Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики» Программа дисциплины «Дискретная математика»

Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Дискретная математика»
для направления 080100.62 «Экономика» подготовки бакалавра
Правительство Российской Федерации
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
"Национальный исследовательский университет
"Высшая школа экономики"
Факультет мировой экономики и мировой политики
Программа дисциплины
Дискретная математика
для направления 080100.62 «Экономика»
подготовки бакалавра
Автор программы: А.Н. Лебедев, к. ф-м. н., с. н. с., доцент alebedev@hse.ru
Одобрена на заседании департамента высшей математики на факультете экономики
«___»____________ 20 г
Зав. кафедрой
Ф.Т. Алескеров
Рекомендована секцией УМС [Введите название секции УМС] «___»____________ 20 г
Председатель
[Введите И.О. Фамилия]
Утверждена Ученым Советом факультета бизнес-информатики «___»_____________20 г.
Ученый секретарь [Введите И.О. Фамилия] ________________________ [подпись]
Москва, 2012
Настоящая программа не может быть использована другими подразделениями университета и другими вузами без разрешения кафедры-разработчика программы.
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Дискретная математика»
для направления 080100.62 «Экономика» подготовки бакалавра
1. Область применения и нормативные ссылки
Настоящая программа учебной дисциплины устанавливает минимальные требования к
знаниям и умениям студента и определяет содержание и виды учебных занятий и отчетности.
Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных
ассистентов и студентов направления 080100.62 «Экономика» подготовки бакалавра, изучающих дисциплину «Дискретная математика».
Программа разработана в соответствии с нормативными документами:
 Образовательным стандартом государственного образовательного бюджетного учреждения высшего профессионального образования «Государственный университет –
Высшая школа экономики», в отношении которого установлена категория «Национальный исследовательский университет»;
 Образовательной программой 080100.62, направление «Экономика» подготовки бакалавра;
 Рабочим учебным планом университета по направлению 080100.62 «Экономика»,
утвержденным в 2011г.
2. Цели освоения дисциплины
Целями освоения дисциплины «Дискретная математика» являются
знание понятий и методов основных разделов дискретной математики: теории множеств,
комбинаторики, теории графов, математической логики и теории алгоритмов;
знакомство с прикладными задачами, при решении которых используются методы дискретной математики.
3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения
дисциплины
В результате освоения дисциплины студент должен:
 Знать основные понятия и методы дискретной математики, необходимые для дальнейшего изучения последующих дисциплин, предусмотренных базовым и рабочим
учебными планами;
 Уметь пользоваться методами дискретной математики (в частности, методами комбинаторики, теории отношений, теории графов, математической логики) для формализации и решения прикладных задач, в том числе экономических;
 Иметь представление о теоретических основах современных информационных технологий.
В результате освоения дисциплины студент осваивает следующие компетенции:
Код по
ФГОС /
НИУ
Дескрипторы – основные признаки
освоения (показатели достижения
результата)
Формы и методы обучения,
способствующие формированию и развитию компетенции
ОНК-1
Способность к анализу и синтезу
на основе системного подхода
Стандартные (лекционно-семинарские)
Общенаучная
ОНК-2
Способность перейти от проблемной ситуации к проблемам,
задачам и лежащим в их основе
противоречиям
Стандартные (лекционно-семинарские)
Общенаучная
ОНК-3
Способность использовать методы критического анализа, оце-
Стандартные (лекционносеминарские)
Компетенция
Общенаучная
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Дискретная математика»
для направления 080100.62 «Экономика» подготовки бакалавра
Компетенция
Код по
ФГОС /
НИУ
Дескрипторы – основные признаки
освоения (показатели достижения
результата)
Формы и методы обучения,
способствующие формированию и развитию компетенции
нить качество исследований в некоторой предметной области
ОНК-4
Готовность использовать основные законы дискретной математики при работе в какой-либо
предметной области
Стандартные (лекционно-семинарские)
ОНК-5
Готовность выявить естественнонаучную сущность проблем, возникающих в ходе профессиональной деятельности, привлечь
их для решения соответствующий аппарат дискретной математики
Стандартные (лекционно-семинарские)
Общенаучная
ОНК-6
Способность приобретать новые
знания с использованием научной
методологии и современных образовательных и информационных технологий
Стандартные (лекционно-семинарские)
Общенаучная
ОНК-7
Способность порождать новые
идеи (креативность)
Стандартные (лекционно-семинарские)
ИК-2
Умение работать на компьютере,
навыки использования основных
классов прикладного программного обеспечения
Стандартные (лекционно-семинарские)
ПК-1
Способность демонстрации общенаучных базовых знаний дискретной математики, понимание
основных фактов, концепций,
принципов теорий, связанных с
дискретной математикой
Стандартные (лекционно-семинарские)
ПК-2
Способность понимать и применять в исследовательской и прикладной деятельности современный аппарат дискретной математики
Стандартные (лекционно-семинарские)
ПК-4
способность критически оценивать собственную квалификацию
и её востребованность, переосмысливать накопленный практический опыт
Стандартные (лекционно-семинарские)
Общенаучная
Общенаучная
Инструментальные
Профессиональные
Профессиональные
Профессиональные
4. Место дисциплины в структуре образовательной программы
Настоящая дисциплина относится к циклу математических и естественнонаучных дисциплин, является базовой для подготовки бакалавра по направлению 080100.62 «Экономика».
Изучение данной дисциплины базируется на следующих дисциплинах:
 Математика в объеме средней школы
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Дискретная математика»
для направления 080100.62 «Экономика» подготовки бакалавра
Для освоения учебной дисциплины, студенты должны владеть следующими знаниями и
компетенциями:
 Знаниями основных понятий и теорем математики в объеме средней школы;
 Навыками решения типовых задач математики в объеме средней школы.
Основные положения дисциплины должны быть использованы в дальнейшем при изучении следующих дисциплин:
 Математический анализ
 Линейная алгебра и аналитическая геометрия
 Теория вероятностей
 Математическая статистика
 Микроэкономика
5. Тематический план учебной дисциплины
№
тем
Наименование тем
(с разбивкой по модулям)
Аудиторные часы
лекции
семинары
Контр.
работы
Самост.
занятия
Всего
часов
всего
Третий модуль (72 часа)
1
Множества, функции, отношения
4
4
8
8
16
2
Комбинаторика
4
4
8
8
16
3
Элементы общей алгебры
2
2
4
4
8
4
4
4
8
8
16
5
Математическая логика
(булевы функции)
Теория графов
4
4
8
8
16
6
Итого
18
18
36
36
72
6. Формы контроля знаний студентов
Тип контроля
Текущий (неделя)
Промежуточный
Итоговый
Форма
контроля
Домашнее
задание
Контрольная работа
Зачет
1
2
3
4
1
1
1
1
5
6
7
8
9
10
1
1
1
1
1
11
1
1
Критерии оценки знаний, навыков
Для прохождения контроля студент должен продемонстрировать понимание основных
определений, знание теорем и методов; умение решать типовые задачи, разобранные на семинарских занятиях.
Оценки по всем формам текущего контроля выставляются по 10-ти балльной шкале.
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Дискретная математика»
для направления 080100.62 «Экономика» подготовки бакалавра
7. Содержание дисциплины
Тема 1. Множества, функции, отношения.
Множества - основные понятия. Диаграммы Венна. Операции над множествами: объединение,
пересечение, дополнение. Прямое произведение множеств.
Соответствия и их свойства. Взаимно-однозначные соответствия. Мощности бесконечных
множеств. Понятие функции. Обратные функции. Суперпозиции и формулы. Способы задания
функций.
Общее понятие отношения. Бинарные отношения и их свойства (рефлексивность,
симметричность, транзитивность). Отношение эквивалентности и классы эквивалентности.
Отношение порядка. Линейный порядок и частичный порядок. Диаграммы Хассе.
Лексикографический порядок.
Основная литература:
1. Хаггарти Р. Дискретная математика для программистов, изд. 2. СПб: Лань, 2004, гл. 2
2. Новиков Ф. А. Дискретная математика. М., ПИТЕР, 2011 гл.1.
Дополнительная литература:
1. Алескеров Ф.Т., Хабина Э. Л., Шварц Д. А., Бинарные отношения, графы и коллективные
решения. Издательский дом ГУ ВШЭ, М. 2006.
2. Тюрин С. Ф., Аляев Ю. А., Дискретная математика: практическая дискретная математика и
математическая логика, Финансы и статистика, М. 2012, ч. 1.
Тема 2. Комбинаторика
Предмет комбинаторики. Правило суммы и правило произведения. Принцип включения и
исключения. Размещения, перестановки, сочетания без повторений и с повторениями.
Биномиальные коэффициенты и соотношения для них. Задачи перечисления. Подсчет числа
функций с конечными областями определения.
Основная литература:
1. Виленкин Н.Я., Виленкин А.Н., Виленкин П.А. Комбинаторика. М.: ФИМА, МНЦМО,
2006, гл.1, 2.
2. Тюрин С. Ф., Аляев Ю. А., Дискретная математика: практическая дискретная математика
и математическая логика, Финансы и статистика, М. 2012, ч. 1.
Дополнительная литература:
1. Новиков Ф. А. Дискретная математика. М., ПИТЕР, 2011 гл.1.
2. Эвнин А. Ю., Задачник по дискретной математике, URSS, М. 2010
Тема 3. Элементы общей алгебры.
Алгебры
и
подалгебры.
Свойства
алгебраических
операций:
ассоциативность,
коммутативность, дистрибутивность. Изоморфизм и гомоморфизм. Основные алгебраические
структуры: полугруппы, группы, решетки. Связь решеток с частично упорядоченными
множествами.
Основная литература:
1. Хаггарти Р. Дискретная математика для программистов, изд. 2. СПб: Лань, 2004, гл. 2
2. Кузнецов О.П. Дискретная математика для инженера, изд. 3. СПб: Лань, 2004, гл.2.
Дополнительная литература:
1. Эвнин А. Ю., Задачник по дискретной математике, URSS, М. 2010
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Дискретная математика»
для направления 080100.62 «Экономика» подготовки бакалавра
2. Тюрин С. Ф., Аляев Ю. А., Дискретная математика: практическая дискретная математика
и математическая логика, Финансы и статистика, М. 2012, ч. 1.
Тема 4. Математическая логика (алгебраический подход).
Основные понятия логики: высказывания и рассуждения. Основные логические связки. Алгебра
высказываний. Логические функции и способы их задания - таблицы и формулы. Алгебраический подход к логике. Функциональная полнота. Булева алгебра и ее законы. Дизъюнктивные и
конъюнктивные нормальные формы. Алгебра Жегалкина. Линейные и монотонные функции.
Теорема о функциональной полноте. Кванторы общности и существования.
Основная литература:
1. Новиков Ф. А. Дискретная математика. М., ПИТЕР, 2011 гл.1.
2. Кузнецов О.П. Дискретная математика для инженера, изд. 3. Спб: Лань, 2004, гл.3.
Дополнительная литература:
1. Лавров И.А., Максимова Л.Л. Задачи по теории множеств, математической логике и теории
алгоритмов. М.: Физматлит, 2001, ч.2.
2. Гаврилов Г.П., Сапоженко А.А. Сборник задач по дискретной математике. М., Наука, 1977,
гл.1, 2.
Тема 5. Теория графов.
Основные определения: неориентированные и ориентированные графы, мультиграфы и
кратные ребра. Смежность и инцидентность. Способы представления графов. Матрица
смежности. Графы и бинарные отношения. Изоморфизм графов. Полные графы и клики.
Пути, циклы, цепи, простые цепи в неориентированных графах. Связность и компоненты
связности. Расстояния. Центр, радиус, диаметр графа. Обходы графов.
Виды связности в ориентированных графах: сильная связность, односторонняя связность.
Ациклические графы и топологическая сортировка. Конденсация.
Матрицы графов и операции над ними.
Двудольные графы и формулировка задачи о паросочетаниях. Знаковые графы и понятие
стабильности. Применение знаковых графов для формализации задач в социальной сфере.
Деревья и их свойства. Цикломатическое число. Приложения деревьев: иерархии,
классификации. Обходы деревьев.
Оптимизационные задачи на графах. Кратчайшие пути и алгоритм Дейкстры. Потоки в сетях:
определения, понятие увеличивающей цепи, алгоритм нахождения минимального потока.
Сетевое планирование: ранние и поздние сроки, критические пути, виды резервов времени.
Основная литература:
1. Кузнецов О.П. Дискретная математика для инженера, изд. 3. СПб: Лань, 2004, гл.4.
2. Харари Ф. Теория графов URSS, М., 2009
Дополнительная литература:
1. Кормен Т., Лейзерсон Ч., Ривест Р. Алгоритмы: построение и анализ. / Пер. с английского
под ред. А.Шеня. - М.: МЦМНО, 2002, гл.VI.
2. Рейнгольд Э., Нивергельт Ю., Део Н. Комбинаторные алгоритмы. Теория и практика. М.,
Мир, 1980.
3. Свами М., Тхуласираман К. Графы, сети, алгоритмы. М., Мир, 1984.
Тематика практических занятий (семинаров)
Множества, функции, отношения.
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Дискретная математика»
для направления 080100.62 «Экономика» подготовки бакалавра
Операции над множествами: объединение, пересечение, дополнение. Мощности множеств,
получаемых в результате этих операций. Диаграммы Венна. Векторы, их проекции. Прямое
произведение множеств. Мощность прямого произведения.
Соответствия и их свойства. Примеры соответствий с различными свойствами. Функции, их
области определения и области значений. Обратные функции. Иллюстрация этих понятий на
примерах нечисловых функций. Суперпозиции и формулы. Способы задания функций.
Бинарные отношения и их свойства (рефлексивность, симметричность, транзитивность).
Примеры числовых и нечисловых отношений с различными свойствами. Операции над
отношениями. Матричное задание отношений. Отношение эквивалентности и свойства его
матрицы. Отношение порядка. Линейный порядок и частичный порядок. Диаграммы Хассе.
Лексикографический порядок. Ранжирование и проблема выбора.
Комбинаторика
Правило суммы и правило произведения. Связь этих правил с операциями над множествами.
Принцип включения и исключения. Примеры задач на этот принцип. Размещения,
перестановки, сочетания без повторений и с повторениями. Биномиальные коэффициенты и
соотношения для них. Подсчет числа функций, определенных на конечных множествах.
Методы перечисления комбинаторных объектов.
Элементы общей алгебры.
Алгебры и подалгебры - примеры. Свойства алгебраических операций: ассоциативность,
коммутативность, дистрибутивность. Изоморфизм и гомоморфизм. Примеры числовых и
нечисловых алгебраических структур: полугрупп, групп, решеток, колец и полей. Алгоритм
Евклида.
Математическая логика (алгебраический подход).
Основные логические связки и запись высказываний с их помощью. Способы задания
логических функций - таблицы и формулы. Вычисление функций, заданных формулами. Булева
алгебра и ее законы. Методы перехода от таблиц к формулам и обратно. Дизъюнктивные и
конъюнктивные нормальные формы. Эквивалентные преобразования булевых формул. Алгебра
Жегалкина. Функциональная полнота. Линейные и монотонные функции. Теорема о
функциональной полноте.
Теория графов.
Способы представления графов и переход от одного представления к другому. Матрицы
смежности для неориентированных и ориентированных графов. Графы и бинарные отношения;
свойства отношений в терминах свойств графов, представляющих эти отношения.
Пути, циклы, цепи, простые цепи в неориентированных графах. Связность и компоненты
связности. Расстояния. Центр, радиус, диаметр графа. Необходимые и достаточные условия
существования эйлерова обхода и алгоритм его построения.
Построение примеров ориентированных графов с различными видами связности.
достаточные условия существования топологической сортировки и алгоритм ее построения.
Матрицы графов и операции над ними. Матричные методы анализа графов.
Знаковые графы и понятие стабильности. Алгоритм Харари определения стабильности.
Деревья и их свойства. Цикломатическое число. Приложения деревьев: иерархии,
классификации. Обходы деревьев.
задач.
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Дискретная математика»
для направления 080100.62 «Экономика» подготовки бакалавра
8. Образовательные технологии
Стандартные технологии: чтение лекций и проведение семинаров, на которых происходит разбор домашних заданий, комментарии к лекционному материалу, решение задач, выдача
новых домашних заданий
9. Оценочные средства для текущего контроля и аттестации студента
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Тематика заданий текущего контроля
Задание 1 (модуль 3).
Какие из операций над множествами (объединение, пересечение, разность, симметрическая
разность) ассоциативны и какие коммутативны? Обосновать ответ.
Если x  A1  A2  A3  . . .  An, то элемент x входит в ??? из множеств A1, A2, . . An.
Ответ ( в какое число множеств входит элемент) обосновать.
Множества A, B, C содержат 7, 12 и 14 элементов (неизвестно какое сколько), а их попарные
пересечения содержат 7, 5 и 9 элементов (также неизвестно какое сколько). Сколько
элементов в объединении ABC ?
Доказать равенство множеств: (A  B)  (B \ A)  (C \ B) = B  C.
Сколько разных слов получится при перестановке букв в слове КРОКОДИЛ, если слова
должны начинаться с гласной буквы и оканчиваться на согласную?
Множество M содержит 3 элемента, а N – 4 элемента, К – 13 элементов. Сколько
существует функций типа f: N M  К, сколько из них инъективных, сюръективных,
биективных?
Множества A, B, C содержат 2, 4 и 6 элементов, соответственно, причем A  B  C. Сколько
элементов может содержать множество Х, если B \ X = A, B  X = C? Как его выразить с
помощью A, B, C и операций над множествами?
Задание 2 (модуль 3).
1. Множество М определено как множество двоичных наборов, на которых логическая
функция f(a, b, c) равна 1. Верно ли для М утверждение xy ( x  y ) ? (Отношение  понимается
как отношение частичного порядка на множестве двоичных наборов.)
2. Для функции, заданной таблицей, получить полином Жегалкина; путем подстановок
констант получить отрицание и конъюнкцию или дизъюнкцию.
3. В поле GF(2^7), заданном по модулю многочлена X^7 + X^6 + 1 вычислить обратный
элемент для элемента X^3.
4. Каков порядок группы GF(2^4)? Будет ли эта группа циклической?
5. Выписать полином Жегалкина для булевой функции f(X,Y,Z) = XY(XZ).
6. Сколько «счастливых» билетов существует при номере билета из двух, четырех или из
шести десятичных цифр (возможны все номера от 0 . . .0 до 9 . . . 9). Счастливым называется
билет, сумма левой половины цифр которого равна сумме цифр правой половины.
7.
Задание 3 (модуль 3).
1.Доказать, что множество целых степеней 10 образует группу по умножению. Привести
пример другой группы, которой она изоморфна.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Дискретная математика»
для направления 080100.62 «Экономика» подготовки бакалавра
Задание 4 (модуль 3).
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Задание 5 (модуль 3).
1. Найти диаметр, радиус и центры графа, заданного списком ребер.
2. В графе, заданном матрицей, найти кратчайший путь из вершины 1 в вершину 8, показав все шаги алгоритма.
3. Привести пример графа, у которого радиус равен диаметру.
4.
5.
6.
7.
Задание 6 (модуль 3).
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Вопросы для оценки качества освоения дисциплины
Может ли отношение эквивалентности быть одновременно и отношением порядка?
Каковы свойства графов, представляющих отношения эквивалентности?
Что такое диаграммы Хассе и к какому виду относятся их графы?
Каково число различных функций типа АВ3С, если А= 3, В= 4, С= 2?
Какова мощность множества логических функций 5 переменных, которые принимают
значение 1 только на тех наборах значений переменных (но необязательно на всех),
которые содержат ровно 2 единицы?
Как связано понятие функциональной полноты с реализацией логических функций
логическими схемами?
Может ли радиус графа равняться его диаметру?
Какие виды связности возможны в ориентированных деревьях?
Можно ли представить неориентированное дерево в виде двудольного графа?
Примеры заданий промежуточного /итогового контроля
1. Может ли рефлексивное и транзитивное отношение быть несимметричным? Если да,
приведите пример; если нет, докажите это.
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Дискретная математика»
для направления 080100.62 «Экономика» подготовки бакалавра
2. Для заданной логической функции 4-х переменных проверить, образует ли она полную
функциональную систему.
10.Порядок формирования оценок по дисциплине
Итоговая оценка Оитог по 10-балльной шкале формируется как сумма двух оценок: оценки
контрольной работы и оценки зачета.
Веса оценок равны 0,4 и 0,6 соответсвенно1:
Оитог. = 0,4 Оконтр1 + 0,6 Озачет
Оценка за зачет – блокирующая.
Перевод в 5-балльную шкалу осуществляется по правилу:
Оценка по 10-балльной шкале Оценка по 5-балльной шкале
1, 2, 3
неудовлетворительно
4, 5
удовлетворительно
6, 7
хорошо
8, 9, 10
отлично
Оценка за зачет формируется на основе письменной работы, состоящей из 7 (как правило) задач. Каждая задача оценивается по 10-балльной системе, общая оценка равна 1/7 суммы оценок
задач с точностью до десятых.
Контрольная работа оценивается аналогично. Не писавшим контрольную работу или получившим за нее оценку ниже 4,0 оценка за зачет снижается на 1 балл.
Округление до целого числа десятичных баллов производится по следующим правилам:
1) Округление в пределах одной пятибалльной оценки производится по обычным правилам
округления (например, 6,5  7).
2) Округление, переводящее в следующую пятибалльную оценку, производится только в
индивидуальном порядке с учетом активности на семинарах с добавлением не более 0,4
(по принципу «четыре с минусом не равно три с плюсом»).
Например, оценка 7,8 для активного студента может быть округлена до 8,0, а для «очень
активного» - даже оценка 7,6 может стать равной 8,0; для пассивного же студента – даже
оценка 7,9  7; оценка 7,5 во всех случаях равна 7.
11.Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
Базовый учебник
1. Новиков Ф. А. Дискретная математика. М., ПИТЕР, 2011.
2. Кузнецов О.П. Дискретная математика для инженера, изд. 3. СПб: Лань, 2004.
Основная литература:
1. Тюрин С. Ф., Аляев Ю. А., Дискретная математика: практическая дискретная математика
и математическая логика, Финансы и статистика, М. 2012, ч. 1.
2. Виленкин Н.Я., Виленкин А.Н., Виленкин П.А. Комбинаторика. М.: ФИМА, МНЦМО,
2006.
3. Хаггарти Р. Дискретная математика для программистов, изд. 2. СПб: Лань, 2004
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Дискретная математика»
для направления 080100.62 «Экономика» подготовки бакалавра
Дополнительная литература
1. Гэри М., Джонсон Д, Вычислительные машины и трудно решаемые задачи. М.: Мир,
1982.
2.Лавров И.А., Максимова Л.Л. Задачи по теории множеств, математической логике и
теории алгоритмов. М.: Физматлит, 2001.
3. Мендельсон Э. Введение в математическую логику. М.: Наука, 1984.
4. Кормен Т., Лейзерсон Ч., Ривест Р., Штайн К., Алгоритмы: построение и анализ, 2-е издание.: Пер. с англ. М.: Вильямс, 2007.
5. Питерсон Дж. Теория сетей Петри и моделирование систем. М.:Мир,1984.
6. Колмогоров А.Н., Драгалин А.Г. Математическая логика. М.: Едиториал УРСС, 2004.
7. Крупский В.Н. Введение в сложность вычислений. М.: Факториал Пресс, 2006.
8. Майника Э. Алгоритмы оптимизации на сетях и графах. М.: Мир, 1981.
9. Новиков Ф. Дискретная математика для программистов. СПб: Питер, 2000.
10. Рейнгольд Э., Нивергельт Ю., Део Н. Комбинаторные алгоритмы. Теория и практика. М.:
Мир, 1980.
11. Столл Роберт Р. Множества. Логика. Аксиоматические теории. М.: Просвещение, 1968.
12. Успенский В.А., Верещагин Н.К., Плиско В.Е. Вводный курс математической логики. –
2-е изд. М.: 2007.
13. Хопкрофт Дж., Мотвани Р., Ульман Дж. Введение в теорию автоматов, языков и вычислений., 2-е изд., : Пер. с англ. М.: Издательский дом "Вильямс", 2002.
14. Чень Ч., Ли Р. Математическая логика и доказательство теорем. Пер. с англ. М.: Наука,
1983.
15. Шоломов Л.А. Основы теории дискретных логических и вычислительных устройств. М.:
Наука, 1980.