Решение задач с параметрами (Терёшина Ю.В)

Решение задач с параметрами (задания ЕГЭ)
Автор: Терешина Ю.В.,
учитель математики
I кв. категории
№ 2 (В-4/2004 год)
При каком наименьшем целом значении а
возрастает на R ?
функция f x   e2 x x 2  ae2 x  3
Чтобы найти наименьшее(наибольшее) значение, нужно:
1. Найти f (x).
2. Критические точки: f ( x)  0.
3. Определить возрастание и убывание функции.
4. Определить min (max) функции.
Решение:
f x   e2 x x 2  ae2 x  3 возрастает на R ?
1. f x   2e2 x x 2  2e2 x x  2ae2 x  2e2 x ( х 2  х  а).
2. f x   2e2 x ( х 2  х  а),
f x  возрастает; f x   0.
3.Определим знак производной f x   2e2 x ( х 2  х  а).
2e 2 x  0.
Поэтому рассмотрим функцию y  x 2  x  a -график парабола,
ветви направлены вверх.
Чтобы функция возрастала на R , парабола не должна пересекать ось ОХ,
то есть D  0 , значит 1  4a  0 ( D  1  4a)
1  4а  0,
4а  1,
1
а
4
значит при а  1 -наименьшее целое значение.
Ответ: а  1 наименьшее целое значение.
№ 3 (С-3/2002 год)
При каких значениях а выражение 1  sin x(3 sin x  a cos x) не равно 0 ни при
каких значениях x ?
Решение: (методом отпротивного).
1. Пусть 1  sin x(3sin x  a cos x)  0 при каком-то значении x ,
1  3 sin 2 x  a cos x sin x  0,
4 sin 2 x  cos 2 x  a cos x sin x  0,
:cos 2 x  0
4 tg 2 x  a tg x  1  0,
tg x  t , 4 t 2  at  1  0,
D  a 2  16.
2. 4 t 2  at  1  0, ни при каких значениях x , в том случае, если график
функции (парабола) не пересекает ось ОХ, то есть D  0 , значит
a 2  16  0,
a 2  16,
a  4,  4  a  4
Ответ: при a  4;4
№4
При каких значениях a уравнение
xa  x
имеет 2 корня?
Решение: (1 способ)
 x  0,
Рассмотрим систему уравнений: 
2
x  a  x .
Решим квадратное уравнение: x 2  x  a  0
D  1  4a, D  0 , уравнение имеет два корня:
x1, 2 
 1  1  4a
1
, при a  ,
4
2
если меньший из корней неотрицательный, то и система имеет два решения.
1

a   4 ,

 1  1  1  4a  0;
 2



1

a   ,
4

1  1  4a  0;

1

a   ,
4

1  4a  1;
1

a   ,
4 получаем:

a  0
1
 a  0.
4
Ответ: при 
1
 a  0 уравнение имеет два корня.
4
(2 способ)
При каких значениях a уравнение
 x  0,

2
a  x  x
x  a  x имеет 2 корня?
Эта система на координатной плоскости ( x; a ) задает кривую, изображенную на рисунке
сплошной линией. Все точки дуги параболы, имеют координаты, ( x; a ), удовлетворяющие
данному уравнению. Поэтому число решений уравнения при каждом фиксированном
значении параметра a равно количеству точек пересечения прямой с горизонтальной
прямой, соответствующей этому значению параметра.
При 
1
 a  0 , прямые пересекают график функции в 2-х точках.
4
Ответ: 
1
 a  0,
4
№5
Найти все значения а
х 2  2(а  4) х  а 2  16а 
при которых в множестве решения неравенства
8а
, можно расположить два отрезка длиной 4 и
х
2
длиной 3 не имеющих общих точек.
/рассматривать, как равноправные переменные а и х /
Решение:
8а 2
х  2(а  4) х  а  16а 
х
2
2
приведем неравенство к общему знаменателю:
х3  2(а  4) х 2  а 2 х  16ах  8а 2
0
х
Решим неравенство относительно :
а 2 ( х  8)  2а ( х 2  8 х)  ( х 3  8 х 2 )
 0,
х
а 2 ( х  8)  2ах( х  8)  х 2 ( х  8)
 0,
х
(а 2  2ах  х 2 )( х  8)
 0,
х
(а  х) 2 ( х  8)
 0,
х
но (а  х)2  0 при  а, х (а  х)
х 8
 0, 
Решим неравенство : х
х  (0;8)  а  (0;8)
не имеют общих точек
Ответ: при а  (0;8) отрезки не имеют общих точек.
№ 6 (С-1/2003год)
Найти наибольшее натуральное значение параметра с при котором решение
2 х  4  7  13  2с 2 удовлетворяет условию х   37;35, с  N ?
Решение.
1) 2 х  4  7  13  2с2 ;
2 х  4  7  2с2  13; 2с2  130
 2с 2  13  2 х  4  7  2с 2  13,
 (2с 2  6)0 
2 х  4  2с 2  20; 2с 2  20 0
 2с 2  20  2 х  4  2с 2  20,
 с 2  10  х  2  с 2  10,
 с 2  12  х  с 2  8.
2)По условию
 37  х  35 , значит
 с  12  37
2
с 2
с  5, с  N
2
с 2  8  35,
с 2  27,
с  3 3.
5  с  3 3 , следовательно, наибольшее натуральное с=5
то есть
Ответ: с=5.
№7 (С-2/2004 год)
При каких значениях параметра а уравнение а 16  х2  3а  22  5 х2  16
имеет корни?
Решение: а 16  х2  3а  22  5 х2  16
1. Пусть
16  х 2  t , t  4 , тогда
at  3a  22  5t ,
t (a  5)  22  3a,
22  3a
t
при а  5
a5
при а  5 решений нет.
2. По условию t  16  x2
Наименьшее возможное значение 16  x2 равно 4, так как х 2  0 ,
16  х 2  16
а
при любом х , следовательно, чтобы уравнение имело
решения, то
3а  22
3а  22  4а  20
 4,
 0,
а5
а5
2а
0
а5
значит при а   5;2 уравнение имеет корни
Ответ: а   5;2 .
№9
Указать все значения параметра
а  а  sin x  sin x имеет решения?
а
для
которых
уравнение
Решение:(равноправные переменные).
1. Пусть sin x  t  a  a  t  t . С учетом условия t  0 , t  1 .
a  t  (t 2  a ) 2 ,

0  t  1,
Получим систему  2
t  a,
t   a.

Рассмотрим уравнение a  t  (t 2  a)2 , как квадратное относительно а .
a  a(2t 2  1)  t 4  t  0,
D  (2t 2  1) 2  4(t 4  t )  (4t 2  4t  1)  (2t  1) 2 ;
(2t 2  1) 2  2t  1)
,
2
2t 2  1  2t  1
a
2
2
a  t t
a
2t 2  1  2t  1
,
2
a  t2  t 1
a
a  t 2  t
Но t 2  a и 0  t  1, значит t 2  a  t  1  0 , поэтому 0  t  1, , но t 2  a
Рассмотрим y  t 2  t , y  t (t  1) , парабола, ветви направлены вверх
1 1
 ; 
 2 4
 1 
( y )   ;0
 4 
1
 a0
4
1
4
Ответ:   a  0