Тема: «Вычисление производной» Хадиуллина Фирдавса Рахимшиновна Учитель математики первой квалификационной категории МОУ «Гимназия №1» ЕМР Цель урока: закрепление формул производных основных функций и правил дифференцирования, формирование умений нахождения производных функций, развитие умения преодоления трудностей при решениях задач, воспитание ответственного отношения к учебному труду. План урока: 1. Повторение теоретического материала. 2. Решение примеров. 3. Примеры для самостоятельного решения. 4. Тесты для самостоятельного решения. 1.1. Производная функции ƒ(x) в точке 𝑥0 определяется как число, к которому стремится отношение ∆ƒ(𝑥) ∆𝑥 = ƒ(𝑥0 +∆𝑥)−ƒ(𝑥0 ) ∆𝑥 при ∆𝑥, стремящемся к нулю. Таблица производных Производные элементарных функций ƒ(𝑥) ƒ΄(𝑥) С 0 кх + 𝑏 k 𝑥𝑛 𝑛𝑥 𝑛−1 √𝑥 1 2 √𝑥 𝑒𝑥 𝑒𝑥 𝑎𝑥 𝑎 𝑥 𝑙𝑛𝑎 ln x 1 𝑥 1 𝑥𝑙𝑛𝑎 log 𝑎 𝑥 𝑠𝑖𝑛 𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑥 − 𝑠𝑖𝑛 𝑥 𝑡𝑞 𝑥 1 𝑐𝑜𝑠²𝑥 1 − 𝑠𝑖𝑛²𝑥 𝑐𝑡𝑞 𝑥 1 1.2. Производную функций вида 𝑓(𝑥) = 𝑛 , 𝑓(𝑥) = √𝑥 и 𝑓(𝑥) = 𝑥𝑛 1 𝑛 √𝑥 можно вычислить, применяя производную (𝑥 𝑛 )΄ = 𝑛𝑥 𝑛−1 . 1 𝑛 (𝑥 𝑛 ) ΄ = (𝑥 −𝑛 )΄ = −𝑛𝑥 −𝑛−1 = − 𝑥 𝑛+1 ; 𝑛 1 ( √𝑥 )΄ = (𝑥 𝑛 ) ΄ = 1 −1 1 𝑛 1 𝑥 𝑛−1 = 1 −1 1 𝑛 ( 𝑛 𝑥) ΄ = (𝑥 𝑛 )΄ = − 𝑛 𝑥 𝑛 −1 = √ 𝑥 1−𝑛 𝑛 1 𝑛 𝑥 = 1 𝑥 𝑛 −(𝑛+1) 𝑛 −(𝑛−1) 𝑛 = − = 1 𝑛 𝑛 √𝑥 𝑛−1 1 𝑛 𝑛 √𝑥 𝑛+1 ; . В частности : ƒ(x) 1 𝑥 1 𝑥² 3 √𝑥 ƒ΄(x) 1 𝑥² 2 − 𝑥³ 1 − 3 3 √𝑥² 1 √𝑥 1 3 √𝑥 − − 1 2√𝑥 3 1 3 3√𝑥 4 1.3. Вычисление производной называется дифференцированием функции. Основные правила дифференцирования Пусть с – константа, а u(x) и v(x) имеют производную в некоторой точке 𝑥0 . Тогда функции 𝑢(𝑥) ± 𝑣(𝑥), 𝑐 ∙ 𝑢(𝑥), 𝑢(𝑥) ∙ 𝑣(𝑥), 𝑢(𝑥) 𝑣(𝑥) (где 𝑣(𝑥) ≠ 0) также имеют производные в этой точке, причем 1) (𝑢 ± 𝑣)΄ = 𝑢΄ ± 𝑣΄; 2)( 𝑢 ∙ 𝑣)΄ = 𝑢΄𝑣 + 𝑢𝑣΄, в частности, (𝑐𝑢)΄ = 𝑐 ∙ 𝑢΄; 𝑢 3) ( ) ΄ = 𝑣 𝑢΄𝑣−𝑢𝑣΄ 𝑣² Если 4) с 𝑐𝑣΄ 𝑣 𝑣² , в частности, = − функция g ; дифференцируема в точке 𝑥0 , а функция ƒ дифференцируема в точке 𝑔(𝑥0 ), то функция ƒ(𝑔(𝑥)) также дифференцируема в точке 𝑥0 , причем (ƒ(𝑔(𝑥0 )))΄ = ƒ΄(𝑔(𝑥0 )) ∙ 𝑔΄(𝑥0 ). Если при x = 𝑥0 существует производная некоторой функции ƒ(x), то в точке графика этой функции с абсциссой 𝑥0 можно провести касательную к нему, причем её угловой коэффициент равен значению производной в точке 𝑥0 . 𝑘 = 𝑡𝑔𝛼 = ƒ΄(𝑥0 ). Уравнение касательной к графику функции ƒ(𝑥) в точке (𝑥0 ; ƒ(𝑥0 )): 𝑦 = 𝑓(𝑥0 ) + ƒ΄(𝑥0 )(𝑥 − 𝑥0 ).8 2. Примеры для закрепления Пример 1. Найти производную функции 5 ƒ(𝑥) = 5𝑥 4 − 7𝑥 3 − 2√𝑥 + . 𝑥 ƒ΄(𝑥) = 4 ∙ 5𝑥 3 − 3 ∙ 7𝑥 2 − 2 ∙ Решение: − 1 √𝑥 − 5 𝑥² 1 2√𝑥 1 + 5 ∙ (− 2) = 20𝑥 3 − 21𝑥 2 − 𝑥 . Пример 2. Найти производную функции 𝑓(𝑥) = (−5𝑥 + 11)³. Решение. ƒ΄(𝑥) = 3 ∙ (−5𝑥 + 11)2 ∙ (−5𝑥 + 11)΄ = 3 ∙ (−5𝑥 + 11)2 ∙ (−5) = = −15(−5𝑥 + 11)². Пример 3. Найти производную функции ƒ(𝑥) = √2 − 3𝑥³. Решение. ƒ΄(𝑥) = 1 2√2−3𝑥³ ∙ (2 − 3𝑥³)΄ = − 9𝑥² 2√2−3𝑥³ . Пример 4. Найти производную функции ƒ(𝑥) = 𝑥² 𝑙𝑔2𝑥. Решение. ƒ΄(𝑥) = (𝑥 2 )΄ 𝑙𝑔2𝑥 + 𝑥 2 (𝑙𝑔2𝑥)΄ = 2𝑥 𝑙𝑔2𝑥 + 𝑥 2 (2𝑥)΄ 𝑥 = 2𝑥 𝑙𝑔2𝑥 + = 2𝑥𝑙𝑛10 𝑙𝑛10 =2𝑥 𝑙𝑔2𝑥 + 𝑥 𝑙𝑔𝑒 = 𝑥(2 𝑙𝑔2𝑥 + 𝑙𝑔𝑒) = 𝑥(𝑙𝑔4𝑥² + 𝑙𝑔𝑒) = 𝑥 𝑙𝑔4𝑒𝑥² Пример 5. Найти производную функции ƒ(𝑥) = 𝑠𝑖𝑛3𝑥 𝑐𝑜𝑠3𝑥. Решение. ƒ(𝑥) = 𝑠𝑖𝑛3𝑥 𝑐𝑜𝑠3𝑥 = ƒ΄(𝑥) = ( 1 2 𝑠𝑖𝑛6𝑥)΄ = 1 2 1 2 2 𝑠 𝑐𝑜𝑠3𝑥 = 1 2 𝑠𝑖𝑛6𝑥; 𝑐𝑜𝑠6𝑥 ∙ 6 = 3𝑐𝑜𝑠6𝑥. Пример 6. Найти значение производной функции 𝑦 = 4𝑥 + 3𝑠𝑖𝑛𝑥 в точке 𝑥0 = 𝜋. Решение. 𝑦΄(𝑥) = 4 + 3𝑐𝑜𝑠𝑥; 𝑦΄( 𝜋) = 4 + 3𝑐𝑜𝑠 𝜋 = 4 + 3 ∙ (−1) = 1. Пример 7. Найти угловой коэффициент касательной к графику функции 𝑦 = 3𝑙𝑛𝑥 + 5,2 в точке с абсциссой 𝑥0 = 6. Решение. Угловой коэффициент касательной к графику функции в точке с абсциссой 𝑥0 равен значению производной функции в точке 𝑥0 . 3 𝑦΄(𝑥) = ; 𝑦΄(6) = 0,5. 𝑥 Пример 8. Материальная точка движется по прямой так, что её координата в момент времени t равна 𝑥(𝑡) = 𝑡² + 𝑒 2−𝑡 . Найти скорость точки в момент времени 𝑡 = 2. Решение. Скорость координаты x(t). материальной точки v(t) является производной её 𝑣(𝑡) = 𝑥΄(𝑡) = 2𝑡 + 𝑒 2−𝑡 ∙ (−1) = 2𝑡 − 𝑒 2−𝑡 ; 𝑣(2) = 2 ∙ 2 − 𝑒 0 = 4 – 1 = 3. Пример 9. Найти абсциссу точки графика функции 𝑦 = 2√𝑥 + 5, касательная в которой параллельна прямой 𝑦 = 2𝑥 – 1. Решение. Угловой коэффициент данной прямой равен 2, значит, угловой коэффициент касательной, параллельной этой прямой, также равен 2. Поскольку угловой коэффициент касательной к графику функции равен значению производной этой функции в точке касания, получаем (2√𝑥 + 5)΄ = 2; 1 √𝑥 = 2 ; отсюда 𝑥 = 0,25. 3. Задания для самостоятельного решения 1. Найти производную функции ƒ(𝑥) = (7𝑥 + 4)5 . 2. Найти производную функции ƒ(𝑥) = 𝑒 𝑥 + 𝑠𝑖𝑛5𝑥. 3. Найти значение производной функции 𝑦 = 6𝑥 − 𝑡𝑔𝑥 в точке 𝑥0 = 0. 4. Найти значение производной функции 𝑦 = 2𝑥 1 4𝑥+3 в точке 𝑥0 = . 4 5. Найти угловой коэффициент касательной к графику функции 𝜋 𝑦 = 2𝑥 + 𝑐𝑡𝑔𝑥 в точке с абсциссой 𝑥0 = . 2 6. Найти угловой коэффициент касательной к графику функции 𝑦 = 1 3 𝑥³ − 7𝑥 + 5 в точке с абсциссой 𝑥0 = 6 . 7. Материальная точка движется по прямой так, что её координата в момент времени t равна 𝑥(𝑡) = 𝑡 4 − 𝑒 5−𝑡 . Найти ускорение точки в момент времени 𝑡 = 5. 8. Найти производную функции ƒ(𝑥) = √2𝑥³ − 3𝑥² + 5. 9. Найти производную функции ƒ(𝑥) = 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 1. 𝑐𝑜𝑠2𝑥 10. Найти производную функции ƒ(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑒 2𝑥 + 𝑥. 11. Функция y f ( x) определена на y промежутке (4;5) . На рисунке изображен y = f (x) график ее производной. Найдите число касательных к графику функции y f ( x) , 0 которые наклонены под углом в 45 к положительному направлению оси абсцисс. 12. Функция у = f (x) задана на отрезке [a; b]. На рисунке изображен график ее производной у = f (x). на монотонность 3 1 o Исследуйте у = f (x). 2 1 x 6 y y = f (x) функцию b a В ответе укажите количество промежутков, на которых функция возрастает 0 x 4. Тест для самостоятельного выполнения А1. Найти значение производной функции f(x)=(3 - x 2 )( x 2 + 6) в точке х0 =1 1) -1 2) 2 3) 14 4) -4 А2. Найти производную функции f(x) = 𝑐𝑡𝑞 𝑥 1+𝑐𝑡𝑞²𝑥 1) cos2x 2) - cos2x 3) 2 cos2x 4) 2 cosx А3. Написать уравнение касательной к функции у = х - 2 𝑥 2 - 1 в точке х0 =1 1) у = -3х – 6 2) у = 3х – 4 3) у = -3х +1 4) у = -3х -1 А4. Через точку графика функции у = ех – х 2 с абсциссой х0 = 1 проведена касательная. Найдите тангенс угла наклона этой касательной к оси абсцисс. 1) e – 2 2) – 1 3) e – 1 4) – 2 А5. Найдите производную функции y ( x 3)cos x . 1) у cos x ( x 3)sin x 2) у ( x 3)sin x cos x 3) у cos x ( x 3)sin x 4) у sin x А6. На рисунках изображены графики функций и касательные к ним в точке а. Укажите функцию, производная которой в точке а равна 1. 1) 2) y y y=g(x) y=f(x) 0 3) a -1 1 1 a 1 -1 0 1 x x 4) y y y=h(x) 0 -1 1 1 a x -1 1 1 0 a -1 y=p(x) x А7. Укажите абсциссу точки графика функции f ( x) 5 4 x x 2 , в которой угловой коэффициент касательной равен нулю. 1) 0 2) 2 3) – 2 4) 5 А8. Функция y f ( x) определена на промежутке (– 3; 7). На рисунке изображен график ее производной. Найдите точку x , в которой функция 0 y f ( x) принимает наибольшее у у = f (x) 1 –3 7 1 х 0 значение. 1) 0 2) 2 3) – 1 4) 1