−2) обмен. Как и следовало ожидать, температуры T1,2 и T1,2,3 сильно зависят от температур T ∗ и T0 .
Релаксация газа завершается новым состоянием термодинамического равновесия с более высокой температурой газа. При этом в процессе релаксации
изменения температуры происходят не сразу, а наблюдается некоторое выдерживание температуры. Это связано с тем, что вначале происходят V V ′ обмены,
при которых нет обмена между поступательной и колебательной энергией, а
происходит некоторое перераспределение колебательной энергии молекул. Соответственно, температура газа, которая в основном определяется поступательной энергией частиц, меняется очень мало. На завершающей равновесной стадии дефект резонанса колебательной энергии может быть достаточно большим,
что приводит к изменению среднего значения поступательной энергии молекул
и, как следствие, к изменению температуры газа. При этом температура газа
становится тем больше, чем больше температура T ∗ .
Отметить также то, что при воздействиях в антисимметричной моде происходят наименьшие изменения температуры газа, в отличии от воздействия на
вторую колебательную моду.
Вывод из состояния термодинамического равновесия с помощью энергетической накачки отдельных мод может привести к инверсии (абсолютной или
относительной) колебательных заселенностей некоторых уровней. Именно такая инверсия служит основой для работы лазера. При этом возникает проблема
сохранения этой инверсии вплоть до процесса генерации лазерного излучения.
В этих условиях представляет интерес исследование процесса столкновительной релаксации, проведенное в настоящей работе.
69
Глава 3
СКАЧКИ УПЛОТНЕНИЯ
В РАВНОВЕСНЫХ ПОТОКАХ УГЛЕКИСЛОГО ГАЗА
§3.1 Обобщенные условия динамической совместности
При сверхзвуковых течениях газа в нем могут образовываться тонкие переходные области, в которых происходит резкое изменение газодинамических
параметров (температуры, плотности, скорости и других). Данные переходные
области носят названия ударных волн. Ударные волны могут возникать, например, при взрывах или встрече сверхзвукового потока с препятствием (спускаемые космические аппараты).
Характерный размер (толщина) зоны, при переходе через которую претерпевают резкое изменение параметры газа, сравнима с длинной свободного
пробега молекул. В большинстве задач классической газовой динамики толщиной ударной волны можно пренебречь и рассматривать ее как поверхность разрыва между двумя состояниями полного термодинамического равновесия, при
переходе через которую скачкообразно изменяются газовые параметры [34, 75].
При образовании ударных волн система дифференциальных уравнений газодинамики не может быть использована для описания газодинамических потоков в этой области, т.к. газодинамические параметры, входящие в эти уравнения
уже не являются непрерывными. Однако, возникающие в потоках газа разрывы
параметров не могут быть произвольными, и наличие уравнений газодинамики
накладывает на них определенные условия.
70
Ударная волна, вообще говоря, может распространяться от одной газовой
частицы к другой. Скорость такого движения называется скоростью распространения ударных волн и обозначается как θ. Она может быть вычислена по
формуле θ = D − vn , где D – скорость перемещения поверхности разрыва, а
vn – нормальная составляющая скорости движения газа (⃗n – единичный вектор
нормали к поверхности разрыва). Вводя обозначение для разрыва параметра
газа b: [b] = b(+) − b(−) , где за b(−) обозначено значение b перед фронтом ударной волны, а за b(+) – за фронтом, можно выписать условия, накладываемые
на разрывы газодинамических параметров [34, 75]:
[ρθ] = 0,
(3.1.1)
[ρ⃗v θ] = [p] · ⃗n,
[( 2
) ]
v
ρ + e θ = [p⃗v · ⃗n] .
2
(3.1.2)
(3.1.3)
Здесь ρ, ⃗v , p и e – плотность, скорость, давление и полная энергия единицы
объема газа.
Соотношения (3.1.1)-(3.1.3), связывающие газодинамические величины до
и после скачка, носят название условий динамической совместности [34, 75].
Если θ = 0, то поверхность называется стационарной. Такая поверхность
всегда отделяет одну массу газа от другой, например, поверхность струи газа.
Учитывая (3.1.2) и (3.1.3), получаем, что в этом случае скачки [p] = 0 и [vn ] = 0.
Изменения плотности [ρ] и касательной составляющей скорости [vτ ] могут быть
произвольными.
В газовой динамике наибольший интерес для исследований представляют случаи нестационарных поверхностей разрыва, скорость распространения
которых не равняется нулю (θ ̸= 0). В этой ситуации при переходе газа через поверхность плотность и скорость газа всегда терпят разрыв, но из (3.1.2)
следует, что [vτ ] = 0.
Если в результате перехода через разрыв плотность и давление возрастают, а скорость уменьшается, то такой разрыв называют скачком уплотнения [34, 75].
Поверхности, при переходе через которые терпят разрыв газодинамические параметры, а их производные остаются непрерывными, называются поверхностями сильного разрыва. В данной работе рассматриваются только по-
71
верхности сильного разрыва. При исследовании сильных разрывов мы ограничиваемся случаем плоских скачков уплотнения.
В газах с физико-химическими процессами и в высокотемпературных и
высокоскоростных потоках возбуждаются внутренние степени свободы и могут
протекать химические реакции. За счет этого толщина ударных волн может
значительно увеличиваться. Это происходит из-за того, что в таком газе, при
встрече с ударной волной, происходят сложные многоступенчатые релаксационные процессы, в результате которых в газе устанавливается новое состояние
равновесия (сначала по отдельным степеням свободы молекул, а затем состояние полного термодинамического равновесия). При этом, столкновения молекул, сопровождающиеся изменением внутренней энергии, происходят значительно реже, в отличии от упругих столкновений. В таких ситуациях возникает
задача о структуре ударных волн.
При рассмотрении процессов пространственно-однородной релаксации говорилось о том, что было проведено разделение процесса релаксации на отдельные стадии. Ударную волну также можно разделить на некоторые узкие
пространственные зоны, соответствующие разным стадиям релаксации. Такое
разделение ударной волны на несколько слоев, каждый из которых представлял собой некоторую релаксационную зону, проводилось в [70]. При этом авторы
исходили из рассматриваемой ими иерархии времен релаксации.
В настоящей диссертации рассматриваются течения углекислого газа с
внутренними степенями свободы. В главе 1 были рассмотрены разные стадии
релаксации углекислого газа, и была выписана иерархия времен релаксации
(1.5.5). Для замкнутого описания неравновесных течений газа, согласно [55,66],
привлекались дополнительные макропараметры, представляющие собой суммарные значения аддитивных инвариантов (1.5.7) тех столкновений, за счет которых установилось некоторое квазистационарное распределение. Кроме того, в
§1.5 были представлены квазистационарные функции распределения (1.5.6) на
этапе завершения каждой стадии релаксации. В §1.6 в общем виде были приведены макроскопические уравнения (1.6.3)-(1.6.5). Однако, как уже говорилось,
эти уравнения не будут действовать на поверхностях сильного разрыва, но могут быть использованы для вывода условий, накладываемых на возникающие
разрывы макропараметров.
По аналогии с [70] в данной диссертации скачок уплотнения разделяется
72
на релаксационные зоны, соответствующие иерархии (1.5.5). При этом каждая из выделенных релаксационных зон будет переходным слоем между двумя
квазистационарными состояниями. Выписанные в главе 1 квазистационарные
функции распределения и макроскопические уравнения могут быть использованы для получения соотношений, связывающих значения макропараметров ⃗v , ẽ
и Ψλ , λ = 1, ..., Λ на границах выделенных релаксационных зон. Эти соотношения можно получить с помощью уравнений (1.6.3)-(1.6.5), действуя по аналогии
с [34, 75].
В [16, 66] они были выписаны в виде
[ρ⃗v θ] = [p] · ⃗n,
[( 2
) ]
v
ρ + ẽ θ = [p⃗v · ⃗n] ,
2
(3.1.4)
[Ψλ θ] = 0, λ = 1, ..., Λ,
(3.1.6)
(3.1.5)
где Ψλ , λ = 1, ..., Λ — плотности макропараметров, сохраняющихся в выделенной релаксационной зоне. Энергетическая плотность ẽ включает те виды
энергии, которые обмениваются с поступательной энергией в масштабах рассматриваемой релаксационной зоны. Часть из соотношений (3.1.6) соответствует сохранению тех видов колебательной энергии, которая не обменивается с
поступательной в пределах данной релаксационной зоны.
В данной работе мы ограничимся рассмотрением плоских разрывов. Плоская поверхность разрыва, нормаль к которой не совпадает по направлению со
скоростью набегающего потока, называется косым скачком уплотнения. Косые
скачки уплотнения возникают, например, при обтекании клиньев, при нерасчетном истечении из плоских сопел. Скорость потока при переходе через косой
скачок меняется не только по величине, но и по направлению.
Схематически косой скачок уплотнения изображен на рис. 16. За α обозначен угол наклона фронта скачка к скорости набегающего потока, а за β –
угол отклонения потока за скачком.
73
V(+)
V(-)
β
α
Поток
Рис. 11. Схема косого скачка уплотнения.
Выберем систему координат, связанную с ударной волной. Тогда в проекции на скачок система обобщенных уравнений динамической совместности
будет выглядеть следующим образом:
[ρvn2 ] = −[p],
(3.1.7)
[vτ ] = 0,
[( 2
) ]
v
ρ + ẽ vn = −[pvn ],
2
(3.1.8)
[Ψλ vn ] = 0, λ = 1, ..., Λ.
(3.1.10)
(3.1.9)
Здесь vn = vcosα, а vτ = vsinα.
Кроме того, может быть получена зависимость между углом наклона скачка и углом отклонения потока на скачке [35]:
(
)−1
1
∆vn
+ tg 2 α
tgα.
(3.1.11)
tgβ =
1 − ∆vn 1 − ∆vn
(
)
(−)
(+)
(−)
Здесь ∆vn = vn − vn /vn .
Уравнения (3.1.7)-(3.1.10) и формула (3.1.11) позволяют получить значения газодинамических параметров за косым скачком уплотнения.
Ударные волны, плоскость которых перпендикулярна направлению набегающего потока, носят название прямых скачков уплотнения. В случае прямого
скачка обобщенные условия динамической совместности (3.1.4)-(3.1.6) можно
переписать в виде (в системе координат, связанной с прямым скачком):
74
[ρv 2 ] = −[p],
) ]
[( 2
v
ρ + ẽ v = −[p],
2
(3.1.12)
[Ψλ v] = 0, λ = 1, ..., Λ.
(3.1.14)
(3.1.13)
В следующих параграфах в соответствии с иерархией времен релаксации
(1.5.5) проводится послойное исследование прямых и косых скачков уплотнения
на основе системы определяющих макропараметров, соответствующих аддитивным инвариантам столкновений, которые учитываются в пределах рассматриваемой релаксационной зоны [55, 66].
§3.2 Схема описания скачков уплотнения
в равновесных потоках углекислого газа
Рассмотрим ударные волны, сформировавшиеся в равновесных потоках
углекислого газа с вращательными и колебательными степенями свободы. Такие ударные волны можно рассматривать как и в классической газовой динамике, — как узкий переходный слой между двумя состояниями полного термодинамического равновесия.
Возбуждение внутренних степеней свободы оказывает существенное влияние на структуру ударной волны. В главе 1 процесс релаксации к состоянию
полного термодинамического равновесия был разделен на несколько стадий,
соответствующих иерархии времен релаксации (1.5.5). На этапе завершения
каждой из этих стадий были получены соответствующие квазистационарные
распределения и система определяющих макропараметров.
Как уже было сказано, ударная волна разделяется на релаксационные
зоны в соответствии с (1.5.5).
Выпишем обобщенные условия динамической совместности (3.1.7)-(3.1.10)
на границе каждой из релаксационных зон.
75
1. Стадия RT -релаксации.
В масштабах этой релаксационной зоны формируется максвеллбольцмановское распределение по поступательным и вращательным энергиям (1.5.12). Сохраняется импульс ρ⃗v , поступательно-вращательная энергия eT R
(1.5.8) и заселенности всех колебательных уровней nv1 v2 v3 (1.5.9).
Учитывая вышесказанное, можно записать обобщенные условия динамической совместности (3.1.7)-(3.1.10) в симметричной форме:
mn(+) vn(+)2 + n(+) kT (+) = mn(−) vn(−)2 + n(−) kT (−) ,
(+)2
vn
2
(−)2
7 kT (+)
vn
+
=
2 m
2
7 kT (−)
+
,
2 m
(3.2.1)
(3.2.2)
vτ(+) = vτ(−) ,
(3.2.3)
(+)
(−)
(−)
max
n(+)
, i = 1, 2, 3.
v1 v2 v3 vn = nv1 v2 v3 vn , vi = 0, 1, ..., vi
(3.2.4)
Здесь использованы формулы для давления p = nkT и массовой плотности
ρ = mn.
Следствием уравнений (3.2.4) являются соотношения
n(+) vn(+) = n(−) vn(−)
(3.2.5)
ρ(+) vn(+) = ρ(−) vn(−) .
(3.2.6)
или
Можно выписать равенства
(+)
(−)
nv
nv
=
, v = 0, 1, ..., v max ,
(3.2.7)
(+)
(−)
n
n
где v = (v1 , v2 , v3 ), а v max = (v1max , v2max , v3max ).
Зону RT -релаксации обычно отождествляют с фронтом ударной волны.
При поуровневом описании в релаксационных зонах за фронтом волны решаются дифференциальные уравнения для nv1 v2 v3 .
2. Стадия V V -релаксации.
Обобщенные условия динамической совместности будут состоять из уравнений (3.2.1)-(3.2.3), (3.2.5) и уравнений
76
(+) (+)
(−) (−)
n(+) ⟨evibr
vn = n(−) ⟨evibr
vn , i = 1, 2, 3.
i ⟩
i ⟩
(3.2.8)
Учитывая (3.2.5), соотношение (3.2.8) можно переписать как равенство:
(+)
(−)
⟨evibr
= ⟨evibr
, i = 1, 2, 3.
i ⟩
i ⟩
(3.2.9)
3. Стадия V V ′(1−2) -релаксации.
Обобщенные условия динамической совместности будут состоять из уравнений
(+)2
vn
2
(−)2
(+)
(−)
7 kT (+) ⟨evibr
vn
7 kT (−) ⟨evibr
1,2 ⟩
1,2 ⟩
+
+
=
+
+
,
2 m
m
2
2 m
m
(3.2.10)
n(+) ⟨W1,2 ⟩(+) vn(+) = n(−) ⟨W1,2 ⟩(−) vn(−) ,
(3.2.11)
(+) (+)
(−) (−)
n(+) ⟨evibr
vn = n(−) ⟨evibr
vn ,
3 ⟩
3 ⟩
(3.2.12)
а также уравнения для импульса (3.2.1), касательной составляющей скорости
(3.2.3) и числа частиц (3.2.5).
Учитывая (3.2.5) можно переписать уравнение (3.2.12) в виде (3.2.9) (при
i = 3), а уравнение (3.2.11), соответствующее сохранению суммарного числа
квантов 2-й моды в первых двух модах, в виде
⟨W1,2 ⟩(+) = ⟨W1,2 ⟩(+) .
(3.2.13)
Итоговая система будет состоять из 6 уравнений (3.2.1), (3.2.3), (3.2.5),
(3.2.9) при i = 3, (3.2.10) и (3.2.13).
4. Стадии V V ′(2−3) - и V V ′(1−2−3) -релаксации.
На данных стадиях релаксации система макропараметров, помимо импульса и числа частиц n, состоит из полной энергии e (1.7.17) и числа W123
(2)
колебательных квантов ε1 (1.7.19) в трех колебательных модах.
На этот раз обобщенные условия динамической совместности будут состоять из уравнений
77
(+)2
vn
2
(−)2
(+)
(−)
7 kT (+) ⟨evibr
vn
7 kT (−) ⟨evibr
1,2,3 ⟩
1,2,3 ⟩
+
+
=
+
+
,
2 m
m
2
2 m
m
⟨W1,2,3 ⟩(+) = ⟨W1,2,3 ⟩(−)
(3.2.14)
(3.2.15)
и уравнений (3.2.1), (3.2.3) и (3.2.5). В уравнении (3.2.15) уже учтено сохранение
числа частиц.
5. Стадия V RT -релаксации.
Рассмотрим завершающую стадию релаксации. На ее границе формируется новое состояние термодинамического равновесия. Определяющими макропараметрами являются число частиц, импульс и полная энергия.
На этот раз обобщенные условия динамической совместности будут состоять из уравнений нормальной составляющей скорости (3.2.1), касательной
составляющей (3.2.3), числа частиц (3.2.5) и уравнения для энергии (3.2.14).
Эту зону релаксации можно отождествлять с толщиной ударной волны в равновесном потоке.
Решая системы уравнений, соответствующие обобщенным условиям динамической совместности, можно изучить состояние газа на границах каждой
из 5 рассматриваемых зон внутри ударной волны и оценить влияние разных
процессов на газодинамические параметры за скачком.
§3.3 Значения газодинамических параметров
за ударной волной на границах различных
релаксационных зон
В предыдущем параграфе были выписаны обобщенные условия динамической совместности, справедливые на границах выделенных внутри ударной
волны релаксационных зон. Выписанные условия в каждом случае представляют собой системы алгебраических уравнений. Задача определения газодинамических параметров на границе каждой из зон сводится к решению этих систем.
78
В настоящей диссертации для решения этих систем уравнений все скалярные величины за ударной волной (n(+) , e(+) ,...) выражаются через функции
распределения (1.5.6). Тогда левые части обобщенных условий динамической
совместности на границе каждой из стадий релаксации могут быть представ(+)
лены как функции интенсивных параметров γλ , λ = 1, ..., Λ, которые входят
в соответствующие распределения, и скорости v (+) . Каждая система соответствующих алгебраических уравнений решается относительно некоторого набора неизвестных величин, число которых совпадает с числом уравнений.
Системы алгебраических уравнений, соответствующие условиям динамической совместности, на границе каждой из релаксационных зон решались методом Ньютона [5] (см. §2.3). Как говорилось в §2.3, сходимость метода Ньютона зависит от выбора начального приближения. В данной работе при решении
задач на границах релаксационных зон начальное приближение выбиралось с
учетом физического смысла искомых параметров. Это позволило добиться достаточно высокой сходимости метода: при точности порядка 10−4 метод сходился за 4 − 8 итераций.
В результате были получены значения соответствующих макропараметров на границах выделенных релаксационных зон для скачков уплотнения с
различными углами наклона. Варьируя значения газодинамических величин до
скачка (n(−) , T (−) , M (−) ), можем наблюдать поведение параметров за фронтом
скачка на границах всех релаксационных зон.
На границах релаксационных зон для каждого случая были посчитаны
значениях газодинамических величин.
Кроме того, на границе каждой из релаксационных зон были рассчитаны
гипоциссоиды сильного разрыва. Для этого при фиксированных параметрах
набегающего потока были посчитаны значения v (+) в проекциях на ось x и ось
y для различных углов отклонения потока после скачка (ось x параллельна и
сонаправлена вектору скорости потока до скачка уплотнения, ось y - перпендикулярна оси x).
Конкретные вычисления проводились при следующих условиях: число частиц выбиралось равным числу Лошмидта n(−) , число Маха M (−) невозмущенного потока выбиралось равным 2; 2,5 и 3. Температура T (−) невозмущенного
потока варьировалась от 300K до 1500K с интервалом 300K. Угол наклона
скачка α выбирался 35◦ , 45◦ , 60◦ . Был рассмотрен и прямой скачок уплотнения.
79
При вычислениях снова использовались постоянные из таблиц 1 и 2. Также, при
вычислении скорости звука использовались результаты, полученные в главе 1.
1. Граница зоны RT -релаксации. Результаты расчетов газодинамических параметров в скачке уплотнения на границе зоны RT -релаксации продемонстрированы на рис. 12-16.
На рис. 12 представлено влияние числа Маха невозмущенного потока M (−)
на скачок температуры углекислого газа на границе зоны RT -релаксации при
различных значениях угла наклона скачка α. Рис. 12а соответствует углу наклона α = 45◦ ; рис. 12б – углу наклона α = 60◦ ; 12в – углу наклона α = 75◦ ;
12г – прямому скачку уплотнения (α = 90◦ ).
4000
4000
3600
3600
3200
3200
2800
(+)
2
2000
, K
3
2400
T
T
(+)
, K
2800
1
1600
2
2400
1
2000
1600
1200
1200
800
800
400
200
3
400
400
600
800
T
1000
(-)
1200
1400
1600
200
400
600
, K
800
T
а) Наклон скачка 45◦
1000
(-)
1200
1400
1600
, K
б) Наклон скачка 60◦
4000
4000
3
3
3600
3600
3200
3200
2
(+)
1
, K
2400
2000
2400
1600
1200
1200
800
800
200
1
2000
1600
400
2
2800
T
T
(+)
, K
2800
400
400
600
800
T
1000
(-)
1200
, K
в) Наклон скачка 75◦
1400
1600
200
400
600
800
T
1000
(-)
1200
1400
1600
, K
г) Прямой скачок уплотнения
Рис. 12. Температура газа T (+) за скачком на границе зоны RT -релаксации в зависимости от
температуры T (−) невозмущенного потока при разных углах наклона скачка α и числах Маха
невозмущенного потока M (−) . Кривые 1 соответствуют M (−) = 2; кривые 2 – M (−) = 2, 5;
кривые 3 – M (−) = 3.
80
4000
4000
3600
3600
3200
3200
2800
2800
2400
, K
4
2000
2
1600
1
(+)
3
T
T
(+)
, K
Температура газа возрастает при переходе через зону RT –релаксации как
в случае косого, так и в случае прямого скачка уплотнения. Скачок температуры становится больше с ростом числа Маха M (−) . При M (−) = 3 скачок
температуры становится больше на 30% по сравнению со скачком при M (−) = 2.
На рис. 13 представлено влияние угла наклона скачка уплотнения α на
скачок температуры углекислого газа на границе зоны RT -релаксации при различных значениях числа Маха M (−) невозмущенного потока: рис. 13а соответствует числу Маха M (−) = 2; рис. 13б – числу Маха M (−) = 2, 5; 13в – числу
Маха M (−) = 3.
3
2
2400
1
2000
1600
1200
1200
800
800
400
200
4
400
400
600
800
T
1000
(-)
1200
1400
1600
200
400
600
, K
800
T
а) Число Маха M (−) = 2
1000
(-)
1200
1400
1600
, K
б) Число Маха M (−) = 2, 5
4000
4
3600
3
3200
2
T
(+)
, K
2800
1
2400
2000
1600
1200
800
400
200
400
600
800
T
1000
(-)
1200
1400
1600
, K
в) Число Маха M (−) = 3
Рис. 13. Температура газа T (+) за скачком на границе зоны RT -релаксации в зависимости
от температуры T (−) невозмущенного потока при разных числах Маха M (−) невозмущенного
потока и углах наклона скачка α. Кривые 1 соответствуют α = 45◦ ; кривые 2 – α = 60◦ ;
кривые 3 – α = 75◦ ; кривые 4 – α = 90◦ .
81
Из рис. 12 и 13 видно, что чем круче угол наклона, тем сильнее изменение
температуры. В случае прямого скачка уплотнения имеем наиболее сильное
изменение температуры (в этом случае скачок температуры выше не менее чем
на 33% по сравнению со скачком при α = 45◦ ). Влияние угла наклона α на
изменение температуры газа за ударной волной увеличивается с ростом числа
Маха M (−) .
На рис. 14 представлено влияние температуры невозмущенного потока
T (−) на изменение скорости молекул углекислого газа на границе зоны RT релаксации при различных значениях угла наклона скачка α.
1300
1300
1200
1200
4
1100
1100
1000
1000
3
900
800
,
/
2
(+)
700
v
v
(+)
,
/
900
600
600
1
500
400
400
300
300
200
200
800
1000
v
1200
(-)
,
1400
1600
1200
1100
1100
1000
1000
900
900
800
800
,
/
1300
(+)
700
600
4
500
3
400
1200
,
/
в) Наклон скачка 75◦
1400
1600
/
700
600
500
4
3
2
200
(-)
,
300
1
1000
1200
(-)
400
2
300
v
1000
б) Наклон скачка 60◦
v
/
,
(+)
v
800
v
1200
800
1
600
1300
600
2
/
а) Наклон скачка 45◦
200
3
700
500
600
4
800
1400
1600
1
600
800
1000
v
1200
(-)
,
1400
1600
/
г) Прямой скачок уплотнения
Рис. 14. Скорость газа v (+) за скачком на границе зоны RT -релаксации в зависимости от
скорости v (−) невозмущенного потока при разных углах наклона скачка α и температурах
невозмущенного потока T (−) . Кривые 1 соответствуют T (−) = 300K; кривые 2 – T (−) = 600K;
кривые 3 – T (−) = 900K; кривые 4 – T (−) = 1200K.
Результаты расчетов показали, что скорость газа уменьшается при пере-
82
ходе через зону RT -релаксации. С ростом температуры T (−) до скачка уплотнения скорость v (+) на границе зоны RT -релаксации становится больше, при
этом скачок скорости увеличивается. С ростом угла наклона скачка влияние
температуры невозмущенного потока на изменение скорости молекул углекислого газа становится более значительным.
На рис. 15 представлено влияние угла наклона скачка уплотнения α на
изменение скорости молекул углекислого газа на границе зоны RT -релаксации
при различных значениях числа Маха M (−) невозмущенного потока.
1400
1400
1200
1200
1
1000
1
1000
/
,
(+)
800
v
v
(+)
,
/
2
2
800
600
3
600
3
4
4
400
400
200
500
200
600
700
800
900
v
(-)
,
1000
1100
1200
1300
600
800
1000
/
1200
v
а) Число Маха M (−) = 2
(-)
,
1400
1600
/
б) Число Маха M (−) = 2, 5
1400
1
1200
2
800
v
(+)
,
/
1000
3
600
4
400
200
800
1000
1200
v
1400
(-)
,
1600
1800
/
в) Число Маха M (−) = 3
Рис. 15. Скорость газа v (+) на границе зоны RT -релаксации в зависимости от скорости v (−)
невозмущенного потока при разных числах Маха невозмущенного потока M (−) и угла наклона скачка α. Кривые 1 соответствуют α = 45◦ ; кривые 2 – α = 60◦ ; кривые 3 – α = 75◦ ;
кривые 4 – α = 90◦ .
Угол наклона α оказывает сильное влияние на величину скачка газоди-
83
намических параметров в ударной волне. Чем круче угол наклона, тем больше
изменение как скорости, так и температуры молекул углекислого газа. Следует
также отметить что при α = 45◦ поток за скачком остается сверхзвуковым во
всем диапазоне температур и скоростей, а при α = 75◦ и α = 90◦ – становится
дозвуковым.
На рис. 16 представлено влияние температуры набегающего потока T (−)
на гипоциссоиды сильного разрыва на границе зоны RT -релаксации при различных значениях числа Маха невозмущенного потока M (−) .
600
500
500
400
400
3
/
2
,
y
(+)
200
300
v
3
v
(+)
300
y
,
/
600
1
200
2
1
100
0
100
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
1800
0
2000
0
200
400
600
800
1000
x
1200
1400
1600
1800
2000
(+)
(+)
v
,
/
v
а) Число Маха M (−) = 2
x
,
/
б) Число Маха M (−) = 2, 5
600
3
500
2
v
(+)
1
300
y
,
/
400
200
100
0
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
1800
2000
(+)
v
x
,
/
в) Число Маха M (−) = 3
(+)
(+)
Рис. 16. Скорость vy в зависимости от скорости vx за скачком на границе зоны RT релаксации при разных числах Маха M (−) и температурах T (−) невозмущенного потока.
Кривые 1 соответствуют T (−) = 500K; кривые 2 – T (−) = 1000K; кривые 3 – T (−) = 1500K.
Из рис. 16 видно, что гипоциссоиды растягиваются с увеличением чис-
84
ла Маха M (−) и температуры T (−) набегающего потока. Угол отклонения потока β практически не зависит от температуры невозмущенного потока T (−) ,
изменения не превосходят 10%. Число Маха M (−) , как и угол наклона скачка,
невозмущенного потока оказывает сильное влияние на угол отклонения потока.
С ростом угла наклона скачка до 60◦ происходит увеличение угла отклонения
потока по сравнению с α = 45◦ ; при угле наклона 75◦ наблюдается уменьшения
угла отклонения потока по сравнению с α = 60◦ .
Перейдем к следующей релаксационной зоне.
2. Граница зоны V V -релаксации. На границе данной релаксационной
зоны система обобщенных условий динамической совместности состоит из уравнений (3.2.1)-(3.2.3), (3.2.5) и (3.2.8). Причем система уравнений (3.2.1)-(3.2.3)
может быть решена независимо от трех остальных уравнений.
Легко видеть, что система (3.2.1)-(3.2.3) полностью совпадает с системой обобщенных условий динамической совместности на границе зоны RT релаксации. Поэтому результаты расчетов, относящихся к скачкам температуры и скорости газа, на границе зоны, соответствующей стадии V V -релаксации,
будут аналогичны результатам на границе зоны RT -релаксации (см. рис. 11-15).
Однако, следует отметить, что отдельно могут быть решены уравнения
(3.2.8), из которых определяются колебательные температуры Ti , (i = 1, 2, 3).
В результате их решения получается ожидаемый результат, состоящий в том,
что колебательные температуры на границе зоны V V -релаксации равны температуре невозмущенного потока T (−) .
3. Границы зон V V ′ -релаксации. При переходе от зоны V V релаксации к зонам V V ′ -релаксации значения газодинамических параметров
и угла отклонения потока меняются очень слабо. В частности, на границах зон
V V ′(2−3) и V V ′(1−2−3) -релаксации изменения не превышают 1%. Таким образом,
поведение параметров газа отражается на рис. 11-15. При этом колебательные
температуры T1,2 и T1,2,3 будут с точностью до нескольких градусов равны температуре набегающего потока T (−) .
Причина на столько малых изменений газодинамических величин заключается в том, что близкие к резонансным V V ′ -обмены не имеют канала релаксации, системы поступательно-вращательных и колебательных степеней свободы
практически изолированы.
4. Граница зоны V RT -релаксации. Результаты расчетов газодина-
85
4000
3600
3600
3200
3200
2800
2800
2400
2400
, K
4000
(+)
3
2000
2
1600
T
T
(+)
, K
мических параметров за фронтом ударной волны (на границе зоны V RT релаксации) представлены на рис. 16-20.
На рис. 17 представлено влияние числа Маха набегающего потока M (−)
на скачок температуры углекислого газа за фронтом ударной волны при различных значениях угла наклона скачка α.
1200
800
800
400
400
600
800
T
1000
(-)
1200
1400
1
1600
1
400
2
2000
1200
200
3
1600
200
4000
3600
3600
3200
3200
2400
(+)
2
, K
3
2000
1
T
T
(+)
, K
2800
800
800
400
400
1000
1200
, K
в) Наклон скачка 75◦
1600
2
2000
1200
(-)
1400
2400
1200
T
1200
, K
3
1600
800
1000
(-)
2800
1600
600
800
б) Наклон скачка 60◦
4000
400
600
T
а) Наклон скачка 45◦
200
400
, K
1400
1600
1
200
400
600
800
T
1000
(-)
1200
1400
1600
, K
г) Прямой скачок уплотнения
Рис. 17. Температура газа T (+) за ударной волной в зависимости от температуры T (−) невозмущенного потока при разных углах наклона скачка α и числах Маха невозмущенного потока
M (−) . Кривые 1 соответствуют M (−) = 2; кривые 2 – M (−) = 2, 5; кривые 3 – M (−) = 3.
Скачок температуры по сравнению с предыдущими релаксационными зонами становится немного меньше. Температура газа T (+) уменьшается на величину не превышающую 20%. При этом влияние числа Маха невозмущенного
потока на скачок температуры не изменяется.
Такое изменение скачка температуры объясняется формированием нового
равновесного распределения за фронтом ударной волны. В этом случае влияние
86
4000
4000
3600
3600
3200
3200
2800
2800
(+)
, K
2400
4
2000
3
T
T
(+)
, K
колебательных V RT -обменов (дефекта резонанса) становится определяющим,
и происходит перекачка поступательной энергии в колебательную, что приводит
к уменьшению температуры в сравнении с 1-4 зонами релаксации.
На рис. 18 представлено влияние угла наклона скачка уплотнения α на
скачок температуры углекислого газа за фронтом ударной волной при различных значениях числа Маха M (−) набегающего потока.
2
1600
2400
4
3
2000
2
1
1600
1
1200
1200
800
800
400
400
200
400
600
800
T
1000
(-)
1200
1400
1600
200
400
600
, K
800
T
а) Число Маха M (−) = 2
1000
(-)
1200
1400
1600
, K
б) Число Маха M (−) = 2, 5
4000
3600
3200
4
2800
T
(+)
, K
3
2400
2
2000
1
1600
1200
800
400
200
400
600
800
T
1000
(-)
1200
1400
1600
, K
в) Число Маха M (−) = 3
Рис. 18. Температура газа T (+) за ударной волной в зависимости от температуры T (−) невозмущенного потока при разных числах Маха M (−) невозмущенного потока и углах наклона
скачка α. Кривые 1 соответствуют α = 45◦ ; кривые 2 – α = 60◦ ; кривые 3 – α = 75◦ ; кривые
4 – α = 90◦ .
В случае нового состояния равновесия за фронтом ударной волны угол
наклона скачка влияет на изменение температуры несколько больше.
На рис. 19 представлено влияние температуры набегающего потока T (−)
87
на изменение скорости молекул углекислого газа за фронтом ударной волны
при различных значениях угла наклона скачка α.
1300
1300
1200
1200
4
1100
1100
1000
1000
3
900
800
,
/
2
(+)
700
v
v
(+)
,
/
900
600
600
1
500
400
400
300
300
800
1000
v
1200
(-)
,
1400
1600
600
800
1000
v
1200
(-)
,
1400
1600
/
б) Наклон скачка 60◦
1300
1200
1200
1100
1100
1000
1000
900
900
800
800
,
/
1300
(+)
700
v
/
1
/
а) Наклон скачка 45◦
,
2
200
600
(+)
3
700
500
200
v
4
800
600
700
600
500
500
4
400
3
300
1
200
600
800
400
300
2
200
1000
v
1200
(-)
,
/
в) Наклон скачка 75◦
1400
1600
2
1
600
800
1000
v
1200
(-)
,
4
3
1400
1600
/
г) Прямой скачок уплотнения
Рис. 19. Скорость газа v (+) за ударной волной в зависимости от скорости v (−) невозмущенного
потока при разных углах наклона скачка α и температурах невозмущенного потока T (−) .
Кривые 1 соответствуют T (−) = 300K; кривые 2 – T (−) = 600K; кривые 3 – T (−) = 900K;
кривые 4 – T (−) = 1200K.
Изменение скорости становится больше (см. рис. 13 и 18). Особенно это
выражено для прямого скачка, в этом случае увеличение скачка достигает 40%.
За ударной волной температура невозмущенного потока влияет на скорость v (+)
сильнее.
На рис. 20 представлено влияние угла наклона скачка уплотнения α на
изменение скорости молекул углекислого газа за фронтом ударной волны при
различных значениях числа Маха M (−) невозмущенного потока.
88
1400
1400
1200
1200
1000
1000
2
/
,
800
(+)
2
800
v
,
/
1
v
(+)
1
600
600
3
3
400
400
4
4
200
500
200
600
700
800
900
v
(-)
,
1000
1100
1200
1300
600
800
1000
/
1200
v
а) Число Маха M (−) = 2
(-)
,
1400
1600
/
б) Число Маха M (−) = 2, 5
1400
1
1200
1000
800
v
(+)
,
/
2
600
3
400
4
200
800
1000
1200
v
1400
(-)
,
1600
1800
/
в) Число Маха M (−) = 3
Рис. 20. Скорость газа v (+) за ударной волной в зависимости от скорости v (−) невозмущенного
потока при разных числах Маха невозмущенного потока M (−) и угла наклона скачка α.
Кривые 1 соответствуют α = 45◦ ; кривые 2 – α = 60◦ ; кривые 3 – α = 75◦ ; кривые 4 –
α = 90◦ .
Рис. 19 и 20 показывают влияние угла наклона скачка на газодинамические параметры за скачком, а также дают возможность сравнить результаты
для косого скачка уплотнения с результатами для прямого скачка. За фронтом
ударной волны в обоих случаях угол наклона чуть сильнее влияет на газодинамические параметры.
На рис. 21 представлено влияние температуры набегающего потока T (−)
на гипоциссоиды сильного разрыва на границе зоны V RT -релаксации при различных значениях числа Маха невозмущенного потока M (−) .
89
700
700
600
600
500
500
/
400
400
2
,
(+)
y
300
3
v
(+)
v
y
,
/
3
300
1
2
200
200
1
100
0
100
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
1800
0
2000
0
200
400
600
800
1000
x
1200
1400
1600
1800
2000
(+)
(+)
v
,
/
v
а) Число Маха M (−) = 2
x
,
/
б) Число Маха M (−) = 2, 5
700
600
3
2
400
1
(+)
v
y
,
/
500
300
200
100
0
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
1800
2000
(+)
v
x
,
/
в) Число Маха M (−) = 3
(+)
(+)
Рис. 21. Скорость vy в зависимости от скорости vx за ударной волной при разных числах
Маха M (−) и температурах T (−) невозмущенного потока. Кривые 1 соответствуют T (−) =
500K; кривые 2 – T (−) = 1000K; кривые 3 – T (−) = 1500K.
Поведение угла отклонения потока β совпадает с поведением на границах
предыдущих релаксационных зон в случае значений числа Маха невозмущенного потока 2 и 2, 5. Однако, при M (−) = 3 немного возрастает с ростом угла
наклона α и не претерпевает перепадов. Гипоциссоиды сильного разрыва становятся более вытянутыми по вертикали.
Следует также отметить, что в этой ситуации угол отклонения становится
больше, особенно при высокой скорости и температуре невозмущенного потока.
В данной главе в первых двух параграфах были описаны скачки уплотнения в разных физических условиях. В условиях равновесного потока было
90
проведено послойное рассмотрение косых и прямых скачков уплотнения. Для
каждой ситуации были представлены условия динамической совместности на
границе каждой из рассматриваемых релаксационных зон. Данные условия
представляют собой алгебраические системы с равным числом неизвестных и
уравнений. Они позволяют определить состояние газодинамических параметров на границе каждой из релаксационных зон внутри скачка и за ним.
В работе было проведено решение соответствующих систем уравнений для
случая косого и прямого скачков методом Ньютона.
Было получено, что при встрече потока с препятствием газодинамические параметры изменяются скачкообразно. Скорость убывает, а температура
возрастает. При этом скачки тем сильнее, чем выше скорость и температура
невозмущенного потока, а также чем круче наклон скачка.
При переходе между релаксационными зонами внутри ударной волны изменения газодинамических параметров не происходит (изменения не превышают 1%). Колебательные температуры с точностью до нескольких градусов совпадают с температурой газа до скачка. Это связано с малой ролью колебательных обменов в формировании значения температуры молекул углекислого газа.
Полученные результаты позволяют сделать вывод о том, что нет необходимости
выделять зоны V V ′ -релаксации.
За ударной волной при выходе на новое состояние термодинамического
равновесия температура и скорость становятся меньше по сравнению с границами предыдущих релаксационных зон. Особенно это заметно в случае прямого
скачка уплотнения. Для косого скачка изменяется поведение угла отклонения
потока: он становится больше и монотонно возрастает при более высоких скоростях невозмущенного потока. Это связано со значительным влиянием дефекта
резонанса и перекачкой энергии в колебательные моды.
Полученные результаты показывают, что как и в случае пространственнооднородной релаксации изменения в релаксационных зонах мало отличаются
при переходе от одной зоны к другой. В равновесии, как и за фронтом ударной
волны, наблюдается самое сильное изменение параметров газа. Таким образом,
при решении задачи о релаксационных процессах в углекислом газе за ударными волнами достаточно рассматривать зону поступательно-вращательной релаксации и зону V RT -релаксации, когда газ приходит к состоянию нового термодинамического равновесия.
91
Напомним, что в данной главе рассматривались равновесные течения углекислого газа с ударными волнами. В следующей главе мы рассмотрим углекислый газ с разной степенью неравновесноти.
92
Глава 4
СКАЧКИ УПЛОТНЕНИЯ
В КОЛЕБАТЕЛЬНО НЕРАВНОВЕСНЫХ ПОТОКАХ
УГЛЕКИСЛОГО ГАЗА
§4.1 Схема описания скачков уплотнения
в колебательно неравновесных потоках углекислого газа
В данной главе проводится оценка влияния колебательной неравновесности набегающего потока на релаксационную структуру прямых и косых скачков
уплотнения.
Колебательная релаксация является наиболее медленным процессом, ее
время даже может превосходить характерное макроскопическое время или совпадать с ним [20]. Это приводит к возникновению колебательной неравновесности в потоках газа. Подобные явления отмечались, например, при входе космических аппаратов в атмосферу планет, а также при сверхзвуковых течениях
газа в соплах (см. работы [20, 86]).
В некоторых ситуациях, например, при истечении сверзвукового потока из сопла или при встрече такого потока с препятствием, в колебательно
неравновесных потоках газов может сформироваться некоторый слой, при переходе через который происходит резкое изменение газодинамических параметров [14,16,29,104]. Данный слой может рассматриваться как поверхность разрыва (ударная волна) между двумя одинаково неравновесными состояниями газа.
По аналогии с равновесным случаем в ударной волне будут протекать релаксационные процессы, соответствующие стадиям, которые предшествовали уже
реализовавшейся стадии.
93
Таким образом, и в этом случае ударную волну можно разделить на соответствующие релаксационные зоны и провести послойное исследование скачков
уплотнения.
Наиболее сильная колебательная неравновесность наблюдается, когда ситуация в набегающем потоке соответствует завершению стадии RT –релаксации.
Если при этом в потоке газа возникает ударная волна, ее можно отождествить с зоной поступательно-вращательной релаксации. Толщина ударной
волны по величине будет порядка длины свободного пробега молекул в зоне
RT –релаксации.
На косых скачках уплотнения условия динамической совместности на границе зоны поступательно-вращательной релаксации могут быть записаны в виде (3.2.1)–(3.2.4). Согласно (3.2.7), относительные колебательные заселенности
не претерпевают разрыв при переходе через скачок. Для исследования газа за
скачком уплотнения нужно решать дифференциальные уравнения с соответствующими граничными условиями.
Промежуточные стадии колебательной V V и V V ′ -релаксации более близки к состоянию равновесия. Если до ударной волны при равновесном распределении по поступательным и вращательным степеням свободы сформировалось
неравновесное колебательное распределение, соответствующее одной из стадий
V V или V V ′ -релаксации, то за ударной волной установится колебательное распределение, соответствующее той же стадии колебательной релаксации. Толщина ударных волн в этих условиях сравнима со средней длиной свободного
пробега в соответствующих релаксационных зонах.
Если до ударной волны сформировалось четырехтемпературное квазистационарное распределение за счет поступательно-вращательных и внутримодовых колебательных переходов, то можно считать, что ударная волна соответствует зоне V V -релаксации. В этом случае ударная волна разделяется на две
релаксационные зоны: зону RT –релаксации и зону V V -релаксации.
Если ударная волна возникла в потоке на этапе завершения стадии
V V ′(1−2) -релаксации, когда совместно с поступательно-вращательными идут
межмодовые колебательные переходы вида (1.5.1), то ее можно разделить на
зону RT –релаксации, зону V V -релаксации и зону V V ′(1−2) -релаксации. В этом
случае до ударной волны формируется трехтемпературное колебательное распределение (1.5.23) и в ударной волне выделяются три слоя.
94
Наконец, в том случае, если сформировалось двухтемпературное квазистационарное распределение (1.5.26), учитывающее межмодовые обмены вида
(1.5.3) и (1.5.4), включающие третью моду, то ударная волна будет соответствовать зонам V V ′(2−3) и V V ′(1−2−3) - релаксации. На этот раз ударную волну
можно разделить на 4 релаксационные зоны: зону RT –релаксации, зону V V релаксации, зону V V ′(1−2) -релаксации и зону V V ′(2−3) и V V ′(1−2−3) -релаксации,
на границе которой формируется новое неравновесное распределение (1.5.26).
В следующих параграфах мы проведем послойное исследование косых и
прямых скачков уплотнения в условиях разной колебательной неравновесности.
Для каждой из релаксационных зон на границах будут выписаны обобщенные
условия динамической совместности, представляющие собой замкнутые системы алгебраических уравнений, разрешив которые будут получены значения газодинамических параметров на границах релаксационных зон в прямых и косых
скачках уплотнения в условиях неравновесного набегающего потока.
§4.2 Скачки уплотнения в неравновесных потоках
углекислого газа, соответствующих завершению стадии
V V -релаксации
В данном параграфе мы рассмотрим косые и прямые скачки уплотнения
в колебательно неравновесном потоке углекислого газа, в котором успела сформироваться стадия V V -релаксации.
В этом случае обобщенные условия динамической совместности могут
быть представлены в виде (3.1.7)-(3.1.10) для косого скачка уплотнения и в виде
(3.1.12)-(3.1.14) для прямого скачка уплотнения. Ударная волна будет разделана на две релаксационные зоны: зону поступательно-вращательной релаксации
и зону V V -релаксации.
На границе зоны поступательно-вращательной релаксации остаются справедливыми условия (3.2.1)-(3.2.4). Только, в отличии от случая равновесного
набегающего потока, значения газодинамических параметров, входящие в правые части уравнений (3.2.1)-(3.2.4) являются неравновесными и вычисляются в
95
соответствии с распределением (1.5.16). Левые же части вычисляются в соответ(+)
ствии с распределением (1.5.12). Неизвестными параметрами являются nv1 v2 v3
(vi = 1, ..., vimax , i = 1, 2, 3), T (+) и v (+) .
При рассмотрении зоны V V -релаксации к неизвестным n(+) , T (+) и v (+) до(+)
бавляются колебательные температуры Ti (i = 1, 2, 3). Для определения первых трех газодинамических параметров за скачком служат уравнения (3.2.1)(3.2.4), а для определения колебательных температур служат уравнения (3.2.9)
(i = 1, 2, 3), решаемые независимо.
Для позонного исследования состояний углекислого газа внутри ударной
волны в случае колебательно неравновесного набегающего потока мы опять будем решать системы уравнений, соответствующие условиям динамической совместности, на границе каждой из выделенных релаксационных зон. Как и в
случае равновесного набегающего потока число неизвестных равно числу уравнений, и для решения уравнений можно использовать метод Ньютона.
При конкретных вычислениях использовались постоянные из таблиц 1 и
2. Число частиц n(−) выбиралось равным числу Лошмидта, число Маха набегающего потока выбиралось M (−) = 2; 2, 5; 3, температура набегающего потока
варьировалась в пределах T (−) = 300, ..., 1500K, угол наклона скачка α выбирался равным 35◦ , 45◦ и 60◦ . Был также рассмотрен прямой скачок уплотнения.
При вычислениях снова использовались результаты, полученные в Главе 1.
1. Состояние газа на границе зоны RT -релаксации. Результаты
вычислений неизвестных газодинамических параметров, соответствующих границе данной релаксационной зоны продемонстрированы на рис. 22-26.
На рис. 22 представлено влияние числа Маха набегающего потока M (−)
на скачок температуры газа на границе зоны RT -релаксации при различных
значениях угла наклона скачка α. Рис. 22а соответствует наклону скачка α =
45◦ , рис. 22б – α = 60◦ , рис. 22в – α = 75◦ , рис. 22г – α = 90◦ .
4200
4200
3900
3900
3600
3600
3300
3300
3000
3000
2700
2
2100
(+)
, K
3
2400
T
T
(+)
, K
96
1
1800
2700
1800
1500
1200
900
900
600
600
600
800
1000
T
(-)
1200
1400
1
2100
1200
400
2
2400
1500
300
200
3
300
200
1600
1200
1400
1600
, K
3
3900
3
3600
3600
3300
3300
2
2400
1
T
2100
, K
2700
2700
2100
1800
1500
1500
1200
1200
900
900
600
600
600
800
1000
T
(-)
1200
, K
в) Наклон скачка 75◦
1400
1600
1
2400
1800
400
2
3000
(+)
3000
, K
1000
(-)
4200
3900
(+)
800
б) Наклон скачка 60◦
4200
T
600
T
а) Наклон скачка 45◦
300
200
400
, K
300
200
400
600
800
1000
T
(-)
1200
1400
1600
, K
г) Прямой скачок уплотнения
Рис. 22. Температура газа T (+) на границе зоны RT -релаксации в зависимости от температуры набегающего потока T (−) при разных углах наклона скачка α и числах Маха набегающего
потока M (−) . Кривые 1 соответствуют M (−) = 2; кривые 2 – M (−) = 2, 5; кривые 3 – M (−) = 3.
Температура газа резко возрастает после перехода через зону RT релаксации. Скачок температуры сильнее по сравнению со скачком температуры на границе зоны RT -релаксации в равновесном набегающем потоке, это
более заметно при высоких числах Маха набегающего потока (температура становится выше на 7%). Такое поведение температуры должно быть связано с
отсутствием обменов между колебательной и поступательной энергией, в отличии от случая равновесного набегающего потока, в котором происходят V RT обмены.
На рис. 23 представлено влияние угла наклона скачка уплотнения α на
скачок температуры углекислого газа на границе зоны RT -релаксации при различных значениях числа Маха M (−) набегающего потока: рис. 23а соответствует
97
числу Маха M (−) = 2; рис. 23б – числу Маха M (−) = 2, 5; 23в – числу Маха
M (−) = 3.
4500
4500
4000
4000
3500
3500
3000
2500
, K
4
2
2000
2500
1500
1000
1000
500
500
400
600
800
1000
T
(-)
1200
1400
1
2000
1
1500
200
3
2
T
(+)
3
T
(+)
, K
3000
4
1600
200
400
600
, K
800
1000
T
а) Число Маха M (−) = 2
(-)
1200
1400
1600
, K
б) Число Маха M (−) = 2, 5
4500
4
4000
3
3500
2
1
2500
T
(+)
, K
3000
2000
1500
1000
500
200
400
600
800
1000
T
(-)
1200
1400
1600
, K
в) Число Маха M (−) = 3
Рис. 23. Температура газа T (+) на границе зоны RT -релаксации в зависимости от температуры набегающего потока T (−) при разных числах Маха набегающего потока M (−) и углах
наклона скачка α. Кривые 1 соответствуют α = 45◦ ; кривые 2 – α = 60◦ ; кривые 3 – α = 75◦ ;
кривые 4 – α = 90◦ .
В случае неравновесного потока угол наклона скачка сильнее влияет на
изменение температуры газа. По-прежнему самое сильное изменение температуры наблюдается в случае прямого скачка уплотнения.
На рис. 24 представлено влияние температуры набегающего потока T (−) на
изменение скорости молекул углекислого газа на границе зоны RT -релаксации
при различных значениях угла наклона скачка α.
98
1300
1300
4
1200
1100
1200
1100
3
1000
1000
/
800
(+)
,
700
600
1
800
500
400
300
300
200
200
800
1000
1200
v
(-)
,
1400
1600
100
1800
2
600
400
600
3
700
500
100
4
900
2
v
v
(+)
,
/
900
1
600
1100
1000
1000
900
900
800
800
/
1200
1100
(+)
,
700
v
/
,
(+)
v
1300
1200
600
4
500
1200
v
(-)
,
1400
/
в) Наклон скачка 75◦
1800
600
4
3
2
200
1000
1600
700
300
1
200
800
1400
/
400
2
600
,
500
3
400
1200
(-)
б) Наклон скачка 60◦
1300
100
1000
v
а) Наклон скачка 45◦
300
800
/
1600
1800
100
1
600
800
1000
1200
v
(-)
,
1400
1600
1800
/
г) Прямой скачок уплотнения
Рис. 24. Зависимость скорости v (+) на границе зоны RT -релаксации от скорости набегающего
потока v (−) при разных углах наклона скачка α и температурах T (−) набегающего потока.
Кривые 1 соответствуют T (−) = 300K; кривые 2 – T (−) = 600K; кривые 3 – T (−) = 900K;
кривые 4 – T (−) = 1200K.
Как и следовало ожидать, скачок скорости становится больше с увеличением температуры T (−) набегающего потока. Качественное поведение скорости
потока совпадает с аналогичной ситуацией в случае набегания равновесного потока. В количественном отношении скачок скорости в рассматриваемом случае
становится меньше лишь на 3%.
На рис. 25 представлено влияние угла наклона скачка уплотнения α на
изменение скорости молекул углекислого газа на границе зоны RT -релаксации
при различных значениях числа Маха M (−) набегающего потока.
99
1500
1500
1400
1400
1300
1300
1200
1200
1100
1100
1
1000
/
900
(+)
,
2
800
v
v
(+)
,
/
1000
700
600
500
800
700
3
600
4
500
400
300
300
200
200
600
800
1000
1200
v
(-)
,
1400
1600
1800
100
2000
2
900
400
100
1
3
4
600
800
1000
/
1200
v
а) Число Маха M (−) = 2
(-)
,
1400
1600
1800
2000
/
б) Число Маха M (−) = 2, 5
1500
1
1400
1300
1200
1100
2
v
(+)
,
/
1000
900
800
700
3
600
500
4
400
300
200
100
600
800
1000
1200
v
(-)
,
1400
1600
1800
2000
/
в) Число Маха M (−) = 3
Рис. 25. Зависимость скорости v (+) на границе зоны RT -релаксации от скорости набегающего
потока v (−) при разных числах Маха M (−) набегающего потока и углах наклона скачка α.
Кривые 1 соответствуют α = 45◦ ; кривые 2 – α = 60◦ ; кривые 3 – α = 75◦ ; кривые 4 – α = 90◦ .
Наиболее сильные изменения скорости происходят на прямом скачке
уплотнения. Косой скачок уплотнения несколько снижает степень изменения
температуры, особенно при низких углах наклона.
На рис. 26 представлено влияние температуры набегающего потока T (−)
на гипоциссоиды сильного разрыва на границе зоны RT -релаксации при различных значениях числа Маха M (−) набегающего потока.
100
600
600
500
500
400
400
/
2
(+)
v
300
v
3
y
,
/
,
300
y
(+)
3
1
2
200
200
1
100
0
100
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
1800
0
2000
0
200
400
600
v
800
1000
1200
1400
1600
1800
2000
(+)
(+)
v
/
,
,
/
б) Число Маха M (−) = 2, 5
а) Число Маха M (−) = 2
600
3
500
2
300
1
v
y
(+)
,
/
400
200
100
0
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
1800
2000
(+)
v
,
/
в) Число Маха M (−) = 3
(+)
(+)
Рис. 26. Скорость vy в зависимости от скорости vx на границе зоны RT -релаксации при
разных числах Маха M (−) и температурах T (−) набегающего потока. Кривые 1 соответствуют
T (−) = 500K; кривые 2 – T (−) = 1000K; кривые 3 – T (−) = 1500K.
Рис. 26 позволяет оценить всю картину течения на границе зоны RT релаксации. Видно, что с увеличением температуры набегающего потока гипоциссоиды вытягиваются и становятся выше. С ростом числа Маха набегающего
потока гипоцисооиды растягиваются как в высоту, так и в ширину.
Следует отметить постоянство угла отклонения потока при фиксированном числе Маха, но изменяющейся температуре и, значит, скорости набегающего неравновесного потока (в отличии от ситуации равновесного потока).
Видимо, это связано с постоянством адиабатического коэффициента k в рассматриваемых условиях (см. кривые 1 и 2 на рис. 2).
101
Перейдем ко второй (последней) релаксационной зоне в ударной волне,
которая сформировалась в рассматриваемых условиях.
2. Состояние газа на границе зоны V V -релаксации.
На границе данной релаксационной зоны обобщенные условия динамической совместности могут быть разделены на независимые составляющие. Вначале можно решить систему уравнений (3.2.1)-(3.2.3), (3.2.5), а затем три независимых уравнения (3.2.8) (i = 1, 2, 3) или (3.2.9).
На данной стадии релаксации к поступательно-вращательным обменам
добавляются внутримодовые обмены колебательной энергией, которые идут
независимого от них. Следовательно такие газодинамические параметры, как
n(+) , T (+) и v (+) после пересечения этой зоны не претерпят изменения. Этим же
объясняется отсутствие влияния на них колебательных температур набегающе(−)
го потока Ti (i = 1, 2, 3).
(+)
Из вида уравнений (3.2.9) (i = 1, 2, 3) ясно, что температуры Ti (i =
1, 2, 3) будут в точности равны соответствующим колебательным температурам набегающего потока независимо от скорости и температуры набегающего
(+)
потока и углов наклона скачка. То есть скачок температур Ti (i = 1, 2, 3)
равен нулю.
Такое поведение колебательных температур, наряду с повышением температуры газа, говорит об уменьшении степени неравновесности течения при
прохождении через ударную волну.
Перейдем к рассмотрению ситуации, при которой в набегающем потоке углекислого газа успела реализоваться стадия V V ′(1−2) -релаксации, соответствующая трехтемпературному распределению (1.5.23).
102
§4.3 Скачки уплотнения в неравновесных потоках
углекислого газа, соответствующих завершению стадии
V V ′(1−2)-релаксации
На этот раз ударная волна будет разделана на три релаксационные зоны:
зону поступательно-вращательной релаксации, зону V V -релаксации и последнюю зону V V ′(1−2) -релаксации.
Как и в случае V V неравновесности обобщенные условия динамической
совместности представляются в виде (3.1.7)-(3.1.10) для косого скачка уплотнения и в виде (3.1.12)-(3.1.14) для прямого скачка уплотнения. Отличие заключается лишь в том, что газодинамические параметры в правых частях этих
уравнений выражаются через функции распределения (1.5.23), соответствующие этапу завершения стадии V V ′(1−2) -релаксации.
На границах первых двух релаксационных зон, с учетом выше сказанного, условия динамической совместности полностью соответствуют условиям на
границах этих зон, указанным в предыдущем параграфе.
На границе последней релаксационной зоны (за скачком уплотнения)
условия динамической совместности представляют собой уравнения (3.2.1),
(3.2.3), (3.2.5), (3.2.9) при i = 3, (3.2.10) и (3.2.13). Левые и правые части этих
уравнений вычисляются через функции вида (1.5.23). Неизвестными в этих
уравнениях являются n(+) , T (+) и v (+) , а также колебательные температуры
(+)
(+)
T1,2 и T3 .
Газодинамические параметры в правых частях условий совместности являются неравновесными.
Как и ранее, условия динамической совместности соответствуют системам
алгебраических уравнений с равным числом неизвестных и уравнений. Данные
системы решаются методом Ньютона.
Решение систем уравнений проводилось при тех же условиях, что и раньше, с использованием данных таблиц 1 и 2 и результатов Главы 1.
Наряду с варьированием других параметров набегающего потока, прово(−)
дилось варьирование температуры T1,2 . Однако, результаты расчетов приведе(−)
ны при значениях T1,2 = 1500K (V V ′(1−2) -обмены не оказывают влияния на
величину скорости звука во всем рассматриваемом диапазоне температур). Из
(−)
условий динамической совместности видно, что температура T3 набегающего
103
потока не влияет на газодинамические параметры в скачке.
1. Состояние газа на границе зоны RT -релаксации. Результаты
расчетов зоны показали, что значения газодинамических параметров на границе данной релаксационной отличаются от своих значений за ударной волной, в
условиях когда в набегающем потоке сформировалась ситуация, соответствующая завершению стадии V V -релаксации, не более чем на 1%. Результаты расчетов в этом случае соответствуют результатам, представленным на рис. 22-26.
Изменение типа неравновесности на V V ′(1−2) и степени неравновесности
(−)
набегающего потока, связанной с отношением температур T1,2 /T (−) , не оказывают влияния на значения газодинамических параметров на границе зоны
RT -релаксации. Такой результат объясняется совпадением значений парматеров набегающего потока в обоих случаях и изолированностью колебательных
степеней свободы от поступательно-вращательных при V V ′(1−2) -обменах.
2. Состояние газа на границе зоны V V -релаксации. На границе
данной релаксационной зоны для основных газодинамических параметров будем иметь результаты соответствующие рис. 22-26.
Колебательная температура T3 по-прежнему не будет претерпевать скач(+)
ка. Тем не менее, поведение дополнительных колебательных температур Ti
(i = 1, 2) изменится (см. рис. 27).
(+)
На рис. 27 представлена зависимость колебательных температуры T1 и
(+)
(−)
T2 от температуры набегающего потока T (−) при T1,2 = 1500K.
2
1500
(+)
, K
1490
1
(+)
T
2
1480
T
1470
1460
1
1450
200
400
600
800
1000
T
(+)
Рис. 27. Температуры T1
бегающего потока T (−) .
(+)
(кривая 1) и T2
(-)
1200
1400
1600
, K
(кривая 2) в зависимости от температуры на-
104
(+)
В этом случае колебательная температура T1 не является постоянной, а
(−)
(+)
возрастает с увеличением T (−) и стремится к T1,2 . Температура T2 равняется
(−)
температуре T1,2 .
Такое поведение свидетельствует о небольшом уменьшении степени неравновесности течения на границе зоны V V -релаксации по сравнению с аналогичной ситуацией в условиях, когда ударная волна сформировалась в неравновесном потоке с разными температурами, определяющими распределения энергии
каждой колебательной моды.
В рассматриваем случае по-прежнему степень неравновесности течения
не зависит ни от скорости набегающего потока, ни от угла наклона скачка.
Рассмотрим последнюю релаксационную зону в ударной волне, которая
возникла в газе с низкотемпературным распределением молекул.
3. Состояние газа на границе зоны V V ′(1−2) -релаксации. Результаты расчета газодинамических параметров на границе данной релаксационной
зоны соответствуют результатам, представлены на рис. 22-26. При переходе к
зоне V V ′(1−2) -релаксации газодинамические параметры не изменяются (отличие
от предыдущих зон не более 1%).
(+)
Температура T3 в рассматриваемых условиях определяется из уравнения, которое решается независимо. Она не зависит ни от температуры газа T (−) ,
ни от скорости набегающего потока и не изменит своего значения по сравнению
с границе зоны V V -релаксации (T3 не претерпевает скачка).
(+)
На границе зоны, завершающей релаксацию, температура T1,2 не является постоянной, а изменяется скачкообразно и зависит от угла наклона скачка и
скорости набегающего неравновесного потока. Данные зависимости продемонстрированы на рис. 28.
(+)
На рис. 28 представлена зависимость колебательной температуры T1,2
(−)
от температуры набегающего потока T (−) при T1,2 = 1500K для различных
значений угла наклона скачка α.
105
1500
1500
1498
1498
1
1496
1
, K
(+)
2
1494
T
12
1494
T
12
(+)
, K
1496
2
3
1492
1492
1490
1490
3
1488
200
400
600
800
1000
T
(-)
1200
1400
1488
200
1600
400
1000
(-)
1200
1400
1600
1400
1600
, K
б) Наклон скачка 60◦
1500
1498
1498
1496
1496
1494
1
T
12
1
T
1494
(+)
, K
1500
, K
(+)
800
T
а) Наклон скачка 45◦
12
600
, K
1492
1490
1488
200
1492
2
2
1490
3
3
400
600
800
1000
T
(-)
1200
1400
1600
1488
200
, K
400
600
800
1000
T
в) Наклон скачка 75◦
(-)
1200
, K
г) Прямой скачок уплотнения
(+)
Рис. 28. Колебательная температура T1,2 в зависимости от температуры набегающего потока
T (−) при разных углах наклона скачка α и числах Маха M (−) набегающего потока. Кривые
1 соответствуют M (−) = 2; кривые 2 – M (−) = 2, 5; кривые 3 – M (−) = 3.
(+)
На рис. 28 мы видим, что температура T1,2 совсем немного меньше тем(−)
пературы T1,2 . При этом она возрастает с увеличением температуры T (−) на(−)
бегающего неравновесного потока и стремится к температуре T1,2 при высоких
(+)
значениях T (−) . Значения T1,2 при тех же значениях температуры T (−) тем
меньше, чем больше угол наклона скачка и число Маха M (−) .
Здесь, хотя и очень слабо, но проявляется эффект уменьшения степени
неравновесности углекислого газа при переходе через ударную волну. Ранее
подобный эффект отмечался в двухатомных газах (см., например, [16]). Проведенные исследования показывают, что уменьшение степени неравновесности в
CO2 проявляется тем сильнее, чем выше число Маха. В случае плоских ударных
волн оно зависит от угла между направлением набегающего потока и плоско-
106
стью ударной волны. Наибольший эффект уменьшения степени неравновесности газа наблюдается в ситуации, когда направление потока перпендикулярно
плоскости волны (прямой скачок уплотнения).
Перейдем к рассмотрению последнего типа набегающего неравновесного
потока.
§4.4 Скачки уплотнения в неравновесных потоках
углекислого газа, соответствующих завершению стадий
V V ′(2−3) и V V ′(1−2−3)-релаксации
Наконец, в случае, когда набегающий неравновесный поток наиболее близок к равновесному, в нем успевает реализоваться некоторое квазистационарное состояние за счет RT , V V , V V ′(1−2) , а также V V ′(2−3) и V V ′(1−2−3) обменов.
При этом ударная волна разделяется на четыре релаксационные зоны: 1) зону поступательно-вращательной релаксации, 2) зону V V -релаксации, 3) зону
V V ′(1−2) -релаксации и 4) зону V V ′(2−3) и V V ′(1−2−3) -релаксации.
На границах первых трех релаксационных зон условия динамической совместности не изменяются. На этот раз они отличаются от предыдущих тем,
что неравновесные газодинамические параметры в правых частях выражаются
через функции распределения (1.5.26).
На границе последней релаксационной зоны условия динамической совместности представляют собой уравнения (3.2.1), (3.2.3), (3.2.5), (3.2.14) и
(3.2.15). Левые части этих уравнений вычисляются через двухтемпературные
функции вида (1.5.23). Неизвестными в этих уравнениях являются n(+) , T (+) ,
(+)
v (+) и T1,2,3 .
Решение данных систем уравнений проводилось при тех же условиях, что
и ранее. При варьировании параметров набегающего потока варьировалась тем(−)
пература T1,2,3 .
(−)
Результаты приведены при T1,2,3 = 1500K (в этом случае дефект резонанса колебательных обменов оказывает наибольшие влияние на скорость звука).
107
1. Состояние газа на границе зоны RT -релаксации. Результаты
расчетов параметров газа на границе рассматриваемой зоны релаксации не отличаются от предыдущих случаев и описываются на рис. 22-26.
Изменение типа (V V или V V ′ ) и степени неравновесности, связанной с
(−)
отношением T1,2,3 /T (−) , не влияет на величину газодинамических параметров.
Это можно объяснить тем, что при V V ′ -обменах происходит только перераспределение колебательной энергии между модами, а поступательно-вращательная
энергия не изменяется.
2. Состояние газа на границе зоны V V -релаксации. Как и ранее,
на границе данной релаксационной зоны для параметров n(+) , v (+) , T (+) и угла
отклонения β результаты будут соответствовать результатам на границе зоны
RT -релаксации (см. рис. 22-26).
(+)
Колебательная температура T2 останется постоянной в отличии от тем(+)
(+)
пературы T3 . Изменения температуры T3 связаны с включением третьей
моды в колебательные обмены в набегающем неравновесном потоке углекислого газа.
(+)
(+)
На рис. 29 представлена зависимость колебательных температур T1 , T2
(+)
(−)
и T2 от температуры набегающего потока T (−) при T1,2,3 = 1500K.
2
1500
1
(+)
T
i
(i=1,2,3) , K
1400
1300
1200
1100
1000
3
900
200
400
600
800
1000
T
(+)
(-)
1200
1400
1600
, K
(+)
(+)
Рис. 29. Колебательные температуры T1 (кривая 1), T2 (кривая 2) и T3
(−)
от температуры набегающего потока T (−) при T1,2,3 = 1500K.
(+)
в зависимости
Как и ранее, температура T1 возрастает при увеличении температуры
(+)
набегающего потока. Температура T3 ведет себя аналогично, но принимает
108
(+)
(−)
значительно более низкие значения. Температура T2 равна температуре T1,2,3 .
Это связано с тем, что дефект резонанса для колебательной энергии второй
моды в рассматриваемых условиях отсутствует, а значения дефекта резонанса
для третьей моды значительно больше по сравнению со значением для первой
моды.
Такое поведение свидетельствует о большем уменьшении степени неравновесности течения на границе зоны V V -релаксации.
(+)
(+)
(+)
В рассматриваемом случае температуры T1 , T2 и T2 по-прежнему
одинаковы как для косого, так и для прямого скачка уплотнения и не зависят
от скорости набегающего потока.
Рассмотрим релаксационные зоны, соответствующие стадиям V V ′ релаксации, сформировавшиеся в газе с двухтемпературным распределением
молекул.
3. Состояние газа на границах зон V V ′ -релаксации. Результаты
расчетов показывают, то при переходе от границы одной релаксационной зоны
к другой изменения газодинамических параметров снова не превосходят 1%.
Это опять связано с тем, что околорезонансные колебательные V V ′ -обмены
являются изолированными и не имеют канала релаксации.
Подобные результаты были получены ранее при исследовании
пространственно-однородной релаксации, а также при изучении процессов релаксации за ударными волнами в условиях равновесного набегающего
потока. Это говорит о том, что основные изменения параметров газа происходят в двух релаксационных зонах: RT -релаксации и при переходе к состоянию
нового термодинамического равновесия. Таким образом, зоны V V ′ -релаксации
можно не рассматривать.
(+)
(+)
Рассмотрим поведение колебательных температур T1,2 и T3 в данной
ситуации. Результаты расчетов этих температур представлены на рис. 30 и 31.
(+)
На рис. 30 представлена зависимость колебательной температуры T1,2
(−)
от температуры набегающего потока T (−) при T1,2,3 = 1500K для различных
значений угла наклона скачка α.
109
1500
1500
1498
1498
1
, K
1496
(+)
2
1
1494
T
1,2
1494
T
1,2
(+)
, K
1496
3
2
1492
1492
1490
1490
3
1488
200
400
600
800
1000
T
(-)
1200
1400
1488
200
1600
400
1000
(-)
1200
1400
1600
1400
1600
, K
б) Наклон скачка 60◦
1500
1498
1498
1496
1496
1494
(+)
, K
1500
, K
T
1,2
1
1494
1
T
(+)
800
T
а) Наклон скачка 45◦
1,2
600
, K
1492
1492
2
2
1490
1488
200
1490
3
3
400
600
800
1000
T
(-)
1200
1400
1600
1488
200
, K
400
600
800
1000
T
в) Наклон скачка 75◦
(-)
1200
, K
г) Прямой скачок уплотнения
(+)
Рис. 30. Колебательная температура T1,2 в зависимости от температуры набегающего потока
T (−) при разных углах наклона скачка α и числах Маха M (−) набегающего потока. Кривые
1 соответствуют M (−) = 2; кривые 2 – M (−) = 2, 5; кривые 3 – M (−) = 3.
(+)
(−)
На рис. 30 мы видим, что температура T1,2 стремится к температуре T1,2
с увеличением температуры набегающего потока, но не достигает ее. Значения
(+)
T1,2 уменьшаются с ростом числа Маха набегающего потока и угла наклона
скачка.
(+)
На рис. 31 представлена зависимость колебательной температуры T3 на
границе зоны V V ′(1−2) -релаксации от температуры набегающего потока T (−)
(−)
при T1,2,3 = 1500K.
110
3200
3000
2800
T
3
(+)
, K
2600
2400
2200
2000
1800
1600
1400
200
400
600
800
1000
T
(-)
1200
1400
1600
, K
Рис. 31. Колебательная температуры T3 на границе зоны V V ′(1−2) -релаксации в зависимо(−)
сти от температуры набегающего потока T (−) при T1,2,3 = 1500K.
(+)
(+)
(−)
На рис. 31 видно, что температура T3 выше температуры T1,2,3 , особенно
это заметно при низких значениях температуры набегающего потока. При этом
она не зависит ни от типа скачка ни от скорости набегающего потока, так как
(+)
уравнение, определяющее T3 , решается независимо.
(+)
Изменение температуры T3 в данных условиях связано с тем, что в том
случае, когда в набегающем потоке реализовалось двухтемпературное распре(+)
деление молекул, поведение температуры T3 на границе зоны V V ′(1−2) опреде(−)
ляется не только температурой газа, но и температурой T1,2,3 . А значит сказывается дефект резонанса, влияние которого усиливается при малых значениях
(−)
температуры газа T (−) и более высоких значениях T1,2,3 .
(+)
Рассмотрим поведение колебательной температуры T1,2,3 на границе последней релаксационной зоны.
(+)
На рис. 32 представлена зависимость колебательной температуры T1,2,3
(−)
от температуры набегающего потока T (−) при T1,2,3 = 1500K для различных
значений угла наклона скачка α.
111
1500
1500
1490
1490
1460
, K
1480
(+)
2
1,2,3
1470
1
T
T
1,2,3
(+)
, K
1480
3
1
1470
1460
1450
1450
1440
1440
2
3
1430
200
400
600
800
1000
T
(-)
1200
1400
1430
200
1600
400
1490
1480
1480
, K
1490
1,2,3
(+)
1470
1
1460
T
, K
(+)
1,2,3
T
1500
1430
200
1000
(-)
1200
1400
1600
1400
1600
, K
б) Наклон скачка 60◦
1500
1440
800
T
а) Наклон скачка 45◦
1450
600
, K
1470
1
1460
1450
2
2
1440
3
3
400
600
800
1000
T
(-)
1200
1400
1600
1430
200
, K
400
600
800
1000
T
в) Наклон скачка 75◦
(-)
1200
, K
г) Прямой скачок уплотнения
(+)
Рис. 32. Колебательная температура T1,2,3 в зависимости от температуры набегающего потока
T (−) при разных углах наклона скачка α и числах Маха M (−) набегающего потока. Кривые
1 соответствуют M (−) = 2; кривые 2 – M (−) = 2, 5; кривые 3 – M (−) = 3.
(+)
Наименьшие значения температуры T1,2,3 наблюдаются при высоких скоростях и низкой температуре набегающего потока. С их ростом начинается
стремление колебательной температуры к своему значению до ударной волны,
но она не достигает его, что говорит о ее скачкообразном изменении.
Снова проявляется эффект уменьшения степени неравновесности углекислого газа при переходе через ударную волну, причем здесь этот эффект проявляется немного сильнее.
В настоящей главе были рассмотрены три типа неравновесного потока
углекислого газа с косыми и прямыми скачками уплотнения. В первом случае был рассмотрен низкотемпературный поток углекислого газа, в котором до
ударной волны сформировалось распределение, соответствующее завершению
112
стадии V V -релаксации; во втором случае – стадии V V ′(1−2) -релаксации; в третьем случае – стадиям V V ′(2−3) и V V ′(1−2−3) -релаксации. В каждой из ситуаций
было проведено послойное исследование скачка уплотнения, который разделялся на две, три и четыре релаксационные зоны в соответствии с рассматриваемым типом неравновесности. На границе каждой релаксационной зоны были
выписаны условия динамической совместности, соответствующие замкнутым
системам алгебраических уравнений, разрешив которые методом Ньютона, были получены значения газодинамических параметров на границах соответствующих релаксационных зон для косого скачка с разными углами наклона и для
прямого скачка уплотнения.
Полученные результаты показывают, что за ударной волной температура
газа становится выше, а скорость уменьшается. При это скачки температуры
и скорости увеличиваются по сравнению с равновесным набегающим потоком.
Видимо, это связано со слабым обменом между поступательной и колебательной энергией.
При переходе между релаксационными зонами внутри ударной волны, а
также при изменение типа и степени неравновесности, связанной с отношениями T1,2 /T и T1,2,3 /T , не происходит изменения газодинамических параметров.
Это можно объяснить тем, что при V V ′ -обменах происходит только перераспределение колебательной энергии между модами, а поступательно-вращательная
энергия не изменяется.
Таким образом здесь, как и в главе 3, можно сделать вывод о том, что
можно не рассматривать зоны V V ′ -релаксации.
Наблюдаемая картина поведения колебательных температур для каждой
из релаксационных зон говорит о некотором уменьшении степени неравновесности течения за ударной волной. При этом изменения колебательных температур
(−)
(−)
T1,2 и T1,2,3 , происходит значительно менее интенсивно, нежели изменение температуры газа.
113
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В настоящей работе рассматривался углекислый газ, молекулы которого
наряду с поступательными могут обладать вращательными и колебательными степенями свободы. При описании колебательных степеней свободы использовалась модель гармонического осциллятора. Математическое моделирование
осуществлялось с использованием методов кинетической теории газов. Особое
внимание уделялось рассмотрению различных стадий колебательной релаксации и получению неравновесных квазистационарных распределений молекул по
уровням колебательной энергии. Процесс колебательной релаксации разделялся на несколько стадий в зависимости от типа протекающих обменов энергией.
На каждой из выделенных стадий релаксации были выписаны квазистационарные функции распределения.
В работе было конкретизировано аналитическое выражение для скорости
распространения малых возмущений, которая в аэродинамике ассоциируется
со скоростью звука, для разных стадий релаксации углекислого газа. Подробно
исследовалось влияние различных колебательных обменов на коэффициент k
и скорость звука. Получены зависимости коэффициента k и скорости звука от
температуры газа T на разных стадиях релаксации. Показано, что внутримодовые колебательные обмены не влияют на коэффициент k и скорость звука.
Стадии межмодовых V V ′ обменов оказывают некоторое влияние на коэффициент k при низких значениях температуры газа и высоких значениях колебательных температур. В равновесии с ростом температуры значения адиабатического коэффициента k уменьшаются. При температуре T = 1500K наблюдается
значение k = 1, 28.
114
Полученные результаты дают основания предположить, что значение
адиабатического коэффициента k в основном зависит от того, какую долю составляет поступательная (тепловая) энергия молекул в общей энергии.
В диссертации рассматривался пространственно-однородный углекислый
газ в условиях энергетической накачки колебательных мод. При накачке на
каждую моду было проведено пространственно-временное разделение процесса релаксации и получены зависимости температуры газа и соответствующих
колебательных температур на промежуточных и окончательных стадиях релаксации от начальной температуры газа T0 и температуры накачки T ∗ . Также
были получены значения равновесной температуры газа.
Показано, что при накачке стадии межмодовых V V ′ -обменов приводят
к выравниванию колебательных температур. Температуры T1,2 и T1,2,3 сильно
зависят от температур T ∗ и T0 .
Температура газа на промежуточных стадиях меняется мало и близка к
начальной температуре T0 . Изменение температуры газа происходит не сразу,
а только в результате V RT -обменов, то есть наблюдается некоторый инкубационный период. Это связано с тем, что V V ′ -обмены не имеют канала релаксации.
В состоянии равновесия температура газа сильно зависит как от температуры T0 , так и от температуры T ∗ . Отмечена разница в процессах V RT релаксации при накачке на разные моды.
В данной диссертационной работе было проведено послойное исследование
скачков уплотнения, возникающих в сверхзвуковых потоках углекислого газа.
Рассматривались косые скачки уплотнения при различных значениях угла наклона и прямой скачок. Согласно описанной выше модели, скачки уплотнения
разделялись на несколько релаксационных зон, на границах которых были выписаны обобщенные условия динамической совместности как для косого, так и
для прямого скачка уплотнения.
Был проведен численный расчет состояний молекул углекислого газа на
границах выделенных релаксационных зон внутри скачка уплотнения и за ним.
Было оценено влияние параметров набегающего потока и различных колебательных переходов на поведение газодинамических величин, таких как температура газа, скорость, колебательные температуры соответствующие определенным зонам. Для каждого вида набегающего потока в косом скачке были
проведены расчеты угла отклонения потока на границе каждой релаксацион-
115
ной зоны.
В условиях равновесного потока за ударной волной формируется новое состояние полного термодинамического равновесия с более высокой температурой
газа. Показано, что эта температура тем выше, чем выше скорость набегающего
потока и чем круче угол наклона скачка. Наибольшие ее значения достигаются
за прямым скачком.
Удалось показать, что в ряде случаев изменение газодинамических параметров в зонах V V ′ -релаксации оказывается значительно меньше изменения
этих параметров в зоне RT -релаксации и завершающей зоне V RT -релаксации
(выход на состояние термодинамического равновесия). При этом колебательные
температуры с точностью до нескольких градусов совпадают с температурой
газа до скачка.
В условиях неравновесного набегающего потока за ударной волной устанавливается новое неравновесное квазистационарное распределение, соответствующее колебательному распределению до волны. Показано, что в этом случае скачки температуры и скорости становятся больше, по сравнению со случаем равновесного набегающего потока. При прохождении газа через ударную
волну немного уменьшается степень его неравновесности как в случае прямого,
так и в случае косого скачка уплотнения. Данные процессы подобны результатам, полученным для прямых скачков в двухатомных газах в работе [16].
Проведенные исследования позволяют сделать вывод о том, что при изучении релаксационных процессов за ударными волнами в рассматриваемых условиях не обязательно выделять зоны V V ′ -релаксации.
Все результаты данной работы были получены на основании единого
подхода. В работе была предложена схема поэтапного исследования колебательной релаксации углекислого газа. Она была использована при изучении
пространственно-однородной релаксации CO2 , а также для оценки влияния возбуждения колебательных степеней свободы на газодинамические параметры и
ударно-волновые процессы в углекислом газе в условиях умеренных температур
и скоростей. В дальнейшем подобная схема исследований может быть применена в условиях, когда в газе нужно учитывать возбуждение верхних колебательных уровней, а также процессы диссоциации и рекомбинации.
116
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.
Аблеков В.К., Денисов Ю.Н., Любченко Ф.Н. Справочник по газодинамическим лазерам. Москва: Машиностроение, 1982. 168 c.
2.
Андерсон Дж. Газодинамические лазеры. М.: Мир, 1979. 490 с.
3.
Ачасов О.В., Кудрявцев Н.Н., Новиков С.С. и др. Диагностика неравновесных состояний в молекулярных лазерах. Минск: Наука и техника, 1985.
208 с.
4.
Ачасов О.В., Рагозин Д.С. Константы колебательного энергообмена в
лазерно-активных средах CO2 -ГДЛ с добавками O2 , H2 , H2 O, CO: Препринт №16. Минск, Белоруссия: ИТМО,1986. 52 с.
5.
Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. Т. 2. М., 1960. 620 с.
6.
Блохинцев Д.И. Основы квантовой механики. М., 1963. 620 с.
7.
Больцман Л. Лекции по теории газов. М., 1956. 556 с.
8.
Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Дифференциальные
уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного: Учебник для вузов. М.: Наука, 1989. 464 с.
9.
Валиев С.Х., Жданов В.М. Интеграл столкновений и уравнения моментов
для смеси диссоциирующих газов. Препринт МИФИ, 005-85, М., 1985. 24
с.
10. Валландер Лекции по гидроаэромеханике. Л., Изд-во Ленингр. ун-та, 1978.
296 с.
117
11. Валландер С.В., Егорова И.А., Рыдалевская М.А. Распространение метода
Энскога-Чепмена на смеси газов с внутренними степенями свободы и химическими реакциями // В кн.: Аэродинамика разреженных газов. Вып.
2. Л., 1965. С. 122-163.
12. Валландер С.В., Нагнибеда Е.А., Рыдалевская М.А. Некоторые вопросы кинетической теории химически реагирующей смеси газов. Л.: Изд-во
ЛГУ. 1977. 280 с.
13. Вальдман Л. Явления переноса в газах при среднем давлении // Термодинамика газов. М., 1970. С. 169–407.
14. Ворошилова Ю.Н. Структура прямых скачков уплотнения в колебательно
неравновесном газе // Вестник С.-Петербург. ун-та. Сер. 1. 2005. №1 С.
70-78
15. Ворошилова Ю.Н., Рыдалевская М.А. Влияние колебательного возбуждения молекул на скорость звука в высокотемпературном двухатомном газе
// Прикл. механика и техн. физика. 2008. Т. 49. Ном. 3. C. 28–34.
16. Ворошилова Ю.Н., Рыдалевская М.А. Прямые скачки уплотнения в колебательно неравновесном газе // Прикл. механика и техн. физика. 2004. Т.
45. Ном. 5. С. 26-31.
17. Герцберг Г. Колебательные и вращательные спектры многоатомных молекул. Москва: Изд-во иностранной литературы, 1949. 647 с.
18. Герцберг Г. Спектры и строение двухатомных молекул. Москва: Изд-во
иностранной литературы, 1949. 413 с.
19. Гиршфельдер Дж., Кертисс Ч., Берд Р. Молекулярная теория газов и
жидкостей. М., 1961. 930 c.
20. Гордиец Б.Ф., Осипов А.И., Шелепин Л.А. Кинетические процессы в газах
и молекулярные лазеры. М., 1980. 512 с.
21. Грэд Г. Кинетическая теория газов // В кн.: Термодинамика газов. М.,
1970. С. 5-109.
22. Егоров Б.В., Комаров В.Н. Особенности колебательной релаксации в системе нижних уровней молекулы CO2 // Прикл. мат. техн. физ. 1983. Т.
6. С. 11-16.
118
23. Егоров Б.В., Саяпин Г.Н. Инверсия заселенностей колебательных уровней
за плоскими ударными волнами в смесях CO2 − N2 − H2 O // Ученые
записки ЦАГИ. 1976. Т. VII, №3. С. 123-127.
24. Жданов В.М. Явления переноса в многокомпонентной плазме. М., 1982,
176с.
25. Жданов В.М., Алиевский М.Я. Процессы переноса и релаксации в молекулярном газе. 1989. 336 c.
26. Жигулев В.Н. К вопросу об асимптотических методах решения кинетических уравнений // В кн.: Кинетическая теория газов и плазмы. Новосибирск, 1971. С. 24-28.
27. Жигулев В.Н. Об уравнениях физической аэродинамики // Инж. жур-нал.
1963. Т. 3. Ном. 1. С. 137–139.
28. Ибрагимова Л.Б., Смехов Г.Д., Шаталов О.П., Шумова В.В. Диссоциация молекул CO2 в широком интервале температур // Теплофиз. высоких
температур. 2000. Т. 38, №1. C. 37-40.
29. Ковалев И.И., Нагнибеда Е.А. О нарушении канонической инвариантности
распределения молекул в релаксационной зоне за ударной волной // В кн.:
Динамические процессы в газах и твердых телах. Л.: Изд-во ЛГУ. 1990. С.
43–49.
30. Коган М.Н. Динамика разреженного газа. М., 1967. 440 c.
31. Кожапенко А.М., Кустова Е.В. Пространственно однородная релаксация
CO2 в четырехтемпературном приближении // Вестник С.-Петерб. ун-та.
Сер. 1. 2007. Т. 4. С. 13-21.
32. Кондратьев В.Н. Структура атомов и молекул. Москва: Гос. изд-во физ.мат. лит-ры, 1959. 524 с.
33. Кондратьев К.Я., Крупенио Н.Н., Селиванов А.С. Планета Венера. Л.:
Гидрометеоиздат, 1987. 276с.
34. Кочин И.А., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика. Ч. 2.
М., 1963. 728 с.
35. Краснов Н.Ф. Аэродинамика (том 1): Основы теории. Аэродинамика профиля и крыла. М.: Высш. шк., 1976, 384 с.
119
36. Кузнецов В.М. Диссипативные коэффициенты в сильнонеравновесных газовых смесях с бинарными столкновениями // Инж. журн., 1965. Т. 5, №5.
с. 14-19.
37. Кузнецов В.М. К теории коэффициента объемной вязкости // Изв. АН
СССР. МЖГ. 1967, №6. С. 89-92.
38. Кузнецов В.М., Кузнецов М.М., Нагнибеда Е.А. и др. Некоторые вопросы
кинетической теории реагирующих газов и ее приближение в релаксационной аэродинамике // Молек. газодинамика. 1982. С. 137-155.
39. Кузнецов М.М., Смотрова Л.В. Аналитические свойства эффекта высокоскоростной поступательной неравновесности // Вестн. МГОУ. Сер.
Физика-Математика 2013. №3. С. 66-73.
40. Кузнецов М.М., Яламов Ю.И. Модели асимптотической теории динамики
неравновесных сред. М.: МГОУ, 2007. 257 с.
41. Кустова Е.В., Нагнибеда Е.А. Кинетическое описание течений неравновесной реагирующей смеси CO2 /O2 /CO/C/O в пятитемпературном приближении // Вестник С.-Петерб. ун-та, Математика, Механика, Астрономия. 2010. Т. 2. С. 19-30.
42. Кустова Е.В., Нагнибеда Е.А. Колебательная кинетика и перенос тепла в
смесях CO2 /N2 // Аэродинамика. СПб.: НИИ Химии, 2002. С. 54-81.
43. Кустова Е.В., Нагнибеда Е.А. Колебательная кинетика и процессы переноса в сильнонеравновесном газе // Изв. РАН. Мех. жидк. и газа. 1997.
№5. С. 150-160.
44. Кустова Е.В., Пузырева Л.А. Коэффициенты переноса в 5-температурной
смеси CO2 /N2 // Аэродинамика / Под ред. Р.Н. Мирошина. С. Петербург:
ВВМ, 2006. С. 17-31.
45. Кустова Е.В., Пузырева Л.А. Удельные теплоемкости колебательно
неравновесного углекислого газа // Вестник С. Петерб. ун-та. Сер. 1. 2005.
Т. 1. С. 87-93.
46. Ликальтер А.А. О колебательных распределениях многоатомных молекул
// Прикл. мех. техн. физ. 1976. Т. 4. С. 3.
47. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М., 1957. 784 с.
120
48. Лосев С.А. Газодинамические лазеры. М.: Наука, 1977. 227 с.
49. Лунев В.В. Гиперзвуковая аэродинамика. М.: Машиностроение, 1975. 328
с.
50. Лунев В.В. Течение реальных газов с большими скоростями. М.: Физматлит, 2007. 759 с.
51. Мацук В.А., Рыков В.А. О методе Чепмена-Энскога для многоскоростной
многотемпературной реагирующей смеси газов // Журн. вычисл. матем.
и матем. физ., 1978. Т. 18, №5. С. 1230-1242.
52. Морозов В.И. Физика планеты Марс. М.: Наука, 1977. 227 с.
53. Нагнибеда Е.А. О модификации метода Чепмена-Энскога для многоскоростной многотемпературной смеси газов // ЖВММФ. 1978. T. 18. Ном.
5. С. 1230–1242.
54. Нагнибеда Е.А. О модификации метода Чепмена-Энскога для смеси реагирующих газов с учетом быстрых и медленных процессов // Вестник ЛГУ.
Сер. 1. 1973. Ном. 7. С. 109–114.
55. Нагнибеда Е.А., Кустова Е.В. Кинетическая теория процессов переноса
и релаксации в потоках неравновесных реагирующих газов. СПб: Изд-во
СПбГУ. 2003. 272 с.
56. Нагнибеда Е.А., Рыдалевская М.А. Колебательная релаксация в смесях с
быстрым обменом между колебательными модами // Проблемы физической газодинамики. Москва, 1982. Труды ЦАГИ. С. 17-29.
57. Нагнибеда Е.А., Рыдалевская М.А. О принципе детального равновесия и
кинетических уравнениях для смеси реагирующих газов // Вестник ЛГУ,
1970, №19. С. 140-152.
58. Нагнибеда Е.А., Рыдалевская М.А. Решение уравнения Больцмана с малым параметром // Механика неоднородных сред. Новосибирск, 1981. С.
197–211.
59. Неравновесная колебательная кинетика / Под ред. М. Капителли. М.: Мир,
1989. 392 с.
60. Никитин Е.Е., Осипов А.И. Колебательная релаксация в газах // Итоги
науки и техники. Кинетика и катализ. Т. 4. М., 1977. 172 с.
121
61. Осипов А.И., Уваров А.В. Кинетические и газодинамические процессы в
неравновесной молекулярной физике // Успехи физ. наук. 1992. Т. 162.
№ 11. С. 1-42.
62. Рахматулин Х.А. Сагомонян А.Я. Бунимович А.И. и др. Газовая динамика. М., 1965. 722 с.
63. Русанов В.Д., Фридман А.А., Шолин Г.В. Колебательная кинетика и реакции многоатомных молекул в неравновесных системах // Неравновесная
колебательная кинетика / Под ред. М. Капителли. Москва: Мир, 1989.
64. Рыдалевская М.А. Аэродинамические свойства течений газа с физикохимическими процессами // Аэродинамика. СПб., 2000. С. 45-65.
65. Рыдалевская М.А. Кинетические коэффициенты в реагирующей смеси газов // Вестник ЛГУ, 1976, №7. С. 118-124.
66. Рыдалевская М.А. Статистические и кинетические модели в физикохимической газодинамике. СПб.: Изд-во СПбГУ, 2003. 248 с.
67. Рыдалевская М.А. Формальное кинетическое описание смесей газов с диссоциацией и рекомбинацией // В кн.: Аэродинамика разреженных газов.
Вып. 9, Л., 1978. С. 5-20.
68. Рыдалевская М.А., Шумков С.Г., Игнаткова М.Г. Релаксационная газодинамика углекислого газа при умеренных температурах // Вестн. С.Петерб. ун-та. Сер. 1. 2012. Вып. 3. С. 129-135.
69. Седов Л.И. Механика сплошной среды. Т. 2. М.: Наука, 1973. 584 с.
70. Ступоченко Е.В., Лосев С.А., Осипов А.И. Релаксационные процессы в
ударных волнах. М.: Наука, 1965. 484 с.
71. Сызранова Н.Г., Шевелев Ю.Д., Кустова Е.В., Нагнибеда Е.А. Численное
моделирование гиперзвуковых потоков около космических аппаратов при
спуске в атмосферу Марса // Мат. моделирование. 2010. Т. 22, №9. С. 23-50.
72. Ферцигер Дж., Капер Г. Математическая теория процессов переноса в
газах. М., 1976. 554 c.
73. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления.
Том 1. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. 810 с.
122
74. Чепмен С., Каулинг Т. Математическая теория неоднородных газов. М.,
1960. 510 с.
75. Черный Г.Г. Газовая динамика. М.: Наука. 1988. 424 с.
76. Шварц Р.Н., Славский З.И., Герцфельд К.Ф. Расчет времени колебательной релаксации в газах // Газодинамика и теплообмен при наличии химических реакций. Москва: Наука, 1962. С. 399-420.
77. Шевелев Ю.Д., Сызранова Н.Г. Влияние различных моделей химической
кинетики на сверхзвуковое обтекание затупленных тел потоком углекислого газа // Физико-химическая кинетика в газовой динамике. 2007. Т. 5.
С. 21.
78. Шумков С.Г. Пространственно-однородная релаксация CO2 , выведенного
из состояния равновесия за счет энергетической накачки на разные колебательные моды // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2013. Вып. 4. С. 117-126.
79. Abbasov M.A., Kozhapenko A.M., Kustova E.V. et al. Self-consistent and
Simplified Descriptions of Vibrational Non-equilibrium CO2 Flows // Rarefied
Gas Dynamics: 26th International Symposium / Ed. by T. Abe. Vol. 1084 of
AIP Conference Proceedings. 2009. Pp. 837-842.
80. Armenise I., Kustova E.V. CO2 State-to-state Kinetics and Transport in a
Hypersonic Boundary Layer: Preliminary Results // Rarefied Gas Dynamics
/ Ed. by M. Mareshal, A. Santos Vol. 1501 of AIP Conference Proceedings.
2012. Pp. 1116-1121.
81. Armenise I., Kustova E.V. Mars Sample Return Orbiter: Detailed VibrationalChemical Kinetics and Heat Transfer // Rarefied Gas Dynamics / Ed. by M.
Mareshal, A. Santos. AIP Conference Proceedings. 2014. Pp. Paper S18-04.
82. Armenise I., Kustova E.V. On different contributions of the heat flux and
diffusion in non-equilibrium flows // Chem. Phys. 2014. Vol. 428. Pp. 90-104.
83. Armenise I., Kustova E.V. State-to-state Models for CO2 Molecules: from the
Theory to an Application to Hypersonic Boundary Layers // Chem. Phys.
2013. Vol. 415. Pp. 269-281.
84. Bartolomei M., Pirani F., Lagana A., Lombardi A. A Full Dimensional
Grid Empowered Simulation of the CO2 + CO2 Processes // Journ. Comp.
Chemistry. 2012. Vol. 33. Pp. 1806-1819.
123
85. Blauer J.A., Nickerson G.R. A Survey of Vibrational Relaxation Rate Data
for Processes Important to CO2 − N2 − H2 O Infrared Plume Radiation //
AIAA Paper. 1974. Vol. 74-536.
86. Caledonia G.E., Center R.E. Vibrational distribution functions in anharmonic
oscillators // Appl. Optics. 1971. Vol. 10. N 8. Pp. 1795–1802.
87. Cenian A. Study of nonequilibrium vibrational relaxation of CO2 molecules
during adiabatic expansion in a supersonic nozzle. The Treanor distribution —
existence and generation // Chem. Phys. 1989. Vol. 132. Pp. 41-48.
88. Chikhaoui A., Kustova E.V. Effect of Strong Excitation of CO2 Asymmetric
Mode on Transport Properties // Chem. Phys. 1997. Vol. 216. Pp. 297-315.
89. Courtoy C.P. Spectres de Vibration-Rotation de Molecules Simples
Diatomiques et Polyatomiques avec Long Parcours d’absorption. XII. Le
Spectre de C 12 O216 entre 3500 et 8000 cm−1 et les Constantes Moleculaires
de cette Molecule // Can. J. Phys. 1957. Vol. 35, no. 5. P. 608.
90. Eremin A.V., Kustova E.V., Nagnibeda E.A., Shumova V.V. Dissociation of
CO2 in nonequilibrium conditions: comparison of state-to-state and step-ladder
approaches // Proceedings of the ICDERS-17. Heidelberg: August 1999.
91. Eremin A.V., Shumova V.V., Ziborov V.S., Roth P. CO2 dissociation behind
shock waves under multi-mode vibrational nonequilibrium conditions // Proc.
of the International Symposium on Shock Waves / Ed. by A. Houwing.
Brisbane, Australia: The University of Queensland, 1997.
92. Ibragimova L., Shatalov O. Non-equilibrium Kinetics behind Shock Waves
Experimental Aspects // High Temperature Phenomena in Shock Waves /
Ed. by R. Brun. Berlin Heidelberg: Springer-Verlag, 2012. Pp. 99-147.
93. Kozak T., Bogaerts A. Evaluation of the energy efficiency of CO2 conversion
in microwave discharges using a reaction kinetics model // Plasma Sources Sci.
and Technol., vol: 24, num: 1, published: 01 February 2015, 015024
94. Kozak T., Bogaerts A. Splitting of CO2 by vibrational excitation in nonequilibrium plasmas: a reaction kinetics model // Plasma Sources Sci Technol.
(2014) 23:045004.
95. Kustova E.V., Nagnibeda E.A. Kinetic model for multi-temperature flows of
reacting carbon dioxide mixture // Chem. Phys. 2012. Vol. 398. Pp. 11-117.
124
96. Kustova E.V., Nagnibeda E.A. On a Correct Description of a MultiTemperature Dissociating CO2 Flow // Chemical Physics. 2006. Vol. 321. Pp.
293-310.
97. Kustova E.V., Nagnibeda E.A. Nonequilibrium vibratioanl kinetics in carbon
dioxide flow behind a shock wave // Proc. of the 22d International Symposium
on Shock Waves / Ed. by G. Ball, R. Hillier, G. Roberts. Vol. 1. Southhampton,
UK: University of Southhampton, 2000. Pp. 777-782.
98. Kustova E.V., Nagnibeda E.A., Shevelev Yu.D., Syzranova N.G. Different
models for CO2 flows in a shock layer // Shock Waves. 2011. Vol. 21. no.
3. Pp. 273-287.
99. Kustova E.V., Nagnibeda E.A., Shevelev Yu.D., Syzranova N.G. NonEquilibrium Kinetics and Transport Processes in a Hypersonic Flow of
CO2 /CO/O2 /C/O Mixture // Rarefied Gas Dynamics / Ed. by D. Levin
et al. Vol. 1333 of AIP Conference Proceedings. 2011. Pp. 1227-1232.
100. Kustova E.V., Nagnibeda E.A., Shevelev Yu.D., Syzranova N.G. The influence
of CO2 Kinetics on the Hypersonic Flow near Blunt Bodies // Rarefied Gas
Dynamics / Ed. by M. Mareshal, A. Santos. Vol. 1501 of AIP Conference
Proceedings. 2012. Pp. 1102-1109.
101. Kustova E.V., Puzyreva L.A. Multi-Temperature Kinetics and Transport
Properties in CO2 /N2 Mixtures // Rarefied Gas Dynamics: 25-th Internatioanl
Symposium / Ed. by M.S. Ivanov, A.K. Rebrov. Novosibirsk: 2007. Pp. 970975.
102. Lombardi A., Faginas-Lago N., Pacifici L., Costantini A. Modeling of Energy
Transfer From Vibrationally Excited CO2 Molecules: Cross Sections and
Probabilities for Kinetic Modeling of Atmospheres, Flows, and Plasmas //
The Journal of Physical Chemistry A 2013. 117. Pp. 11430-11440.
103. Monchick L., Yun R.S., Mason E.A. Formal Kinetic Theory of Transport
Phenomena in Polyatomic Gas Mixtures // J. Chem. Phys., 1963, Vol. 39,
№3. Pp. 654-669.
104. Rydalevskaya M.A., Voroshilova Yu.N., Uskov V.N. Direct Shocks in
Vibrationally Nonequilibrium Diatomic Gases at Various Distances from
125
Critical Cross-Section of Nozzle // American Journ. of Applied Sciences 2014,
11. Pp. 1921-1926.
105. Treanor C.E., Rich I.W., Rehm R.G. Vibrational relaxation of anharmonic
oscillators with exchange dominated collisions // J. Chem. Phys. 1968. Vol.
48. Pp. 1798–1807.
106. Wang-Chang C.S., Uhlenbeck G.E. Transport phenomena in polyatomic
molecules // Michigan Univ. 1951. P. 46.
107. Wickham-Jones C.T., Simpson C.J.S.M., Clary D.C. Experimental and
theoretical determination of rate constants for vibrational relaxation of CO2
and CH3 F by He // Chem. Phys. 1987. Vol. 117. Pp. 9-16.
108. Wright M.J., Hwang H.H., Schwenke D.W. Recommended Collision Integrals
for Transport Property Computations, Part 2: Mars and Venus Entries //
AIAA Journal. 2007. Vol. 45, no. 1. Pp. 281-288.