Сборник "Стохастическая линия в школьном курсе математики"

Управление образования администрации Богородского района
Информационно-методический кабинет
СТОХАСТИЧЕСКАЯ ЛИНИЯ В
ШКОЛЬНОМ КУРСЕ
МАТЕМАТИКИ
Нижегородская область
г.Богородск
2012 год
ОПЫТ ПРЕПОДАВАНИЯ СТОХАСТИЧЕСКОЙ ЛИНИИ В
ШКОЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ
Материалы районного семинара учителей математики
В сборнике представлен педагогический опыт учителей математики района по
вопросу преподавания стохастической линии в школьном курсе математики.
Издание адресовано учителям математики
Компьютерная верстка Н.В.Салова
2
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие
стр
5
Разработка урока в 5 классе по теме «Решение
комбинаторных задач», учитель математики Н.В.Зуева, МБОУ
Алешковская СОШ
6
Разработка урока в 6 классе по теме «Правило умножения
для
комбмнаторных
задач»,
учитель
математики
Н.В.Салтыкова, МБОУ Березовская СОШ
12
Подборка задач по теме «Перебор возможных вариантов»
для 5-6 классов, учителя Т.С.Селезнева и М.А.Лебедева, МБОУ
СОШ п.Центральный
17
Разработка урока в 7 классе по теме «Подсчет вариантов с
помощью графов», учитель математики О.Н.Тарасова, МБОУ
Комаровская СОШ
22
Разработка урока в 8 классе по теме: «Статистические
характеристики», учитель математики Н.Н.Воробьева, МБОУ
СОШ № 3
28
Подборка задач по теме «Случайные величины» для 9 класса,
учитель математики Л.Н.Баева, МБОУ Араповская ООШ
33
Подборка задач по теме «Случайные величины» для 9 класса,
учитель математики Г.Н.Балашова, МБОУ Каменская СОШ
39
Подборка задач для подготовки к ГИА в 9 классе по теме
«Вероятность», учитель математики М.А.Перцова, МБОУ
Лакшинская СОШ
41
Разработка урока в 9 классе по теме «Простейшие
вероятностные задачи», учитель математики И.В.Сорокина,
МБОУ СОШ № 1
45
Разработка урока в 9 классе по теме «Относительная частота.
Закон больших чисел», учитель математики Т.П.Дрябина, МБОУ
СОШ № 6
50
3
4
ПРЕДИСЛОВИЕ
В настоящее время теория вероятностей завоевала очень серьезное
место в науке и прикладной деятельности. Сейчас без достаточно развитых
представлений о случайных событиях и их вероятностях, без хорошего
представления о том, что явления и процессы, с которыми мы имеем дело,
подчиняются сложным законам теории вероятностей, невозможна
продуктивная деятельность людей ни в одной сфере жизни общества.
Внедрение
стохастической
линии
в
базовый
школьный
курс
математики породило немало проблем. Удивительно, но, обладая одной из
наиболее известных и признанных во всем мире академических школ теории
вероятностей, мы до сих пор не имеем ни общей концепции преподавания
этого раздела математики в школе, ни достаточного количества учебных
пособий для школьников, содержащих соответствующий материал.
Как показывает анализ учебников и учебных пособий, содержащих
материал по данной теме, существует ряд проблем преподавания стохастики
для учителя:
1) в некоторой неопределенности уровня и содержания итоговой и
промежуточной
аттестации
учащихся
и
выпускников
(комментарий: в 2012 году задачи по стохастике вошли в 1 часть
ЕГЭ по математике; по модели ГИА 2012 года стохастика
представлена уже 3 задачами вместо двух);
2) в наличии нескольких принципиально разных подходов к изложению
материала, что затрудняет использование дидактических
материалов к различным УМК;
3) в умении связать в систему основные понятия комбинаторики и
теории вероятностей: комбинация (вариант) и случайное событие
(исход опыта, исход эксперимента);
4) преподнести содержание стохастической линии наглядно и доступно
для учащихся.
В данном сборнике представлен педагогический опыт учителей района
по вопросу преподавания стохастической линии в школьном курсе
математики.
5
Разработка урока математики в 5 классе по теме
«Решение комбинаторных задач»
( Доктор Ватсон знакомится с комбинаторикой)
Н.В.Зуева, учитель математики
МБОУ Алешковской СОШ
УМК Зубарева И.И., Мордкович А.Г.
Цели урока:
 Закрепить навыки и умения решения комбинаторных задач (правило
умножения, перебор, дерево вариантов);
 Развивать математическое и логическое мышление, развивать речь,
воображение, формирование у учеников умение решать нестандартные
задачи;
 Прививать интерес к науке;
 Расширять кругозор учащихся, воспитывать интерес к процессу
обучения
ХОД УРОКА
Сценка.
- Холмс, это кажется, по вашей части
- Дорогой Ватсон, у Вас на подносе коробки с соком? Но Вы же знаете, я
не пью сок!
- Холмс мне просто нужен Ваш совет. Понимаете, я вчера, налив в
равных количествах в стакан соки из двух коробок получил прекрасный
коктейль. Теперь чтобы снова найти нужное сочетание, мне, очевидно,
придется попробовать кучу вариантов. Но очень боюсь, что заболит живот.
- Не волнуйтесь, Ватсон, Вам в худшем случае придется попробовать
шесть вариантов коктейлей. Хотя, может быть, вам повезет и нужный
коктейль появится раньше последней из возможных комбинаций. В
противном случае, если после проведения всех опытов у вас разболелся
живот, то вам останется утешиться мыслью, что пострадали за науку.
- Вы смеетесь, Холмс? О какой науке может идти речь в подобной
ситуации?
6
- Речь идет о комбинаторике – разделе науки, в котором
рассматриваются задачи – подсчете числа комбинаций, составленных из
некоторых элементов по определенным правилам. Вот Вы сейчас, Ватсон,
столкнулись с элементарной комбинаторной задачей: «Сколько существует
способов составить коктейль из двух напитков, взятых в равных количествах,
если у вас имеется четыре сорта сока?»
- И как Вы так быстро решили задачу?
- Эта задача решается элементарно Ватсон!
- Ну, что ребята поможем Ватсону решить эту задачу? Итак, сколько же
вариантов (способов) мы получим с вами, если у нас есть четыре сорта сока:
лимонный, апельсиновый, клубничный и вишневый?
Ученики решают задачу и один около доски.
Л, А, К, В. Варианты: ЛА, ЛК, ЛВ, АК, АВ, КВ.
л
к
а
в
Доктор Ватсон был восхищен умом Холмса, Но тут вошла миссис
Хадсон. И она стала возмущаться: « Уважаемый Холмс, решая вашу задачу, я
не знаю, на сколько человек мне сервировать стол, и поэтому возможно вы
не можете принять гостей сегодня?»
Холмс ответил: « Позвоните в Алешковскую школу ученикам 5 класса,
они помогут вам»
- Ну, что ребята поможем?
Задача.
Уважаемая миссис Хадсон к нам придут гости. В качестве вторых блюд
приготовьте мясо, котлеты и рыбу. На сладкое – мороженое, фрукты и пирог.
Гость выбирает одно второе блюдо и одно блюдо на десерт. Подсчитайте,
сколько будет гостей, и поставьте необходимое количество стульев. Очень
вас прошу, чтобы количество стульев соответствовало количеству
приглашенных.
7
-Давайте поможем миссис Хадсон.
меню
мясо
ф
м
п
рыба
котлеты
ф
м
п
ф
м
Мясо - фрукты
мясо - мороженое
мясо - пирог.
Котлеты-фрукты
котлеты - мороженое
котлеты - пирог.
Рыба – фрукты
рыба - мороженое
п
рыба – пирог.
- Следовательно, необходимо поставить 9 стульев.
- Нет, Холмс, вы не человек, вы – Арифмометр!- воскликнул Ватсон.
Холмс мягко улыбнулся. Послушайте Ватсон: « мне вчера подарили
книгу баснописца Крылова, и я смог познакомиться с любопытной басней «
Квартет».
Проказница Мартышка,
Осел, козел,
Да косолапый Мишка,
Затеяли играть квартет.
Ударили в смычки, дерут, а толку нет.
«Стой, братцы, стой!- кричит МартышкаПогодите!
Как в музыке идти? Ведь вы не там сидите».
- И замечательная мораль у этой басни. В содержание этой басни
прячется симпатичная задача, и связана она с комбинаторикой.
8
- Послушайте и решите эту задачу: « Сколькими способами могут сесть
крыловские музыканты? Подсчитайте число возможных вариантов посадки
артистов в квартете».
Применяя правило произведения, ребята объясняют и считают число
возможных вариантов.
- Ну что молодцы ребята справились с задачей.
- А, давайте сейчас мы поразим Холмса. Вспомните, какие события вы
знаете?
Учащиеся называют достоверные, невозможные и случайные события.
Дают определения и приводят примеры.
- Ну, что ж Ватсон давайте предложим нашим коллегам, которые
помогают нам в работе, охарактеризовать события в следующих заданиях как
достоверные, невозможные или случайные.
Задача.
В мешке лежат 10 шаров:3 синих, 3 белых и 4 красных. Охарактеризуйте
следующие события:
1.
Из мешка вынули 4 шара, и все они синие;
2.
Из мешка вынули 4 шара, и все они красные;
3.
Из мешка вынули 4 шара, и все они оказались разного цвета.
4.
цвета.
Из мешка вынули 4 шара, и среди них не оказалось шара черного
Да Ватсон, дело проясняется, у этих детей хорошая логика. Они,
наверное, читали Конан Дойля.
- Вы, молодцы, решили сегодня очень много задач. В каждом искали
свой способ перебора возможных вариантов. Но во многих случаях
оказывается полезным еще один прием – построение – картинки схемы
перебора вариантов.
- Скажите, как называется такой способ? (дерево вариантов)
- Холмс получил следующую записку и вот что в ней было:
« Уважаемый Холмс! Несколько стран решили использовать для своего
государственного флага символику в виде трех вертикальных полос
9
одинаковой ширины разных цветов - зеленого, черного, желтого. Сколько
стран могут использовать такую символику при условии, что у каждой
страны свой флаг?»
флаг
зеленый
желтый
черный
черный
желтый
желтый
зеленый
желтый
черный
зеленый
желтый
черный
зеленый
зеленый
черный
- Правильно ребята, и с этой задачей справились.
- Наш урок подходит к концу. Давайте пригласим наших героев
Шерлока Холмса и доктора Ватсона.
- Скажите Ватсон, вы помните, как возник наш разговор о
комбинаторике?
- Конечно, Холмс.
- Ну что вы теперь рискнете сами решить любую из комбинаторных
задач?
-Столько много сегодня узнал, что думаю мне теперь любая задача по
зубам.
- А мы с вами прощаемся с нашими героями и ждем в гости на
следующие уроки. Домашнее задание Холмс вам предлагает на следующих
листочках.
- Ватсон, а хотите еще одну задачку, на первый взгляд, очень похожую
на задачу с коктейлями?
- Любопытно послушать.
- В купе поезда между 4 джентельменами завязалась беседа, во время
которой обнаружились общие для всех попутчиков интересы. На конечной
станции все джентльмены решили обменяться визитками. Сколько всего
визиток фигурировало в таком обмене?
10
Дополнения и изменения к ходу урока:
1)
Последнюю задачу можно заменить другой. Ученики 5
класса при входе в школу попарно поздоровались. Учеников в классе 10
человек. Сколько раз было произнесено приветствие.
2)
В школьной столовой решили сделать учащимся сюрприз и
вместо одного первого, второго и третьего приготовили по 2 первых блюда, 2
вторых и три разных сока. Сколько разных вариантов обеда существует для
одного ученика.
3)
Для выступления в спортивных соревнованиях приготовили
форму футболки 4х цветов (синего, белого, красного и зеленого), шорты тех
же цветов и гольфы также 4х цветов. На спортсмене должны быть надеты
футболка, шорты и гольфы разного цвета.
А) Сколько команд могут участвовать в соревнованиях?
Б) Сколько команд может быть, если цвет футболок и гольф будет
одинаковым?
4) В классе из 20 (8 мальчиков и 12 девочек)человек нужно назначить 2
дежурных.
А)Сколькими способами это можно сделать?
Б) Сколько способов будет, если дежурят мальчик и девочка
В) Два мальчика
Г) Две девочки?
11
Разработка урока математики в 6 классе по теме
«Правило умножения для комбинаторных задач»
Н.В.Салтыкова, учитель математики
МБОУ Березовской СОШ
УМК Зубарева И.И., Мордкович А.Г.
Цель: Первичное знакомство с комбинаторными задачами, решаемыми
по правилу умножения
Задачи:
 Повторить понятия «комбинации», «комбинаторных задач»;
 Повторить построение дерева возможных вариантов;
 Познакомить с правилом умножения для решения комбинаторных
задач;
 Отработать умения и навыки по решению комбинаторных задач по
правилу произведения;
 Содействовать воспитанию культуры речи;
 Познакомить учащихся с историей развития комбинаторики как науки;
 Развивать логическое мышление.
Оборудование: экран, проектор, презентация , колонки – есть ссылка из
презентации, доска, мел, анкеты для учащихся на этапе рефлексии.
ХОД УРОКА
1. Организационно – мотивационный момент.
На данном этапе учитель настраивает учащихся на восприятие новой
темы. (3 мин.)
2. Актуализация знаний. (7 мин.) Эвристическая беседа учителя и
учащихся
Сегодня нам с вами предстоит вспомнить понятие «Комбинаторика». (1
слайд)
Комбинаторика – это раздел математики, в котором…
Впрочем, если вы забыли, что это за раздел математики, то предлагаю
вам просмотреть анимацию (1 слайд после щелчка) Подсказка в желтом
12
цилиндре: из цилиндра наугад достаются слоги, затем их располагаем в
определенной последовательности и получаем слово…
Повторяю еще раз: из цилиндра выбрали несколько элементов и
расположили их по определенному правилу в некоторой последовательности.
Попробуйте теперь дать определение «комбинаторики».
Комбинаторика – раздел математики, в котором исследуются и
решаются задачи выбора элементов из исходного множества и расположения
их в некоторой комбинации, составляемой по определенным правилам (слайд
2).
Термин «комбинаторика» происходит от латинского слова combinare,
которое означает «соединять, сочетать».
Термин «комбинаторика» был введен в математический обиход
знаменитым Лейбницем. (слайд 3-4)
Готфрид Вильгельм Лейбниц – всемирно известный немецкий ученый,
занимался философией, математикой, физикой, организовал Берлинскую
академию наук и стал ее первым президентом. В математике он вместе с
Ньютоном разделяет честь создателя дифференциального и интегрального
исчислений. В течение всей жизни Лейбниц многократно возвращался к
идеям комбинаторного искусства. Комбинаторику он понимал весьма
широко, именно, как составляющую любого исследования, любого
творческого акта, предполагающего сначала анализ (расчленение целого на
части), а затем синтез (соединение частей в целое). Мечтой Лейбница,
оставшейся, увы, неосуществленной, оставалось построение общей
комбинаторной теории. Комбинаторике Лейбниц предрекал блестящее
будущее и широкое применение.
В XVIII веке к решению комбинаторных задач обращались многие
выдающиеся математики. Среди них был и швейцарский математик,
механик, физик и астроном, член Петербургской и Берлинской академии
наук Леонард Эйлер. (слайд 5) Он известен как автор более 800 работ по
математическому анализу, дифференциальной геометрии, теории чисел,
оптике. В комбинаторике Эйлер рассматривал задачи о разбиении чисел, о
построении магических квадратов.
В 1713 году было опубликовано сочинение профессора математики
Базельского университета Якоба Бернулли (слайд 6) «Искусство
предположений». В работе с достаточной полнотой были изложены
13
известные комбинаторные факты. Сочинение Бернулли превзошли работы
его предшественников и современников систематичностью, простотой
методов, строгостью изложения и в течение XVIII века пользовалось
известностью не только как серьезного научного трактата, но и как учебносправочного издания.
Какие задачи называются комбинаторными? Давайте решим одну из
таких задач.
3. Решение простейшей комбинаторной задачи (7 мин.)
Давайте немного отдохнем и послушаем басню Ивана Андреевича
Крылова «Квартет» (Приложение 2 или ссылка на 7 слайде).
Сформулируйте вопрос к басне так, чтобы басня стала комбинаторной
задачей.
Сколькими способами могут рассесться участники квартета?
Построение дерева вариантов на доске (дублирование на слайде 8).
Окончательное число вариантов учитель предлагает учащимся посчитать
самим. (слайд 9). Далее ставится проблема «Можно ли решить задачу не
строя дерево вариантов?»
4. Объяснение нового материала (10 мин.)
Совместное решение задачи 1. Сколько трехзначных чисел можно
составить из цифр 1,3,5,7, используя в записи числа каждую из них не более
одного раза? (слайд 10-11)
Оказывается, что решить данную и предыдущую задачу можно было не
строя дерево возможных вариантов (слайд 11). Первую цифру трехзначного
числа можно выбрать четырьмя способами, вторую цифру можно выбрать из
оставшихся уже тремя способами, наконец, третью цифру можно выбрать
двумя способами. Следовательно, общее число искомых трехзначных чисел
равно произведению 4*3*2=24.
Сформулируем правило, которым мы только что воспользовались.
Пусть имеется n элементов и требуется выбрать один за другим
некоторые k элементов. Если первый элемент можно выбрать n1 способами,
после чего второй элемент можно выбрать из оставшихся n2 способами,
затем третий элемент – n3 способами и т.д., то число способов, которыми
14
могут быть выбраны все k элементов, равно произведению n1•n2•n3•…•nk
(слайд 12)
5. Закрепление нового материала. Решение задач (7 мин)
Решение задач по слайдам у доски
Задача 2. Сколько существует двухзначных чисел, у которых все цифры
четные? (слайд 13)
Задача 3. В 6 классе изучается 8 предметов. Сколько различных
вариантов расписания можно составить на понедельник, если в этот день
должно быть 5 уроков и все разные? (слайд 14)
Задача 4. В классе 24 человека. Надо выбрать двоих дежурных. Сколько
есть способов это сделать? (слайд 15)
6. Систематизация изученного материала (10 мин)
Давайте еще раз
комбинаторных задач.
назовем
известные
нам
способы
решения
Совместное заполнение таблицы (слайд 16)
Решение задачи 499 учебника.
Если позволяет время урока, то можно рассказать о дальнейшем
развитии комбинаторики как науки. (слайд 18-19)
15
7. Рефлексия (6 мин)
Предлагаю вам вспомнить все задачи, которые мы с вами решили на
уроке. Заполните, пожалуйста, индивидуальную анкету (Приложение 3).
Анкета (слайд 20-21)
1. Оцените сложность решенных на уроке задач ( * - хорошая задача,
сложности не вызвала; * * - задача достаточно сложная, но понятная; * * * задача очень сложная, ее решение мне не понятно):
Задача
квар
тет
3хзн.
число
2хзн.
число
Распи
сание
Посе
Дежу
щение
рные
больного
Сложн
ость
Ваше состояние на уроке
8. Домашнее задание (2 мин)
Закрепить правило умножения, № 495, 498, 500 (слайд 22)
9. Организованное окончание урока (1 мин)
16
Подборка задач для 5-6 класса по теме
«Перебор возможных вариантов»
Т.С.Селезнева, М.А.Лебедева
МБОУ СОШ п.Центральный
УМК С.М.Никольский
Источники информации:
http://school4-golovko.narod.ru/kopilka
http://www.problems.ru/
http://mathkang.ru
Цель: сформулировать первоначальные навыки комбинаторных задач с
помощью перебора возможных вариантов.
Полный перебор (или метод «грубой силы», англ. brute force) — метод
решения задачи путем перебора всех возможных вариантов. Сложность
полного перебора зависит от количества всех возможных решений задачи.
Если решений очень много, то полный перебор может не дать результатов в
течение нескольких лет или даже столетий.
Суть метода:
- выбрать набор неизвестных;
- для каждой неизвестной указать все возможные значения;
- составить все списки значений, в каждом из которых на первом месте
стоит одно из возможных значений первой неизвестной , на втором –
второй и т.д.
- каждый из этих списков проверить на соответствие условию задачи.
Пример 1. В записи 4□4□4 вместо каждого из пустых квадратов
разрешается поставить один из знаков «+», «х», «:», «-». Сколькими
способами можно это сделать так, чтобы полученное выражение было равно
4.
Решение:
Составим все возможные списки значений переменных
Ответ: 4 вариант
17
Пример 2. Сколько двузначных чисел можно составить, используя
цифры 1, 4 и 7?
Решение: Выпишем числа в порядке возрастания. Такой способ
позволит не пропустить никакое из чисел и в то же время не повторить ни
одно из них.
11, 14, 17,
41,44,47,
71,74,77.
Из данных трех цифр можно составить 9 чисел.
Ответ: 9 чисел.
Пример 3. в алфавите племени АБ имеются только две буквы – «А» и
«Б». Сколько различных слов по три буквы можно составить, используя
алфавит этого племени?
Решение: выпишем слова в алфавитном порядке.
ААА, ААБ, АБА, АББ,
БББ, ББА, БАБ, БАА.
Получили 8 слов.
Ответ: 8 слов.
Эту же задачу можно решить другим способом – построения дерева
возможных вариантов. Эту схему так называют, потому что она похожа на
дерево, только расположенное вверх ногами и без ствола. Корень дерева
обозначают «*»
*
А
Б
А
Б
А
Б
А Б А Б А Б А Б
Пример 4. В четверг в первом классе должно быть три урока: русский
язык, математика и физкультура. Сколько различных вариантов расписания
можно составить на этот день?
Указание: Перебирая варианты введите обозначения: Р – русский язык,
М – математика, Ф – физкультура.
Ответ: 6 вариантов.
Пример 5. Школьники из Волгограда собрались на каникулы поехать в
Москву, посетив по дороге Нижний Новгород. Сколькими различными
способами могут ребята осуществить свое путешествие, если из Волгограда в
18
Нижний Новгород можно отправиться на теплоходе ли поезде, а из Нижнего
Новгорода в Москву – на самолете, теплоходе, поезде или автобусе? Решите
задачу с помощью построения дерева.
Ответ: 8 способов.
Пример 6. Начертите окружность и отметьте на ней три точки.
Обведите получившиеся при этом дуги карандашом разных цветов. Сколько
карандашей вам понадобилось? Сколько дуг у вас получилось?
Ответ: 6 дуг.
Пример 7. Задумано двузначное число, которое на 66 больше
произведения своих цифр. Какое число задумано?
Решение: Для цифр х и y двузначного числа выполняется равенство 10x
+ y = xy + 66. Найти это число.
Полный перебор можно провести, рассматривая последовательно все
значения х от 1 до 9 и подбирая в каждом случае соответствующее значение
y от 0 до 9. Однако этот перебор можно сократить, если заметить, что правая
часть равенства больше 66. Значит, и левая его часть, то есть задуманное
число больше 66. Поэтому неизвестное число х не меньше 6, и можно
рассматривать только четыре значения х – от 6 до 9.
Ответ: задумано либо число 82, либо 93.
Пример 8. Кузнечик прыгает вдоль прямой вперёд на 80 см или назад
на 50 см. Может ли он менее чем за 7 прыжков удалиться от начальной точки
ровно на 1 м 70 см?
Подсказка: По условию не обязательно двигаться вперёд!
Ответ: Да, может. Например, 5 прыжков назад и 1 вперёд.
Пример 9. Расстояние между Атосом и Арамисом, скачущими по одной
дороге, равно 20 лье. За час Атос покрывает 4 лье, а Арамис — 5 лье. Какое
расстояние будет между ними через час?
Подсказка: Заметьте, ничего не сказано о том, в одну или разные
стороны скачут мушкетёры.
Ответ: а) 11 лье; б) 29 лье; в) 21 лье; г) 19 лье.
Пример 10. Сколько существует двузначных чисел, у которых цифра
десятков больше цифры единиц?
Решение: Задачу можно решить простым перебором.
19
1) Если цифра единиц есть 0, то цифра десятков может принимать
значения от 1 до 9.
2) Если цифра единиц есть 1, то цифра десятков может принимать
значения от 2 до 9.
3) Если цифра единиц есть 2, то цифра десятков может принимать
значения от 3 до 9.
…
9) Если цифра единиц есть 8, то цифра десятков может принимать
значения только 9.
Следовательно, всего случаев 1 + 2 + 3 + … + 9 = 45 чисел.
Ответ: 45 чисел
Пример 11. Имеются 9 палочек разной длины от 1 см до 9 см. Квадраты,
с какими сторонами и сколькими способами можно составить из этих
палочек? Способы составления квадрата считаются различными, если
использованы разные палочки и не обязательно все.
Решение: Все стороны квадрата равны. Поэтому для составления
данной фигуры можно для каждой стороны использовать либо одну палочку,
либо несколько, которые в сумме дали бы туже длину. Таких соотношений
должно быть 4. Следовательно, нельзя составить квадраты, длины сторон
которых равны 1 см, 2 см, 3 см, 4 см, 5 см и 6 см. (5 = 1 + 4 = 2 + 3 и всё, 6 =
1 + 5 = 2 + 4. Получаем только 3 отрезка.)
Можно составить квадрат, длина стороны которого 7 см, 8 см.
7 = 1 + 6 = 2 + 5 = 3 + 4, 8 = 7 + 1 = 6 + 2 = 5 + 3. Это можно сделать
только одним способом.
9 = 8 + 1 = 7 + 2 = 6 + 3 = 5 + 4. Следовательно, квадрат со стороной 9
см можно составить 5 различными способами.
Аналогичные рассуждения будут и для квадрата со стороной 10 см.
10 = 1 + 9 = 2 + 8 = 3 + 7 = 4 + 6. Квадратов со стороной 10 см из данного
набора можно составить 1 (палочки 10 см нет в наборе).
Аналогично 11 = 2 + 9 = 3 + 8 = 4 + 7 = 5 + 6. Квадратов со стороной 11
см можно составить 1.
20
Так как сумма всех чисел от 1 до 9 равна 45. 45:4 = 11 (ост.1), то вести
речь о существовании квадратов с большими сторонами не имеет смысла.
Ответ: 7 см; 8 см, 9 см; 10 см; 11 см. 9 квадратов.
Пример 12. Пишут одну за другой 4 последовательные цифры, затем
первые две меняют местами. Полученное таким образом четырехзначное
число является квадратом натурального числа. Найдите его.
Решение: В задаче фигурируют 3 условия:
1) четырёхзначное число состоит из последовательных цифр;
2) первая и вторая цифры меняются местами;
3) полученное таким образом четырехзначное число является квадратом
натурального числа.
Первым двум условиям удовлетворяют числа 2134, 3245, 4356, 5467,
6578, 7689.
Числа 5467, 6578 отбрасываем
оканчивается на 7 и на 8).
сразу.
(Квадрат любого числа не
Третьему условию из перечисленных чисел удовлетворяет только число
4356 = 662.
Ответ: 4356.
Пример 13. Найти сумму площадей всех различных прямоугольников,
которые можно составить из 9 квадратов (не обязательно всех), если сторона
каждого квадрата равна 1см.
Решение: Из 9 одинаковых квадратов можно составить прямоугольники
следующих размеров 1х1, 1х2, 1х3,…, 1х9, 2х2, 2х3, 2х4, 3х3. Сумма
площадей всех прямоугольников с данными измерениями равна 72см 2.
Ответ: 72 см 2.
21
Разработка урока математики в 7 классе по теме
«Подсчет вариантов с помощью графов»
О.Н.Тарасова, учитель математики
МБОУ Комаровской СОШ
УМК А.Г.Мордкович
Цель: ввести понятие комбинаторной задачи, организовать совместно с
учениками поиск решения задач на подсчёт вариантов с помощью графов.
Задачи:
1.
усвоить понятие комбинаторной задачи;
2.
учить решать задачи на подсчет вариантов с помощью графов;
3.
развивать умения объяснять, строить логические цепочки решения
заданий, развивать образное и логическое мышление, письменную и устную
математическую речь;
4.
воспитывать
аккуратность,
ответственность,
умение
работать
самостоятельно, интерес к изучению предмета.
Оборудование: учебник, мультимедийная доска, презентация.
ХОД УРОКА
I. Мот ивационно – ориент ировочная част ь
Решить старинную задачу VIII века: ВОЛК, КОЗА И КАПУСТА
Некий человек должен был перевезти в лодке через реку волка, козу и
капусту. В лодке мог поместиться только один человек, а с ним или волк, или
коза, или капуста. Но если оставить волка с козой без человека, то волк съест
козу, если оставить козу с капустой, то коза съест капусту, а в присутствии
человека никто никого не ест. Как перевезти груз через реку?
При решении этой задачи учащиеся комбинируют разные сочетания,
оценивают варианты, получают следующее решение:
22
В математике существует немало задач, в которых требуется из
имеющихся элементов составить различные наборы, подсчитать количество
всевозможных комбинаций элементов, образованных по определенному
правилу. Такие задачи называются комбинаторными, а раздел математики,
занимающейся решением этих задач, называется комбинаторикой (от лат.
combinare, которое означает «соединять, сочетать»).
С комбинаторными задачами люди имели дело ещё в глубокой
древности, когда, например, они выбирали наилучшее расположение воинов
во время охоты, придумывали узоры на одежде или посуде. Позже появились
нарды, шахматы. Как ветвь математики комбинаторика возникла только в
23
XVII в. В дальнейшем полем для приложения комбинаторных методов
оказались биология, химия, физика. И, наконец, роль комбинаторики
коренным
образом
изменилась
с
применением
компьютеров:
она
превратилась в область, находящуюся на магистральном пути развития
науки.
Задачи, которые мы сегодня будем решать, помогут вам творить, думать
необычно, оригинально, смело, видеть то, мимо чего вы часто проходили не
замечая, любить неизвестное, новое; преодолевать трудности и идти через
невозможное вперёд.
Комбинаторная задача – задача, в которой идёт речь о тех или иных
комбинациях объектов.
II. Содержательная часть
Задача 1. Учащимся раздаются цветные полоски (белый, синий,
красный) и предлагается из них составить флаг РФ. Затем задаются вопросы
исторического характера.
ФЛАГ
РОССИИ
Что означает каждый цвет?
Значение цветов флага России: белый цвет означает мир, чистоту,
Что означает
каждый
цвет?
непорочность,
совершенство;
синий - цвет веры и верности,
постоянства; красный цвет символизирует энергию, силу, кровь,
пролитую за Отечество.
Значение цветов флага России: белый цвет означает мир, чистоту,
непорочность, совершенство; синий – цвет веры и верности, постоянства;
красный цвет символизирует энергию, силу, кровь, пролитую за Отечество.
Оказывается, есть государства, где флаги имеют такие же цвета.
Флаги стран Европы, где встречаются три цвета:
белый, синий, красный.
НИДЕРЛАНДЫ
ФРАНЦИЯ
ЮГОСЛАВИЯ
24
Видим, что от перестановок цветных полосок, можно получить другой
флаг. Как подсчитать, сколько таких флагов мы можем составить из трёх
цветных полосок?
Решение этой задачи можно наглядно записать с помощью дерева
вариантов:
Вводится понятие дерева вариантов (графа), вершин и рёбер графа.
Задача 2. У Ирины пять подруг: Вера, Зоя, Марина, Полина, Светлана.
Она решила двух из них пригласить в кино. Укажите все возможные
варианты выбора подруг. Сколько таких вариантов.
В этой задаче не учитывается порядок элементов. Решение можно
наглядно представить в виде графа:
В – Вера
З – Зоя
М – Марина
П – Полина
С – Светлана
Рёбра графа показывают связь в парах, таких ребер 10, значит, всего 10
вариантов выбора подруг.
ФМ для снятия утомления с плечевого пояса и рук
1.
И.п. - о.с. 1 - поднять плечи. 2 - опустить плечи. Повторить 6-8 раз,
затем пауза 2-3 с, расслабить мышцы плечевого пояса. Темп медленный.
2.
И.п. - руки согнуты перед грудью. 1 - 2 - два пружинящих рывка
назад согнутыми руками. 3 - 4 - то же прямыми руками. Повторить 4-6 раз.
Темп средний.
25
И.п. - стойка ноги врозь. 1 - 4 - четыре последовательных круга
3.
руками назад. 5 - 8 - то же вперед. Руки не напрягать, туловище не
поворачивать. Повторить 4-6 раз. Закончить расслаблением. Темп средний.
Задача 3. В столовой предлагают два первых блюда: щи и борщ; три
вторых блюда: рыба, гуляш и плов; два третьих: компот и чай. Перечислите
все возможные варианты обедов из трех блюд. Проиллюстрируйте ответ,
построив дерево возможных вариантов.
Решение:
Первое
Второе
Третье
Варианты
блюдо
блюдо
блюдо
обеда
компот
щ – р – к (1)
чай
щ – р – ч (2)
компот
щ – г – к (3)
чай
щ – г – ч (4)
компот
щ – п – к (5)
чай
щ – п – ч (6)
компот
б – р – к (7)
чай
б – р – ч (8)
компот
б – г – к (9)
чай
б – г – ч (10)
рыба
щи
гуляш
плов
обеды
рыба
борщ
гуляш
компот
б – п – к (11)
плов
чай
б – п – ч (12)
О т в е т: 12 вариантов.
26
Задача 4. На завтрак Вова может выбрать: плюшку, бутерброд, пряник,
или кекс, а запить он может: кофе, соком, кефиром. Сколько возможных
вариантов завтрака?
(обсуждение задачи, самостоятельное составление графа у себя в
тетрадях)
III. Рефлексивно-оценочная часть
– Какие задачи называются комбинаторными?
– Какие задачи мы научились решать сегодня?
– С помощью чего мы их решали?
– Из чего состоит граф (граф-дерево) возможных вариантов?
– Что вызывало у вас затруднения в начале урока и что стало понятно в
течение урока?
– Какие моменты урока особенно понравились?
Далее даётся общая характеристика знаний учащихся, определение
положительных и отрицательных моментов. Сообщение оценок учащимся
Домашнее задание. Решить задачу: Сколько трёхзначных чисел можно
составить из цифр 1, 3, 5, 7, используя в записи числа каждую из них не
более раза.
27
Разработка урока математики в 8 классе по теме
«Статистические характеристики»
Н.Н.Воробьева, учитель математики
МБОУ СОШ № 3
УМК Г.В.Дорофеев
Тип урока: Изучение нового материала, метод эвристическая беседа.
Цели урока:
 Создать условия для формирования системы знаний учащихся по теме:
«Статистические характеристики» (основных понятий: среднее
арифметическое, размах, мода, медиана ряда чисел, таблица частот).
 Средствами
учебного
предмета
содействовать
целостному
гармоническому развитию личности учащихся, обеспечивать
реализацию на практике принципа свободы выбора форм и видов
деятельности.
 Создать условия для индивидуализации обучения и саморазвития
учащихся, актуализировать ответственность
учащихся за результаты
обучения.
Оборудование: презентация, учебник, тетрадь.
ХОД УРОКА
Организационный момент. Сообщение темы урока, постановка
цели урока, сообщение этапов урока.
II.
Актуализация знаний.
В жизни часто надо знать закономерности, присущие массовым
явлениям, что невозможно без тщательного анализа большого количества
экспериментальных данных. Сбором и анализом этих данных занимается
статистика.
I.
«Статистика знает все»,- утверждали Ильф и Петров в своем
замечательном романе «Двенадцать стульев» и продолжали: Известно,
сколько, какой пищи съедает в год средний гражданин республики.
«Известно, сколько в стране охотников, балерин, станков, велосипедов,
памятников, маяков и швейных машинок…. Как много жизни полной пыла,
страстей и мысли, глядит па нас со статистических таблиц». Статистика
28
имеет многовековую историю. Это и учет населения, медицинская
статистика, демографическая статистика.
Прав кто утверждает, что кто владеет информацией, тот управляет
миром. Давайте и мы научимся анализировать информацию с точки зрения
статистики.
III. Изучение нового материала.
1)
Введение новых понятий. Фронтальная работа с классом.
Пример.
Ученик (из классного журнала взять любого ученика класса и выписать
его отметки за четверть) получил в течение четверти следующие отметки по
алгебре: 5, 2, 4, 5, 5, 4, 4, 5, 5, 5.
Какую четвертную отметку поставит ему учитель? Ученики отвечают
так на этот вопрос: надо сложить все отметки и поделить сумму на их
количество.
В нашем случае:
5245544555
 4,4 .
10
Число 4,4 называют средним арифметическим. Учащиеся дают
понятие, что называют средним арифметическим чисел.
Средним арифметическим ряда чисел называется частное от
деления суммы этих чисел на их количество.
2) Продолжаем беседу с учащимися. А если ученик занимается только
на «4» и «5» и претендует на «5», как он будет ставить себе отметку?
4,5,4,4,5,5,5,5,5,4. Он будет считать, каких отметок больше: четвёрок
или пятёрок.
Посчитаем частоту получения отметки 4- 4.
Посчитаем частоту получения отметки 5- 6.
Так как пятёрок больше, значит, будет «5».
Число чаще всего встречается в ряде отметок ученика, т.е. « популярное
или модное». В статистике подобное число в ряде числовых данных
называется модой. Дайте определение моды.
Число, которое встречается в числовом ряду наиболее часто,
называют обычно модой.
29
Пример а) Запишем числовой ряд 5,3, 4, 4, 4, 3, 3, 3, 4. Найдите
моду.
Проблема. Оказывается, что здесь два числа встречаются одинаковое
количество раз. Значит, ряд имеет две моды: 3 и 4.
б) Рассмотрим ряд 2, 3, 4, 5. Найдём моду. Проблема. Вывод, моды
нет.
Сформулируйте вывод о количестве мод у числового ряда.
(Вывод: числовой ряд может не иметь моды, а может иметь больше
одной моды.)
Мода используется не только в числовых рядах. Вы уже знакомы с
социологическими опросами. Мода – показатель, который широко
используется в статистике. Одним из наиболее частых использований моды
является изучение спроса. Примеры (какой предмет больше нравится
всего…, какие открывать авиарейсы…).
2)
Как Вы думаете, нахождение среднего арифметического или
моды всегда позволяет делать надёжные выводы на основе статистических
данных? ( Ответ: да, нет.)
Например, известно, что на одной планете средняя температура
0
+15 С. Подходит температурный режим этой планеты для жизни людей. (
Ответ: да).
Пример. Найдите среднюю дневную температуру на планете Меркурий
-150 ; -1000; -750;+500;+3500. Ответ: 150.
0
Но данные соответствуют планете Меркурий. И люди ни когда не
смогут жить на этой планете. На самом деле температура на Меркурии
колеблется от -1500 до +3500. Чтобы делать прогнозы какие-либо по климату
данной планеты, надо ещё указать, насколько используемые данные
различаются между собой. Одним из статистических показателей различия
или разброса данных является размах. Найдите размах температур на планете
Меркурий. Ответ: 3500-(-1500)=5000.
Сформулируйте определение размаха ряда данных.
Размах – это разность наибольшего и наименьшего значений ряда
данных.
Помимо размаха, во многих случаях важны сами наибольшие или
наименьшие значения данных. Например, если посылается спутник для
30
исследования того же Меркурия, необходимо, чтобы приборы работали и при
минимальных, и при максимальных возможных там температур.
3)
Кроме
среднего
арифметического,
моды
и
размаха
статистической характеристикой является медиана ряда.
Рассмотрим таблицу результатов сдачи норматива по бегу на 100
метров, которые зафиксированы в таблице.
Имя
обучающегося
Результат, с
Имя
обучающегося
Результат, с
Дима
15,3
Маша
16,9
Стас
21,8
Даша
18,4
Антон
16,2
Юля
25,1
Миша
19,9
Настя
15,5
Максим
14,7
Алена
20,2
Сергей
15,4
Найдите, кто показал средний результат. И почему? Ответ: Маша, её
результат средний: 16,9 секунды, потому что 5 человек пробежали лучше
неё, а 5 – хуже, то есть её результат окажется как раз посередине турнирной
таблицы, если результаты записать в порядке убывания.
На языке статистики такой результат, как у Маши, и называют медианой
ряда данных.
14,7;15,3;15,4;15,5;16,2; 16,9; 18,4;19,9; 20,2;21,8;25,1
6-е число из 11.
Сформулируйте определение медианы ряда.
Медианой ряда, состоящего из нечётного количества чисел,
называется число данного ряда, которое окажется посередине, если
этот ряд упорядочить.
Найдите средний результат у девочек.
15,5; 16,9; 18,4; 20,2; 25,1
18,4- результат Даши
Найдите средний результат у мальчиков.
31
14,7;15,3; 15,4; 16,2; 19,9; 21,8. Проблема, количество мальчиков четно,
нет одного числа стоящего в середине, в середине стоят 2 числа. Как быть?
Ответ:
вычислим среднее арифметическое этих двух чисел
(15,4+16,2):2=15,8.
Сформулируйте определение
количества чисел.
медианой ряда, состоящего из чётного
Медианой ряда, состоящего из чётного количества чисел,
называется среднее арифметическое двух стоящих посередине чисел
этого ряда, если этот ряд упорядочить.
IV. Закрепление изученного материала.
Решить задания №857, 858,860.
V. Рефлексия.
Самостоятельная работа
Вариант 1.
Вариант 2.
1.На соревнованиях по фигурному
1.На соревнованиях по прыжкам в воду
катанию судьи поставили спортсмену
судьи поставили спортсмену следующие
следующие оценки: 5,3; 5.4; 5,2; 5,6; 5,1; 5,2;
оценки: 8,0; 7,9; 8,2; 8,1; 8,4; 8,1; 8,1.
5,3; 5,3; 5,5.
Для полученного ряда чисел найдите среднее значение, размах, моду
и медиану числового ряда.
2. Среднее значение ряда, состоящего
2. Среднее значение ряда, состоящего
из 8 чисел равно 25, приписали число 16.
из 9 чисел равно 48, вычеркнули число 16.
Чему равно среднее значение, полученного ряда?
Учащиеся проверяют работу по таблице ответов:
№ Задания
1.Среднее значение
Вариант 1.
Вариант 2.
5,3
8,1
Размах
0,5
0,5
Мода
5,3
8,1
Медиана
5,3
8,1
24
53
2.Среднее значение
и оценивают свою работу (решение сдают учителю).
VI. Домашнее задание. Выучить определения понятий, № 859,861,
862,864.
32
Подборка задач для 9 класса по теме
«Случайные величины»
Л.Н.Баева
МБОУ Араповская ООШ
УМК Ш.А.Алимова
Используемая литература:
М.В. Ткачева, Н.Е. Федорова. Элементы статистики и вероятность. – 2-е
изд.-М.: Просвещение,2005.
В.Н. Студенецкая . Решение задач по статистике, комбинаторике и
теории вероятностей 7-9 классы. -2-е изд. испр.- Волгоград: Учитель,2006
Случайные величины
Случайной величиной называется величина, которая в результате опыта
может принять то или иное значение, неизвестное заранее. Например, если
подбрасыва-ется игральная кость, то число выпавших очков – случайная
величина, которая может принимать значения 1, 2, 3, 4, 5, 6 с одной и той же
вероятностью, равной 1/6.
Или время ожидания автобуса на остановке – тоже случайная величина,
которая может принимать любое значение от 0 до Т, где Т – интервал
движения
автобусов
данного
маршрута.
Случайные величины подразделяются на дискретные и непрерывные.
Случайную величину называют дискретной или точечной, если
всевозможные ее значения образуют конечную или бесконечную числовую
последовательность.
Случайную величину называют непрерывной, если всевозможные ее
занесения образуют конечный или бесконечный интервал.
Случайная величина, приведенная в первом примере (число выпавших
очков при подбрасывании игрального кубика) является дискретной
случайной величиной. Время ожидания автобуса – непрерывная величина.
Закон распределения дискретной случайной величины.
Если известны вероятность появления каждого значения дискретной
случайной величины, то соответствие между возможными значениями и их
вероятностями называется закон распределения вероятностей дискретной
случайной величины.
Функция распределения.
Для непрерывной случайной величины Х вместо вероятности равенства
Х=х
используют
вероятность
Р(Х<х).
F(x)=P(X<x)
33
F-функция
распределения
случайной
величины
х
F(x) -самая универсальная характеристика случайной величины, она
существует для всех случайных величин как дискретных так и непрерывных.
Размах и центральные тенденции.
Генеральные совокупности и выборки случайных величин иногда
приходится характеризовать одним числом. На практике это бывает
необходимо, например, для быстрого сравнения двух или нескольких
совокупностей по общему признаку. Для этого могут быть использованы
различные характеристики.
Размах (обозначается R) – разница между наибольшим и наименьшим
значениями случайной величины.
Мода (обозначается Мо) – наиболее часто встречающееся значение
случайной величины.
Медиана (обозначается Ме) – это так называемое серединное значение
упорядоченного ряда значений случайной величины.
Средним значением случайной величины Х (обозначается Х¯)
называют среднее арифметическое всех ее значений.
Полигоны частот.
Распределение случайных величин можно задавать и демонстрировать
графичес-ки в виде полигона относительных частот, в виде линейной
диаграммы или в виде круговой диаграммы, предварительно переведя
значения относительной частоты в процентах
Отклонение от среднего и дисперсия.
Отклонением от среднего называют разность между рассматриваемым
значением случайной величины и средним значением всей совокупности.
Дисперсия (обозначается D) – среднее арифметическое суммы квадратов
отклонений.
Среднее квадратичное отклонение
Средним квадратичным отклонением называют корень квадратный их
дисперсии.
σ=√D
34
Задача №1
В группе из десяти изделий имеется одно бракованное. Чтобы его
обнаружить, выбирают, наугад, одно изделие за другим и каждое вынутое
проверяют. Построить ряд распределения и найти математическое ожидание
и дисперсию числа проверенных изделий.
Задача №2
На стол бросаются две монеты. Исходу «орел» припишем условное
числовое значение 0, а исходу «решка» - 1. Составить таблицу распределения
по вероят-ностям Р значений случайной величины Х – суммы выпавших на
монетах чисел.
Задача №3
В таблице записаны размеры обуви 20 девочек IX класса:
34
37
35
35
35
36
36
36
36
37
37
37
37
37
38
38
38
39
39
40
На основании этих данных составить таблицы распределения по
частотам (М) и относительным частотам (W) значений случайной величины
Х – размеров обуви девочек IX класса.
Задача №4
Построить полигон частот и полигон относительных частот значений
случайной величины Х, распределение которой представлено в таблице:
Х
М
23
6
24
5
25
2
26
3
27
1
28
3
Задача №5
При переписи населения данные о возрасте (полном количестве лет)
жильцов некоторого дома оказались следующими:
34,31,2,8,48,40,20,15,12,21,20,0,68,39,35,16,13,9,4,72,74,75,45,44,23,18,88,
60,54,30,32,11,10,5,57,53,56,24,2,1,60,59,34,
30,9,7,43,42,19,1,36,37,14,13,9,62,58,19,39,35,12,8,40,25,3,
33,34,8,7,4,28,0,41,29,21,1,31,27,6,3,70,56,67,25,24,2.
Разбить приведенные выше данные по классам.
распределение данных по классам в виде полигона частот.
Представить
35
Задача №6
Найти среднее значение выборки: 1) 3,4,1,2,5; 2) 2,-5,4,-3,-2,1;
3) -2,-2,3,3,3,5,5; 4) 4,4,4,5,5,6,6,6.
Задача №7
Сравнить дисперсии двух выборок, имеющих одинаковые средние
значения: 6,10,7,8,9 и 8,9,5,10.
Задача №8
Найдите среднее квадратичное отклонение величины Х, заданной
частотным распределением:
Х
М
-5
2
-2
3
2
4
3
2
Задача №9
Определить, какая выборка:
-1,0,2,3, или -5,-3,0,-3,1 – имеет меньшее рассеяние данных около своего
среднего значения.
Задача №10
Найти размах, моду и медиану следующей совокупности:
-2, 3, 4, -3, 0, 1, 3, -2, -1,2, -2, 1.
Решение.
Запишем предложенные значения в виде упорядоченного ряда чисел:
3, -2, -2, -2, -1, 0, 1, 1, 2, 3, 3, 4.
-
Размах R = 4-(-3)=7, мода Мо=-2. Так как число элементов N=12 – число
четное, то медиана равна среднему арифметическому значению шестого и
седьмого членов упорядоченного ряда чисел:
Ме =(0+1):2 =0,5
Ответ. R=7, Мо=-2, Ме=0,5.
36
Задача №11
Случайная величина
представленное в таблице
Х
М
Х
2
1
Найти ее дисперсию.
имеет
распределение
5
2
по
частотам
6
3
М,
12
1
Решение.
Х¯=2•1+5•2+6•3+12•1 =6
1+2+3+1
D= (2-6)²•1+ (5-6)² •2 + (6-6)²•3 + (12-6)²•1 ≈ 7,7
1+2+3+1
Ответ. D ≈ 7,7
Задача № 12
Составить таблицу распределения по вероятностям Р значений
случайной величины Х – число очков, появившихся при бросании: 1)
обыкновенного игрального кубика; 2) кубика, на двух гранях которого
отмечено 1 очко, на двух гранях -2 очка, на двух гранях – 3 очка; 3) кубика,
на трех гранях которого
отмечено 1 очко, на двух – 2 очка, на одной – 3 очка; 4) кубика, на двух
гранях которого отмечено 1 очко, на трех гранях -2 очка, на одной грани – 3
очка.
Решение.
1)
Х
Р
1
1
6
2
1
6
3
1
6
4
1
6
5
1
6
6
1
6
2)
Х
Р
1
1
3
2
1
3
3
1
3
37
3)
Х
Р
1
1
2
2
1
3
3
1
6
Х
Р
1
1
3
2
1
2
3
1
6
4)
Задача № 13
Используя таблицу значений функции Ф, найдите х, если известно, что:
а) Ф(х)= 0,3461;
б) Ф(х)=0,4441;
в) Ф(х)=0,0040;
г) Ф(-х)=0,4904
Решение.
По таблице значений φ(Х) И Ф(х) находим:
а) Ф(х)= 0,3461; х = 1,02.
б) Ф(х)=0,4441; х = 1,59.
в) Ф(х)=0,0040; х = 0,01.
г) Ф(-х)=0,4901; х = - 2,34.
Ответ: а) 1,02; б) 1,59; в) 0,01; г) -2,34.
38
Подборка задач для 9 класса по теме
«Случайные величины»
Г.Н.Балашова
МБОУ Каменская СОШ
УМК Ш.А.Алимова
Используемая литература:
1.Математика. Подготовка к ЕГЭ-2012. Элементы теории вероятностей и
статистики: учебно-методическое пособие. Под редакцией Ф.Ф.ЛысенкоРостов -на -Дону: Легион-М,2011.
2. Задачи по теории вероятностей и статистике (Интернет-ресурсы).
Задача 1.
В мешке находится 3 черных кубика и 5 белых. Случайным образом из
мешка достают два кубика. Какова вероятность того, что оба кубика белые?
(Ответ: 5/14)
Задача 2.
.На полке в случайном порядке расставлено 20 книг, среди которых
находится трехтомник Я.Купалы. Найдите вероятность того, что эти тома
стоят в порядке возрастания слева направо (но не обязательно рядом).
(Ответ: 1/6)
Задача 3.
Студент пришел на экзамен, зная лишь 20 из 25 вопросов программы.
Экзаменатор задал студенту три вопроса. Найдите вероятность того, что
студент знает все вопросы.
(Ответ: 57/115)
Задача 4.
По мосту производится бомбометание двух самолетов. Вероятность
попадания первого самолета 0,8, а второго 0,6. Мост будет разрушен, если в
него попадет хотя бы одна бомба. Какова вероятность того, что в результате
одного бомбометания двух самолетов мост будет разрушен?
(Ответ: 0,92)
39
Задача 5.
В коробке лежат 5 красных, 7 зеленых и 3 синих игральных кубика.
Случайным образом из коробки берут кубик, а затем бросают. Какова
вероятность того, что выпадет 5 очков на зеленом кубике?
(Ответ: 7/90)
Задача 6.
Из пакета , в котором 6 пряников с начинкой и 3- без начинки , наудачу
последовательно по одному достают пряники до первого появления пряника
без начинки. Какова вероятность того, что пряник без начинки извлекут
четвертым?
(Ответ: 5/42)
Задача 7.
Бросают игральный кубик. Какова вероятность того, что выпало четное
число очков, если известно, что число выпавших очков меньше 5?
(Ответ: 0,5)
Задача 8.
В тире имеется пять винтовок, вероятности попадания из которых
соответственно равны 0,5; 0,6; 0,7; 0,8 и 09. Стрелок берет наудачу одну из
винтовок. Найти вероятность попадания в цель.
(Ответ: 0,7)
Задача 9.
В урне 4 белых и 6 черных шаров. Из урны наудачу извлечены 2 шара.
Найти вероятность того, что они разного цвета.
(Ответ: 8/15)
Задача 10.
Экзаменационный билет содержит три вопроса. Вероятность того, что
студент ответит на первый и второй вопросы одинаковы и равны 0,9; на
третий-0,8. Найти вероятность того, что студент ответит: а) на все вопросы;
б) по крайней мере, на два вопроса.
(Ответ: 0,648; 0,954)
40
Подборка задач для 9 класса для подготовки к ГИА по теме
«Вероятность»
М.А.Перцова
МБОУ Лакшинская СОШ
УМК Ш.А.Алимова
1.
Андрей выбирает трехзначное число. Найдите вероятность того, что оно
делится на 33.
Максим выбирает трехзначное число. Найдите вероятность того, что оно
делится на 5.
Леша наудачу выбирает двузначное число. Найдите вероятность того,
что оно оканчивается на 0.
Юра наудачу выбирает двузначное число. Найдите вероятность того, что
оно начинается на 6.
Степа наудачу выбирает двузначное число. Найдите вероятность того,
что оно начинается на 8.
Дима наудачу выбирает двузначное число. Найдите вероятность того,
что оно оканчивается на 9.
2.
Родительский комитет закупил 20 пазлов для подарков детям на
окончание года, из них 11 с машинами и 9 с видами городов. Подарки
распределяются случайным образом. Найдите вероятность того, что Илюше
достанется пазл с машиной.
Родительский комитет закупил 27 пазлов для подарков детям на
окончание года, из них 8 с картинами известных художников и 19 с
изображениями животных. Подарки распределяются случайным образом.
Найдите вероятность того, что Ксюше достанется пазл с животным.
На тарелке 30 пирожков: 7 с мясом, 17 с капустой и 6 с вишней. Женя
наугад выбирает один пирожок. Найдите вероятность того, что он окажется с
вишней.
На тарелке восемнадцать пирожков: 4 с мясом, 6 с капустой и 8 с
вишней. Андрей наугад выбирает один пирожок. Найдите вероятность того,
что он окажется с мясом.
41
В фирме такси в данный момент свободно 15 машин: 3 черных, 6
желтых и 6 зеленых. По вызову выехала одна из машин, случайно
оказавшаяся ближе всего к заказчику. Найдите вероятность того, что к нему
приедет желтое такси.
В фирме такси в данный момент свободно 30 машин: 3 черных, 10
желтых и 17 зеленых. По вызову выехала одна из машин, случайно
оказавшаяся ближе всего к заказчице. Найдите вероятность того, что к ней
приедет зеленое такси.
3.
На экзамене 40 билетов, Сеня не выучил 8 из них. Найдите вероятность
того, что ему попадется выученный билет.
На экзамене 25 билетов, Костя не выучил 4 из них. Найдите вероятность
того, что ему попадется выученный билет.
На экзамене 35 билетов, Стас не выучил 7 из них. Найдите вероятность
того, что ему попадется выученный билет.
Валя с папой решили покататься на колесе обозрения. Всего на колесе
пятнадцать кабинок, из них 3 — синие, 6 — зеленые, остальные — красные.
Кабинки по очереди подходят к платформе для посадки. Найдите
вероятность того, что Валя прокатится в красной кабинке.
Дима с папой решили покататься на колесе обозрения. Всего на колесе
тридцать кабинок, из них 4 — синие, 14 — зеленые, остальные — красные.
Кабинки по очереди подходят к платформе для посадки. Найдите
вероятность того, что Дима прокатится в красной кабинке.
Стас с папой решили покататься на колесе обозрения. Всего на колесе
двадцать одна кабинка, из них 4 — синие, 8 — зеленые, остальные —
оранжевые. Кабинки по очереди подходят к платформе для посадки. Найдите
вероятность того, что Стас прокатится в оранжевой кабинке.
Антон с папой решили покататься на колесе обозрения. Всего на колесе
семь кабинок, из них 2 — синие, 4 — зеленые, остальные — оранжевые.
Кабинки по очереди подходят к платформе для посадки. Найдите
вероятность того, что Антон прокатится в оранжевой кабинке.
В среднем из каждых 100 поступивших в продажу аккумуляторов 96
аккумуляторов заряжены. Найдите вероятность того, что купленный
аккумулятор не заряжен.
42
В среднем из каждых 50 поступивших в продажу аккумуляторов 45
аккумуляторов заряжены. Найдите вероятность того, что купленный
аккумулятор не заряжен.
В среднем на 100 карманных фонариков приходится
неисправных. Найдите вероятность купить работающий фонарик.
восемь
В среднем на 150 карманных фонариков приходится восемнадцать
неисправных. Найдите вероятность купить работающий фонарик.
В среднем на 200 карманных фонариков приходится
неисправных. Найдите вероятность купить работающий фонарик.
четыре
На экзамене 40 билетов, Сеня не выучил 8 из них. Найдите вероятность
того, что ему попадется выученный билет.
На экзамене 25 билетов, Костя не выучил 4 из них. Найдите вероятность
того, что ему попадется выученный билет.
На экзамене 35 билетов, Стас не выучил 7 из них. Найдите вероятность
того, что ему попадется выученный билет.
У бабушки 15 чашек: 3 с красными цветами, остальные с синими.
Бабушка наливает чай в случайно выбранную чашку. Найдите вероятность
того, что это будет чашка с синими цветами.
У дедушки 17 чашек: 5 с красными звездами, остальные с золотыми.
Дедушка наливает чай в случайно выбранную чашку. Найдите вероятность
того, что это будет чашка с золотыми звездами.
Телевизор у Коли сломался и показывает только один случайный канал.
Коля включает телевизор. В это время по пятнадцати каналам из тридцати
показывают кинокомедии. Найдите вероятность того, что Коля попадет на
канал, где комедия не идет.
Телевизор у Марины сломался и показывает только один случайный
канал. Марина включает телевизор. В это время по двум каналам из двадцати
показывают кинокомедии. Найдите вероятность того, что Марина попадет на
канал, где комедия не идет.
Телевизор у Коли сломался и показывает только один случайный канал.
Коля включает телевизор. В это время по двадцати каналам из пятидесяти
показывают кинокомедии. Найдите вероятность того, что Коля попадет на
канал, где комедия не идет.
43
В каждой сотой банке кофе согласно условиям акции есть приз. Призы
распределены по банкам случайно. Галя покупает банку кофе в надежде
выиграть приз. Найдите вероятность того, что Галя не найдет приз в своей
банке.
В каждой шестой банке кофе согласно условиям акции есть приз. Призы
распределены по банкам случайно. Валя покупает банку кофе в надежде
выиграть приз. Найдите вероятность того, что Валя не найдет приз в своей
банке.
В каждой одиннадцатой банке кофе согласно условиям акции есть приз.
Призы распределены по банкам случайно. Наташа покупает банку кофе в
надежде выиграть приз. Найдите вероятность того, что Наташа не найдет
приз в своей банке.
Решение задач.
1.
Задач №1. Трехзначные числа с 100 до 999, n=900. Числа, которые
делятся на 33:
132,165, 198 (33*3=99, 33*4=132 и т.д.) m = 3, P = 3/900 = 1/300
Задача №3 С 10 до 99 n=90. Числа, которые оканчиваются 0: 10, 20,
30, 40, 50, 60, 70, 80, 90 m = 9, P = 9/90 = 0,1.
Задача №4
Р = 10/90 = 1/9.
n=90. Числа, которые начинаются на 6 их 10, тогда m=10,
3.
В задачах этого пункта
благоприятствует событию.
требуется
найти
число,
которое
Задача №5. Всего кабинок 30, красных 30-4-14=12, тогда n =30, m =
12, Р = 12/30 = 0,4
Задача №23. Всего банок 11, приз в одной банке, тогда n = 11, m = 11-1
= 10, Р = 10/11.
Задача № 20. Всего каналов 50, n = 50. Комедии на 20 каналах, тогда
m = 50 – 20 = 30, P = 30/50 = 0,6
44
Разработка урока математики в 9 классе по теме
«Простейшие вероятностные задачи»
И.В.Сорокина, учитель математики
МБОУ СОШ № 1
УМК А.Г.Мордкович
Тип урока: комбинированный (рассчитан на 2 часа).
Цели урока:
 ввести понятия событий достоверных, невозможных и случайных;
 дать классическое определение вероятности;
 ввести определение противоположного события, изучить теорему для
нахождения вероятности противоположного события;
 ввести определение несовместных событий, изучить вероятность
суммы несовместных событий;
 развивать логическое мышление учащихся.
Задачи урока:
 образовательные: научить в процессе реальной ситуации определять
достоверные,
невозможные,
равновероятностные,
совместные
и
несовместные события; научить решать задач;
 воспитательные: воспитание умения слушать и вступать в диалог,
участвовать в коллективном обсуждении проблем, интегрироваться в группу
сверстников и строить продуктивное взаимодействие,
настойчивости в
достижении цели и заинтересованности в конечном результате труда.
 развивающие: развитие умения анализировать, обобщать изучаемые
факты, выделять и сравнивать существенные признаки, выбирать наиболее
эффективные способы решения задач в зависимости от конкретных условий;
рефлексия способов и условий действия; контроль и оценка процесса и
результатов деятельности.
45
Оборудование и материалы для урока: компьютер, проектор,
презентация по теме «Простейшие вероятностные задачи», экран.
ХОД УРОКА:
1)
Организационный момент.
Приветствие учеников, сообщение темы и цели урока
2)
Повторение и закрепление пройденного материала.
 Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешенных задач).
 Контроль усвоения материала (письменный опрос).
Вариант 1
1. Определение среднего арифметического.
2. Приведен рост (в см) пяти человек: 163, 183, 172, 180, 172. Найдите
среднее арифметическое, моду, медиану.
Вариант 2
1. Определение моды измерений.
2. Приведен рост (в см) пяти человек: 187, 162, 171, 162, 183. Найдите
среднее арифметическое, моду, медиану.
3)
Изучение нового материала.

Рассмотрим задачу.
Задача. Из цифр 1, 5, 9 составить трёхзначное число без повторяющихся
цифр.
Возможные варианты: 159, 195, 519, 591, 915, 951.
Ответим на вопросы:
1)
Какую часть составляют числа кратные 5?
46
В теории вероятностей говорят так:
- это вероятность того, что
трехзначное число, составленное из неповторяющихся цифр 1, 5, 9 будет
кратно 5.
2)
Какова вероятность того, что получится число большее 5?
3)
Какова вероятность того, что получится число кратное 3?
4)
Какова вероятность того, что получится число кратное 9?

Событием А в теории вероятности называется выполнение
какого-либо свойства в исходах рассматриваемого испытания.
Классификация событий (достоверные, случайные, невозможные).

Определить каким является событие:
№1. Из 25 учащихся класса двое справляют день рождения:
- 30 января;
- 30 февраля.
№2. Случайным образом открывается учебник литературы и находится
второе слово на левой странице. Это слово начинается:
- с буквы К;
- с буквы Ь.
№3. Измерены длины сторон треугольника. Оказалось, что длина
каждой стороны меньше суммы длин двух других сторон.
№4. Предложить свои варианты.

Более
подробно
остановимся
на
случайных
событиях.
Рассмотрим задачу с монетками.
Задача. Монету подбрасывают три раза. Какова вероятность того, что:

все три раза выпадет «решка»;

«решка» выпадет в два раза чаще, чем «орел»;

«орел» выпадет в три раза чаще, чем «решка»;
47

при первом и третьем подбрасывании результаты будут
различны?
В данной задаче мы имели дело с равновозможными событиями.
Определение.

Проанализировав решение данной задачи, можно составить
алгоритм нахождения вероятности случайного события. (Обсуждение)
Данный алгоритм называется классической вероятностной схемой, им
можно воспользоваться при условии, что все исходы равновозможные.
(Слайд с алгоритмом).
Вероятность события А обозначается р (А), краткая запись алгоритма.

Эти три пункта алгоритма иногда объединяют в одну фразу,
которая называется классическим определением вероятности. (Определение
на слайде).

Исходя из этого определения, можно сказать о вероятности
достоверного и невозможного событий. ( Запись вывода в тетрадях)

Задача. Из 50 шаров 17 окрашены в синий цвет, 13 - в оранжевый,
остальные в другие цвета. Какова вероятность того, что случайным образом
выбранный шар окажется:

синим;

не оранжевым;

или синим, или оранжевым;

ни синим, ни оранжевым?

Определение несовместных событий; теорема о нахождение
вероятности несовместных событий.
Укажите какие пары событий являются совместными, а какие несовместными:
№1. В сыгранной Катей и Славой партии в шахматы:
- Катя выиграла, Слава проиграл;
48
- Катя проиграла, Слава проиграл.
№2. Брошена игральная кость. На верхней грани оказалось:
- 6 очков, 5 очков;
- 6 очков, четное число очков.
№3. Из событий:
- идет дождь;
- на небе нет ни облачка;
- наступило лето
составить всевозможные пары и выявить среди них пары совместных и
несовместных событий.

Определение противоположного события; теорема о нахождении
вероятности противоположного события.
Задача. Какова вероятность того, что при трех последовательных
бросаниях игрального кубика хотя бы один раз выпадет 6? (Решение на
слайде №13).

Задача, приводящая к нахождению геометрической вероятности
(слайд №14). Правило нахождения геометрической вероятности (слайд №14).
4) Итоги урока.

Что нового узнали на уроке?

Чем будем заниматься на следующем уроке?

Составить отзыв об уроке: что понравилось или не понравилось,
понял или не понял, на что обратить внимание на следующем уроке.
5) Домашнее задание.
§20 (читать, определения и формулировки учить), № 20.2,20.7.
49
Разработка урока математики в 9 классе по теме
«Относительная частота и закон больших чисел»
Т.П.Дрябина, учитель математики
МБОУ СОШ № 6
УМК Ш.А.Алимова
Формы использования технологии:
1.
Побуждающий диалог.
2.
Подводящий диалог.
3.
Проблемные вопросы.
4.
Задания
ассоциации и аналогии.
на
сопоставление,
сравнение,
Большая доля самостоятельной работы.
5.
Цели урока:
 Дать
определение относительной частоты и закона больших,
познакомить с формулой закона больших чисел.
 Продолжить
формировать
умения
находить
значения
относительной частоты, соотносить их со значениями вероятности;
формирование знаний закона больших чисел, умений представлять
полученную информацию в виде таблиц и диаграмм;
 Развитие
исследовательских навыков, аналитического мышления;
 Развивать
умения решать задачи.
 Способствовать
учащихся,
математики.
удовлетворению
проявляющих интерес и
потребностей и запросов
способности к изучению
ХОД ЗАНЯТИЯ
I. Организационный момент: цели и задачи занятия, исходная
мотивация, психологический настрой учащихся на занятие и личность
учителя.
II. Проверка домашнего задания.
50
Задача 1. Набирая номер телефона, состоящий из 7 цифр, абонент
забыл, в какой последовательности идут три последние цифры. Помня лишь,
что это цифры 1, 5 и 9, он набрал первые четыре цифры, которые знал, и
наугад комбинацию из цифр !, 5 и 9. Какова вероятность того, что абонент
набрал правильный номер?
Решение. Исходы – перестановки из трех элементов (1, 5, 9); общее
число исходов:
n  P3  3! 6
Событие А={абонент набрал верный номер}; mA  1
P( A) 
mA 1

n
6
Задача 2. На каждой карточке написана одна из букв О, П, Р, С, Т.
Несколько карточек наугад выкладывают одну за другой в ряд. Какова
вероятность, что при выкладывании:
а) 3-х карточек получится слово РОТ;
б) 4-х карточек получится слово СОРТ;
в) 5-ти карточек получится слово СПОРТ?
Решение. Исходами опыта будут расположения выбранных карточек в
определенном порядке, то есть размещения Amk .
Исходное множество содержит т=5 элементов.
Обозначим буквами А, В, С случайные события, указанные в условии
задачи. Найдем их вероятности.
а) Выбираются 3 карточки, k=3, общее число исходов
5!
 3  4  5  60.
2!
1
m A  1, P( A)  .
60
m
5!
1
б) n  A54 
 2  3  4  5  120, m B  1, P( B)  B 
.
(5  4)!
n
120
m
5!
5! 5!
1
   120, mC  1, P(C )  C 
.
в) n  A55 
(5  5)! 0! 1
n
120
n  A53 
Задача 3. В пачке находятся одинаковые по размеру 7 тетрадей в
линейку и 5 в клетку. Из пачки наугад берут 3 тетради. Какова вероятность
того, что все три тетради окажутся в клетку?
Решение. Общее число возможных исходов n  C123 
12! 10  11  12

 220.
3!9!
1 2  3
А={все три тетради в наборе – в клетку}.
m A  C53  C52 
m
45
10
1
 10; P( A)  A 

 0,045
1 2
n
220 22
- Можно ли утверждать, что полученные данные относительной частоты
будут справедливы для всех учителей и всех учащихся? Что необходимо,
чтобы данные были справедливы для всех?
51
III. Самостоятельная работа.
Вариант 1
Вариант 2
Вариант 3
Вариант 4
1. На столе 12
1. В коробке 24
1. В лотерее 100
кусков пирога. В
карандаша, из
билетов, из них 5
трех
них 3 красного
выигрышных.
«счастливых» из цвета. Из коробки
Какова
них запечены
наугад
вероятность
призы. Какова
вынимается
выигрыша?
вероятность взять карандаш. Какова
5
1
«счастливый»
вероятность того, ( P( A)  100  20 )
кусок пирога?
что он красный?
( P ( A) 
3 1
 )
12 4
( P( A) 
40
3
7
( P( A)  )
3 1
 )
24 8
2. В урне 15
2. Из чисел от 1
белых и 25
до 25 наудачу
черных шаров. Из выбрано число.
урны наугад
Какова
выбирается один вероятность того,
шар. Какова
что оно окажется
вероятность того,
кратным 5?
что он будет
(чисел всего 25,
белым?
кратных 5 – 5,
(15+25=40,
5 1
P ( A) 
 )
25 5
15 3
P ( A) 
 )
1. В вазе 7
цветков, из них 3
розы. Из букета
наугад
вынимается
цветок. Какова
вероятность того,
что это роза?
2. В корзине
2. В корзине 10
лежат 5 яблок и 3
яблок, из них 4
груши. Из
червивых. Какова
корзины наугад
вероятность того,
вынимается один
что любое взятое
фрукт. Какова
наугад яблоко
вероятность того,
окажется не
что это яблоко?
червивым?
5
8
(5+3=8, P( A)  )
(10-4=6,
P ( A) 
6 3
 )
10 5
8
IV. Изучение новой темы.
Математическая статистика, раздел математики, посвященный
математическим методам систематизации, обработки и использования
статистических данных для научных и практических выводов. При этом
статистическими данными называются сведения о числе объектов в какойлибо более или менее обширной совокупности, обладающих теми или иными
признаками.
Окружающий нас мир насыщен информацией – разнообразные потоки
данных окружают нас, захватывая в поле своего действия, лишая
52
правильного восприятия действительности. Не будет преувеличением
сказать, что информация становится частью действительности и нашего
сознания. Без адекватных технологий анализа информации (данных) человек
оказывается беспомощным в жестокой информационной среде. Статистика
позволяет компактно описать данные, понять их структуру, провести
классификацию, увидеть закономерности в хаосе случайных явлений.
Относительной частотой случайного события называют отношение
числа появлений этого события к общему числу проведенных
экспериментов:
W ( A) 
NA
N
где А – случайное событие по отношению к некоторому испытанию
N раз проведено испытание и при этом событие А наступило в NA
случаях.
Пример 1. Наблюдения показывают, что в среднем среди 1000
новорожденных детей 515 мальчиков. W ( A) 
515
 0,515 . Частота рождения
1000
мальчика в такой серии наблюдений равна 0,515.
Пример 2. За лето на Черноморском побережье было 67 солнечных
дней. Какова частота солнечных дней на побережье за лето? Частота
пасмурных дней? ( W ( A) 
67
25
 0,728 , W ( B) 
 0,272. )
92
92
Пример 3. Отдел технического контроля обнаружил 5 бракованных
изделий в партии из 1000 изделий. Найдите частоту изготовления
бракованных изделий.
Пример 4. Для выяснения качества семян было отобрано и высеяно в
лабораторных условиях 1000 штук. 980 семян дали нормальный всход.
Найдите частоту нормального всхода семян.
Проблемный вопрос: Может быть, относительную частоту и нужно
принять за вероятность?
К сожалению, такое определение приводит к одному неудобству –
значение частоты зависит от конкретной серии опытов и от их
количества.
Фундаментальным свойством относительных частот (если хотите –
законом природы) является тот факт, что с увеличением числа опытов
относительная частота случайного события постепенно стабилизируется
и приближается к вполне определенному числу, которое и следует считать
его вероятностью.
Закон больших чисел в экономической науке и в социальноэкономической статистике, проявление одного из важнейших объективных
законов, сопутствующее формированию закономерностей массовых
53
социально-экономических процессов. Закон больших чисел не образует
закономерность, а лишь управляет её проявлением. На интуитивном
признании закон больших чисел уже основывались в своих демографических
и статистических исследованиях Дж. Граунт (1662), У. Петти, Э. Галлей
(1693), И. Зюсмильх (1741), А. Кетле.
Понятия закона больших чисел
ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ — принцип, по которому частота
финансовых потерь определенного вида может быть предсказана с высокой
точностью тогда, когда есть большое количество потерь аналогичных
видов.…
ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ — в теории вероятностей утверждает, что
эмпирическое среднее (среднее арифметическое) конечной выборки из
фиксированного распределения близко к теоретическому среднему
(математическому ожиданию) этого распределения.
УСИЛЕННЫЙ ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ — Закон больших чисел в
теории вероятностей утверждает, что эмпирическое среднее (среднее
арифметическое) конечной выборки из фиксированного распределения
близко к теоретическому среднему (математическому ожиданию) этого
распределения.
ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ в наиболее простой форме гласит, что
количественные закономерности массовых явлений отчетливо проявляются
лишь в достаточно большом их числе.
Таким образом, сущность его заключается в том, что в числах,
получающихся в результате массового наблюдения, выступают
определенные правильности, которые не могут быть обнаружены в
небольшом числе фактов.
Закон больших чисел выражает диалектику случайного и необходимого.
В результате взаимопогашения случайных отклонений средние величины,
исчисленные для величины одного и того же вида, становятся типичными,
отражающими действия постоянных и существенных фактов в данных
условиях места и времени.
Тенденции и закономерности, вскрытые с помощью закона больших
чисел, имеют силу лишь как массовые тенденции, но не как законы для
каждого отдельного случая.
54
Принцип математической статистики, согласно которому совместное
действие набора случайных факторов может привести к неслучайному
(детерминированному) результату. Первым примером действия этого
принципа может служить сближение частоты наступления случайного
события с его вероятностью при возрастании числа испытаний.
Простейший пример – опыт с бросанием монеты. Теоретически
выпадение орла или решки равновероятно. Это значит, что если подбросить
монету 10 раз, то 5 раз должен выпасть орел и 5 раз – решка. Однако
общеизвестно что вероятность этого очень мала. С тем же успехом может
выпасть 9 к 1, 3 к 5 и т.д. Тем не менее, если увеличить число опытов,
скажем, до 100, то вероятность выпадения орла или решки приблизится к
50%. В пределе, если устремить число опытов к бесконечности, то
вероятность выпадения орла и решки будет асимптотически стремиться к
50%.
То, какой стороной упадет монета, зависит от множества случайных
факторов: как она будет лежать на ладони у экспериментатора, силы броска,
высоты падения, скорости и т. д. Тем не менее при достаточно большом
числе опытов независимо от действия этих факторов мы всегда можем
утверждать, что эмпирическая (опытная) вероятность будет близка к
теоретической.
Например, пусть требуется оценить доходы населения в некотором
регионе. Если мы рассмотрим 10 наблюдений, в которых у 9 респондентов
доходы были около 20 000, а у одного – 500 000, то расчет простого среднего
покажет доход на уровне 68 000, что, вообще говоря, не отражает реальную
картину. Если же мы рассмотрим 100 наблюдений, из которых 99 покажут
доход 20 000 и только один – 500 000, то среднее составит около 28 000, что
более адекватно отражает реальную ситуацию. При увеличении числа
наблюдений, среднее будет стремиться к своему истинному значению.
Именно закон больших чисел при анализе данных требует, что
называется, «набрать статистику», т. е. использовать как можно большее
число наблюдений, для получения достоверных результатов.
Два друга проводили испытания с подбрасыванием монеты и наблюдали
за появлением орла и решки. Результаты заносились в таблицу. После 50
подбрасываний оказалось, что при увеличении числа испытаний
относительная частота появления орла все меньше отличается от 0,5, т.е. от
величины вероятности этого события в классическом понимании.
55
Описанные факты подтверждают и дошедшие до нас исторические
сведения.
Известно, что в XVIII веке французский естествоиспытатель Жорж Луи
Леклерк де Бюффон провел 4040 испытаний с подбрасыванием монеты. В
результате чего наблюдал появление орла 2048 раз. Таким образом. Бюффон
получил относительную частоту появления орла 0,5069.
Можно считать достоверным тот факт, что при большом числе
испытаний относительная частота события W(A) практически не отличается
от его вероятности Р(А), т.е. Р(А)~W(A) при большом числе испытаний.
Относительная частота обнаруживает устойчивость, т.е. в различных
опытах относительная частота изменяется мало (тем меньше, чем проведено
больше испытаний), колеблясь около некоторого постоянного числа
(вспомнить пример о рождении мальчиков и девочек).
После работы с текстом обсуждаются полученные результаты.
V. Исследовательская работа.
Провести совместно 10 опытов по выбрасыванию кубика, данные
занести в таблицу на доске.
Проведение эксперимента по вычислению относительной частоты
выпадения очков на игральном кубике (работа в группах), заполняется
таблица, информация обрабатывается и представляется в виде графика или
гистограммы на компьютере.
Исходы
1
2
3
4
5
6
Подсчет
случаев
Частота (М)
Относительная
Частота (W)
Воспитание толерантности, умения работать в команде, выступать перед
аудиторией.
VI. Решение задач. № 368
Задача №1. Индивидуальная работа на местах.
56
Чтобы определить, как часто встречаются в лесопарке деревья разных
пород, ребята провели следующие эксперименты. Каждый выбрал свою
тропинку и по пути следования записывал породу каждого десятого дерева.
Результаты были занесены в таблицу:
Породы
Число
деревьев
С
осна
уб
Д
Б
ереза ль
Е
О
В
сина сего
17
2
23
6
5
3
15
1
7
3
7
57
Оцените вероятность того, что выбранное наугад в этом парке дерево
будет:
а) сосной;
б) хвойным;
в) лиственным.
Указание. Ответ запишите в виде десятичной дроби с тремя знаками
после запятой.
Решение.
а) A={выбранное наугад в парке дерево - сосна}
NА = 315, N = 757, Р(А) = 315/757  0,416;
б) В ={выбранное наугад в парке дерево - хвойное}
NА = 315 + 67 = 382, N = 757.
Р(А) = 382/757  0,505;
в) C = {выбранное наугад в парке дерево - лиственное}
NА = 217 + 123 + 35 = 375, N = 757.
Р(А) = 375/757  0,495.
Задача №2. По статистике, на каждые 1000 лампочек приходится 3
бракованные. Какова вероятность купить исправную лампочку?
Решение.
3/1000=0,003
1 – 0,003=0,997
Задача №3.
Демографы утверждают, что вероятность рождения близнецов равна
0,012. В скольких случаях из 10 000 рождений можно ожидать появление
близнецов?
Решение.
57
P( A)  0,012
N  10000
N
P( A)  A
N
NA
 0,012
10000
N A  0,012  10000  120
Ответ: в 120 случаях.
VII. Обобщение изученного материала. Итог урока.
1. Запишите формулу вычисления вероятности случайного события
в классической модели. Поясните, что означает каждая буква в этой
формуле.
2. Запишите формулу вычисления вероятности случайного события
в статистической модели. Поясните, что означает каждая буква в этой
формуле.
3. Какому условию должны удовлетворять исходы опыта, чтобы
можно было воспользоваться классическим определением вероятности?
4. Чему равна частота достоверного события?
5. Что такое абсолютная частота? относительная частота?
6. Как частота связана с вероятностью?
7. После 100 опытов частота события А оказалась равна 0, а частота
события В равна 1. Можно ли сказать, что событие А невозможное, а
событие В – достоверное?
VIII. Домашнее задание. № 371, № 372 п.26
Задача №1. По статистике в городе Богородске за год из каждой 1000
автомобилистов два попадают в аварию. Какова вероятность того, что
автомобилист в этом городе весь год проездит без аварий?
Решение.
2
 0,002
1000
1  0,002  0,998
P( A) 
Задача №2. Чтобы определить, какой цвет волос встречается в городе
чаще, а какой реже, студенты за полчаса провели следующий эксперимент.
Каждый выбрал свой маршрут и записывал по пути следования цвет волос
каждого пятого встречного. Результаты были занесены в следующую
таблицу:
Цвет
волос
Число
людей
Брю
Ша
Р
Блон
В
неты
тены
ыжие дины
сего
198
372
8
3
212
8
65
Оцените вероятность того, что выбранный наугад житель этого города
будет:
а) шатеном;
58
б) рыжим;
в) не рыжим.
Указание. Ответ запишите в виде десятичной дроби с двумя знаками
после запятой.
Решение.
а) N A  372, N  865, P( A) 
б) P( A) 
N A 372

 0,430
N
865
83
 0,096
865
в) N A  865  83  782, P( A) 
782
 0,904
865
IХ. Итоги занятия.
Заключение
Значение факта действия закона больших чисел велико для любой
современной науки, в частности и в особенности — для научной разработки
теории статистики и методов статистического познания. Действие закона
больших чисел имеет всеобщее значение для самих объектов
статистического изучения — статистических совокупностей с их сводными
признаками и массовыми закономерностями. На планомерном использовании
действия закона больших чисел при случайном отборе единиц массовой
совокупности для образования выборки основан важный статистический
метод выборочного наблюдения.
Список литературы
1. Слуцкий Е.Е., К вопросу о законе больших чисел, «Вестник
статистики»,1999;
2. Пасхавер И.С. Закон больших чисел и закономерности массового
процесса, М., 2006;
3. Лившиц Ф.Д Закон больших чисел. М. 2007;
59
60