Министерство образования и науки Российской Федерации Волжский филиал федерального государственного

Министерство образования и науки Российской Федерации
Волжский филиал федерального государственного
бюджетного образовательного учреждения высшего
профессионального образования
«Марийский государственный технический университет»
Методические указания по решению задач
по дисциплине «Физика»
Часть I Механика
Волжск
2012
Автор-составитель:
О.В. Шитихина, преподаватель высшей квалификационной
категории Волжского филиала ФГБОУ ВПО «МарГТУ»,
Рецензенты:
Е.П. Моргунов, преподаватель высшей квалификационной
категории Волжского филиала ФГБОУ ВПО «МарГТУ»,
Ю.А. Борисов, кандидат технических наук, преподаватель
Волжского филиала ФГБОУ ВПО «МарГТУ».
Методические указания к решению задач по дисциплине
«Физика».
Часть I Механика / Волжский филиал ФГБОУ
ВПО «МарГТУ»; г. Волжск. 2012. – 27 с.
Данное методическое указание предназначено для
студентов 1 курса технических специальностей, которое
предназначено научить студентов решать механические задачи
с использованием алгоритмических методов. В методическом
указании сконструированы алгоритмы, отвечающие всем
требованиям механике как науке, они позволяют решать все
задачи того класса для которого предназначен алгоритм.
2
Содержание
Введение
I. Кинематика материальной точки
II. Динамика материальной точки
III. Законы сохранения в механике
IV. Задачи повышенной сложности
Литература
3
4
5
13
23
34
40
Введение
Данное методическое указание преследует цель научить
решать механические задачи с использованием алгоритмических
методов. Я пыталась сконструировать алгоритмы, которые
отвечали бы требованиям механики как науки, позволяли бы
решать все задачи того класса, для которого предназначен
алгоритм. Материал, изложенный в этом указании дидактически
оправдан и обоснован.
Использование алгоритмов облегчает у студентов процесс
формирования умений и навыков решать физические задачи.
Это указание своего рода помощь в усвоении студентами
учебного материала.
Указание состоит из нескольких разделов, затрагивающих
темы:
Каждый раздел содержит алгоритм решения задач в
соответствие с изучаемым материалом. На отдельных заданиях
показано применение алгоритма решения задач. Так же указание
содержит задания для самостоятельного решения и
самоконтроля.
Указание написано таким образом, что сначала
определяется круг теоретических знаний, которые должны быть
усвоены студентами в ходе обучения. Затем выделяются
основные типы задач по той или иной теме. Рассматриваются
задания разного уровня. Объяснение идет от простого к
сложному.
Указание содержит ряд таблиц, в которых отображен
теоретический материал по всему разделу «Механика».
В ходе обучения студенты должны усвоить материал,
научиться применять его при решении задач. Это указание
поможет качественно усвоить материал.
4
I. Кинематика материальной точки
Для решения кинематических задач необходимо усвоить
следующие вопросы: понятия – системы отсчета, скорость,
ускорение; уравнения, определяющие зависимость координат и
скорости от времени в равномерном и равноускоренном
движениях, закон сложения скоростей Галилея. Необходимо
понимать, что любое движение можно разложить на два простых
движения вдоль осей координат.
Основные формулы
Движение
Началь
ные
условия
Равно-мерное
прямолинейное
Скорость
Ускорение
Координаты
𝓋 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡
𝑆
𝓋=
𝑡
𝑎=0
𝑥 = 𝑥0 + 𝓋 ∙ 𝑡
Равноускоренное
прямолинейное
𝓋0 = 0
𝓋𝑥 = 𝑎 ∙ 𝑡
𝓋0 ≠ 0
𝓋𝑥
= 𝓋0𝑥 + 𝑎𝑥 𝑡
𝑎𝑥
Равнозамедленное
прямолинейное
𝓋0 ≠ 0
𝓋𝑥
= 𝓋0𝑥 − 𝑎𝑥 𝑡
𝑎𝑥
Свободное
падение
𝓋0 = 0
𝓋 = g∙𝑡
𝓋0 ≠ 0
𝓋 = 𝓋0 + g ∙ 𝑡
𝑎𝑥 =
𝓋𝑥
𝑡
𝓋𝑥 − 𝓋0𝑥
=
𝑡
𝓋𝑥 − 𝓋0𝑥
=
𝑡
𝑎𝑦 = g
5
𝑥 = 𝑥0 +
𝑎𝑥 𝑡 2
2
𝑥 = 𝑥0 + 𝓋0𝑥 ∙ 𝑡 +
𝑎𝑥 𝑡 2
2
𝑥 = 𝑥0 + 𝓋0𝑥 ∙ 𝑡 −
𝑎𝑥 𝑡 2
2
𝑦 = 𝑦0 +
g𝑡 2
2
𝑦 = 𝑦0 + 𝓋0 ∙ 𝑡 +
g𝑡 2
2
Движение
тела,
брошенного
вертикально вверх
𝓋0 ≠ 0
𝓋 = 𝓋0 − g ∙ 𝑡
𝑎𝑦 = −g
𝑦 = 𝑦0 + 𝓋0 ∙ 𝑡 −
Методические указания по решению задач
1. Прочитайте условие задачи. Запишите правильно данные в
выбранной системе единиц («СИ»).
2. Сделайте рисунок. На рисунке обозначьте данные задачи
(векторы скорости, ускорения, перемещения).
3. Выберите систему координат. Удобно для решения одну из
осей направлять по движению тела, т.е. она должна
совпадать с направлением скорости.
4. Назовите вид движения тел. Запишите кинематические
уравнения для каждого тела. Число уравнений должно быть
равно числу неизвестных величин. Получится система
уравнений.
5. Решите систему уравнений в общем виде. Затем найдите
искомые величины в буквенном виде.
6. Поставьте вместо букв числовые значения величин.
Получите ответ.
7. Проанализируйте ответ, чтобы исключить ошибку в
полученном результате.
6
g𝑡 2
2
Примеры решения задач
Задача 1
Из двух точек А и В, расположенных на расстоянии 90 м
друг от друга, одновременно в одном направлении начали
движение два тела. Тело, движущееся из точки А, имело
скорость 5 м/с, а тело, движущееся из точки В, - скорость 2 м/с.
Через какое время первое тело нагонит второе? Какое
перемещение совершит каждое тело? Задачу решить
аналитически и графически.
Дано:
СИ:
𝑥02 = 90 м
Решение:
𝓋1 = 5 м/с
𝓋2 = 2 м/с
𝑆1 −?
𝑆2 −?
𝑡1 −?
𝑥1 = 𝓋1 ∙ 𝑡
𝑥2 = 𝑥02 + 𝓋2 ∙ 𝑡
𝑡 = 𝑡1
𝑥1 = 𝑥2 , для точки С, в которой первое тело
догонит второе.
𝓋1 ∙ 𝑡 = 𝑥02 + 𝓋2 ∙ 𝑡1
𝓋1 ∙ 𝑡 − 𝓋2 ∙ 𝑡1 = 𝑥02
𝑡1 (𝓋1 − 𝓋2 ) = 𝑥02
𝑥02
𝑡1 =
𝓋1 − 𝓋2
𝑆1 = 𝑥1 − 𝑥01 = 𝓋1 ∙ 𝑡1
𝑆2 = 𝑥2 − 𝑥02 = 𝓋2 ∙ 𝑡1
7
𝑡1 =
90 м
= 30с
5м/с − 2м/с
𝑆1 = 5м⁄с ∙ 30с = 150м
𝑆2 = 2м⁄с ∙ 30с = 60м
Ответ: 𝑡1 = 30с , 𝑆1 = 150м , 𝑆2 = 60м
2. Чтобы решить задачу графически, воспользуемся функциями:
𝑥1 = 5 ∙ 𝑡 , 𝑥2 = 90 + 2 ∙ 𝑡
По виду функций определяем, что графиками тел служат прямые
линии. Строим графики по двум точкам.
Задача 2
Опишите, как движутся автобусы, если их движение
описывается графиками, изображенными на рисунке. Найдите
начальные координаты, модули скоростей, напишите уравнения
зависимости 𝑥(𝑡), найдите место и время встречи.
8
Определим вид движения каждого тела.
Первое и второе тела движутся прямолинейно равномерно в
соответствии с функцией
𝑥 = 𝑥0 − 𝓋𝑥 ∙ 𝑡
𝑥0I = 180 м
𝑥 = 20м
𝑆𝑥
𝓋𝑥 =
𝑡
𝑆𝑥 = 𝑥 − 𝑥0
𝑡 = 5𝑐
|20м − 180м|
м
𝓋𝑥𝐼 =
= 32 с
5с
𝑥I = 180 − 32 ∙ 𝑡
𝑥0𝐼𝐼 = 120 м
𝑥𝐼𝐼 = 20 м
𝑡 = 5𝑐
|20м − 120м|
м
𝓋𝑥𝐼𝐼 =
= 20 с
5с
𝑥𝐼𝐼 = 120 − 20 ∙ 𝑡
Найдем место встречи и время встречи тел.
9
𝑥 = 40м
𝑡 = 4𝑐
Ответ: 𝑥0I = 180 м, 𝓋𝑥𝐼 = 32мс
м
𝑥0𝐼𝐼 = 120 м, 𝓋𝑥𝐼𝐼 = 20 с
𝑥 = 40м, 𝑡 = 4𝑐
Задача 3.
За какое время автомобиль, двигаясь из состояния покоя с
ускорением 0,5 м/с2, пройдет путь 100 м?
Дано:
𝓋0𝑥 = 0
Решение:
𝑎𝑥 = 0,5 м/с2
𝑆𝑥 = 100 м
𝑡−?
Движение прямолинейное равноускоренное
𝑎𝑥 ∙ 𝑡 2
𝑆𝑥 = 𝓋0𝑥 ∙ 𝑡 +
2
𝑎𝑥 ∙𝑡 2
𝑆𝑥 = 2 , т.к. 𝓋0𝑥 = 0
2𝑆
𝑡=√
𝑎𝑥
𝑡=√
2 ∙ 100 м
= 20 с
0,5 м/с2
Ответ: 𝑡 = 20 с
Задача 4.
Скорость поезда, движущегося под уклон, возросла с 15
м/с до 19 м/с. Поезд прошел при этом путь 340 м. С каким
10
ускорением двигался поезд и сколько времени продолжалось
движение под уклон?
Дано:
𝓋0𝑥 = 15м/с
Решение:
𝓋𝑥 = 19 м/с
𝑆𝑥 = 340 м
𝑎𝑥 − ? , 𝑡−?
𝓋𝑥 2 − 𝓋0𝑥 2
2𝑎𝑥
2
𝓋𝑥 − 𝓋0𝑥 2
𝑎𝑥 =
2 ∙ 𝑆𝑥
𝓋𝑥 − 𝓋0𝑥
𝑎𝑥 =
𝑡
𝑆𝑥 =
𝑡=
𝓋𝑥 − 𝓋0𝑥
𝑎𝑥
(19 м/с)2 −(15 м/с)2
= 0,2м/с2
19 м/с − 15 м/с
𝑡=
= 20 с
0,2 м/с2
𝑎𝑥 =
Задача 5
2∙340 м
Ответ: 𝑎𝑥 = 0,2 м/с2 , 𝑡 = 20 с
Камень свободно падает с высоты 80 м. Какова скорость
камня в момент падения на землю? Сколько времени
продолжалось свободное падение?
Решение:
11
При решении задач на свободное падение удобно за начало
системы координат взять связанную с Землей точку, из которой
началось падение, тогда при любой высоте падения начальная
координата известна: 𝑦0 = ℎ0 = 0.
Дано:
𝓋0𝑦 = 0
ℎ = 80 м
𝑔 = 9,8 м/c2
≈ 10 м/с2
𝓋𝑦 −? , 𝑡−?
I способ.
ℎ=
𝓋𝑦 2 − 𝓋0𝑦 2
2𝑔𝑦
𝓋𝑦 2
ℎ=
, т. к. 𝓋0𝑦 = 0
2𝑔𝑦
𝓋𝑦 = √2𝑔𝑦 ∙ ℎ
𝓋𝑦
𝑡=
𝑔
м
𝓋𝑦 = √2 ∙ 9,8 2 ∙ 80м ≈ 40 м/с
с
40 м/с
𝑡=
≈4с
9,8 м/с2
𝑔𝑡 2
ℎ=
2
2∙ℎ
𝑡=√
𝑔
II способ.
𝓋𝑦 = 𝑔𝑦 ∙ 𝑡
12
2 ∙ 80 м
≈ 4с
9,8 м/с2
м
𝓋𝑦 = 9,8 2 ∙ 4 с ≈ 40м/с
с
𝑡=√
Ответ: 𝓋𝑦 = 40 м/с ; 𝑡 = 4 с
Задача 6
Тело падает с некоторой высоты и проходит последние 196 м
пути за 4 с. С какой высоты и сколько времени падало это тело?
Дано:
ℎ2 = 196 м
𝑡2 = 4 c
𝓋0𝑦 = 0
𝑔 = 9,8 м/c2
≈ 10 м/с2
Решение:
ℎ−? , 𝑡−?
𝑔𝑦 ∙ 𝑡22
ℎ2 = 𝓋01𝑦 ∙ 𝑡2 +
2
ℎ2 𝑔𝑦 ∙ 𝑡2
𝓋01𝑦 =
−
𝑡2
2
𝓋01𝑦 - конечная скорость для первого участка
𝓋01𝑦 2 − 𝓋0𝑦 2
𝓋01𝑦 2
ℎ1 =
; ℎ1 =
2𝑔𝑦
2𝑔𝑦
13
ℎ = ℎ1 + ℎ2
𝑔𝑡 2
ℎ=
2
2∙ℎ
𝑡=√
𝑔
𝓋01𝑦 =
196 м 10м/с2 ∙ 4с
−
= 29 м/с
4с
2
(29 м/с)2
ℎ1 =
= 42 м
2 ∙ 10м/с2
ℎ = 42 м + 196 м = 238 м
2 ∙ 238 м
𝑡=√
= √47,6 с2 = 6,9 с
10м/с2
Ответ: ℎ = 238 м ; 𝑡 = 6,9 с
Задачи для самостоятельного решения
1. Координата тела меняется с течением времени согласно
формуле 𝑥 = 5 − 3𝑡 . Чему равна координата этого тела
через 5 с после начала движения?
2. Уравнение координаты материальной точки имеет вид
𝑥 = 15 − 3𝑡 + 0,5𝑡 2 , величины измерены в единицах СИ.
а) Опишите характер движения точки.
б) Найдите начальную координату, модуль и направление
начальной скорости, модуль и направление вектора
ускорения.
в) Напишите уравнение зависимости 𝓋𝑥 (𝑡).
14
3. Трамвай, двигаясь равномерно со скоростью 15 м/с ,
начинает торможение. Чему равен тормозной путь
трамвая, если он остановился через 10 с ?
4. Тело свободно падает с некоторой высоты и у
поверхности земли достигает скорости 100 м/с. С какой
высоты падало тело? Сколько времени продолжалось его
движение?
5. При свободном падении тело достигает поверхности
земли через 5 с. Какова скорость тела в момент падения и
с какой высоты оно падало, если начальная скорость тела
равна нулю?
6. Тело свободно падает из состояния покоя с высоты 80 м.
Каково его перемещение в первую и последнюю секунду
падения?
II. Динамика материальной точки
Задачи по динамике могут решаться либо на основе
законов Ньютона, либо с использованием законов сохранения
энергии и импульса. В этом разделе рассматривается решение
задач на основе законов Ньютона.
Для овладения этим методом решения задач учащиеся
должны усвоить следующее:
 понятие силы как вектора, имеющего абсолютное
значение (модуль), направление и точку приложения;
 понятие ускорения как вектора, который в ускоренном
прямолинейном движении направлен так же, как и
скорость, в замедленном – противоположно ей, но всегда
направлен так же, как и вектор изменения скорости; в
движении по окружности с постоянной по модулю
скоростью – по радиусу к центру окружности;
15
 формулировки и физическую сущность трех законов
Ньютона;
 типы сил, рассматриваемых в механике (силы тяготения,
упругости, трения);
 законы, показывающие, от чего зависят силы того или
иного типа, и то, как определяется направление сил
каждого типа.
При решении задач по динамике необходимо усвоить алгоритм и
строго ему следовать.
Методические указания по решению задач
1. Прочитайте внимательно задачу. Запишите правильно
данные в выбранной системе единиц («СИ»).
2. Сделайте рисунок. На рисунке укажите все силы,
ускорение.
3. Запишите второй закон Ньютона в векторном виде.
4. Запишите второй закон Ньютона в скалярном виде. Для
этого возьмите проекции векторов на координатные оси.
Исходя из физической природы сил, выразите силы через
величины, от которых они зависят.
5. Решите совместно систему полученных уравнений.
6. Если уравнений недостаточно для получения требуемого
результата, то необходимо записать дополнительные
уравнения (в соответствии с видом движения).
7. Получите результат.
8. Запишите ответ.
16
Основной
закон
динамики
Первый
закон
Ньютона
Вопрос, на
который
отвечает
закон
Когда тело
движется
без
ускорения?
Второй
закон
Ньютона
От чего
зависит
ускорение?
Третий
закон
Ньютона
Как тела
действуют
друг на
друга?
Сила
Всемирного
тяготения
Формула
𝑚1 ∙ 𝑚2
𝐹=𝐺
𝑅2
Тяжести
𝐹 = 𝑚 ∙ 𝑔, где
𝑀з
𝑔=𝐺 2
𝑅з
Формула
Рисунок
𝑎⃗ = 0
при 𝐹⃗ = 0
𝑎⃗ =
𝐹⃗
𝑚
𝐹⃗1 = −𝐹⃗2
Поясняющий рисунок
17
Упругости
𝐹упр = −𝑘∆Х,
Вес тела
𝑃 = 𝑚𝑔 при 𝑎⃗
=0
𝑃
= 𝑚(𝑔
− 𝑎)при𝑎⃗
𝑃
= 𝑚(𝑔
+ 𝑎)при𝑎⃗
Трения
𝐹тр = 𝜇 ∙ 𝑁
N=m·g
N≠m∙g
18
Примеры решения задач
Задача 1
Шахтная клеть в покое весит 2500Н. С каким ускорением
опускается клеть, если ее вес уменьшается до 2000Н?
Дано:
СИ:
𝑃 = 2500 𝐻
Решение:
𝑃1 = 2000 𝐻
𝑎−?
Запишем II-ой закон Ньютона в векторном виде: 𝐹⃗ = 𝑚 ∙ 𝑎⃗
Запишем II-ой закон Ньютона в проекциях на векторную ось.
𝑚𝑔 − 𝑇 = 𝑚𝑎, где 𝑃 = 𝑚𝑔 - в покое
𝑇 = 𝑃1 - при движении клети
𝑃 − 𝑃1 = 𝑚𝑎
𝑃 − 𝑃1
𝑚
𝑃
𝑚=
𝑔
(𝑃 − 𝑃1 )𝑔
𝑎=
𝑃
(2500𝐻 − 2000𝐻) ∙ 9,8 м/с2
𝑎=
= 2 м/с2
2500𝐻
𝑎=
Ответ: 𝑎 = 2 м/с2
19
Задача 2
Брусок массой 400 г движется горизонтально под
действием силы 1,4 Н. Коэффициент трения 0,2. В некоторой
точке скорость бруска 4 м/с. Какой будет его скорость на
расстоянии 3 м от этой точки?
Дано:
СИ:
𝑚 = 400
0,4 кг
𝐹тяг = 1,4 𝐻
𝜇 = 0,2
𝓋0 = 4 м/с
𝑆=3м
𝓋−?
Решение:
г
Запишем II-ой закон Ньютона в векторном
виде: 𝐹⃗ = 𝑚 ∙ 𝑎⃗
⃗⃗ + 𝐹⃗тяг + 𝐹⃗тр = 𝑚 ∙ 𝑎⃗
𝑚𝑔⃗ + 𝑁
Найдем проекции всех векторов на ось ОХ.
𝐹тяг𝑥 − 𝐹тр𝑥 = 𝑚 ∙ 𝑎𝑥
На горизонтальной поверхности сила трения
вычисляется по формуле:
𝐹тр = 𝜇 ∙ 𝑚 ∙ 𝑔
Заменим
𝐹тяг𝑥 − 𝜇 ∙ 𝑚 ∙ 𝑔 = 𝑚 ∙ 𝑎𝑥
𝐹тяг𝑥 − 𝜇 ∙ 𝑚 ∙ 𝑔
𝑚
Запишем дополнительную формулу
перемещения без времени
𝓋𝑥 2 − 𝓋0𝑥 2
𝑆𝑥 =
2𝑎𝑥
𝑎𝑥 =
20
для
Выразим из этой формулы конечную скорость
𝓋𝑥 = √2𝑎𝑥 𝑆𝑥 + 𝓋0𝑥 2
Сначала найдем ускорение
1,4 Н − 0,2 ∙ 0,4 кг ∙ 10 м/с2
𝑎𝑥 =
= 1,5 м/с2
0,4 кг
Вычисляем скорость
𝓋𝑥 = √2 ∙ 1,5 м/с2 ∙ 3м + (4 м/с)2 = √25м2 /с2 = 5 м/с
Ответ: 𝓋𝑥 = 5 м/с
Задача 3
Груз массой 45 кг перемещается по горизонтальной
плоскости под действием силы тяги 294 Н, направленной под
углом 30о к горизонту. Коэффициент трения груза о плоскости
0,1. Определите ускорение движения груза.
Дано:
Решение:
СИ:
𝑚 = 45 кг
𝐹тяг = 294 𝐻
∠𝛼 = 30о
𝜇 = 0,1
𝑎−?
Запишем II-ой закон Ньютона в векторном виде: 𝐹⃗ = 𝑚 ∙ 𝑎⃗
⃗⃗ + 𝐹⃗тяг + 𝐹⃗тр = 𝑚 ∙ 𝑎⃗
𝑚𝑔⃗ + 𝑁
Найдем проекции всех векторов на ось ОХ.
𝐹тяг ∙ cos 𝛼 − 𝐹тр = 𝑚 ∙ 𝑎
𝐹тяг ∙ cos 𝛼 − 𝜇 ∙ 𝑁 = 𝑚 ∙ 𝑎
Получилось уравнение с двумя неизвестными. Поэтому
находим проекции всех векторов на ось OY.
21
𝑁 − 𝑚 ∙ 𝑔 + 𝐹тяг ∙ sin 𝛼 = 0
Решим систему из двух уравнений
𝐹 ∙ cos 𝛼 − 𝜇 ∙ 𝑁 = 𝑚 ∙ 𝑎
{ тяг
𝑁 − 𝑚 ∙ 𝑔 + 𝐹тяг ∙ sin 𝛼 = 0
𝑁 = 𝑚𝑔 − 𝐹тяг ∙ sin 𝛼
Подставим в первое уравнение
𝐹тяг ∙ cos 𝛼 − 𝜇(𝑚𝑔 − 𝐹тяг ∙ sin 𝛼) = 𝑚 ∙ 𝑎
𝑎=
𝑎=
𝐹тяг ∙ cos 𝛼 − 𝜇(𝑚 ∙ 𝑔 − 𝐹тяг ∙ sin 𝛼)
𝑚
294 Н ∙ cos 30о − 0,1(45 кг ∙ 10 м/с2 − 294Н ∙ sin 30о )
45 кг
294 Н ∙ 0,87 − 0,1(45 кг ∙ 10 м/с2 − 294Н ∙ 0,5)
=
45 кг
≈ 5,9 м/с2
Ответ: 𝑎 = 5,9 м/с2
Задача 4
Тело скользит равномерно по наклонной плоскости с углом
наклона 40о. Определить коэффициент трения тела о плоскость.
Дано:
СИ:
∠𝛼 = 40о
𝑎=0
Решение:
𝜇−?
22
Запишем II-ой закон Ньютона в векторном виде: 𝐹⃗ = 𝑚 ∙ 𝑎⃗
⃗⃗ + 𝐹⃗тр = 𝑚 ∙ 𝑎⃗
𝑚𝑔⃗ + 𝑁
Найдем проекции векторов на ось ОХ.
𝑚𝑔 ∙ sin 𝛼 − 𝐹тр = 0
𝑚𝑔 ∙ sin 𝛼 − 𝜇 ∙ 𝑁 = 0
Найдем проекции векторов на ось OY.
−𝑚𝑔 ∙ cos 𝛼 + 𝑁 = 0
Решим систему двух уравнений
𝑚𝑔 ∙ sin 𝛼 − 𝜇 ∙ 𝑁 = 0
{
−𝑚𝑔 ∙ cos 𝛼 + 𝑁 = 0
𝑁 = 𝑚𝑔 cos 𝛼
𝑚𝑔 ∙ sin 𝛼 − 𝜇 ∙ 𝑚𝑔 cos 𝛼 = 0
𝜇𝑚𝑔 cos 𝛼 = 𝑚𝑔 sin 𝛼
𝑚𝑔 sin 𝛼
𝜇=
𝑚𝑔 cos 𝛼
sin 𝛼
𝜇=
= tg 𝛼
cos 𝛼
𝜇 = tg 40о ≈ 0,84
Ответ: 𝜇 = 0,84
Задача 5
Брусок массой 2 кг скользит по горизонтальной
поверхности под действием груза массой 0,5 кг, прикрепленного
к концу нерастяжимой нити, перекинутой через неподвижный
блок. Коэффициент трения бруска о поверхность 0,1. Найти
ускорение движения тела и силу натяжения нити. Массами
блока и нити, а также трением в блоке пренебречь.
23
Дано:
СИ:
𝑚1 = 2 кг
𝑚2 = 0,5 кг
𝜇 = 0,1
Решение:
𝑎−? Т−?
Запишем II-ой закон Ньютона в векторном виде: 𝐹⃗ = 𝑚 ∙ 𝑎⃗
В задачах на связанные тела рассматриваются оба тела
отдельно.
Возьмем проекции векторов на ось ОХ.
Т − 𝐹тр = 𝑚1 ∙ 𝑎
Т − 𝜇𝑚1 𝑔 = 𝑚1 ∙ 𝑎
Возьмем проекции векторов на ось ОY.
𝑚2 𝑔 − Т = 𝑚2 ∙ 𝑎
Решим систему из полученных уравнений.
Т − 𝜇𝑚1 𝑔 = 𝑚1 ∙ 𝑎
{
𝑚2 𝑔 − Т = 𝑚2 ∙ 𝑎
𝑚2 𝑔 − 𝑚2 𝑎 − 𝜇𝑚1 𝑔 = 𝑚1 ∙ 𝑎
𝑚1 ∙ 𝑎 + 𝑚2 ∙ 𝑎 = 𝑚2 𝑔 − 𝜇𝑚1 𝑔
𝑎(𝑚1 + 𝑚2 ) = 𝑚2 𝑔 − 𝜇𝑚1 𝑔
𝑚2 𝑔 − 𝜇 ∙ 𝑚1 ∙ 𝑔 𝑔(𝑚2 − 𝜇 ∙ 𝑚1 )
𝑎=
=
𝑚1 + 𝑚2
𝑚1 + 𝑚2
2 (0,5
10 м/с
кг − 0,1 ∙ 2 кг)
𝑎=
= 1,2 м/с2
0,5 кг + 2 кг
Т = 𝑚2 𝑔 − 𝑚2 𝑎 = 𝑚2 (𝑔 − 𝑎)
Т = 0,5 кг(10м/с2 − 1,2м/с2 ) = 4,3 Н
24
Ответ: 𝑎 = 1,2 м⁄с2 ; Т = 4,3 Н
Задача 6
Груз массой 5 кг, связанный нерастяжимой нитью,
перекинутой через неподвижный блок, с другим грузом массой 2
кг, движется вниз по наклонной плоскости. Найти силу
натяжения нити и ускорение грузов, если коэффициент трения
межу первым грузом и плоскостью 0,1. Угол наклона плоскости
к горизонту 36о. Массами нитей, а также трением в блоке
пренебречь.
Дано:
СИ:
𝑚1 = 5 кг
𝑚2 = 2 кг
𝜇 = 0,1
∠𝛼 = 36о
Решение:
Т−? 𝑎−?
Рассмотрим движение каждого тела отдельно
𝐹⃗ = 𝑚 ∙ 𝑎⃗
Возьмем проекции векторов для первого тела
на оси ОХ и ОУ.
ОХ:
𝑚1 𝑔 ∙ sin 𝛼 − 𝐹тр − Т = 𝑚1 ∙ 𝑎
𝑚1 𝑔 ∙ sin 𝛼 − 𝜇 ∙ 𝑁 − Т = 𝑚1 ∙ 𝑎
ОУ:
−𝑚1 𝑔 cos 𝛼 + 𝑁 = 0
Составим систему уравнений
𝑚 𝑔 ∙ sin 𝛼 − 𝜇 ∙ 𝑁 − Т = 𝑚1 ∙ 𝑎
{ 1
−𝑚1 𝑔 cos 𝛼 + 𝑁 = 0
𝑁 = 𝑚1 𝑔 cos 𝛼
𝑚1 𝑔 ∙ sin 𝛼 − 𝜇𝑚1 𝑔 cos 𝛼 − Т = 𝑚1 ∙ 𝑎
25
Возьмем проекции векторов для второго тела на ось ОУ.
ОУ:
−𝑚2 𝑔 + Т = 𝑚2 ∙ 𝑎
Составим систему уравнений
𝑚 𝑔 ∙ sin 𝛼 − 𝜇𝑚1 𝑔 cos 𝛼 − Т = 𝑚1 ∙ 𝑎
{ 1
−𝑚2 𝑔 + Т = 𝑚2 ∙ 𝑎
Т = 𝑚2 𝑎 + 𝑚2 𝑔
𝑚1 𝑔 ∙ sin 𝛼 − 𝜇𝑚1 𝑔 cos 𝛼 − 𝑚2 𝑎 − 𝑚2 𝑔 = 𝑚1 𝑎
𝑎(𝑚1 + 𝑚2 ) = 𝑚1 𝑔 ∙ sin 𝛼 − 𝜇𝑚1 𝑔 cos 𝛼 − 𝑚2 𝑔
𝑎=
𝑚1 𝑔 ∙ sin 𝛼 − 𝜇𝑚1 𝑔 cos 𝛼 − 𝑚2 𝑔
𝑚1 + 𝑚2
𝑚1 𝑔(sin 𝛼 − 𝜇 ∙ cos 𝛼) − 𝑚2 𝑔
𝑚1 + 𝑚2
5 кг ∙ 9,8 м⁄с2 (sin 36о − 0,1 cos 36о ) − 2 кг ∙ 9,8м/с2
𝑎=
5 кг + 2 кг
= 0,77м/с2
𝑎=
Т = 𝑚2 (𝑔 + 𝑎)
Т = 2 кг(9,8м/с2 + 0,77м/с2 ) = 21 Н
Ответ: 𝑎 = 0,77м⁄с2 , Т = 21 Н
Задача 7
Трактор массой 10 т проходит по мосту со скоростью 10
м/с. Какова сила давления трактора на середину моста, если
мост: 1) плоский; 2) выпуклый с радиусом кривизны 200 м; 3)
вогнутый с таким же радиусом кривизны.
26
Дано:
СИ:
𝑚 = 10
10000 кг
𝓋 = 10 м/с
𝑅 = 200 м
Решение:
1)
т
𝑃1 −? 𝑃2 −? 𝑃3 −?
Т.к. 𝓋 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 , то по первому закону Ньютона силы
компенсируют друг друга.
По третьему закону Ньютона
𝑁 = 𝑚𝑔 = 𝑃1
𝑃1 = 10000 кг ∙ 9,8м⁄с2 = 98000 Н
2)
𝐹⃗ = 𝑚 ∙ 𝑎⃗
27
Запишем второй закон Ньютона в проекциях на ось ОУ
𝑚𝑔 − 𝑁 = 𝑚𝑎
𝑁 = 𝑃2
𝑃2 = 𝑚(𝑔 − 𝑎)
𝑃2 = 𝑚 (𝑔 −
𝓋2
𝑅
), т.к. движение криволинейное
𝑃2 = 10000 кг (9,8м⁄с2 −
(10 м/с)2
) = 93000 Н
200 м
𝓋2
𝑃3 = 𝑚 (𝑔 + )
𝑅
(10 м/с)2
𝑃3 = 10000 кг (9,8м⁄с2 +
) = 103000 Н
200 м
Ответ: 𝑃1 = 98000 Н, 𝑃2 = 93000 Н, 𝑃3 = 103000 Н
Задачи для самостоятельного решения
1. С какой силой давит на дно шахтной клетки груз массой
100 кг, если клеть поднимается вертикально вверх с
ускорением 24,5 см/с2 ?
28
2. С какой скоростью двигались аэросани, если после
выключения двигателя они прошли до остановки путь
250 м? Коэффициент трения равен 0,02.
3. Рассчитайте силу торможения, действующую на поезд
массой 400 т. Тормозной путь поезда равен 200 м, а его
скорость в начале торможения равна 39,6 км/ч.
4. Вагонетка массой 200 кг движется с ускорением 4 м/с2. С
какой силой рабочий толкает вагонетку, если
коэффициент трения равен 0,6 ?
5. На каком расстоянии от перекрестка должен начать
тормозить шифер при красном свете светофора, если
автомобиль движется в гору с углом наклона 30о со
скоростью 60 км/ч ? Коэффициент трения между шинами
и дорогой 0,1.
6. Найти ускорение и силу натяжения нити, если массы
грузов 𝑚1 = 8 кг и 𝑚2 = 12 кг
7. Брусок массой 400 г под действием груза массой 100 г
проходит из состояния покоя путь 80 см за 2 с. Найдите
коэффициент трения.
29
8. Наклонная доска, составляющая с горизонтом угол 60о,
приставлена к горизонтальному столу. Два груза массой
по 1 кг каждый соединены легкой нитью, перекинутой
через неподвижный невесомый блок, и могут
перемещаться соответственно по доске и стволу. Найти
силу натяжения нити и ускорение системы, если
коэффициент трения тел о поверхность доски и стола
одинаков и равен 0,3.
30
III. Законы сохранения в механике
Импульс. Энергия. Работа. Законы сохранения
Импульс тела
⃗Р⃗ = 𝑚 ∙ 𝓋
⃗⃗⃗
Закон
сохранения 𝑚1 ⃗⃗⃗⃗⃗
𝓋1 + 𝑚2 ⃗⃗⃗⃗⃗
𝓋2 = 𝑚1 ⃗⃗⃗⃗⃗
𝓋1 ′+𝑚2 ⃗⃗⃗⃗⃗
𝓋2 ′
импульса тела
Работа
силы
постоянной А = F ∙ S ∙ cos α
∠α между направлением
перемещения
Мощность
𝑁=
силы
𝐴
𝑡
Работа силы тяжести
Потенциальная
энергия
тела
поднятого
на
некоторую высоту
Теорема
о
кинетической энергии
А = −(𝑚𝑔ℎ2 − 𝑚𝑔ℎ1 )
А = - ∆Еп
Еп = 𝑚𝑔ℎ
𝑚𝓋22 𝑚𝓋12
А=
−
; А = ∆Ек
2
2
31
и
Кинетическая энергия
Работа
упругости
Ек =
𝑚𝓋 2
2
силы
𝑘𝑥22 𝑘𝑥12
А = −(
−
)
2
2
А = −∆Еп
𝑘𝑥 2
Еп =
2
Потенциальная
энергия
упругих
деформаций
Закон
сохранения
энергии
Ек1 + Еп1 = Ек2 + Еп2
Методические указания по решению задач на закон
сохранения импульса
1. Выбрать систему отсчета.
2. Выделить систему взаимодействующих тел.
3. Сделать рисунок. Определить импульсы всех тел системы
до и после взаимодействия.
4. Записать закон сохранения импульса в векторной форме.
5. Избавиться от векторов, взяв их проекции на
координатные оси.
6. Записать закон сохранения импульса в скалярном виде.
7. Выразить требуемую величину.
8. Получить результат.
32
Примеры решения задач
Задача 1
Пуля массой 10 г летит горизонтально со скоростью 200
м/с, ударяется о преграду и останавливается. Чему равен
импульс пули до удара о преграду? Какой импульс получила
пуля от преграды?
Дано:
СИ:
𝑚 = 10 г
кг
𝓋1 = 200 м/с
𝓋2 = 0
Решение:
Импульс тела равен произведению
0,01 массы тела на его скорость, поэтому
𝑃1 = 𝑚 ∙ 𝓋1
кг ∙ м
𝑃1 = 0,01 кг ∙ 200 м⁄с = 2
с
𝑃1 −? ∆𝑃−?
Изменения импульса пули равно импульсу, который пуля
получила от преграды:
∆𝑃 = 𝑚𝓋2 − 𝑚𝓋1
∆𝑃 = −𝑚𝓋1 , т.к. 𝓋2 = 0
кг ∙ м
с
Знак «минус» показывает, что импульс, переданный пуле
преградой, направлен против движения пули.
∆𝑃 = −0,01 кг ∙ 200 м⁄с = −2
Ответ: 𝑃1 = 2
кг∙м
с
, ∆𝑃 = −2
кг∙м
с
Задача 2
33
Два кубика массами 1 кг и 3 кг скользят навстречу друг
другу со скоростями 3 м/с и 2 м/с соответственно. Каков
суммарный импульс кубиков после их абсолютно неупругого
удара?
Дано:
𝑚1 = 1 кг
𝑚2 = 3 кг
𝓋1 = 3 м/с
𝓋2 = 2 м/с
Решение:
до
взаимодействия
после
′
𝑃 −?
Запишем закон сохранения импульса в векторном виде
𝑚1 ⃗⃗⃗⃗⃗
𝓋1 + 𝑚2 ⃗⃗⃗⃗⃗
𝓋2 = 𝑚1 ⃗⃗⃗⃗⃗
𝓋1 ′+𝑚2 ⃗⃗⃗⃗⃗
𝓋2 ′
Запишем закон сохранения импульса в скалярном виде
𝑚1 𝓋1𝑥 − 𝑚2 𝓋2𝑥 = −(𝑚1 + 𝑚2 )𝓋𝑥′ ,
т.к. удар абсолютно неупругий
Ответ: 𝑎 = 1,2 м⁄с2 ; Т = 4,3 Н
Задача 3
Граната, летевшая горизонтально со скоростью 10 м/с,
разорвалась на два осколка массами 1 кг и 1,5 кг. Больший
осколок после взрыва летит в том же направлении и его скорость
25 м/с. Определите направление движения и скорость меньшего
осколка.
34
Дано:
𝑚1 = 1 кг
𝑚2 = 1,5 кг
𝓋 = 10 м/с
𝓋2′ = 2,5 м/с
Решение:
до
взаимодействия
𝓋1′ −?
после
𝑚1 ⃗⃗⃗⃗⃗
𝓋1 + 𝑚2 ⃗⃗⃗⃗⃗
𝓋2 = 𝑚1 ⃗⃗⃗⃗⃗
𝓋1 ′+𝑚2 ⃗⃗⃗⃗⃗
𝓋2 ′
′
′
𝑚 ∙ 𝓋𝑥 = 𝑚1 𝓋1𝑥
+ 𝑚2 𝓋2𝑥
,
𝑚 = 𝑚1 + 𝑚2 , масса граната
′
′
𝑚1 𝓋1𝑥
= 𝑚2 𝓋2𝑥
− (𝑚1 + 𝑚2 )𝓋𝑥
′
𝑚2 𝓋2𝑥
− (𝑚1 + 𝑚2 )𝓋𝑥
𝑚1
⁄
(1
1,5
кг
∙
25
м
с
−
кг
+
1,5 кг)10м/с
′
𝓋1𝑥
=
= −12,5 м/с
1 кг
Знак «минус» показывает, что скорость малого осколка
направлена противоположно оси ОХ, т.е. противоположно
первоначальному направлению движения гранаты.
′
𝓋1𝑥
=
Ответ: 𝓋1′ = −12,5 м/с
Задача 4
Снаряд массой 100 кг, летящий горизонтально вдоль
железнодорожного пути со скоростью 500 м/с, попадает в вагон
с песком массой 10 т и застревает в нем. Найти скорость вагона,
если он двигался со скоростью 36 км/ч навстречу снаряду.
35
Дано:
СИ:
𝑚1 = 100 кг 10000
кг
𝑚2 = 10 т
𝓋1 = 500 м/с
𝓋2 = 36 км/ч
10
м/с
Решение:
до
взаимодействия
после
𝓋 ′ −?
𝑚1 ⃗⃗⃗⃗⃗
𝓋1 + 𝑚2 ⃗⃗⃗⃗⃗
𝓋2 = 𝑚1 ⃗⃗⃗⃗⃗
𝓋1 ′+𝑚2 ⃗⃗⃗⃗⃗
𝓋2 ′
𝑚1 𝓋1𝑥 − 𝑚2 𝓋2𝑥 = (𝑚1 + 𝑚2 )𝓋𝑥′ ,
т. к. удар абсолютно неупругий
𝑚1 𝓋1𝑥 − 𝑚2 𝓋2𝑥
𝓋𝑥′ =
𝑚1 + 𝑚2
⁄
100кг
∙
500
м
с
−
10000кг ∙ 10м/с
𝓋𝑥′ =
= −5 м/с
100кг + 10000кг
Знак «минус» указывает на то, что после взаимодействия
скорость движения вагона не изменилась.
Ответ: 𝓋𝑥′ = −5 м/с .
Задача 5
Мальчик массой 20 кг, стоя на коньках, горизонтально
бросает камень со скоростью 5 м/с. Чему равна скорость, с
которой после броска поедет мальчик, если масса камня 1 кг?
36
Дано:
𝑚1 = 20 кг
𝑚2 = 1 кг
𝓋=0
𝓋2′ = 5 м/с
Решение:
до
взаимодействия
после
𝓋1′ −?
𝑚1 ⃗⃗⃗⃗⃗
𝓋1 + 𝑚2 ⃗⃗⃗⃗⃗
𝓋2 = 𝑚1 ⃗⃗⃗⃗⃗
𝓋1 ′+𝑚2 ⃗⃗⃗⃗⃗
𝓋2 ′
′
′
0 = −𝑚1 𝓋1𝑥
+ 𝑚2 𝓋2𝑥
, т.к.
до взаимодействия система тел покоилась
′
′
𝑚1 𝓋1𝑥
= 𝑚2 𝓋2𝑥
′
𝑚2 𝓋2𝑥
′
𝓋1𝑥
=
𝑚1
⁄
1
кг
∙
5
м
с
′
𝓋1𝑥
=
= 0,25 м/с
20 кг
′
Ответ: 𝓋1𝑥
= 0,25 м/с
Задача 6
Снаряд массой 20 кг, летящий горизонтально со скоростью
500 м/с, попадает в платформу с песком массой 10 т и застревает
в нем. Определить скорость, которую получила платформа от
толчка.
Дано:
СИ:
𝑚1 = 20 кг
𝑚2 = 10
10000 кг
𝓋1 = 500 м/с
𝓋2 = 0
Решение:
до
взаимодействия
т
после
37
𝓋 ′ −?
𝑚1 ⃗⃗⃗⃗⃗
𝓋1 + 𝑚2 ⃗⃗⃗⃗⃗
𝓋2 = 𝑚1 ⃗⃗⃗⃗⃗
𝓋1 ′+𝑚2 ⃗⃗⃗⃗⃗
𝓋2 ′
𝑚1 𝓋1𝑥 = (𝑚1 + 𝑚2 )𝓋𝑥′ ,
т. к. удар абсолютно неупругий
𝑚1 𝓋1𝑥
𝓋𝑥′ =
𝑚1 + 𝑚2
20кг
∙
500
м⁄с
𝓋𝑥′ =
= 0,99 м/с
20кг + 10000кг
Ответ: 𝓋𝑥′ = 0,99 м/с .
Задачи для самостоятельного решения
1. Шар массой 100 г движется со скоростью 5 м/с. После
удара о стенку он стал двигаться в противоположном
направлении со скоростью 4 м/с. Чему равно изменение
импульса шара в результате удара о стенку?
2. Из лодки, приближающейся к берегу со скоростью 0,5
м/с, на берег прыгнул человек со скоростью 2 м/с
относительно берега. С какой скоростью будет двигаться
лодка после прыжка человека, если масса человека 80 кг,
а масса лодки 120 кг?
3. Пуля вылетает из винтовки со скоростью 800 м/с. Какова
скорость винтовки при отдаче, если ее масса в 400 раз
больше массы пули?
4. Граната, летящая со скоростью 15 м/с, разорвалась на два
осколка массами 6 и 14 кг. Скорость большего осколка
возросла до 24 м/с по направлению движения. Найти
скорость и направление движения меньшего осколка.
5. Какую скорость получит неподвижная лодка, имеющая
вместе с грузом массу 200 кг, если находящийся в ней
38
пассажир выстрелит в горизонтальном направлении?
Масса пули 10 г, ее скорость 800 м/с.
Методические указания по решению задач на механическую
работу, энергию, закон сохранения энергии
Задачи по данной теме составляют наибольшие трудности.
К основным типам задач относятся следующие задачи:
1. на расчет работы сил разного типа (в том числе и на
расчет работы по изменению энергии);
2. решаемые только на основе закона сохранения энергии;
3. решаемые как динамически, так и энергетически и
показывающие преимущества энергетического метода;
4. для решения которых надо воспользоваться не только
энергетическим методом, но и уравнениями динамики и
кинематики (такие задачи относятся к задачам
повышенной сложности);
5. решаемые на основе законов сохранения энергии и
импульса.
Учащиеся должны уметь, рассчитывать работу сил,
значения потенциальной и кинетической энергии. Для расчета
работы сил необходимо усвоить, что работа совершается только,
когда на тело действует сила и под действием этой силы тело
перемещается.
Задача 1
Человек, идущий по берегу, тянет на веревке лодку,
прикладывая силу 200 Н. Угол между веревкой и берегом 300.
Какую работу совершил человек при перемещении лодки на 5 м?
39
Дано:
𝐹 = 200 H
∠𝛼 = 30о
𝑆=5м
Решение:
А−?
А = 𝐹 ∙ 𝑆 ∙ cos 𝛼 , где 𝛼 - угол между силой и перемещением.
А = 200 Н ∙ 5 м ∙ cos 300 = 850 Дж
Ответ: А = 850 Дж
Задача 2
Какую работу совершает электровоз при увеличении
скорости поезда массой 3000 т от 36 до 54 км/ч?
Дано:
СИ:
Решение:
𝑚 = 3000 т
3 ∙
Для определения работы используем
106 кг
𝓋1 = 36 км/ч 10 м/с формулу теоремы о кинетической
𝓋2 = 54 км/ч 15 м/с энергии.
𝑚𝓋22 𝑚𝓋12
А
=
−
А−?
2
2
3 ∙ 106 кг ∙ (15 м/с)2 3 ∙ 106 кг ∙ (10 м/с)2
А=
−
2
2
= 187,5 ∙ 106 Дж
Ответ: А = 187,5 ∙ 106 Дж
Задача 3
40
Ведро с водой имеет массу 10 кг. Какую работу совершила
сила тяжести, если потенциальная энергия ведра возросла от 100
Дж до 135 Дж? На какой высоте оказалось ведро?
Дано:
𝑚 = 10 кг
Еп1 = 100
Дж
Еп2 = 135
Дж
𝑔 = 10 м/с2
Решение:
Пусть на высоте ℎ1 над поверхностью Земли
тело обладает потенциальной энергией Еп1 , а
на высоте ℎ2 - потенциальной энергией Еп2 .
А−? ℎ2 −?
По теореме о потенциальной энергии работа силы тяжести
равна:
А = −(Еп2 − Еп1 )
А = −(135 Дж − 100 Дж)
Работа отрицательна, т.к. сила тяжести и перемещение
направлены в противоположные стороны.
Воспользуемся формулой для потенциальной энергии и
выразим высоту ℎ2
Еп2 = 𝑚𝑔ℎ2
Еп2
ℎ2 =
𝑚𝑔
135 Дж
ℎ2 =
= 1,35 м
10 кг ∙ 10 м/с2
Ответ: А = −35 Дж; ℎ2 = 1,35 м
Задача 4
41
Пружина имеет жесткость 350 Н/м. Какую работу она
совершит, если ее удлинение изменится от 4 до 6 см?
Дано:
СИ:
𝑘 = 350 Н/м
𝑥1 = 4
см
0,04 м
𝑥2 = 6
см
0,06 м
Решение:
А−?
По теореме о потенциальной энергии работа силы
упругости равна:
А = −(Еп2 − Еп1 ), где
𝑘𝑥12
Еп1 =
2
𝑘𝑥22
Еп2 =
2
𝑘𝑥22 𝑘𝑥12
А = −(
−
)
2
2
350 Н/м ∙ (0,06 м)2 350 Н/м ∙ (0,04 м)2
А = −(
−
)
2
2
= −0,35 Дж
Ответ: А = −0,35 Дж
Задача 5
42
Пуля массой 10 г влетает в доску толщиной 5 см со
скоростью 800 м/с и вылетает из нее со скоростью 100 м/с.
Какова сила сопротивления, действующая на пулю внутри
доски?
Дано:
СИ:
𝑚 = 10
г
0,01 кг
𝑆=5
см
0,05 м
𝓋1 = 800 м/с
𝓋2 = 100 м/с
Решение:
𝐹𝑐 −?
Для решения задачи воспользуемся формулой работы и
теоремой о кинетической энергии.
А = −𝐹𝑐 ∙ 𝑆,
знак «минус» обозначает, что сила сопротивления направлена
против движения.
𝑚𝓋22 𝑚𝓋12
А=
−
2
2
𝑚𝓋22 𝑚𝓋12
−𝐹𝑐 ∙ 𝑆 =
−
2
2
𝑚
2
2
(𝓋 − 𝓋2 )
𝐹𝑐 =
2𝑆 1
0,01 кг
((800 м/с)2 − (100 м/с)2 ) = 63000 Н = 63 кН
𝐹𝑐 =
2 ∙ 0,05 м
Ответ: 𝐹𝑐 = 63 кН
Задача 6
43
Определите, на какой высоте кинетическая энергия мяча,
брошенного вертикально вверх со скоростью 16 м/с, равна его
потенциальной энергии.
Дано:
𝓋1 = 16
м/с
Ек2 = Еп2
Решение:
ℎ−?
Запишем закон сохранения энергии
Ек1 + Еп1 = Ек2 + Еп2
Ек1 = Ек2 + Еп2
Ек1 = 2Еп2, т.к. по условию задачи
Ек2 = Еп2
𝑚𝓋12
= 2𝑚𝑔ℎ
2
𝓋12
= 2𝑔ℎ
2
𝓋12
ℎ=
2𝑔
(16 м/с)2
ℎ=
= 12,8 м
2 ∙ 10 м/с2
Ответ: ℎ = 12,8 м
44
Задача 7
При подготовке пружинного пистолета к выстрелу
пружину жесткостью 800 Н/м стали на 5 см. Какую скорость
приобретает пуля массой 20 г при выстреле в горизонтальном
направлении?
Дано:
Решение:
СИ:
В начальном положении система обладает
только
потенциальной
энергией
𝑘 = 800 Н/м
∆𝑥 = 5
см упругодеформированного тела, т.к. она
покоится.
0,05 м
𝑚 = 20
г
0,02 кг
𝓋−?
45
В последующем положении – только кинетической энергией,
т.к. нет деформации. Следовательно закон сохранения энергии
запишется:
Еп = Е к
𝑘∆𝑥 2 𝑚𝓋 2
=
2
2
𝑘∆𝑥 2
𝓋=√
𝑚
𝓋=√
800 Н⁄м ∙ 0,05м
= √2000 м2 /с2 = 44,7 м/с
0,02 кг
Ответ: 𝓋 = 44,7 м/с
Задачи для самостоятельного решения
1. Автомобиль массой 5 т движется со скоростью 72 км/ч.
Какая работа должна быть совершена для его остановки?
2. Кинетическая энергия тела в момент бросания равна 200
Дж. Определите, до какой высоты от поверхности земли
может подняться тело, если его масса равна 500 г.
3. Камень массой 20 г, выпущенный вертикально вверх из
рогатки, резиновый жгут которой был растянут на 20 см,
поднялся на высоту 40 м. Найдите жесткость жгута.
Сопротивлением воздуха пренебречь.
4. Рассчитайте работу, которую необходимо совершить при
подъеме тела массой 500 кг на высоту 4 м, если его
скорость при этом увеличилась от нуля до 2 м/с.
5. Самолет массой 2 т летит со скоростью 50 м/с. На высоте
420 м он переходит на снижение (при выключенном
двигателе) и совершает посадку, имея скорость 30 м/с.
46
Определите работу силы сопротивления воздуха во время
планирующего полета.
6. Определите, с какой скоростью надо бросить вниз мяч с
высоты 3 м, чтобы он подпрыгнул на высоту 8 м. Удар
мяча о землю считать абсолютно упругим.
47
IV. Задачи повышенной сложности
Для решения задач такого вида необходимо хорошо
разбираться во всем теоретическом материале по механике, т.к.
они включают в себя сразу несколько тем из различных
разделов. При решении надо следовать всем методическим
рекомендациям рассмотренным ранее.
Задача 1
Человек массой 60 кг стоит на льду и ловит мяч массой 500
г, который летит горизонтально со скоростью 20 м/с. На какое
расстояние откатиться человек с мячом по горизонтальной
поверхности льда, если коэффициент трения равен 0,05 ?
Дано:
СИ:
𝑚1 = 60 кг
𝑚2 = 500 г
кг
𝓋1 = 0
𝓋2 = 20 м/с
𝜇 = 0,05
Решение:
При решении этой задачи надо
воспользоваться двумя законами: закон
0,5 сохранения импульса и II-ым законом
Ньютона, а так же равноускоренным
движением.
𝑆−?
1. Запишем закон сохранения импульса
48
𝑚1 ⃗⃗⃗⃗⃗
𝓋1 + 𝑚2 ⃗⃗⃗⃗⃗
𝓋2 = 𝑚1 ⃗⃗⃗⃗⃗
𝓋1 ′+𝑚2 ⃗⃗⃗⃗⃗
𝓋2 ′
− 𝑚2 𝓋2 = −(𝑚1 + 𝑚2 )𝓋 ′
𝑚2 𝓋2
𝓋′ =
𝑚1 + 𝑚2
2. Запишем II-ой закон Ньютона
𝐹⃗ = 𝑚 ∙ 𝑎⃗
𝐹тр = 𝑚 ∙ 𝑎
𝜇∙𝑚∙𝑔 = 𝑚∙𝑎
𝑎 =𝜇∙𝑔
3. Запишем дополнительную формулу для перемещения,
воспользовавшись равноускоренным движением
𝓋 2 − 𝓋 ′2
𝑆=
−2𝑎
«минус» указывает на то, что скорость уменьшается,
проекция ускорения отрицательна
𝓋 ′2
𝑆=
, т. к. 𝓋 = 0, тело остановится
2𝑎
0,5 кг ∙ 20 м/с
𝓋′ =
= 0,16 м/с
60 кг + 0,5 кг
𝑎 = 0,05 ∙ 10 м⁄с2 = 0,5 м⁄с2
(0,16 м/с)2
𝑆=
= 0,025 м
2 ∙ 0,5 м⁄с2
Ответ: 𝑆 = 0,025 м.
49
Задача 2
Санки съезжают с горы высотой 5 м и движутся дальше по
горизонтальному участку. Коэффициент трения на всем пути
санок одинаков и равен 0,1. Какое расстояние пройдут санки по
горизонтальному участку до полной остановки?
Дано:
ℎ=5м
𝜇 = 0,1
𝓋=0
Решение:
𝑆−?
Задачу решаем, воспользовавшись законом сохранения энергии
и II-м законом Ньютона, а так же равноускоренным движением.
1. Запишем второй закон Ньютона
𝐹⃗ = 𝑚 ∙ 𝑎⃗
−𝐹тр = −𝑚 ∙ 𝑎
𝐹тр = 𝑚 ∙ 𝑎
𝜇∙𝑚∙𝑔=𝑚∙𝑎
𝑎 =𝜇∙𝑔
2.
𝓋 2 − 𝓋02
𝑆=
−2𝑎
𝓋02
𝑆=
2𝑎
3. Чтобы найти начальную скорость для горизонтального
участка запишем закон сохранения энергии
𝑚𝓋02
𝑚𝑔ℎ =
2
50
𝓋02
𝑔ℎ =
2
𝓋0 = √2𝑔 ∙ ℎ
𝑎 = 0,1 ∙ 10 м⁄с2 = 1 м⁄с2
𝓋0 = √2 ∙ 10 м⁄с2 ∙ 5 м = √100 м2 /с2 = 10 с
(10 с)2
𝑆=
= 50 м
2 ∙ 1 м/с2
Ответ: 𝑆 = 50 м
Задача 3
Брусок массой 𝑚1 = 500 г соскальзывает по наклонной
плоскости с высоты ℎ = 0,8 м и, двигаясь по горизонтальной
поверхности, сталкивается с неподвижным бруском массой
𝑚2 = 300 г . Считая столкновение абсолютно неупругим,
определите общую кинетическую энергию брусков после
столкновения. Трением при движении пренебречь. Считать, что
наклонная плоскость плавно переходит в горизонтальную.
Дано:
𝑚1 = 500 г
𝑚2 = 300 г
ℎ = 0,8 м
𝓋2 = 0
СИ:
0,5 кг
0,3 кг
Решение:
Е′к −?
51
Для решения задачи применяем законы сохранения энергии и
импульса.
1. Запишем закон сохранения энергии. Пользуясь им, найдем
скорость первого тела до взаимодействия на горизонтальном
участке.
𝑚1 𝓋12
𝑚1 𝑔ℎ =
2
𝓋12
𝑔ℎ =
2
𝓋1 = √2𝑔 ∙ ℎ
2. Запишем закон сохранения импульса и найдем скорость
системы после взаимодействия
𝑚1 ⃗⃗⃗⃗⃗
𝓋1 + 𝑚2 ⃗⃗⃗⃗⃗
𝓋2 = 𝑚1 ⃗⃗⃗⃗⃗
𝓋1 ′+𝑚2 ⃗⃗⃗⃗⃗
𝓋2 ′
𝑚1 𝓋1 = (𝑚1 + 𝑚2 )𝓋 ′
𝑚1 𝓋1
𝓋′ =
𝑚1 + 𝑚2
3. Найдем общую кинетическую энергию брусков после
абсолютно неупругого удара.
(𝑚1 + 𝑚2 )𝓋 ′2
Е′к =
2
2
𝓋1 = √2 ∙ 10 м⁄с ∙ 0,8 м = 4 м/с
𝓋′ =
Е′к =
0,5 кг ∙ 4 м/с
= 2,5 м/с
0,5 кг + 0,3 кг
(0,5 кг + 0,3 кг) ∙ (2,5 м/с)2
= 2,5 Дж
2
Ответ: Е′к = 2,5 Дж
52
Задача 4
Шар массой 1 кг, подвешенный на нити длиной 90 см,
отводят от положения равновесия на угол 600 и отпускают. В
момент прохождения шаром положения равновесия в него
попадает пуля массой 10 г, летящая навстречу шару со
скоростью 300 м/с. Она пробивает его и вылетает
горизонтально со скоростью 200 м/с, после чего шар
продолжает движение в прежнем направлении. На какой
максимальный угол отклонится шар после попадания в него
пули?
Дано:
CИ:
𝑚ш = 1 кг
ℓ = 90 см
0,9 м
о
∠𝛼 = 60
𝑚п = 10 г
0,01 кг
𝓋п = 300 м/с
𝓋п′ = 200 м/с
Решение:
∠𝛽−?
Для решения задачи используем законы сохранения энергии
и импульса, а так же рассмотрим прямоугольные
треугольники, получившиеся при построении.
1. Получим выражение для вычисления требуемого угла.
Для этого рассмотрим прямоугольный треугольник АВС:
ℓ ∙ cos 𝛽 = ℓ − ℎ
ℓ−ℎ
cos 𝛽 =
ℓ
53
2. Запишем закон сохранения энергии
𝑚ш 𝓋ш′2
𝑚ш 𝑔ℎ =
2
𝓋ш′2
ℎ=
2𝑔
3. Запишем закон сохранения импульса
𝑚ш ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝓋ш + 𝑚п ⃗⃗⃗⃗⃗
𝓋п = 𝑚ш ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝓋ш ′+𝑚п ⃗⃗⃗⃗⃗
𝓋п ′
−𝑚ш 𝓋ш + 𝑚п 𝓋п = −𝑚ш 𝓋ш ′ + 𝑚п 𝓋п ′
𝑚ш 𝓋ш ′ = 𝑚ш 𝓋ш + 𝑚п 𝓋п ′ − 𝑚п 𝓋п
𝑚ш 𝓋ш + 𝑚п 𝓋п ′ − 𝑚п 𝓋п
𝓋ш ′ =
𝑚ш
4.
𝑚ш 𝑔𝐻 =
𝑚ш 𝓋ш 2
2
𝓋ш = √2𝑔𝐻
5. Чтобы вычислить Н, рассмотрим прямоугольный
треугольник АВ′С′
ℓ − 𝐻 = ℓ ∙ cos 𝛼
𝐻 = ℓ − ℓ ∙ cos 𝛼 = ℓ(1 − cos 𝛼)
Подставим, полученное выражение в формулу скорости
шара
𝓋ш = √2𝑔ℓ(1 − cos 𝛼)
𝓋ш = √2 ∙ 10 м⁄с2 ∙ 0,9(1 − cos 600 ) = 3 м/с
1 кг ∙ 3 м⁄с + 0,01 кг ∙ 200 м⁄с − 0,01 кг ∙ 300 м/с
𝓋ш′ =
1 кг
= 2 м/с
(2 м/с)2
ℎ=
= 0,2 м
2 ∙ 10 м/с2
cos 𝛽 =
0,9 м − 0,2 м 7
=
0,9 м
9
54
∠𝛽 = 390
Ответ: ∠𝛽 = 390
Задачи для самостоятельного решения
1. Мальчик на санках спустился с ледяной горы высотой 10
м и проехал по горизонтали до остановки 50 м. Сила
трения при его движении по горизонтальной поверхности
равна 80 Н. Чему равна общая масса мальчика с санками?
Считать, что по склону горы санки скользили без трения.
2. Мальчик на санках общей массой 50 кг спустился с
ледяной горы. Коэффициент трения при его движении по
горизонтальной поверхности равен 0,2 . Расстояние,
которое мальчик проехал по горизонтали до остановки,
равно 30 м. чему равна высота горы? Считать, что по
склону горы санки скользили без трения.
3. Человек, находящийся в неподвижно стоящей на озере
лодке, переходит с носа на корму. Рассчитайте
расстояние, на которое переместится лодка, если масса
человека 60 кг, масса лодки 120 кг, а длина лодки 3 м.
4. Брусок массой 500 г соскальзывает по наклонной
поверхности с высоты 0,8 м и, двигаясь по
горизонтальной
поверхности,
сталкивается
с
неподвижным бруском массой 300 г. Считая
столкновение
абсолютно
неупругим,
определите
изменение кинетической энергии первого бруска в
результате столкновения. Трением при движении
пренебречь. Считать, что наклонная плоскость плавно
переходит в горизонтальную.
5. Шар массой 1 кг, подвешенный на нити длиной 90 см,
отводят от положения равновесия на угол 600 и
отпускают. В момент прохождения шаром положения
равновесия в него попадает пуля массой 10 г, летящая
55
навстречу шару. Она пробивает его и продолжает
двигаться горизонтально. Определите измененные
скорости пули в результате попадания в шар, если он,
продолжая
движение
в
прежнем
направлении,
отклоняется на угол 390. (Массу шара считать
неизменной, диаметр шара – пренебрежимо малым по
7
сравнению с длиной нити, cos 390 = 9 )
6. Маятник массой 𝑚 отклонен на угол α от вертикали.
Какова сила натяжения нити при прохождении
маятником положения равновесия?
56
Литература
1. Кикоин, И.К., Кикоин, А.К. Физика [Текст]: Учеб. для 9
кл. сред. шк. / И.К. Кикоин, А.К. Кикоин. – М.:
Просвещение, 1990. : ил.
2. Косьянов, В.А. Физика. 10 кл. [Текст]: учебн. для
общеобразоват. учеб. Заведений / В.А. Косьянов. – 4-е
изд., испр. – М. : Дрофа, 2008. – 416 с. : ил.
3. Мясников, С.П., Осанова, Т. Н. Пособие по физике
[Текст]: Учеб. пособие для подгот. отделений вузов. /
С.П. Мясников, Т. Н. Осанова. 5-е изд., испр. и перераб. –
М. : Высш. шк. 1988. – 399 с. : ил.
4. Гутман, В.И., Мощанский, В.Н. Алгоритмы решения
задач по механике в средней школе [Текст] : Кн. Для
учителя. / В.И. Гутман, В.Н. Мощанский.– М. :
Просвещение, 1988. – 95 с. : ил.
5. Рымкевич, А.П. Физика. Задачник. 10-11 кл. [Текст]:
Пособие для общеобразоват. учеб. Заведений /А.П.
Рымкевич. – 4-е изд., стереотип. – М. : Дрофа, 2000. – 208
с. : ил. – (Задачник «Дрофы»).
57