doc (rus) - Инженерный вестник Дона

Радиально - круговые моды колебаний пьезокерамического цилиндра с
тангенциальными поляризацией и возбуждением.
Н.М. Товаровская, И.Н. Мощенко
Ростовский государственный строительный университет
В работе исследуются колебания пьезокерамических цилиндров, склеенных из
секторов с тангенциальной поляризацией. Соседние сектора при этом имеют
противоположную поляризацию и включаются в электрическую цепь также
противофазно. На рис. 1 приведено поперечное сечение цилиндра, склеенного из четырех
секторов. Стрелками внутри цилиндра показаны направления поляризации в секторах.
Рис. 1. Поперечное сечение цилиндра, склеенного из четырех секторов и схема его
электрического включения. Стрелками внутри цилиндра показаны направления
поляризации в секторах, полужирными линиями – электроды.
Такие цилиндры используются обычно для создания мощных ультразвуковых
излучателей радиальных колебаний, при этом реальные устройства склеены не из 4-х, как
на рисунке, а из 12 – 24 секторов. В работе исследуется общий случай с (2 l) секторами и
(2 l) электродами, при этом разность потенциалов на соседних электродах:
φ2i - φ2i-1 = -φ2i+1 + φ2i = u0 cos(ωt), i=1….m;
(1)
где u0 – амплитуда напряжения, ω – частота, t - как обычно, время.
Для длинных цилиндров характерны моды, близкие к плоским, когда смещения
практически перпендикулярны оси, а их амплитуда и фаза слабо изменяются в осевом
направлении. Целью работы является теоретический анализ таких колебаний в двумерном
приближении. Рассматривается идеализированный случай полностью плоских колебаний,
для которых смещения uz вдоль оси цилиндра отсутствуют, а остальные смещения ur и u
не изменяются в этом направлении. (В работе используется цилиндрическая система
координат (r, θ, z), с началом координат на оси и координатой z вдоль оси цилиндра).
Ранее нами исследованы осесимметричные моды таких колебаний, найдены
аналитические решения в виде сходящихся рядов, и получены уравнения для резонансных
частот [1]. Разработанный при этом метод решения уравнений пьезоупругости в
настоящей работе обобщается на случай плоских колебаний
с азимутальной
анизотропией.
Исследование проводятся
в рамках линейной теории пьезоупругости, в
предположении, что по упругим свойствам материал полностью изотропен, а по
пьезоэлектрическим – поляризован в тангенциальном направлении и полностью
изотропен в перпендикулярном.
В соответствии с такой симметрией, упругие свойства описываются двумя
коэффициентами Ламе μ и λ, а пьезоэлектрические, в общем случае, пятерыми не равными
нулю пьезомодулями. В цилиндрической системе координат это er,rθ= ez,zθ; eθ,rr= eθ,zz; eθ,θθ,
но в рассматриваемом плоском случае они сведутся к трем пьезомодулям er,rθ; eθ,rr; eθ,θθ [2].
Для решения поставленной задачи необходимо найти совместное решение
уравнений движения и уравнений электростатики:
 2ur
  rr 1  r  rr   
 2 ,
 r  r  
r
t

2
  r  1    2     u ,
r
 r
r 
r
t 2

rot E  0,
 
divD  0,
(2)
(3)
здесь  ik - компоненты тензора напряжения; ρ – плотность; u i - i-я компонента вектора
перемещения; Еi и Dj
- компоненты векторов напряженности и индукции
электростатического поля, связаны соотношениями теории пьезоэффекта [2]:
Dr   r  0 E r  4 er ,r  r ,
(4)
D     0 E  4 e ,rr  rr  4 e ,   ,
где εr и ε – соответствующие компоненты диэлектрической проницаемости (для
пьезокерамики ε в направлении поляризации и в перпендикулярном направлении
различаются), ε0 – электрическая постоянная, εij – компоненты тензора деформации,
связанные с тензором напряжений обобщенным законом Гука [2]:
 rr  2  rr  e0  e ,rr E ,
   2    e0  e , E ,
 r  2  r  er ,r E r ,
(5)
 zz  e0 ,
здесь e0   rr    - относительное изменение объема.
Отметим, что из принятых в работе допущений следует двухмерность уравнений (2)
и (3) (uz=0, ur= ur(r, θ) и u= u(r, θ)), равенство нулю z компонент векторов напряженности
и индукции электростатического поля, а также iz компонент тензора деформации (i любое) и rz и z компонент тензора напряжений.
Из первого уравнения системы (3) вытекает потенциальность поля напряженности
E   grad , где электрический потенциал  должен удовлетворять граничным
условиям (1). Кроме того, решения уравнений (2 – 5) должны удовлетворять также
граничным условиям для упругих переменных:
r  r1; r2 ,
 rr  0.
(6)
Линейность уравнений (2 – 5) и симметрия задачи позволяет исследование
колебаний всего цилиндра проводить в два этапа. На первом этапе находятся все
возможные решения этих уравнений с граничными условиями (1), (6) для одного сектора
(упругие условия на торцах сектора произвольны). Найденные решения будут также
характеризовать любой сектор, с соответствующим сдвигом по , и учетом смены
полярности приложенного напряжения и направления поляризации. На втором этапе
определяются общие решения для всего цилиндра путем комбинации различных
секториальных решений и их сшивки на границах.
Данная работа посвящена первой части общей задачи – анализу решений уравнений
колебаний для одного, для определенности первого, сектора. При этом второе уравнение
системы (3) решается в приближенном виде. Введем вектор A :
Аr  4er ,r  r ,
A  4e ,rr rr  4e , zz zz  4e ,  ,
Тогда (3) можно записать



E
divD     0 divE  ( r    ) r  divA  0. (7)
r

divA  0
Предположим,
что
для
всех
решений
(вернее


E
divA  (   0 divE  ( r    ) r ) ). Тогда второе уравнение системы (3) можно
r
приближенно заменить
 (    ) Er
divE  r
 0.
   0 r
(8)
Физически мы пренебрегли электрическим полем, создаваемы прямым
пьезоэффектом по сравнению с электрическим полем внешних источников в

конденсаторе. Подставляя Е   grad в (8), получим уравнение для  :
 
( r    )  2
 0,
  0  2r
(9)
где  - оператор Лапласа.
Это уравнение имеет частное решение

u0  

  1сost ,
2  l

(10)
удовлетворяющее нашим граничным условиям. Отметим, что это решение справедливо
только для первого сектора, потенциал для остальных нетрудно получить из него,
пользуясь условиями непрерывности и сменой знака перед  для нечетных секторов.
Однако нас интересуют решения уравнений колебаний тоже только для первого сектора.
В этом случае можно воспользоваться методом вложения задачи в более общую.
Предположим, что зависимость (10) верна для всего кольца, найдем решение уравнений
колебаний также для всего кольца, а уже из него вырежем искомое решение для первого
сектора.
Интересующие нас моды с азимутальной анизотропией могут возбуждаться
неоднородными гармониками пространственного спектра электрического потенциала (10).
Для исследования таких мод разложим потенциал (10) в ряд Фурье по координате  и
определим моды колебаний, возбуждаемые каждой пространственной гармоникой. Здесь
следует отметить, что координата  циклическая, с периодом 2π, и функция (10) в точке
=0 терпит разрыв. Как известно, ряды Фурье плохо сходятся в окрестности точки
разрыва, а она попадает в интересующий нас первый сектор. Для того, что бы обойти эту
трудность, используем метод накрывающей группы. Введем новую функцию 1 с
периодом 4π, совпадающую на интервале [0; 2π] с функцией (10), а на интервале [-2π; 0] с
функцией, получающейся из (10) заменой  → - (так называемое симметричное
продолжение). Определенная таким образом 1 непрерывна, ее ряд Фурье хорошо
сходится на интервале [-2π; 2π] к 1, а на интервале [0; 2π]– к потенциалу (10). Так как
функция 1 симметрична, то полученный ряд будет содержать только косинусы и на
интервале [0; 2π] (и на первом секторе) функцию (10) можно представить в виде
.
(11)
(Знак минус в разложении мы взяли для удобства дальнейших вычислений, чтобы
напряженность электрического поля определялась через положительный ряд.
Естественно, это нужно учитывать при определении An при конкретных вычислениях).
Исследуем моды колебаний, возбуждаемые каждой гармоникой в (11). Таким
образом, наша задача сводится к решению уравнений (2), (4 – 5) с граничными условиями
(6) и напряженностью электрического поля, определяемой потенциалом
,
(12)
где n – любое полуцелое.
Определяя по (12) напряженность электрического поля, подставляя ее в (5), а (5) в (2)
и выражая деформации εij через перемещения u i , получим обычные уравнения движения
в перемещениях с эффективной объемной силой:




d 2U
E
E
 2 
U 
grad (divU )  F ,
dt
2(1   )
2(1   )(1  2 )
здесь
( 
и
E
σ
–
Fr  
e,
модуль
Юнга
и
(14)
коэффициент
Пуассона
E
E
, 
), а массовая сила имеет следующие компоненты:
2(1   )
(1  2 )(1   )
r2
An  n sin n cos(t );
e,
(15)
An  n  n cos n cos(t ).
r2
  
Для решения уравнения (14) воспользуемся методом Ламе. Представим U  V  W , где
F 







divW  0, rotV  0, т.е. U  grad  rot ( V  grad, W  rot  ). Отметим, что

в двухмерном случае векторный потенциал сводится к скалярному   (0,0,  ) и
компоненты вектора смещения следующим образом выражаются через оба скалярные
потенциалы:
 1 

;
r r 
1  
u 

.
r  r
ur 
(16)
Выразим так же массовую силу из (15) через соответствующий скалярный потенциал:

e
A  n sin n
F   gradv, v  , n
(17)
cos(t ) .

r


Подставим u и F в уравнение движения (14) и получим два скалярных уравнения для
потенциалов  и  :
1  2
1
  2 2   2 v;
с t
c
1 2
  2
;
сt t 2
(18)
(19)
где с и c t - продольная и поперечная скорости звука соответственно.
Уравнение для поперечной составляющей (19) является чисто волновым, его
решения известны:
  ( D2 J n (k1r )  G2 N n (k1r ))( 2 cos
n
n
  2 sin ) cos(t ) , (20)
2
2
где J n , N n - функции Бесселя первого и второго рода, k1 – волновое число,
, D2 и
G2 – константы, определяемые из граничных условий на боковых поверхностях цилиндра
и на торцах первого сектора.
Уравнение для продольной составляющей (18) представляет собой волновое
уравнение с массовой силой. Будем искать его решение в виде   1 cos t , тогда это
уравнение переходит в
 , nАn sin 
2
1 
  2 Ф1 .
r
c2
c
Или
A5n sin n
 k 2Ф1 ,
r
1 
где k 

, A5 n 
(21)
 , nАn
. Для приведения уравнения (20) к уравнению Гельмгольца, как
c
c2
нами предложено ранее [1], сделаем вложенную цепочку замен переменных:
А sin n  r
A sin n
А sin n  r 

;
1  5n
 k 2Ф1 ;  Ф1  5
  k 2Ф1 ; Ф2  Ф1  5
2
1 n
r
(1  n 2 )



k А5n sin n  r 
k А5 sin n  r
k 2 А5n sin n  r
2
2


Ф

Ф

;
;
;

Ф



k
Ф
Ф2 


k
Ф
3
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2 

(
1

n
)(
3

n
)
(
1

n
)(
3

n
)
(1  n 2 )


2
3
2
.
.
.
Фm 
(1) m 1 k 2( m 1) А5n sin n  r 2 m 3
(1  n )(3  n )...(( 2m  3)  n )
2
2
2
2
2
  k 2 Фm ;

(1) m 1 k 2( m 1) А5n sin n  r 2 m 1 
   k 2 Фm ;
 Фm 
2
2
2
2
2 
(
1

n
)(
3

n
)...((
2
m

1
)

n
)


(1) m k 2 ( m1) А5 n sin n  r 2 m1
Фm1  Фm 
;
(1  n 2 )(32  n 2 )...((2m  1) 2  n 2 )
И так далее, вплоть до m  .
(22)
Отметим, что в этой цепочке
 m1   m  Bm ,
(1) m k 2 ( m1) А5 n sin n  r 2 m 1
Bm 
,
(1  n 2 )(32  n 2 )...((2m  1) 2  n 2 )
Bm  Bm 1
k 2r 2
.
(( 2m  1) 2  n 2 )
(23)
3
При этом для любых k и
2
r можно найти N 1 , такое, что при m  N1 , выполняется
2
k r
 1, т.е. Bm  Bm1 и в пределе Bm  0, при m  . (24)
2m  12  n 2
1     
2
При этом мы перейдем к уравнению
r
  k   , т.е. к уравнению
r r  r 


Гельмгольца, его частное решение
n
n
(25)
 1 sin ) ,
2
2
где J n - функция Бесселя первого рода n-го порядка, N n - функция Бесселя второго рода
Ф  [ D1 J n (kr )  G1 N n (kr )]( 1 cos
n-го порядка,
- константы.
Обращая цепочку замен (22), определим Ф1
 m1   m  Bm ,

1   2  B2   3  B2  B3   4  B2  B3  B4      Bi     s,
i 2

где s   Bi и члены ряда Bi определены в (23). Отметим, что в соответствии с (23), ряд
i 2
s мажорируется геометрической прогрессией, а значит, сходится абсолютно. Более того,
его можно почленно дифференцировать
s  Bi

,
r i 1 r
s  Bi
,

 i 1 
(26)
Для этих рядов также нетрудно показать, что и они сходится абсолютно и их можно
почленно дифференцировать
 2 s   2 Bi

,
r 2 i 1 r 2

 2 Bi  2 s   2 Bi
2s

,

, (27)
r i 1 r  2 i 1  2
и ряды также сходится абсолютно.
Таким образом, потенциал Ф1 выражается через известный потенциал  (25) и
бесконечный абсолютно сходящийся ряд
(28)
1    s .
Что дает возможность определить потенциал Ф поля перемещений, а по нему и ранее
найденному потенциалу  через (16) определить сами перемещения, а уже по ним деформации и напряжения. Последние при этом будут выражаться через производные от
Ф1 и , и абсолютно сходящиеся ряды (26) и (27). Этим решается задача об описании
колебаний, возбуждаемых одной гармоникой электрического потенциала (11). Ввиду
линейности используемой теории, колебания цилиндра, возбуждаемые всем
электрическим потенциалом (11), описываются суперпозицией найденных решений. При
этом каждое отдельное решение содержит восемь неизвестных констант. Граничных
условия (6) у нас всего два, так как им должны удовлетворять только суммарное решение.
Мы можем разложить каждое условие из (6) в ряд Фурье типа (11) и потребовать
удовлетворения своему граничному условию для каждого отдельного решения. Однако
для нулевых граничных условий все гармоники будут также нулевые, и получается, что
условию (6) должно удовлетворять каждое решение по отдельности. В частности, это
будет выполняться, если для каждой найденной моды колебаний, взять
, а D1 и G1 определять из (6). Таким образом, всегда существует,
по крайней мере, одно решение для каждой гармонике в (11), а сумма таких решений по
всем гармоникам является решением нашей задачи для первого сектора составного
кольца.
Обратим внимание, что обобщение этого результата на все кольцо не правомочно,
т.к. поле перемещений для такого решения разрывно при =0. Для получения решения
задачи на всем кольце следует, исходя из симметрии, определить решения для остальных
секторов и найти их суперпозицию, удовлетворяющую условиям непрерывности на
границах секторов. Таких общих решений может быть несколько и необходимо
исследовать их на устойчивость. Однако все это выходит за рамки работы и
предполагается провести в дальнейшем. Целью настоящей работы являлось выполнение
лишь первой части этой задачи – определение анизотропных решений для первого
сектора.
В заключении следует отметить, что предложенная методика позволяет находить и
другие решения для первого сектора. Во-первых, граничные условия (6) можно ослабить
Потребовать, что бы они выполнялись только на первом секторе, а на остальных секторах
допустить произвольные условия. В этом случае нужно дополнительно исследовать на
устойчивость новые решения. Во-вторых, потенциал (10) мы раскладывали в ряд Фурье в
предположении его симметричности относительно =0 и периодичности на интервале [2π; 2π]. В принципе, на первом этапе он задан только на первом секторе и продолжать его
вне сектора можно произвольным образом. При этом будут получаться различные ряды
Фурье, совпадающие только на первом секторе, и, естественно, различные решения. Так
как в (12 – 28) мы n не конкретизировали, то полученные результаты описывают и их
(наличие синусов в разложении (10) потребует незначительной очевидной модификации
теории). В частности, в случае общепринятого разложения (с периодичностью на
интервале [0; 2π]) в уравнениях (12 – 28) следует произвести замену
n
 (n   n ) ,
2
где фаза  n определяется из правил разложения потенциала (10)в ряд Фурье.
Все вышеописанные решения для первого сектора одинаково подходят для сборки
общего решения для всего кольца. Таким образом, в результате получится несколько
типов таких общих решений (по крайней мере, три очевидны – ранее описанное [1]
осесимметричное решение и два радиально-круговых решения типа (12 – 28), полученные
при разложении потенциала (10) в ряд на интервале [-2π; 2π] и [0; 2π], соответственно).
При анализе конкретных колебаний необходимо дополнительное исследование по выбору
из них устойчивого. В случае же исследования резонансных частот каждый тип решения
даст свое резонансное уравнение и свои частоты. Из общих соображений следует, что при
частоте, близкой к частоте резонанса для какого либо типа колебаний, наиболее
устойчивым будет именно этот тип колебаний. Поэтому при анализе амплитудночастотных зависимостей следует принимать во внимание все типы решений.
Литература
1.
Мощенко И.Н. и др., Расчет осесимметричных колебаний пьезокерамического
цилиндра с тангенциальными поляризацией и возбуждением //Инженерный вестник Дона,
2009. №1. http://www.ivdon.ru/magazine/archive/n1y2009/117/ (доступ свободный) — Загл. с
экрана. — Яз. рус.
2.
Сиротин Ю.И., Шаскольская М.П. Основы кристаллофизики – М.: Наука, 1979. –
639 с.