Известия Гомельского государственного университета имени Ф. Скорины, №6(39), 1, 2006 УДК 531.51:531.18:530.12 Гравитационное взаимодействие в электродинамике А. Н. СЕРДЮКОВ Хорошо известна тривиальная особенность принципа наименьшего действия, заключающаяся в том, что уравнения движения не изменяются при умножении функции Лагранжа всех физических систем на одинаковую положительную постоянную [1,2]. Таким образом, в физике реализуется симметрия уравнений движения относительно своеобразного глобального калибровочного преобразования – масштабного преобразования функции Лагранжа ~ (1) L L LU 2 при постоянном U ≠ 0. Следуя принципу локальной калибровочной инвариантности, от подобного глобального преобразования можно перейти к локальному, сделав U зависящим от четырехмерных координат x. Такой переход означает введение калибровочного скалярного поля U(x). Универсальность взаимодействия этого поля со всеми видами материи, обеспечиваемая его мультипликативным подключением к функции Лагранжа любой физической системы, дает основание рассматривать U(x) как потенциальную функцию гравитационного поля. При этом важно отметить, что сама эта функция, наследуя присущую лагранжиану неоднозначность, оказывается определенной с точностью до постоянного множителя. Тем не менее, данное обстоятельство не должно отражаться на теоретических результатах для величин, имеющих реальный физический смысл. Это значит, что преобразование полевой функции U x U x Ω U x (2) с произвольной константой Ω следует рассматривать в качестве калибровочного преобразования, так что поля U(x) и U'(x) в физическом отношении следует рассматривать как тождественные. Такой подход однозначным образом приводит к новой полевой модели скалярного гравитационного поля, которая реализуется в рамках СТО [3]. Эта модель позволяет описать гравитационное взаимодействие в электродинамике. Развитие теории двух связанных полей – гравитационного и электромагнитного, будем осуществлять с использованием вариационного принципа. В качестве «правил отбора», отсеивающих неприемлемые варианты теоретических моделей, примем принципы специальной теории относительности и калибровочной инвариантности. Разумеется, при этом следует иметь в виду, что включение взаимодействия между полями может привести к необходимости модификации калибровочных преобразований потенциалов, установленных для свободных полей. Руководствуясь принципом простоты, постулируем следующий лагранжиан для системы связанных гравитационного и электромагнитного полей и взаимодействующих с ними массивных электрически заряжённых частиц: c4 U 2 1 A A 2U 2 μc 2 1 v 2 / c 2U 2 1 A j . Λ (3) 2G 16 c Здесь μr, t ma 1 v a2 / c 2 r ra t a представляет плотность массы частиц; четырехмерный вектор плотности тока j j , icρ образован плотностью электрического заряда ρr, t ea r ra и плотностью тока j a v движущихся частиц; четырехмерный вектор-потенциал электромагнитного поля A A, i составляют трехмерные потенциалы – векторный A и скалярный . Гравитационное взаимодействие в электродинамике 141 Чтобы калибровочное преобразование гравитационного поля не изменяло уравнений движения частиц и полевых уравнений, очевидно электродинамический потенциал должен подвергаться калибровочному преобразованию (4) A x A x Ω 2 A x одновременно с калибровочным преобразованием (2) гравитационного потенциала U. Построим уравнение движения заряженной частицы, взаимодействующей с двумя полями – электромагнитным и гравитационным. Интегрируя два последних члена лагранжиана (3) по трехмерному пространству, находим функцию Лагранжа e L mc2 1 v 2 /c 2 U 2 vA e (5) c для частицы с массой m и зарядом e. Из уравнения Эйлера – Лагранжа d L L dt v r после элементарных преобразований имеем d mU 2 v e mU 2 1 v 2 / c 2 g eE v B . (6) 2 2 dt 1 v / c c Здесь напряженность поля тяготения g выражается через логарифмический градиент потенциала U: (7) g 2c 2ln U , а компоненты E и B тензора электромагнитного поля B iBE 0iE . (8) обычным образом представляются через электродинамический потенциал B A A . (9) Уравнение (6) явно содержит гравитационный потенциал U, что создает неудобства при отыскании решений этого уравнения для r(t). Однако калибровочная инвариантность теории позволяет упростить данное уравнение, исключив из него U: d mv e m 1 1 eD v H (10) g 2 v v g vη 2 2 2 2 dt 1 v / c c c c 1 v / c где (10) D U 2E, H U 2B , η 2c ln U . t Введя второй тензор электромагнитного поля H iHD 0i D , (11) соотношениям (10) можно придать четырехмерную форму (12) H U 2 B , Силовые характеристики гравитационного поля в (10) g и η образуют 4-вектор g 2c2 ln U g, iη. Соотношение (9) обеспечивает тождественное выполнение первой пары уравнений Максвелла B B B 0 . (13) Соотношения (9.1.18), (9.1.19), как известно, определяют A и через E и B неоднозначно. Калибровочное преобразование электродинамического потенциала A A A f , (14) осуществляемое с помощью некоторой произвольной скалярной функции координат и времени 142 А. Н. Сердюков f, не меняет значений наблюдаемых E и B. Разумеется, при этом и уравнения Максвелла остаются калибровочно-инвариантными, не изменяясь при таком преобразовании потенциалов. Используя вариационный принцип, построим далее уравнения электромагнитного поля, возмущенного полем тяготения. Соответствующее уравнение Эйлера – Лагранжа, получающееся при варьировании потенциала A, Λ Λ (15) A A и будет искомым электродинамическим полевым уравнением. Таким образом, с учетом (12) окончательно находим: 4 H j . (16) c Уравнения (16) и (13) составляет систему уравнений Максвелла для электромагнитного поля, взаимодействующего с полем тяготения. Как видим, пространство, заполненное особой материальной средой – гравитационным полем, в электродинамическом отношении аналогично среде, электромагнитные свойства которой описываются соотношениями (9.3.4), (9.3.5). Эти соотношения имеют форму обычных материальных уравнений неоднородной и нестационарной изотропной среды D E, B H (17) со скалярными параметрами диэлектрической и магнитной проницаемостей ε(r, t) и μ(r, t), которые выражаются через гравитационный потенциал U: U 2 , (18) U2 . Построим теперь уравнения гравитационного поля, включив в источник гравитации наряду с весомой материей также электромагнитное поле. Из соотношения (5), определяющего потенциал U через напряженность gμ, следует линейное однородное уравнение g g 0 . (19) Таким модифицированным скалярным уравнением будет уравнение Эйлера Лагранжа (4.3.7) Λ Λ , (20) ( U ) U если в качестве лагранжиана принять выражение (3). 2G 1 2 2 2 H (21) U 0 . 2 μ 1 v /c 2 c 16 c От калибровочно-инвариантного уравнения (21) можно перейти к уравнению для напряжённости, исключив гравитационный потенциал: 1 G 2 g 2 g 2 2 H 4 G μ 1 v 2 /c 2 . (22) 2c 4c Совместно с тензорным уравнением (3.1.5) g g 0 (23) уравнение (22) составляет систему ковариантных уравнений гравитационного поля, порождаемого электромагнитным полем Hμν и движущейся весомой материей с массой, распределённой в пространстве с плотностью μ. Суммируя результаты, представим в трехмерных обозначениях полную систему связанных уравнений для полей и частиц: уравнения электромагнитного поля 1 1 H 1 D 2 gD ηH , c c t c2 1 H 2 gH 0 , c Гравитационное взаимодействие в электродинамике 143 1 D 4 ea v a r ra , ct c a D 4 ea r ra ; H a уравнения гравитационного поля g 0 , 1 g η , c t 1 η 1 g 2 g 2 η2 c t 2c G D 2 H 2 4 G m a 1 v a2 /c 2 r ra ; 2 c2 a уравнение движения заряженных массивных частиц в электромагнитном и гравитационном полях e d ma v a ea D a v a H dt 1 v a2 /c 2 c 1 1 g 2 v a v a g v a η . 2 2 c c 1 v a /c ma Abstract. On the base of minimal action principle the gage-invariant equations of coupled electromagnetic and scalar gravitation fields are constructed. Литература 1. Гельфанд И. М., Минлос Р. А., Шапиро З. Я. Представления группы вращений и группы Лоренца, их применения. – М.: Физматгиз, 1958. – С. 294. 2. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Механика. – М.: Наука, 1965. – С. 12 – 13, 16 – 17. 3. Сердюков А. Н. Калибровочная теория скалярного гравитационного поля. – Гомель: ГГУ им. Ф. Скорины, 2005. – 257 с. Гомельский государственный университет имени Ф. Скорины Поступило 11.09.06