Лекция: «Показательная функция, ее график и свойства». Функция у = аx, где а > 0, а 1 называется показательной с основанием а. Эта функция определена для всех действительных значений переменной x . Функция у = аx обладает следующими свойствами: 1. Д(у) = R, Е(у) = R+, т.е. у = аx > 0 для любого xR. Для доказательства рассмотрим четыре случая. а) x – натуральное число или нуль. В этом случае имеем а0 = 1>0, а n а а а ... а 0 , как произведение n положительных чисел. m m n б) x - где m и n – натуральные числа. В этом случае а n определению арифметического корня из положительного числа. n аm по в) x – иррациональное положительное число. Тогда r1<x<r2, где r1 и r2 – некоторые рациональные числа. По определению степени с положительным показателем имеем а 1 0 а к1 а а r2 а x 0, x 0 а 1 а r1 a x a r2 0 a x 0. x x г) x – отрицательное число. Тогда t = - x>0 и значит а a 1 0 , т.к. аt >0. x a 2. а) a x 1, если..x 0 а 1 0 a x 1, если..x 0. б) 0 a x 1, если..x 0 0 a 1 x a 1, если..x 0. 3. При а>0 функция у = аx монотонно возрастает, а при а<1 – монотонно убывает. Пусть, а > 1, x1 < x2. Тогда а 1 a 2 a 1 1 a x свойству 2 a x2 x1 x x x2 x1 . Так как x – x >0, a > 1, то по 2 1 x x 1 , а это означает, что 1 a 2 1 0 . Таким образом, a 1, x1 x2 a x1 a x2 0 a x1 a x2 . 4. Функция не периодическая, т.к. она принимает все свои значения ровно один раз. 5. Функция не является четной т.к. она принимает все свои значения ровно один раз и не является нечетной, т.к. область ее значений несимметрична относительно нуля. 6. Уравнение у = аx не имеет корней при любом у ≤ 0, поэтому график не пересекает ось абсцисс, но пересекает ось ординат в точке ( 0; 1 ), т.к. а0 = 1 при любом а. 7. Функция не имеет наибольшего и наименьшего значений. 8. График имеет единственную асимптоту – ось абсцисс. 9. График функции у = ax для различных а изображается на доске. а) у = аx, а > 1. б) у = аx, 0< a < 1. 10. При любом положительном а и действительных x и у справедливы формулы: a x a y a x y ; a b x k a x ax bx; x k a ; ax a x y y a a a xy a yx a y ; a x 1 ; ax x y x x x bx a b x ; a b a a 0 1. Эти формулы называют основными свойствами степеней, которые сначала были определены только для рациональных чисел. Из свойств функции у = аx вытекают следующие соотношения: 1.a f ( x ) a g ( x ) f ( x) g ( x) 2.При..a 1..a f ( x ) a g ( x ) f ( x) g ( x); a f ( x ) a g ( x ) f ( x) g ( x). 3.При..0 a 1 a f ( x ) a g ( x ) f ( x) g ( x); a f ( x ) a g ( x ) f ( x) g ( x).