Самостоятельные работы по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика»

Самостоятельные работы по дисциплине «Теория вероятностей
и математическая статистика»
Тема «Элементы комбинаторики»
Решить задачи на различные комбинаторные схемы:
1. Расписание одного дня содержит 5 уроков. Определить количество таких расписаний
при выборе из одиннадцати дисциплин.
2. Комиссия состоит из председателя, его заместителя и еще пяти человек. Сколькими
способами члены комиссии могут распределять между собой обязанности?
3. Сколькими способами можно выбрать трех дежурных из группы в 20 человек?
4. Сколько различных звукосочетаний можно взять на десяти выбранных клавишах рояля,
если каждое звукосочетание может содержать от трех до десяти звуков?
5. В вазе стоят 10 красных и 5 розовых гвоздик. Сколькими способами можно выбрать из
вазы пять гвоздик одного цвета?
6. Номера трамвайных маршрутов иногда обозначаются двумя цветными фонарями. Какое
количество различных маршрутов можно обозначить, если использовать фонари восьми
цветов?
7. Чемпионат, в котором участвуют 16 команд, проводится в два круга (т.е. каждая
команда дважды встречается с любой другой). Определить, какое количество встреч
следует провести.
8. Замок открывается только в том случае, если набран определенный трехзначный номер.
Попытка состоит в том, что набирают наугад три цифры из заданных пяти цифр. Угадать
номер удалось только на последней из всех возможных попыток. Сколько попыток
предшествовало удачной?
9. Из группы в 15 человек выбирают четырех участников эстафеты 800+400+200+100.
Сколькими способами можно расставить спортсменов по этапам эстафеты?
10. Команда из пяти человек выступает на соревнованиях по плаванию, в которых
участвуют еще 20 спортсменов. Сколькими способами могут распределиться места,
занятые членами этой команды?
11. Сколькими способами можно расположить на шахматной доске две ладьи так, чтобы
одна не могла взять другую? (Одна ладья может взять другую, если она находиться с ней
на одной горизонтали или на одной вертикали шахматной доски.)
12. Две ладьи различного цвета расположены на шахматной доске так, что каждая может
взять другую. Сколько существует таких расположений?
13. Порядок выступления восьми участников конкурса определяется жребием. Сколько
различных исходов жеребьевки при этом возможно?
14. Тридцать человек разбиты на три группы по десять человек в каждой. Сколько может
быть различных составов групп?
15. Сколько четырехзначных чисел, делящихся на 5, можно составить из цифр 0, 1, 3, 5, 7,
если каждое число не должно содержать одинаковых цифр?
16. Сколько различных светящихся колец можно сделать, расположив по окружности 10
разноцветных лампочек (кольца считаются одинаковыми при одинаковом порядке
следования цветов)?
17. На книжной полке помещается 30 томов. Сколькими способами их можно расставить,
чтобы при этом первый и второй тома не стояли рядом?
18. Четыре стрелка должны поразить восемь мишеней (каждый по две). Сколькими
способами они могут распределить мишени между собой?
Тема «Классическое определение вероятности»
Задача 1
В замке на общей оси пять дисков. Каждый диск разделен на шесть секторов, на
которых написаны различные буквы. Замок открывается только в том случае, если
каждый диск занимает одно определенное положение относительно корпуса замка. Найти
вероятность того, что при произвольной установке дисков замок можно будет открыть.
Отв.р = 1 / 65.
Задача 2
Библиотечка состоит из десяти различных книг, причем пять книг стоят по 4 рубля
каждая, три книги — по одному рублю и две книги — по 3 рубля. Найти вероятность того,
что взятые наудачу две книги стоят 5 рублей. Отв.р = C15 * C13 / C210 = 1 / 3.
Задача 3
В партии из 100 деталей отдел технического контроля обнаружил 5 нестандартных
деталей. Чему равна относительная частота появления нестандартных деталей? Отв. w =
0,05.
Задача 4
Шесть шаров случайным образом раскладывают в три ящика. Найти вероятность
того, что во всех ящиках окажется разное число шаров, при условии, что все ящики не
пустые.
Задача 5
На завод привезли партию из 1000 подшипников. Случайно в эту партию попало
30 подшипников, не удовлетворяющих стандарту. Определить вероятность P(A) того, что
взятый наудачу подшипник окажется стандартным.
Задача 6
В урне 10 шаров: 3 белых и 7 черных. Из урны вынимают сразу два шара. Какова
вероятность р того, что оба шара окажутся белыми?
Задача 7
В урне 2 зеленых, 7 красных, 5 коричневых и 10 белых шаров. Какова вероятность
появления цветного шара?
Задача 8
Датчик случайных чисел генерирует двузначное случайное число. Какова
вероятность того, что сгенерированное число делится на 5?
Тема «Полная группа событий»
Задача 1
Вероятность того, что в течение одной смены возникнет неполадка станка, равна
0,05. Какова вероятность того, что не произойдет ни одной неполадки за три смены?
Задача 2
Три электрические лампочки последовательно включены в цепь. Вероятность того,
что одна (любая) лампочка перегорит, если напряжение в сети превысит номинальное,
равна 0,6. Найти вероятность того, что при повышенном напряжении тока в цепи не будет.
Ответ: 0,936
Задача 3
Предположим, что для одной торпеды вероятность потопить корабль равна ½.
Какова вероятность того, что 4 торпеды потопят корабль, если для потопления корабля
достаточно одного попадания в цель?
Задача 4
В ящике 10 красных и 6 синих пуговиц. Вынимаются наудачу две пуговицы.
Какова вероятность того, что пуговицы будут одноцветными?
Задача 5
Найти вероятность того, что взятое наудачу двузначное число окажется кратным 2,
либо 5, либо тому и другому одновременно.
Тема «Умножение зависимых событий. Условная вероятность»
Задача1
На каждой из шести одинаковых карточек напечатана одна из следующих букв: а,
т, м, р, с, о. Карточки тщательно перемешаны. Найти вероятность того, что на четырех,
вынутых по одной и расположенных "в одну линию" карточках можно будет прочесть
слово "трос".
Задача 2
Из тщательно перемешанного полного набора 28 костей домино наудачу извлечена
кость. Найти вероятность того, что вторую наудачу извлеченную кость можно приставить
к первой, если первая кость: а) оказалась дублем; б) не есть дубль.
Задача 3
На каждой из 6 карт написано по букве. Ребенок случайным образом сложил слово
К А Р Е Т А. Затем перемешал и снов сложил слово. Найти вероятность того, что слово
станет РАКЕТА?
Задача 4
На карточках есть цифры 0,1,2,3,4,5,6,7,2,3,4,4,9,1
Найти вероятность составления числа случайным образом: 2029, 102544, 1104459
Задача 5
В урне 3 белых и 4 черных шара. Из урны вынимается два шара. Найти вероятность
того, что оба будут белыми.
Задача 6
В партии 30 деталей. Из них 27 –стандартные. При проверке берут 5 деталей.
Найти вероятность того, что:
А) все детали стандартные
Б)4 стандартные, 1 нестандартная
В)3стандартные, 2 нестандартные.
Тема «Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий.
Формулы полной вероятности»
Задача 1
Чему равна вероятность того, что при бросании двух игральных костей 6 очков
появится хотя бы на одной из костей (событие А).
Задача 2
Имеется два набора деталей. Вероятность того, что деталь первого набора
стандартна, равна 0,8, а второго 0,9. Найти вероятность того, что взятая наудачу деталь (из
наудачу взятого набора) –стандартная.
Задача 3
В первой коробке содержится 20 радиоламп, из них 18 стандартные, во второй
коробке-10 ламп, из них 9 стандартных. Из второй коробки наудачу взята лампа и
переложена в первую. Найти вероятность того, что лампа, наудачу извлеченная из первой
коробки, будет стандартная.
Тема «Вероятность гипотез. Формула Байеса»
Задача 1
В пирамиде 10 винтовоки 4 с прицелом, вероятность попадания из винтовки с
прицелом равна 0,8. Без прицела 0,6. Из наудачу взятой винтовки сделан выстрел, в
результате цель была поражена. Найти вероятность того, что была взята винтовки без
оптического прицела.
Тема «Схема Бернулли, формула Бернулли. Приближенные формулы в схеме
Бернулли»
Тема «Наивероятнейшее число появления событий в n испытаниях»
Задача 1.
В результате каждого визита страхового агента договор заключается с
вероятностью 0,1. Найти наивероятнейшее число заключенных договоров после 25
визитов.
Задача 2
Было произведено 20 выстрелов . Вероятность попадания при одном равна 0,75.
Найти наивероятнейшее число попаданий.
P=0,75
K0-?
n=20, q=0,25
20*0,75-0,25≤k0≤20*0,75+0,75
K0=15 –наивероятнейшее число попаданий.
Задача 3
Монета подбрасывается 3 раза. Найти наиболее вероятное число успехов
(выпадений герба).
Тема «Формулы Пуассона и Муавра-Лапласа»
Задача 1
На АТС в среднем за 1 минуту поступает 1 вызов. Найти вероятность того,что за 3 минуты
поступит :
а) 2 вызова
б)менее двух вызовов
в)не менее двух вызовов
Задача 2
Страховая компания заключила 40000 договоров. Вероятность страхового случая по
каждому из них в течение года составляет 2%. Найти вероятность, что таких случаев
будет не более 870.
Задача 3
Курс акции за день может подняться на 1 пункт с вероятностью 50%, опуститься на 1
пункт с вероятностью 30% и остаться неизменным с вероятностью 20%. Найти
вероятность того, что за 5 дней торгов курс поднимется на 2 пункта.
Тема «Понятие ДСВ. Закон распределения ДСВ»
Тема «Понятие НСВ. Функция распределения вероятностей случайной
величины.
Плотность распределения вероятностей НСВ. Характеристики НСВ»