Развитие понятия числа в курсе математике Понятие «число», «уравнение», «функция» являются основными понятиями школьного курса математики. Поскольку уравнения, функции рассматриваются на множестве чисел, то понятие числа – основное математическое понятие математики, алгебры, алгебры и начал анализа. Многогранное исследование числовых множеств, их свойств с 1 по 11 класс изучения математики в теории и методике обучения математике оформлено в виде отдельной содержательно-методической линии – линии развития числа. Основные числовые множества изучаемые в математике общеобразовательной школы: — N – множество натуральных чисел. — Z – множество целых чисел. — Q – множество рациональных чисел. — R – множество действительных чисел. В углубленном изучении математики: — C– множество комплексных чисел. Все числовые множества связаны отношением включения. В этой связи понятие числа на разных этапах обучения в математике расширяется, поглощая предыдущие представления учащихся: — в 5 классе число – это и натуральное число и обыкновенная дробь, и десятичная дробь; — в 6 классе число – это и натуральное число и целое, и рациональное число; — в 7 классе число – это натуральное, целое, рациональное число, которые играют ключевые роли в уравнениях, неравенствах, функциях; — в 8 классе число – это и рациональные, и иррациональные числа, это действительное число с его геометрической моделью; — в 9 классе число – это действительное число на числовой прямой, на котором исследуются функции, уравнения, неравенства; — в 10 – 11 классе число – сформированное представление о действительном числе, множестве R со свойством непрерывности, но котором развиваются элементы математического анализа. С каждым расширением понятия числа в представлениях учащихся расширяется спектр свойств числа и операций над ними: — на N операция «+» и «*» являются алгебраическими, справедливы коммутативность, ассоциативность, дистрибутивность, поразрядное сложение и умножение; — на Z операции «+», «-», «*» являются алгебраическими, развивается теория делимости целых чисел (НОК, НОД, простые, составные числа), арифметические преобразования целых чисел; — на Q операции «+», «-», «*», «:» являются алгебраическими, развивается теория алгебраических преобразований рациональных выражений (обыкновенных и десятичных дробей); — на R операции «+», «-», «*»,«:» являются алгебраическими, на R+ — операции — алгебраическая, развивается теория приближений действительных чисел, формируется свойство непрерывности R, исследуется непрерывные элементарные функции и их графики; — на С операции «+»,«-», «*»,«:» является алгебраическими, исследуются различные представления комплексных чисел, операции над ними, все алгебраические уравнения разрешимы, появляются многозначность извлечения корня; Расширение используемых учащимися свойств числовых множеств имеет современную математическую трактовку: — <N,+,*> — полукольцо — <Z,+,*> — кольцо, упорядоченное кольцо — <Q,+,*> — поле, упорядоченное поле — <R,+,*> — поле, упорядоченное поле, непрерывное, архимедовское упорядоченное поле — <С,+,*> — поле, векторное пространство размерности 2 над R. Числовая линия как одна из самых значительных линий школьного курса математики имеет тесные связи с другими содержательно-методическими линиями: — операции над числами, их свойства преобразуются, обобщаются до операций над буквами – алгебраических преобразований, тем самым из числовой линии выделяется линия тождественных преобразований; — числа из разных числовых множеств (N, Z, Q, R), операции над ними выступают основой для составления, исследования уравнений, неравенств, что обосновывает связь числовой линии и линии уравнений, неравенств, систем; — в школьном курсе алгебры и начал анализа изучаются числовые функции – отображения из R в R, их исследование фиксирует конкретные числа (точки максимума, минимума), числовые промежутки (период, промежутки монотонности), тем самым свойства функций имеют числовую основу, связывая числовую линию и функциональную линию. Объемный характер числовой линии как по содержанию, так и по времени изучения высокая значимость понятия числа в формировании математической культуры учащихся, объясняют сопоставимость целей изучения числовой линии с целями обучения математике учащихся общеобразовательной школы. Именно в числовой линии в значительной степени реализуются главные задачи школьного курса математики: — овладение системой математических знаний и умений; — формирование представлений об идеях и методах математики; — формирование и развитие средствами математики интеллектуальных качеств личности. На каждой из ступеней обучения программа общеобразовательного курса математики указанные задачи детализирует в виде системы последовательных целей: — на первой ступени 5 – 6 классов в содержании «математики» основные цели – систематическое развитие понятия числа, выработка умений выполнять устные и письменные арифметические действия над числами, развитие навыков вычислений с натуральными числами, обыкновенными и десятичными дробями, положительными и отрицательными числами; — на второй ступени в 7 — 9 классах цель курса «Алгебра» — развитие вычислительных и формально-оперативных алгебраических умений до уровня, позволяющего уверенно использовать их при решении задач математики; На третьей ступени в 10 – 11 классах курса алгебры и начал анализа множество R является основным множеством, на котором исследуются функции и их важнейшие свойства (монотонность, периодичность, непрерывность), имеющие числовые обоснования.