Тема: «Координаты и векторы» Произвольная точка А в пространстве характеризуется тремя числами: абсциссой xA, ординатой yA, аппликатой zA, что записывается так: А( xA; yA; zA) – координаты точки. Краткий справочный материал по теме А М А( xA; yA; zA) , В В( xA; yA; zA) Длину отрезка АВ находим по формуле: Примеры решения типовых заданий Найдите длину отрезка AB и координаты середины Найдите длину отрезка CD отрезка AB, если А (3;-4;0) ; В (-1;2;4). и координаты его середины, Решение: если С (-2;1;5) , D (4;0;6) . 2 АВ = √(−1 − 3)2 + (2 − (−4)) + (4 − 0)2 = АВ=√(𝒙𝒃− 𝒙𝒂) 𝟐 + (𝒚𝒃 − 𝒚𝒂) 𝟐 + (𝒛𝒃 − 𝒛𝒂 )𝟐 = √(−4)2 + 62 + 42 = √ 16 + 36 + 16 = = √68 – длина отрезка АВ. Точка M – середина отрезка АВ. Координаты середины отрезка находим по формуле : M( M( Задания для самостоятельной работы 3+(−1) 2 ; −4+2 2 ; 0+4 ) 2 M ( 1;-1;2 ) – координаты середины отрезка АВ. 𝒙𝒂 +𝒙𝒃 𝒚𝒂 +𝒚𝒃 𝒛𝒂 +𝒛𝒃 ; ; ) 𝟐 𝟐 𝟐 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ или Вектор – направленный отрезок. Обозначают: АВ 𝑎 А а⃗ В А – начало вектора, В – конец вектора Длиной вектора называют длину соответствующего ему отрезка. ⃗⃗⃗⃗⃗ | =| АВ| Записывают так: |АВ Вектор называется нулевым, если его начало совпадает с концом ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ АА , ⃗⃗⃗⃗⃗0 – нулевые векторы ⃗⃗⃗⃗⃗ , если А (5;-6;3), В (-2;0;7). Координаты вектора: Найдите координаты вектора АВ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ Решение: АВ ( -2-5 ; 0-(-6) ; 7-3 ) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ АВ ( 𝑥𝑏− 𝑥𝑎 ; 𝑦𝑏 − 𝑦𝑎 ; 𝑧𝑏 − 𝑧𝑎 ) ⃗⃗⃗⃗⃗ АВ ( -7 ; 6 ; 4 ) – координаты вектора ⃗⃗⃗⃗⃗ АВ ⃗⃗⃗𝑎 ( 𝑎1 ; 𝑎2 ; 𝑎3 ) Найдите координаты вектора ⃗⃗⃗⃗⃗ , если А (3;8;-1); В (-4;0;2) АВ Краткий справочный материал по теме Длина вектора: | ⃗⃗⃗⃗⃗ АВ | = √(𝑥𝑏− 𝑥𝑎) 2 + (𝑦𝑏 − 𝑦𝑎) 2 + (𝑧𝑏 − 𝑧𝑎 )2 |⃗⃗⃗⃗ 𝑎|= √ 𝑎12 + 𝑎22 + 𝑎32 Угол между векторами а⃗ 0 α A ⃗𝑏 В α – угол между а ⃗⃗⃗ и 𝑏⃗ Скалярное произведение векторов: а⃗ ∙ 𝑏⃗ = | а⃗ | ∙ | ⃗⃗⃗ 𝑏 | ∙ cos α а⃗ ∙ 𝑏⃗ = а1 𝑏1 + а2 𝑏2 + а3 𝑏3 cos 𝛼 = ⃗ ∙ 𝑏⃗ а |а ⃗ | ∙ |𝑏⃗| Примеры решения типовых заданий Задания для самостоятельной работы 1.Найдите длину вектора ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ АВ, если А (5;-6;3), В (-2;0;7). ⃗⃗⃗⃗⃗ |= √(−2 − 5)2 + (0 − (−6))2 + (7 − 3)2 = = Решение: |АВ √(−7)2 + 62 + 42 = √49 + 36 + 16 = √101 – длина вектора ⃗⃗⃗⃗⃗ АВ 2. Найдите длину вектора ⃗⃗а ( 1;-3;2 ). Решение: | а⃗⃗⃗ | = √12 + (−3)2 + 22 = √1 + 9 + 4 = √15 ⃗⃗⃗⃗⃗ , 1.Найдите длину вектора АВ если А (3;8;-1); В (-4;0;2). 1.Если α = 00 => векторы а⃗⃗ и ⃗⃗⃗𝑏 − соноправленные 0 а⃗ 𝑏⃗ В А ⃗ 2.Если α = 90° => ⃗⃗а ⊥ 𝑏 – векторы перпендикулярные B 𝑏⃗ а⃗ 0 A 1.Найдите скалярное произведение векторов, если а⃗ ( 2; 8; -4 ), ⃗⃗⃗⃗𝑏 ( 0; 1; -3 ). Решение: а⃗ ∙ 𝑏⃗ = 2∙0+8∙1+(-4)∙(-3) = 0+8+12 = 20 1. Покажите угол между векторами, определите его градусную меру 2. Найдите скалярное произведение векторов, если угол между ними равен 90°. ⃗⃗⃗ ∙ Решение: Т.к. α = 90°, cos 90° = 0 => а⃗ ∙ 𝑏⃗ = |а⃗ | ∙ |𝑏| ⃗ cos 90° = |а⃗ | ∙ |𝑏| ∙ 0 = 0 2. Докажите, что вектора взаимно перпендикулярны: а⃗ (10; −6; 8) ; ⃗⃗⃗⃗𝑏 (2;6;2). 2.Найдите а⃗⃗ (4;-3;7). а⃗ длину О вектора 𝑏⃗ 1. Найдите скалярное произведение векторов, если а⃗ (3; 5; 1); ⃗⃗⃗⃗ 𝑏 (-2;4;6). 3.Найдите cos А, если дан 3.Докажите, что векторы взаимно перпендикулярны, треугольник АВС, заданный координатами своих вершин: если а⃗ (−4; −8; −14), ⃗⃗⃗⃗𝑏(2; −6; −4) А(-6;4;-2), В(0;-2;8),С(8;-6;2). Решение: ⃗⃗а ⋅ 𝑏⃗ = −4 ⋅ 2 + 8 ⋅ (−6) + (−14) ⋅ (−4) = 0 Т.к. ⃗⃗а ∙ 𝑏⃗ = 0 => cos α = 0 => α = 90° => а⃗⃗ ⊥ 𝑏⃗ Подробнее информацию по данной теме можно найти в следующей литературе: 1. Алимов Ш.А. и др. Алгебра и начала анализа . 10-11 кл. – М. 2009 г. ; 2. Башмаков М.И. Алгебра и начала математического анализа (базовый уровень). 10-11 кл. – М., 2010 г.