Задание № 3

Афонюшкина Юлия Анатольевна,
Малеева Светлана Евгеньевна,
учителя математики
Якутского городского лицея.
ПРИМЕНЕНИЕ ПРОГРАММЫ ADVANCED GRAPFER
НА УРОКАХ АЛГЕБРЫ.
Известно,
что
индийские
математики,
иллюстрируя
рисунком
доказательство теоремы Пифагора, сопровождали его одним только словом:
«Смотри!». И во времена Пифагора, и в наши дни принцип наглядности остаётся
одним из основных принципов педагогики, так как яркий зрительный образ по
своему эффекту и убедительности не уступает математическим выкладкам.
Более того, как отмечает П.М.Эрдниев, необходимость сочетания образного
и логического компонентов вытекает из асимметричности полушарий мозга:
«Правое полушарие – средоточие образов, эмоций, визуального мышления; левое –
речи, логики, счёта, будущего времени, прогноза….В связи с этим сочетание
образного и логического компонентов информации является главным
физиологическим условием прочности знаний».
Зрительные каналы
переработки информации во много раз мощнее
слуховых; человек способен моментально различать направление (вверх, вниз,
вправо, влево), форму, цвет; находить равные и подобные фигуры, видеть различия.
В связи с этим развитие с помощью специальных упражнений зрительного
восприятия позволяет ускорить процесс переработки и усвоения информации.
В век информационных технологий зрительное восприятие информации
принимает ведущую роль. Наглядность, ранее выступавшая лишь в роли
сопровождения вербального способа обучения,
становится эффективным
инструментом
обучения, позволяющим через учебный материал развивать
визуальное мышление ребёнка.
Невозможно переоценить эффективность электронных средств обучения в
формировании функционально-графической компетентности учащихся. В
настоящее время существует большое количество программ, позволяющих строить
графики функций. Все они имеют свои достоинства и свои недостатки. На
протяжении ряда лет учителя Якутского городского лицея используют на уроках
алгебры программу ADVANCED GRAPFER. Эта простая в применении программа
позволяет учителю и учащемуся строить графики функций, уравнений, неравенств
и их систем, изображать криволинейные трапеции, выводить на экран монитора
график функции, график её производной и касательной. Всё это даёт возможность
благодаря большому количеству визуальных образов создавать устойчивые
ассоциации, которые в свёрнутом виде будут использоваться при решении разного
рода заданий.
ADVANCED GRAPHER
эту программу можно найти и скачать
бесплатно на сайте http://www.edu.ru и на авторском сайте http://www.serpik.com.
При изучении тем функционально-графической линии курса алгебры
учитель, применяя программу
ADVANCED GRAPFER, имеет возможность
разрабатывать систему заданий, направленных на развитие различных предметных
компетенций:

Задания, направленные на развитие «культуры зрительного восприятия»
(обучение навыкам анализа изображения, его интерпретации, сравнения,
обобщения);

Задания, направленные на развитие умения перекодировать зрительную
информацию в вербальную, символьную и обратно;

Задания, направленные на формирование новых зрительных образов и их
связей;

Задания, направленные на развитие навыков оперирования наглядными
образами (составление задач, использование зрительных ассоциаций, решение
исследовательских задач).
Особенно эффективно применение программы ADVANCED GRAPHER при
изучении следующих тем курса алгебры:
- взаимное расположение графиков линейных функций (7 класс);
- графический способ решения системы линейных уравнений
(7 класс);
- графический способ решения уравнений (8 класс);
- построение графика квадратичной функции (9 класс);
- график уравнения с двумя переменными (9 класс);
- графический способ решения систем нелинейных уравнений (9 класс);
- преобразования графиков функций (9 – 10 классы);
- геометрический смысл производной; нахождение уравнения касательной к
графику функции (10 класс);
- исследование функции при помощи производной и построение графика
функции (10 класс);
- нахождение площади фигуры, ограниченной графиками функций (11 класс);
- подготовка к ЕГЭ.
Кроме того, программа ADVANCED GRAPHER успешно используется на
занятиях спецкурса и элективных курсов при изучении таких тем, как «График
дробно-линейной функции», «Множество решений неравенств с двумя
переменными и их систем», «Квадратное уравнение с ограничениями на корни»,
«Решение уравнений с параметром», «Задачи линейного программирования» и
многие другие. Учитель может также использовать программу ADVANCED
GRAPHER для изготовления раздаточного материала или слайдов для кодоскопа.
Используя программу ADVANCED GRAPFER на уроках алгебры, учащиеся
получают навык сопоставления алгебраической и геометрической стороны задачи.
Многие из них, установив программу на личном компьютере, используют её в
дальнейшем при подготовке к урокам при решении различного рода заданий или их
проверке.
Мы предлагаем вашему вниманию уроки алгебры с использованием
программы ADVANCED GRAPFER.
1. Афонюшкина Ю.А. Лабораторная работа по алгебре в 7 классе
«Взаимное расположение графиков линейных функций».
2. Малеева С.Е. Урок алгебры в 8 классе « Простейшие преобразования
графиков функций. Параллельный перенос» и презентация к нему .
3. Малеева С.Е. Урок алгебры в 9 классе «Построение графика функции
вида у=|f(х)»|.
4. Афонюшкина Ю.А. Лабораторная работа по алгебре в 10 классе
«Простейшие преобразования графиков функций. Растяжение и сжатие»
и презентация к ней.
2
5. Малеева С.Е. Презентация к уроку алгебры в 11 классе «Площадь
фигуры, ограниченной графиками функций».
Воспитательная цель этих уроков – развитие у учащихся визуального
мышления, навыков аналогии и обобщения.
Дидактическая цель – создание устойчивых зрительных образов
и
ассоциаций, позволяющих учащимся в дальнейшем решать задачи без
использования компьютера.
Каждый урок проводился в компьютерном классе. Как показывает опыт,
учащимся достаточно 10-15 минут для предварительного знакомства с программой.
Объяснение будет более эффективным, если учитель проведёт его, используя
интерактивную доску.
Каждый урок состоит из двух частей. Первая часть – работа за компьютером.
Её цель – при помощи большого количества построенных графиков помочь
учащимся сопоставить их расположение, провести аналогии и сделать обобщение.
Вторая часть урока – за партами. Её цель – использование полученных зрительных
ассоциаций и обобщений при решении заданий различного уровня сложности.
Афонюшкина Ю.А.
Взаимное расположение графиков линейных функций.
Лабораторная работа в 7 классе с использованием
программы ADVANCED GRAPFER (2 часа).
Цели урока: Учащиеся должны научиться:
1. Распознавать расположение прямых на координатной плоскости в
зависимости от коэффициентов.
2.Сделать вывод о взаимном расположении прямых на координатной
плоскости в зависимости от их коэффициентов.
3. Сделать вывод о параллельности и перпендикулярности, прямых в
зависимости от их угловых коэффициентов.
4. Использовать полученные выводы при построении основных
геометрических фигур.
Мотивация учебной деятельности: учитель сообщает учащим цели урока, задачи
которые они должны решить в ходе лабораторной работы с помощью программы
ADVANCED GRAPHER . Учащимся выдаются следующие задания:
Лабораторная работа по теме
«Взаимное расположение графиков линейных функций».
Задание № 1.
1.Постройте графики функций: y = 4х – 2;
у = 0,5х +3;
у = - 1,2х – 4.
2.Запишите, каково взаимное расположение графиков функций.
3. Заполните таблицу.
4. Сделайте вывод о взаимном расположении графиков функций и
коэффициентах k и b.
3
Задание № 2.
1.Постройте графики функций: y = 1,7x + 3,
y = - 0,8x + 3,
y = - 3,1x + 3,
y = 4,8x + 3.
2.Запишите, каково взаимное расположение графиков функций (если они
пересекаются, то в какой точке).
3. Заполните таблицу.
4. Сделайте вывод о взаимном расположении графиков функций и
коэффициентах k и b.
Задание № 3
1.Постройте графики функций: y= 1,3х – 1,4,
y = 1,3х,
y = 1,3x +3,7,
y = 1,3x +6,1 .
2.Запишите вывод о взаимном расположении графиков функций.
3. Заполните таблицу.
4. Запишите вывод о взаимном расположении графиков функций и
коэффициентах k и b.
Задание № 4.
1
х – 2 красного цвета;
3
постройте графики функций у = 2х +5 и у = -0,5х – 5 синего цвета;
постройте графики функций у = 0,8х + 3 и у = - 1,25х + 8 зеленого цвета.
2.Запишите вывод о расположении графиков функций.
3. Заполните таблицу.
4. Сделайте вывод о взаимном расположении графиков функций и
коэффициентах k.
1.Постройте графики функций y= - 3х + 1 и у =
На первом этапе учащимся предлагается выполнить лабораторную работу и
сделать основные выводы. Учитель проводит инструктаж для учащихся и выдает
каждому ученику рабочий лист, который ученик заполняет во время проведения
лабораторной работы. Ниже приводится образец рабочего листа.
Фамилия Имя _________________________________________________.
Лабораторная работа
“Взаимное расположение графиков линейных функций”.
Задание № 1.
Графики________________________________________________________________
_____________________________________________________.
Функции
Угловой коэффициент k
4
Коэффициент b
Вывод: ______________________________________________________________
________________________________________________________________________
____________________________________________________.
Задание № 2.
Графики________________________________________________________________
_____________________________________________________.
Функции
Угловой коэффициент k
Коэффициент b
Вывод: ______________________________________________________________
________________________________________________________________________
____________________________________________________.
Задание № 3.
Графики________________________________________________________________
_____________________________________________________.
Функции
Угловой коэффициент k
Коэффициент b
Вывод: ______________________________________________________________
________________________________________________________________________
____________________________________________________.
Задание № 4.
Графики функций одного цвета
______________________________________________________________.
Функция
Угловой коэффициент k
1.
Произведение угловых коэффициентов равно _______.
2.
Произведение угловых коэффициентов равно _______.
3.
Произведение угловых коэффициентов равно ______.
5
Коэффициент b
Вывод: ______________________________________________________________
________________________________________________________________________
____________________________________________________.
После выполнения работы учащиеся сообщают, какие выводы они сделали и
общий вывод записывается в тетради.
Вывод: Графики линейных функций параллельны, если их угловые
коэффициенты равны. Графики линейных функций пересекаются, если их угловые
коэффициенты различны. Если произведение угловых коэффициентов равно –1, то
графики перпендикулярны.
На следующем этапе урока идет закрепление полученных выводов и их
применение при решении задач.
№ 335 – устно с полными пояснениями.
№ 336 учащиеся выполняют самостоятельно с последующей проверкой.
№ 337 – устно.
№ 338 и 343 учащиеся выполняют на компьютере с помощью графической
программы.
Далее учащимся предлагается выполнить практическую работу.
Практическая работа.
Задание № 1.
Построить графики функций у = 4х + 8 и у = - 1,7х + 6.. Задайте еще одну
линейную функцию формулой и постройте ее график так, чтобы эти три графика
при пересечении образовали треугольник.
Ответ: _____________________.
Задание № 2.
1
х – 2 и у = - 2х + 8. Задайте еще две линейных
2
функции формулами и постройте их графики так, чтобы эти четыре графика при
пересечении образовали прямоугольник.
Ответ:___________________ и _________________.
Задание № 3.
1
Построить графики функций у = - х + 6 и у = 2х - 3. Задайте еще одну линейную
4
функцию формулой и постройте ее график так, чтобы эти три графика при
пересечении образовали прямоугольный треугольник.
Построить графики функций у =
Ответ: _____________________.
Учащиеся сдают выполненную практическую работу.
Подводится итог урока, повторяются основные выводы, и записывается
домашнее задание.
Домашнее задание: № 339, № 344 и задать формулами пять линейных
функций, графики которых при пересечении образуют пятиугольник.
6
Малеева С.Е.
Простейшие преобразования графиков функций.
Параллельный перенос.
Урок алгебры в 8 информационно-математическом классе с
использованием программы ADVANCED GRAPFER (2 часа).
Презентация прилагается.
Цель урока: изучение простейших преобразований графиков функций
(параллельного переноса).
Мотивация учебной деятельности и актуализация знаний.
«Главным героем» урока сегодня будет функция и её график. Вспомним основные
сведения из курса алгебры 7 класса, ответив на вопросы:
- Какая зависимость между величинами называется функцией?
- Что называется областью определения функции?
- Что называется областью значений функции?
- Что называется графиком функции?
Приведите примеры знакомых вам элементарных функций и назовите их
графики.
Задание 1 (проецируется на экран). Запишите в тетради аналитические
формулы функций, соответствующих графикам.
Задания 2-8 выполняются на компьютере.
7
Задание 2. Постройте с помощью программы ADVANCED GRAPFER
графики функций: а) у=х2;
б) у=х2+3;
в) у=х2-4.
Опишите взаимное расположение графиков функций в заданиях а) и б); в
заданиях а) и в). Почему они так расположены?
Задайте формулой функцию, график которой может быть получен сдвигом
графика функции у=х2 вдоль оси ОУ на 5 единичных отрезков вверх; на 1
единичный отрезок вниз.
Проверьте свой ответ, построив графики этих функций. Сделайте вывод: как
построить график функции вида у=х2+n?
Задание 3. Постройте графики функций
а) у= х ; б) у= х +5; в) у= х -2.
Выполняется ли правило, аналогичное полученному в задании2? Почему?
Проведите обобщение: Как построить график функции у=f(х)+n, если
имеется график функции у=f(х) ? Запишите вывод в тетради.
Задание 4. Используя полученное правило, объясните построение графиков
а) у=|х|;
б) у=|х|+2; в) у=|х|-4. Проверьте свой ответ, построив графики.
Задание 5.Можно ли по тому же правилу построить графики функций
а) у=|х|;
б) у=|х+2|;
в) у=|х-4|?
Постройте графики этих функций с помощью программы ADVANCED
GRAPFER. Объясните их взаимное расположение.
Задание 6. Используя правило, полученное в задании 5, объясните взаимное
расположение графиков функций
а) у= х ;
б) у= х  3 ;
эти графики.
в) у= х  6 . Убедитесь в правильности своих ответов, построив
Проведите обобщение: как построить график функции
у=f(х- m), если имеется график функции у=f(х)? Как построить график функции
у=f(х- m)+n? Запишите вывод в тетради.
Задание 7. Как вы думаете, какая кривая является графиком функции
у=(х-2)2+3?
Сдвигом графика какой функции можно построить эту
параболу? Постройте эту параболу с помощью программы ADVANCED GRAPFER.
Назовите координаты её вершины. Как они связаны с числами m и n?
Задайте формулой квадратичную функцию, график которой получен
сдвигом графика функции у=х2 на 3 единичных отрезка влево и на 4 единичных
отрезка вниз. Назовите координаты её вершины.
Задание 8. Используя программу ADVANCED GRAPFER, проведите
исследование: при каких значениях n график функции у=|х-3|+n имеет 1 общую
точку с осью ОХ; 2 общие точки; не имеет общих точек?
При каких значениях n уравнение |х-3|+n=0 не имеет решение? Имеет 1
решение? 2 решения? Проведите аналогии.
8
Задания 9-11
выполняются в тетради без использования программы ADVANCED
GRAPFER.
Задание 9. В результате какого сдвига графика функции у= х2 можно
получить график функции:
а) у=(х-2)2;
б) у=(х+2)(х-2);
в) у=х2+6х+9;
г)у=(х+5)2-7?
В каждом случае укажите вершину полученной параболы.
Задание 10. Постройте в тетради графики функций; укажите для каждой
функции область определения и область значений:
9
а) у= х  2 +3;
б) у= х  5 -4;
в) у=-1+ х .
Задание 11. При каких значениях n график функции
у= (х+7)2 + n имеет 1 общую точку с осью ОХ; 2 общие точки; не имеет
общих точек? Проведите аналогии с количеством корней уравнения (х+7)2 + n.=0.
Влияет ли число 7 на ответ?
Подведение итогов.
С каким преобразованием графиков вы познакомились на уроке? Какие
закономерности установили? Какие возможности даёт вам умение проводить такие
преобразования?
Домашнее задание.
1. Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк. Дополнительные главы математики. №
357,358.
2. Провести исследование: как построить график функции
у= -f(х), если задан график функции у=f(х)?
10
Малеева С.Е.
Построение графика функции вида у=|f(х)|.
Урок алгебры в 9 информационно-математическом классе
с использованием программыADVANCED GRAPFER (2 часа).
Цель урока: изучение простейших преобразований графиков функций .
Мотивация учебной деятельности и актуализация знаний.
Вспомним, что нам известно о простейшей функции, содержащей модуль:
- Что представляет собой график функции у=|х|?
- Каковы область определения и область значений этой функции?
- Как построить график функции вида у=|х-m|+n?
Не всегда удаётся построить график функции, содержащей аргумент под
знаком модуля при помощи сдвига графика функции у=|х|. Таковой является,
например, функция у=|3х-2|.
Цель нашего урока – найти способ построения графика функции вида
у=|f(х)|.
Задания 1- выполняются с использованием программы ADVANCED
GRAPFER.
Задание 1. Постройте графики функций
1
1
а) у=3х+4;
б) у=|3х+4|;
в) у= х-2;
г) у= | х-2|.
2
2
Опишите взаимное расположение графиков а) и б); в) и г). Иллюстрацию
какого оптического явления напоминают графики б) и г)? (Угол падения светового
луча равен углу отражения). Можно ли получить эти графики сдвигом графика
функции у=|х|? Какой способ построения вы могли бы предложить? Почему?
Задание 2. Укажите последовательность действий при построении графика
функции у= |-2х+4 |; выполните построение в тетради; проверьте результат с
помощью программы ADVANCED GRAPFER.
Как вы думаете, можно ли этот приём распространить на функции, которые
не являются линейными?
Задание 3. С помощью программы ADVANCED GRAPFER постройте
графики функций:
а) у=х2-5;
б) у=|х2-5|;
в) у= х  5 -2;
г) у=| х  5 -2|.
Сравните взаимное расположение графиков а) и б); в) и г). Расскажите, как можно
было бы построить графики функций б) и г).
Задание 4. Укажите последовательность действий при построении графика
1
функции у=| |. Выполните построение в тетради; проверьте результат с помощью
х
программы ADVANCED GRAPFER.
11
Сделайте обобщение: как построить график функции вида у=|f(х)|?
Запишите вывод в тетради.
Задание 5. В тетради решите графически систему уравнений у=|x2-4| и
у=|х|+2. Проверьте себя с помощью программы ADVANCED GRAPFER.
Задание 6.
В тетради постройте график функции у=| |х|-3|. Проверьте
себя с помощью программы ADVANCED GRAPFER.
В тетради решите графически уравнения | |х|-3|=1;
| |х|-3|=0;
| |х|-3|=3;
| |х|-3|=4;
| |х|-3|=-3.
Для каждого значения параметра а укажите количество корней уравнения |
|х|-3|=а.
Подведение итогов.
С каким преобразованием графиков вы познакомились сегодня? Какую
закономерность установили? При решении каких задач можно использовать
полученные знания?
Домашнее задание.
1. Построить график функции у=|х2-1|. Для каждого значения параметра а
указать количество корней уравнения |х2-1|=а.
12
2. Построить график функции у=| х  1 -1|. Для каждого значения параметра
а указать количество корней уравнения
| х  1 -1|=а
Афонюшкина Ю.А.
Лабораторная работа по алгебре в 10 классе
«Преобразования графиков функций. Растяжение и сжатие».
Презентация прилагается.
Указание для учащихся: В программе ADVANCED GRAPHER выполните
следующие задания:
Задание № 1.
Постройте в одной системе координат графики следующих функций:
 у  sin x черным цветом,
 y  2 sin x синим цветом,
 y  3 sin x зеленым цветом,
 y  k sin x , где k > 1. Попробуйте построить несколько графиков, меняя k.
Как вы уже заметили, график меняет свою конфигурацию – он растягивается от оси
абсцисс. Попробуйте вывести зависимость между числом k и растяжением графика.
Вывод запишите в тетради.
Задание № 2.
Постройте в одной системе координат графики следующих функций:
 у  cos x черным цветом,
 y  0,5 cos x синим цветом,
1
 y  cos x зеленым цветом,
3
 y  k cos x , где 0 < k < 1. Попробуйте построить несколько графиков, меняя
k.
Как вы уже заметили, график меняет свою конфигурацию – он сжимается к оси
абсцисс. Попробуйте вывести зависимость между числом k и сжатием графика.
Вывод запишите в тетради.
Задание № 3.
Постройте в одной системе координат графики следующих функций:
 у  sin x черным цветом,
 y  sin 2 x синим цветом,
 y  sin 3 x зеленым цветом,
 y  sin( kx) , где k > 1. Попробуйте построить несколько графиков, меняя k.
Как вы уже заметили, график меняет свою конфигурацию – он сжимается к оси
ординат. Попробуйте вывести зависимость между числом k и сжатием графика.
Вывод запишите в тетради.
Задание № 4.
Постройте в одной системе координат графики следующих функций:
13

у  cos x черным цветом,
1 
 y  cos x  синим цветом,
2 
1 
 y  cos x  зеленым цветом,
3 
 y  coskx , где 0 < k < 1. Попробуйте построить несколько графиков, меняя
k.
Как вы уже заметили, график меняет свою конфигурацию – он растягивается от оси
ординат. Попробуйте вывести зависимость между числом k и растяжением графика.
Вывод запишите в тетради.
Малеева С.Е.
Презентация к уроку алгебры в 11 классе
«Площадь фигуры, ограниченной графиками функций».
(См. приложение).
Литература.
1. Эрдниев Л.М., Эрдниев Б.П. Укрупнение дидактических единиц в обучении
математике: Книга для учителя. – М.: Просвещение, 1986.
2. Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк. Дополнительные главы к школьному учебнику
8,9.Учебное пособие для учащихся школ и классов с углублённым изучением
математики /Под ред.Г.В. Дорофеева. – 2-е изд. – М.: Просвещение.
3. Азевич А.И. ADVANCED GRAPFER на уроке и после него//Математика в
школе,2001,№6.
4. Н.В. Полякова. ADVANCED GRAPFER решает уравнения// Математика в
школе,2004,№7.
5. Башмаков М.И., Резник Н.А. Развитие визуального мышления на уроках
математики//Математика в школе, 1991. - №1.
14