7167

7167. Кузнечик сидит на одном из концов соломинки длиной l = 50 см, покоящейся на
гладком полу. С какой минимальной относительно пола скоростью v0 он должен
прыгнуть, чтобы при приземлении попасть точно на второй конец соломинки? Масса
кузнечика в β = 3 раза больше массы соломинки. Размерами кузнечика и трением
между полом и соломинкой пренебречь. Ускорение свободного падения g = 10 м/с2.
Дано: l = 50 см=0,5 м; β = 3; g = 10 м/с2
Найти: v0=?
Решение. Свяжем с неподвижным полом инерциальную
систему отсчета. Направим координатную ось ОХ
вдоль соломинки в сторону ее второго конца,
совместив начало оси с исходным положением
кузнечика. В выбранной системе отсчета для системы двух тел «кузнечик +
соломинка» можно применять закон сохранения импульса вдоль оси ОХ: поскольку
трения между полом и соломинкой нет, сохраняется проекция суммарного импульса
на горизонтальную ось ОХ, откуда следует равенство:
𝑚 ∙ 𝑣0 ∙ cos 𝛼 = 𝑀 ∙ 𝑢,
где m и М - массы кузнечика и соломинки, u - скорость соломинки относительно пола.
Отсюда
𝑚 ∙ 𝑣0 ∙ cos 𝛼
𝑢=
𝑀
Время t0, которое кузнечик проводит в полете, равно
2 ∙ 𝑣0 ∙ sin 𝛼
𝑡0 =
.
𝑔
За это время модули перемещения соломинки влево (в отрицательном направлении
оси ОХ) и горизонтального перемещения кузнечика вправо (в положительном
направлении оси ОХ) равны, соответственно:
2 ∙ 𝑣02 𝑚
𝑠𝑐 = 𝑢 ∙ 𝑡0 =
∙ ∙ sin 𝛼 ∙ cos 𝛼,
𝑔
𝑀
2 ∙ 𝑣02
𝑠𝑘 = 𝑣0 ∙ 𝑡0 ∙ cos 𝛼 =
∙ sin 𝛼 ∙ cos 𝛼.
𝑔
По условию эти величины связаны между собой соотношением:
𝑠𝑐 + 𝑠𝑘 = 𝑙.
Учитывая, что
𝑚
= 𝛽,
𝑀
находим величину начальной скорости кузнечика:
𝑔∙𝑙
𝑣0 = √
.
(1 + 𝛽) ∙ sin 2𝛼
Эта величина минимальна при
sin 2𝛼 = 1,
то есть при α=45°. Отсюда получаем:
𝑔∙𝑙
𝑣0 = √
.
1+𝛽
Подставляя в эту формулу заданные в условии задачи числа и проверяя размерность,
находим
10 ∙ 0,5
м
𝑣0 = √
= 1,1 .
1+3
с
Полное решение этой задачи подразумевает анализ полученного ответа. Надо
понимать, что скорость кузнечика будет минимальной при максимальном значении sin
2α.
Ответ.
𝒈∙𝒍
м
𝒗𝟎 = √
, 𝒗𝟎 = 𝟏, 𝟏 .
𝟏+𝜷
с