ТПР_Лабораторная_работа_3

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
Факультет Автоматики и Вычислительной техники
Кафедра Информатики и проектирования систем
Отчет по лабораторным работам №3
«Оптимальность по Парето»
По дисциплине «Теория принятии решений»
Вариант 2
Выполнил:
Студент группы 8В61
А. Г. Фадеев
Проверил:
преподаватель
В. М. Горбунов
Томск – 2010
Тема: Нахождение решений оптимальных по Парето.
Лабораторная работа состоит из двух частей:
Часть 1. Задания а, б и в. Найти множество всех эффективных точек (множество P) в
следующих многокритериальных задачах: для этого нужно построить графики
функций F1(x) и F2(x) и в D найти такую область (множество P) где критерии F1(x) и
F2(x) противоречивы.
а) D=[0,1.5];F1(x)=x, F2(x)=x3-3x2+2x.
Множество P  [
где (
3 3
,1.5] ,
3
3 3
- точка экстремума функции F2(x)=x3 - 3x2 + 2x.).
3
б) D=[0,1]; F1(x)=ax+b(1-x), F2(x)=x(1-x),
где a, b, ,  – положительные константы. Для случая a=b решить аналитически.
При a = b значение критерия F1 изменяться не будет – следовательно задача сводится
к однокритериальной. Множество Парето - 1 оптимальная точка, которая зависит от
того нужно максимизировать или минимизировать критерий F2(x).
Варианты заданий:
a
1
2
2
1
b
2
1
1
2
1) a = 1; b = 2;  = 1;  = 1;
D=[0,1]; F1(x)=x+2(1-x), F2(x)=x(1-x),

1
1
2
2

1
1
1
1
Множество P  [0;0.5] , где ( 0.5 - точка экстремума функции F2(x)=x∙(1-x)).
2) a = 2; b = 1;  = 1;  = 1;
D=[0,1]; F1(x)=2x+(1-x), F2(x)=x∙(1-x),
Множество P  [0.5, 1] , где ( 0.5 - точка экстремума функции F2(x)=x∙(1-x)).
3) a = 2; b = 1;  = 2;  = 1;
D=[0,1]; F1(x)=2x+(1-x), F2(x)=x2(1-x),
Множество P  [0.67, 1] , где ( 0.67 - точка экстремума функции F2(x)=x2(1-x)).
4) a = 1; b = 2;  = 2;  = 1;
D=[0,1]; F1(x)=x+2∙(1-x), F2(x)=x2(1-x).
Множество P  [0, 0.67] , где ( 0.67 - точка экстремума функции F2(x)=x2(1-x)).
в)
D=[0,2],
F1(x)=x,
1  x; 0  x  1
,
1< x 2
0;
F2(x)= 
где
частные
минимизируются.
Множество P  [0, 1] .
критерии
F1
и
F2
Часть 2. В области D заданы два критерия, которые нужно минимизировать.
Построить область Р  D и компромиссную кривую (КК).
а) аналитически
F1  x12  ( x2  1) 2
 0.5  x1  1
D
 0.5  x2  1
F2  ( x1  0.5) 2  x2 2 .
1. Находим минимумы функций F1 и F2 . Абсолютные минимумы находятся в точках
(0;0) и (-0.5;0) и принадлежат области D.
2. Находим частные производные
3. Решим систему уравнений:
F1
F
  2 ;
x1
x1
 x1    ( x1  0.5)

 x2  1    x2
F1
F
  2
x2
x2
4. Получаем параметрическое уравнение кривой в пространстве
x1 
 0 .5  
1
; x2 

 1
 1
5. Получим уравнение кривой в декартовых прямоугольных координатах. Для этого
решим уравнения относительно параметра 

 0.5  x1
1  x2
; 

x1  1
x2
Так как   0 
 0.5  x1

0  x  1 ,

1
.

1

x2
0 

x2
6. Параметрическое уравнение КК будет иметь следующий вид
 0.5     1

 1 ,
F1()= 
 
  1    1 
2
2
 0.5  
  1 
1  0.5   
 .
   0.5
   1
2
F2()= 
2
7. Получим уравнение паретовской кривой в области D и пространстве критериев
x1 (t ) 
t
1
; x2 (t ) 

t  0.5
t 1
График паретовской кривой в области D
x1( t) 
0.5t
t1
x2( t) 
1
t  00.01 1000
t1
1
0.6
0.2
x2( t )
1
 0.6
 0.2
 0.2
0.2
0.6
1
 0.6
1
x1( t )
График компромиссной кривой в пространстве критериев:
б) численно: