ЕГЭ 2015 Пробный экзамен Решение С1

ЕГЭ 2015 Пробный экзамен Решение С1-С6
C 1а) Решите уравнение
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
Решение.
а) Запишем уравнение в виде
Значит,
да
или
откуда
или
отку-
или
б) С помощью числовой окружности отберем корни уравнения, принадлежащие отрез-
ку
Получим числа:
Ответ: а)
б)
C 1а) Решите уравнение
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
Решение.
а) Из данного уравнения получаем:
Значит,
да
или
или
принадлежащие отрезку
Ответ: а)
откуда
или
отку-
б) С помощью числовой окружности отберём корни,
Получим числа:
; б)
C 1 а) Решите уравнение
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
Решение.
а) Преобразуем исходное уравнение:
б) С помощью числовой окружности отберем корни, принадлежащие отрезку
чим числа:
О т в е т : а)
б)
C 1 а) Решите уравнение
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [−1; 2].
Решение.
а) Преобразуем уравнение:
Откуда
или
У второго уравнения решений нет.
Преобразуем первое уравнение:
б) Оценим
откуда
сверху целыми числами:
Тогда
и
Значит, отрезку [−1; 2] принадлежит только
О т в е т : а)
б)
Полу-
C 2 № 500474. Точка — середина ребра
куба плоскостью
если ребра куба равны
Решение.
ребро
В
куба
Найдите площадь сечения
Прямая
пересекает прямую
в точке . Прямая
в его середине — точке
— сечение куба плоскостью
равнобедренном
треугольнике
Поскольку
— средняя линия треугольника
пересекает
имеем
и высота
получаем:
Ответ:
C 2 № 500962. В правильной треугольной призме
стороны основания равны 6, боковые рёбра равны 4. Изобразите сечение, проходящее через вершины
и середину
ребра
Найдите его площадь.
Решение.
Обозначим через
и средины ребер
и
соответственно.
По Теореме о средней линии треугольника
так что прямые
и
лежат в одной
плоскости. Искомое сечение — это равнобедренная трапеция
Основания трапеции
по теореме Пифагора найдем боковую сторону:
Проведем в трапеции высоту
Следовательно, высота трапеции
пеции:
Ответ:
Отрезок
равен полуразности оснований трапеции:
Зная её, находим площадь тра-
C 2 № 501690. В правильной четырехугольной пирамиде
с вершиной
стороны основания равны
а боковые ребра равны
Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точку и середину ребра
параллельно прямой
Решение.
Пусть точка E — середина ребра MD. Отрезок BE пересекает плоскость MAC в точке P. В треугольнике MBDточка Р является точкой пересечения медиан, следовательно, MP:РО = 2 : 1, где O —
центр основания пирамиды. Отрезок FG параллелен AC и проходит через точку P (точка F принадлежит ребру MA, G — ребру MC), откуда
Четырёхугольник BFEG — искомое сечение. Отрезок BE — медиана треугольникаMBD, значит,
Поскольку прямая BD перпендикулярна плоскости MAC, диагонали BE и FGчетырёхугольника BFEG перпендикулярны, следовательно,
Ответ:
C 2 № 505417. В правильной треугольной пирамиде
с основанием
стороны основания равны
а боковые рёбра
На ребре
находится точка
на ребре
находится
точка а на ребре
— точка Известно, что
Найдите площадь сечения
пирамиды плоскостью, проходящей через точки
и
Решение.
Пусть
ке
— центр основания пирамиды. В треугольни-
имеем:
Значит,
отрезок
делит медиану, проведённую из вершины
нии
то есть содержит точку Кроме того, — середина
Рассмотрим прямоугольный треугольник
дикуляр
на сторону
. Тогда
В нём
Опустим из точки
в отношеперпен-
Значит,
Равнобедренный треугольник
сеченияравна
Ответ:
— искомое сечение, а
— его высота. Площадь искомого
C 3 № 484586. Решите неравенство
Решение.
Преобразуем неравенство
Сделав замену переменной
получаем:
1)
2)
Ответ:
C 3 № 484589. Решите неравенство
Решение.
Неравенство имеет смысл при
Для таких
получаем
Значит,
Ответ:
C 3 № 484583. Решите неравенство
Решение.
Запишем неравенство в виде:
Сделаем замену
и приведем левую часть к общему знаменателю:
Решением полученного неравенства является множество
щаясь к переменной х, находим множество решений исходного неравенства:
Ответ:
Возвра-
C 3 № 484593. Решите неравенство
Решение.
Значения , при которых определены обе части неравенства:
Для таких
получаем:
Тогда исходное неравенство примет вид:
Учитывая, что
Ответ:
имеем:
C 4 № 484621. На стороне CD квадрата ABCD построен равносторонний треугольник CPD. Найдите высоту треугольника ADP, проведённую из вершины D, если известно, что сторона квадрата
равна 1.
Решение.
Пусть точки
бедренный
и
лежат по одну сторону от прямой
, поэтому
(рис. 1). Треугольник
— равно-
.
Пусть
— высота треугольника
Пусть теперь точки
и
. Из прямоугольного треугольника
лежат но разные стороны от прямой
равнобедренный
находим, что
.
(рис. 2). Треугольник
, поэтому
.
Из прямоугольного треугольника
находим, что
.
Ответ:
или
.
—
C 4 № 484623. На стороне CD квадрата ABCD построен равносторонний треугольник CPD. Найдите высоту треугольника ABP, проведённую из вершины A, если известно, что сторона квадрата
равна 1.
Решение.
Пусть точки Р и А лежат по одну сторону от прямой CD (рис. 1). Треугольник BCP — равнобедренный (BC = CD =CP = 1), поэтому
,
значит,
.
Пусть AH — высота треугольника ABP. Из прямоугольного треугольника ABH находим, что
.
Пусть теперь точки P и A лежат по разные стороны от прямой CD (рис.2). Треугольник BCP —
равнобедренный (BC = CD = CP = 1), поэтому
,
значит,
Из прямоугольного треугольника ABH находим, что
.
Ответ:
или
.
C 4 № 500009. Дан треугольник АВС, площадь которого равна 55. Точка Е на прямой АС выбрана так, что треугольник АВЕ ― равнобедренный с основанием АЕ и высотой BD. Найдите площадь
треугольника АВE, если известно, что
Решение.
Введем следующие обозначения:
и
,
.
,
.
1 случай (точка E лежит между точками A и С, см. рис. 1).
Треугольник АВЕ равнобедренный, поэтому
Углы ABE и CBD треугольников ABE и CBD равны, значит,
, а значит,
,
откуда
.
Поскольку
, получаем
,
откуда
,
значит,
.
2 случай (точка A лежит между точками E и С, см. рис. 2).
Аналогично случаю 1 находим
.
О т в е т : 30 или 66.
.
C 4 № 500003. Дан треугольник АВС. Точка Е на прямой АС выбрана так, что треугольник АВЕ,
площадь которого равна 14, ― равнобедренный с основанием АЕ и высотой BD. Найдите площадь
треугольника АВС, если известно, что
Решение.
Введем следующие обозначения:
и
,
.
,
.
1 случай (точка E лежит между точками A и С, см. рис. 1).
1. Треугольник АВЕ ― равнобедренный, поэтому
, а значит,
2. Углы ABE и CBD треугольников ABE и CBD равны. Следовательно,
,
откуда
.
3. Поскольку
,
получаем:
.
4. Окончательно находим:
.
2 случай (точка A лежит между точками E и С (см. рис. 2).
Аналогично случаю 1 находим
.
О т в е т : 25 или 39.
.
C 5 № 506090. 31 декабря 2013 года Сергей взял в банке 9 930 000 рублей в кредит под 10%
годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет
проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 10%), затем Сергей переводит
в банк определённую сумму ежегодного платежа. Какой должна быть сумма ежегодного платежа,
чтобы Сергей выплатил долг тремя равными ежегодными платежами?
Решение.
Пусть сумма кредита равна a, ежегодный платеж равен x рублей, а годовые составляют k%.
Тогда 31 декабря каждого года оставшаяся сумма долга умножается на коэффициент m = 1 + 0,01k.
После первой выплаты сумма долга составит: a1 = am − x. После второй выплаты сумма долга составит:
После третьей выплаты сумма оставшегося долга:
По условию тремя выплатами Сергей должен погасить кредит полностью, поэтому
откуда
При a = 9 930 000 и k = 10, получаем: m = 1,1 и
(рублей).
О т в е т : 3 993 000 рублей.
C 5 № 507212. 31 декабря 2014 года Алексей взял в банке 6 902 000 рублей в кредит под 12,5%
годовых. Схема выплаты кредита следующая — 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 12,5%), затем Алексей переводит в банк X рублей. Какой должна быть сумма X, чтобы Алексей выплатил долг четырьмя
равными платежами (то есть за четыре года)?
Решение.
Пусть сумма кредита равна S, а годовые составляют а%. Тогда 31 декабря каждого года оставшаяся сумма долга умножается на коэффициент b = 1 + 0,01а . После первой выплаты сумма долга
составит S1 = S1b − X. После второй выплаты сумма долга составит
После третьей выплаты сумма оставшегося долга равна
После четвертой выплаты сумма оставшегося долга равна
По условию четырьмя выплатами Алексей должен погасить кредит полностью, поэтому
При S = 6 902 000 и а = 12,5, получаем: b = 1,125 и
О т в е т : 2 296 350.
C 6 № 502118. Найдите все значения a, при которых уравнение
хотя бы один корень, принадлежащий промежутку (−1; 1].
Решение.
Уравнение
имеет
равносильно системе
Эта система имеет хотя бы один корень, принадлежащий промежутку
ние
ку
если уравне-
имеет хотя бы один корень, принадлежащий либо промежутлибо промежутку
Поскольку графиком функции
является парабола, ветви которой направ-
лены вверх, а вершина находится в точке
уравнение
принадлежащий промежутку
при условии
имеет хотя бы один корень,
(рис. 1).
Уравнение
имеет хотя бы один корень, принадлежащий промежутку
при усло-
вии
(рис. 2).
Уравнение
ку
Ответ:
при
имеет хотя бы один корень, принадлежащий промежути при
C 7 № 484656. Найдутся ли хотя бы три десятизначных числа, делящиеся на 11, в записи каждого из которых использованы все цифры от 0 до 9?
Решение.
Число делится на 11 тогда и только тогда, когда разность между суммами его цифр, стоящих на
нечетных и на четных местах, делится на 11.
Запишем все цифры подряд: 9876543210. В написанном числе указанная разность сумм равна
5. Меняя местами, например, 5 и 8, мы одну сумму увеличиваем на 3, а другую уменьшаем на 3.
Значит, разность между суммами его цифр, стоящих на нечетных и на четных местах, становится
равной 11.
Меняя местами, например, 1 и 4 или 3 и 6, получаем требуемые примеры.
Примечание: в задаче не требуется нахождение всех чисел, обладающих указанным свойством.
О т в е т : найдутся.