6.0b

Графы и их представление в STL
Выполнила Тагирова Лиана
271 ПИ
Что такое граф?
Граф или неориентированный граф G —
это упорядоченная пара G = <V,E>, для
которой выполнены следующие условия:
 V это множество вершин или узлов,
 E это множество пар (неупорядоченных)
различных вершин, называемых рёбрами.
Свойства графа:
•Два ребра называются смежными, если они имеют общую
концевую вершину.
•Два ребра называются кратными, если множества их
концевых вершин совпадают.
Ориентированный граф
 Ориентированный граф
(сокращенно орграф) G — это
упорядоченная пара G = <V,A>, для
которой выполнены следующие
условия:
 V это множество вершин
или узлов,
 A это множество
(упорядоченных) пар
различных вершин,
называемых дугами или
ориентированными
рёбрами.
Дуга — это упорядоченная пара вершин
(v,w), где вершину v называют
началом, а w — концом дуги. Можно
сказать, что дуга v w ведёт от
вершины v к вершине w.
Смешанный граф
 Смешанный граф G — это граф, в
котором некоторые рёбра могут быть
ориентированными, а некоторые —
неориентированными. Записывается
упорядоченной тройкой G= <V,E,A>, где
V, E и A определены так же, как для
ориентированного графа.
Путь: виды и свойства
 Путём (или цепью) в графе называют
конечную последовательность вершин,
в которой каждая вершина (кроме
последней) соединена со следующей в
последовательности вершин ребром.
Путь: виды и свойства
 Ориентированным путём в орграфе называют
конечную последовательность вершин , для которой все
пары являются (ориентированными) рёбрами.
 Циклом называют путь, в котором первая и последняя
вершины совпадают. При этом длиной пути (или цикла)
называют число составляющих его рёбер. Заметим, что
если вершины u и v являются концами некоторого ребра,
то согласно данному определению, последовательность
(u,v,u) является циклом. Чтобы избежать таких
«вырожденных» случаев, вводят следующие понятия.
Дополнительные характеристики графов
Граф называется:

связным, если для любых вершин u,v
есть путь из u в v.

сильно связным или ориентированно
связным, если он ориентированный, и
из любой вершины в любую другую
имеется ориентированный путь.

деревом, если он связный и не содержит
простых циклов.
Представление графов
Абстрактный граф в С++

















class Graph
{
public:
Graph (int numV_, bool directed_): numV(numV_), numE(0),
directed(directed_) {}
virtual ~Graph() {}
int V() const {return numV;}
int E() const {return numE;}
bool isDirected() const {return directed;}
virtual void insert(Edge) = 0;
virtual void remove (Edge) = 0;
virtual bool isEdge(int,int) const = 0;
protected:
int numV;
int numE;
bool directed;
};
Представление графов
 Матрица смежности
 Список смежных вершин
Матрица смежности
•Матрица M размером NxN (N – мощность
множества вершин V (|V|=N)
•Элемент матрицы M[i,j] равен 1, если (i,j) –
ребро и 0 – если нет.
Класс vector
Контейнер vector обеспечивает структуру
данных непрерывной областью памяти.
Это позволяет обеспечивает эффективный
прямой доступ к любому элементу
контейнера vector посредством операции
индексирования []. Все алгоритмы
STL могут работать с контейнером vector.
Итераторы для vector обычно реализуются
как указатели на элементы контейнера
vector.
Матрица смежности-реализация
 class AdjMatrixGraph : public Graph
 {public:









std::vector<std::vector<bool> > adj; // двухмерн. массив
AdjMatrixGraph(int numV_, bool directed_ = false) :
Graph(numV_, directed_) {
adj.resize(numV_);
for (int i = 0; i != numV; ++i)
 adj[i] = std::vector<bool>(numV_, false);
}
void insert (Edge e) {
 if (!adj[e.v][e.w]) {
 adj[e.v][e.w] = true;
 if (!directed)
 adj[e.w][e.v] = true;
 ++numE;
}
}
Матрица смежности-реализация 2











 }
void remove (Edge e) {
if (adj[e.v][e.w]) {
adj[e.v][e.w] = false;
if (!directed)
adj[e.w][e.v] = false;
--numE;
}
};
bool isEdge(int u, int v) const {
return adj[u][v];
}
Характеристики представления
 Проверка на существование ребра
isEdge(i,j) – O(1)
 Перебор всех верших – O(n)
 Перебор всех ребер - O(n2)
Список смежных вершин
 Представляет собой набор связных
списков, в которых хранятся
инцендентные соседи каждого ребра
Реализация
 class AdjListGraph : public Graph
 {





public:
std::vector<std::list<int> > adj;
AdjListGraph(int numV_, bool directed_ = false) :
Graph(numV_, directed_), adj(numV_) {}
void insert(Edge e) {
 if (!(0 <= e.v && e.v <= numV && 0 <= e.w && e.w <
numV))
 throw "Invalid vertex";
 adj[e.v].push_back(e.w);
 ++numE;
 if (!directed)
 adj[e.w].push_back(e.v);
 }
Реализация








}
void remove(Edge e) {
 std::list<int>::iterator itr =
 std::find(adj[e.v].begin(), adj[e.v].end(), e.w);
 if (itr != adj[e.v].end()){
 adj[e.v].erase(itr);
 --numE;
 if (!directed) {
 itr = std::find(adj[e.w].begin(), adj[e.w].end(), e.v);
 adj[e.w].erase(itr);
 }
 }
}
bool isEdge(int u, int v) const {
std::list<int>::const_iterator itr =
std::find(adj[u].begin(), adj[u].end(), v);
return itr != adj[u].end();
}
Характеристики представления
 isEdge (i,j) – O(|E|)
 Перебор вершин - O(|E|)
 Перебор всех ребер - O(|E|)
 Обычно, |E|<<|V|2,поэтому чаще
используют связный список смежных
вершин
Пример использования на
задаче:
Постановка задачи:
Предположим, к примеру, что мы используем
текстовые строки для кодирования названий
городов и хотим сконструировать карту, где
значения ребер графа — это расстояние между
двумя соответствующими городами. Такой граф
показан на рис.:
Взвешенный граф
Операторы инициализации графа:
Можно использовать набор классических
алгоритмов для обработки таких графов. Одним
из примеров является алгоритм Дейкстры поиска
кратчайшего пути. Требуется указать город, с
которого начинается путь. При этом создается
приоритетная очередь для пар расстояние/
город. Она инициализируется нулем для
начального города. Приоритетная очередь
содержит города в порядке от ближайшего до
самого дальнего.
При каждой итерации цикла мы извлекаем из очереди город. Если для
него еще не найдено кратчайшего пути, записывается текущее
расстояние и путем проверки графа вычисляется расстояние до
соседних городов. Этот процесс продолжается до тех пор, пока не
будет исчерпана приоритетная очередь.
Список исрользованных
материалов:
 Лекции по курсу «Алгоритмы и структуры
данных»
 Г. Шилдт «Полный справочник по С++»
 электронная энциклопедия
«wikipedia.org»
 http://www.freesource.info/