Акмуллинская олимпиада по математике

Акмуллинская олимпиада по математике (2 тур):
#1 1971+1971=3942
Ответ. 3942
#2
Решение. (х-1)(х-3)(х+5)(х+7) = 297 <=> (х2 + 4х – 5)(х2 + 4х – 21) –
297 = 0. Введем обозначение: х2 + 4х – 13 = у. Преобразуем
уравнение к виду: (у – 8)(у + 8) – 297 = 0; у2 – 64 – 297 = 0; у2 = 361;
у1,2 = 19. Вернемся к исходной переменной, имеем:
х2 + 4х– 13 = -19 <=> х2 + 4х +6=0 , D=-8, D0, нет действительных
корней.
х2 + 4х -13 = 19 <=> х2 + 4х – 32 = 0. Решим уравнение по теореме,
обратной теореме Виета х1 + х2 = – 4 и х1 х2 = – 32. Откуда х1 = – 8 ,
х2 = 4.
Ответ: – 8; 4.
#6
Решение
Круг радиуса 10 имеет площадь 100π . Если расстояние между двумя
точками равно 1, то круги радиуса 0,5 с центрами в этих точках
касаются друг друга. Площадь 400 таких кругов радиуса 0,5 равна 400·
π· 0,52=100π . Если такие круги поместить вплотную друг к другу, то
они займут площадь большую, чем 100π кв. ед., так как между кругами
будут зазоры. Отсюда ясно, что их нельзя поместить в круг радиуса 10
ед. Тем более нельзя поместить 400 точек в этот круг так, чтобы
расстояние между ними было больше, чем единица.
#8
Если по кругу радиуса 2R внутри него без скольжения катится круг с
отмеченной с радиусом R, то линии описывающие кривую,
называютгипоциклоидой.
Выполнил:
Батыргареев Николай Алексеевич
МБОУ СОШ №7 г.Туймазы