Теория множеств

Вариант 2
Теория множеств
№ 1. Найти все подмножества множества {1, 2, 3 }.
Решение:
Выпишем
одноэлементные
подмножества: {1},
{2},
{3},
затем
двухэлементные: {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, трехэлементные: {1, 2, 3} и множество,
не содержащее ни одного элемента (пустое множество) – .
Количество подмножеств множества, состоящего из n элементов равно
2n . В нашем примере множество состоит из трех элементов, значит
количество подмножеств равно
=8.
№ 2. А – множество студентов в одной из групп факультета, а В – множество
отличников
на
факультете.
Какие
множества
студентов
описывают
множества: А  В; А\В; В\А?
Решение:
Пересечением множеств А и В называется множество А В, состоящее из
всех элементов, которые принадлежат одновременно множеству А и В:
А В = {х | х А и х В}.
Тогда А  В – это множество отличников данной группы.
Разностью множеств A и B называется
множество
А\В
элементов,
принадлежащих A и не принадлежащих B.
Тогда А\В – множество студентов данной группы, не являющихся
отличниками.
В\А – множество отличников факультета за исключением отличников данной
группы.
№ 3. Множества А и В есть подмножества множества I (рис.)
I
А
В
Заштриховать на рис. следующие множества: 1) А  В; 2) А  В; 3) А ; 4) А  В
Решение:
1) А  В – объединение множеств А и В (все точки обоих множеств):
2) А  В – пересечение множеств А и В (общие точки двух множеств):
3) А – дополнение множества А (точки, не принадлежащие множеству А):
4) А  В – объединение множества А и дополнения множества В:
№ 4. Дано множество К={a;b;{c,d};{e;f;m}}. Определите, какие из
следующих высказываний истинны и почему:
а) {a;{c;d}}  K;
б) {c;d}  K;
в){{c;d}}  K;
г){c;d} K.
Решение: Если любой элемент множества А принадлежит так же и
множеству В, то А называют подмножеством В. Записывают А  В. Знак 
называют знаком включения. Знак  обозначает принадлежность какоголибо элемента к множеству. Поэтому высказывания а), в) и г) являются
истинными, а высказывание б) – ложным. Действительно, множество
{a;{c;d}}, состоящее из двух элементов a и {c;d} является подмножеством В.
Множество {{c;d}}, состоящее из одного элементa {c;d} является
подмножеством множества К. Элемент {c;d} принадлежит множеству К.
А вот множество {c;d}, состоящее из двух элементов с и d не является
подмножеством множества К, потому что отдельные элементы с и d не
являются элементами множества К.
№ 5. Найдите разность множеств P и S, если:
P={x|x  Z, -4  x  6} , S={ x|x N, 3  x  10}. Здесь Z – множество целых
чисел, N - множество натуральных чисел.
Решение:
Разностью множеств P и S называется
принадлежащих P и
не
принадлежащих S.
множество
элементов,
Обозначают P\S и
читают
"разность P и S". P \ S  x x  P и x  S .
//////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
-4 / -3 -2
0
1
2
3
4
6
-1
5
Получаем, что разность множеств P и S – это все точки отрезка  4;6 за
исключением четырех точек х = 3,4,5,6.
№ 6. Найдите дополнение к множеству В до множества А, если
а) А={11;12;43;54;7}, B={7;12}.
Решение:
Это множество называют дополнением множества
до множества
.
(только когда множество В полностью принадлежит множеству А).
Тогда A \ B  11;43;54.
б) А – множество учащихся некоторого класса; В – множество
отличников в этом классе.
A \ B – множество учащихся данного класса, не являющихся отличниками.
№ 7. Даны множества А= {a,b,c},B={1,2} C={2,3,4}.
Запишите множества А  В; А  С и В  С .
Решение:
Декартовым произведением множеств А и В называется множество пар,
первая компонента которых принадлежит множеству А, вторая множеству В.
Обозначают А  В. Таким образом А  В = {(x;y) | x  A, y  B}. Операцию
нахождения декартового произведения множеств А и В называют
декартовым умножением этих множеств.
А  В={(a, 1), (a, 2), (b, 1), (b, 2), (c, 1), (c, 2)}.
А  С={(a, 2), (a, 3), (a, 4), (b, 2), (b, 3), (b, 4), (c, 2), (c, 3), (c, 4)}.
В  С={(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 3), (2, 4)}.
№ 8. Запишите множество различных цифр в записи числа 235 535. Запишите
кортеж цифр этого числа. Какова длина этого кортежа?
Решение:
В математике рассматривают не только упорядоченные пары, но и наборы из
трех, четырех и т.д. элементов. Такие упорядоченные наборы называют
кортежами. Так, набор (1, 5, 6) есть кортеж длины 3, так как в нем три
элемента.
Множество различных цифр в записи числа 235 535 имеет вид: {2,3,5}.
Кортеж числа 235 535 имеет вид (2; 3; 5; 5; 3; 5). Его длина равна 6.
№ 9. Пусть Х={”мама”;“папа”;“рама”;“яма”}; Y={а,м,р,п,я}. Составьте
декартово произведение Х  Y . Отметьте в нем пары, связанные
соответствием «В слово х входит буква у».
Решение:
Декартово произведение Х  Y = { (”мама”, а), (”мама”, м), (”мама”, р),
(”мама”, п), (”мама”, я), (“папа”, а), (“папа”, м), (“папа”, р), (“папа”, п),
(“папа”, я), (“рама ”, а), (“рама ”, м), (“рама ”, р), (“рама ”, п), (“рама ”, я),
(“яма ”, а), (“яма ”, м), (“яма ”, р), (“яма ”, п), (“яма ”, я)}.
Выделим подчеркиванием среди выписаных пары, связанные соответствием
«В слово х входит буква у».
№10. А – множество прямых на плоскости. Выясните, какие из следующих
отношений в множесве А являются отношениями эквивалентности.
а) « прямая а перпендикулярна прямой b»
б) “ прямая а паралельна прямой b”
в) “ прямая а пересекает прямую b”.
Решение:
Отношение эквивалентности ( ) на множестве
— это бинарное
отношение, для которого выполнены следующие условия:
1. Рефлексивность:
для любого
2. Симметричность: если
, то
3. Транзитивность: если
и
в
,
,
, то
.
а) «прямая а перпендикулярна прямой b» не является отношением
эквивалентности, т.к. это отношение не рефлексивно: прямая не является
перпендикулярной сама себе.
б) “ прямая а паралельна прямой b” - это отношение эквивалентности:
1) а параллельна а (рефлексивность)
2) а параллельна b ⇒ b параллельна а (симметричность)
3) а параллельна b, b параллельна с ⇒ а параллельна с (транзитивность).
в) “прямая а пересекает прямую b” – не является отношением
эквивалентности, т.к. это отношение не транзитивно: если а параллельна с, а
b пересекает обе прямые, то (a,b) и (b,с) находятся в отношении, а (а,с) - нет.
b
с
а
№11. На рис. изображены графы различных соответствий. Какие из этих
соответствий являются отображениями?
X
Y
X
Y
X
Y
Решение:
Отображением (функцией) f из A в B называется правило, которое каждому
элементу множества A сопоставляет некоторый элемент множества B.
Отношение между элементами множеств Х и Y называется отображением
Х в Y, если каждому элементу х из множества Х соответствует только один
элемент множества Y. Этот элемент называют образом элемента х при
данном отображении: f(x). На графе такого отображения из каждой точки
множества Х будет выходить только одна стрелка.
Следовательно, отображением является только второе соответствие, т.к. у
него каждому элементу из Х соответствует только один элемент Y (ax,
bz, cy). Соответствия на первом и третьем графах не являются
отображениями, так как некоторым элементам Х соответствуют по два-три
элемента Y.