Справочный материал по математике для подготовки ГИА.

Справочный материал.
1
1
2
4
Задание 1. = 0,5;
0,125;
𝑎
𝑏
𝑐
𝑎𝑑+𝑏𝑐
𝑑
𝑏𝑑
+ =
;
𝑎
𝑏
(𝑎 + 𝑏): (𝑐 + 𝑑);
2
3
Задание 2.
4
1
= 075;
1
5
= 0,2;
= 3 · = 3 · 0,125; 2,3 =
8
8
𝑐
𝑎𝑐
𝑑
2
𝑏𝑑
1
· =
1
3
8 = 8 · 8 = 64; 8
3
= 0,25;
;
23
8
=
10
𝑎 𝑐
𝑎
𝑑 (𝑎+𝑏)
𝑏 𝑑
3
𝑏
𝑐 (𝑐+𝑑)
: = ·
1
=
6) Одна из точек, отмеченных на координатной прямой,
соответствует числу √14. Какая это точка?
= 2: = 2 ∙ = 6
3
−2
=
1
82
1
;
2−3
5−2
=
52
23
;
2
( )−1
3
=
3
( )1
2
1) Какое из данных чисел принадлежит промежутку [7; 8]?
1)√7
2) √8
3) √45
4)√60
Решение. Запишем промежуток [7; 8] в виде [√49 ; √64], и
тогда станет ясно, что данному промежутку принадлежит
число √60. На самом деле,
√49 < √60 < √64 , т.е. 7< √60 < 8. Ответ: 4.
2) Между какими числами заключено число 3√5?
1) 9 и 11 2) 5 и 6 3) 44 и 46 4) 6 и 7
Решение. Внесём множитель 3 под знак корня. 3√5=
√3 ∙ 5 = √32 ∙ 5 = √45 . Определим ближайшие к 45 числа,
корнями из которых являются целые числа. Это 36 и 49. На
самом деле, √36 < √45 < √49 , т.е. 6< √45 <7 или 6 <
3√5 <7 . Ответ: 4
5
3)Какому из данных промежутков принадлежит число ?
13
1)[0,2;0,3]
2) [0,3;0,4] 3)[0,4;0,5]
4)[0,5; 0,6]
Решение. дробная черта означает знак деления. Разделим в
столбик 5 на 13. Получим 5:13=0,38... нам достаточно двух
цифр после запятой, чтобы понять, к какому промежутку
относится частное 0,3< 0,38... < 0,4.Ответ:2.
17
4) Какое из следующих чисел заключено между числами
16
Решение. Очевидно, что нужная точка будет расположена
на промежутке (2; 3). На этом промежутке отмечены две
точки: С и D. Наше число 2,3 - две целые и три десятые.
Мысленно делим единичный отрезок от двух до трёх на 10
равных частей и берём 3 такие части – попадаем в точку С.
Ответ: С.
15
и ?
13
1) 1,2
2) 1,3
3) 1,4
4) 1,5
Решение .Обращаем данные обыкновенные дроби в
десятичные. С этой целью делим в столбик до сотых 17 на
15 и 16 на 13. Получаем 17:15=1,13... и 16:13=1,23... .
Смотрим на варианты ответов: подойдет 1) 1,2. На самом
деле: 1,13 ...<1,2 <1,23... .Ответ:1.
5 ) Одна из точек, отмеченных на координатной прямой,
равна 2,3. Какая это точка?
Решение. Определим, между какими целыми числами
заключено наше число. Так как√9 < √14 < √16,то 3< √14
<4. А к числу 3 (точка А) или к числу 4 (точка В) будет
ближе наша точка – определим так: число 14 ближе к числу
16, чем к числу 9, значит и √14будет ближе к числу 4, чем
к числу 3. Следовательно, искомая - точка В. Ответ: В.
7) Одно из чисел √5; √8; √11; √14 отмечено на прямой
точкой А. Какое это число?
1) √5
2) √8 3) √11
4) √14
Решение. Число соответствующее точке А, находится
между числами 2 и 3, являющимися арифметическими
квадратными корнями из чисел 4 и 9 соответственно. У нас
два числа √5 и √8 подходят под это описание: √4 < √5 <
√9 и √4 < √8 < √9, однако , точка А находится ближе
к числу 2, а число 5 ближе к числу 4, чем к числу 9, поэтому
точка А имеет координату √5 .Ответ: 1.
8) На координатной прямой точками отмечены числа:
6
3
;
; 0,54; 0,55.
11
5
5
6
(3√7)
3. Найдите значение выражения:
=1,5
1)0,5
11
; 0,54; 0,55.
3
=6:11=0,5454....≈0,545.
=3:5=0,6
11
5
Тогда числа в порядке возрастания, т.е. слева направо:
6
3
0,54; 0,545; 0,55; 0,6 или 0,54;
; 0,55;
11
5
Точке С (третьей слева) соответствует число 0,55. Ответ: 4.
2
42
=
32 ∙7
42
и
,
в порядке возрастания? Решение :
=
9∙7
6∙7
=
3
2
4) 3,5 Ответ: 2
3)10,5
4. В каком случае числа
расположены
= √2 ∙ 2 ∙ 3 =
=√3 ∙ 3 ∙ 2=√18; 4=√16.
√12;
1)
3)
2)
;
Ответ: 2.
4)
5. Найдите значение выражения
=
√3 ∙ 4+( (√3)2 -2∙ 1 ∙ √3+1)= 2√3+3-2√3+1 =4. Ответ :4
6. Найдите значение выражения:
3 ∙ √5 ∙ 7 ∙ 35 =6∙ √35 ∙ 35=6∙35 = 210. Ответ :210
7. Укажите наибольшее из чисел:
1)
1)
,
2)
,
= √16
2)
3)
,
,
. =√4 ∙ 9= √36
4)
4)
.
=√9 ∙ 7 =√63
3)
Ответ :3
8. Найдите значение выражения
=(√5) 2 -22 ) = 5-4 = 1
1)
2)
3)
4)
=(√5) 2 -22 ) = 5-4 = 1
24 ∙27
211
9. Вычислите:
= 9 = 9 = 211-9 =22 =4
2
2
Ответ : 4
10. Значение какого из выражений является числом
рациональным?
= (√6)2 -32 =6 - 9= -3
1)
2)
3)
4)
Задание 3.
2)1,5
Решение
Ответ :2
Какому числу соответствует точка С?
6
3
1)
2)
3) 0,54
4) 0,55
11
5
Решение. Запишем обыкновенные дроби в виде десятичных
6
дробей и расставим все 4 числа в порядке возрастания. ;
3
1. Укажите два соседних целых числа, между которыми
заключено число 2√11= √2 ∙ 2 ∙ 11 =√44 62 =36; 72 =49
1) 2и 3 , 2)6 и 7 , 3) 11 и 12, 4) 45 и 46. Ответ :2.
2. Какое целое число расположено между
числами √80 и √90?
Ответ : 9 , так как 92 =81
Ответ: 1
=
5
√10
=√15
= 6-2∙ 3 ∙ √6 +9 = 6-6√6 +9=15-6√6
=2∙
Задание 6:
Задание 4:
1)Если ах=b
то Х= b : a
2) ax+с = d+bx
аx – bx = d3) c(ax+b) = cax +cb где х – переменная, a,b,c– некоторые
числа
4) (ax+c)(bx+d)=0
ax+c=0 или bx+d=0
x= - c/a
x= - d/b
5) Квадратные уравнения
.
D>0 - уравнение имеет 2 различных вещественных корня
 D=0 - уравнение имеет 2 совпадающих
вещественных корня
 D<0 - уравнение имеет 2 мнимых корня (для
непродвинутых пользователей - корней не имеет)
 В общем случае корни уравнения равны:
Задание 5:
Задание 7:
Формулы сокращённого умножения.
1. (a+b)2 = a2+2ab+b2
a) (x + 2y)2 = x2 + 2 ·x·2y + (2y)2 = x2 + 4xy + 4y2
б) (2k + 3n)2 = (2k)2 + 2·2k·3n + (3n)2 = 4k2 + 12kn + 9n2
2. (a-b)2 = a2-2ab+b2
а) (2a – c)2 = (2a)2-2·2a·c + c2 = 4a2 – 4ac + c2
б) (3a – 5b)2 = (3a)2-2·3a·5b + (5b)2 = 9a2 – 30ab + 25b2
3. a2–b2 = (a–b)(a+b)
a)
9x2 – 16y2 = (3x)2 – (4y)2 = (3x – 4y)(3x + 4y)
б) (6k – 5n)( 6k + 5n) = (6k)2 – (5n)2 = 36k2 – 25n2
4. (a+b)3 = a3+3a2b+3ab2+b3
a) (m + 2n)3 = m3 + 3·m2·2n + 3·m·(2n)2 + (2n)3 = m3 + 6m2n +
12mn2 + 8n3
б) (3x + 2y)3 = (3x)3 + 3·(3x)2·2y + 3·3x·(2y)2 + (2y)3 = 27x3 +
54x2y + 36xy2 + 8y3
5.(a-b)3 = a3-3a2b+3ab2-b3
а) (2x – y)3 = (2x)3-3·(2x)2·y + 3·2x·y2 – y3 = 8x3 – 12x2y +
6xy2 – y3
б) (x – 3n)3 = x3-3·x2·3n + 3·x·(3n)2 – (3n)3 = x3 – 9x2n +
27xn2 – 27n3
6. a3+b3 = (a+b)(a2–ab+b2)
a)
125 + 8x3 = 53 + (2x)3 = (5 + 2x)(52 — 5·2x + (2x)2) = (5
+ 2x)(25 – 10x + 4x2)
б) (1 + 3m)(1 – 3m + 9m2) = 13 + (3m)3 = 1 + 27m3
7. a3-b3 = (a-b)(a2+ab+b2)
а) 64с3 – 8 = (4с)3 – 23 = (4с – 2)((4с)2 + 4с·2 + 22) = (4с –
2)(16с2 + 8с + 4)
б) (3a – 5b)(9a2 + 15ab + 25b2) = (3a)3 – (5b)3 = 27a3 – 125b3
Задание 9:
S
3 3R 2
abc
S
4
4R
Равносторонний треугольник:
В
А
С
А  В  С  60 0 ; АВ  ВС  АС
Задание 10.
А  В  С  180 0
Задание 11
Произвольный треугольник:
a, b, c- стороны произвольного треугольника
α, β, γ - противоположные углы
А  В  С  180 0
S
Площадь :
ah
2
Формула для нахождения длины через две стороны и угол
(по теореме косинусов): a  b  c  2bc  cos 
Теорема синусов, где R – это радиус описанной
окружности:
2
Площадь треугольника:
S
a  c  sin 
2
S  p( p  a)( p  b)( p  c) , где p 
abc
2
это полупериметр
Нахождение площади треугольника через радиус вписанной
окружности:
abc
это полупериметр
2
S  3 3r 2
Нахождение площади треугольника через
радиус описанной окружности:
S
a2 3
4
Равнобедренный треугольник:
А  С ; АВ  ВС
a
b
c


 2R
sin  sin  sin 
2
Площадь треугольника по формуле Герона
S  rp ; где p 
Площадь равностороннего треугольника
Задание12: ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ
Задание 19.
Задание 17:
Задание 16.