Комплексные числа (теория)

1.6. Комплексные числа
Рассмотрим элементы вида x + iy, где x и y – действительные числа, а i –
некоторый элемент, называемый мнимой единицей, определяемый
равенством i = √−1 или i2 = – 1.
Элемент z = x + iy называют комплексным числом, представленным в
алгебраической форме, где х – его действительная, a y – мнимая часть и
пишут
x = Re z,
y = Im z.
Два комплексных числа считаются равными тогда и только тогда, когда
равны их действительные и мнимые части. Комплексное число z = х + iy
равно нулю тогда и только тогда, когда x = 0 и y = 0.
Если x = 0, то число 0 + iy = iy называется чисто мнимым; если y = 0, то
получается действительное число: x + i 0 = x.
Два комплексных числа z = х + iy и z = х – iy, отличающихся только
знаком мнимой части, называются сопряженными.
Следуя Гауссу, поставим в соответствие комплексному числу z = х + iy
точку M (х, у) на плоскости с декартовой ортогональной системой координат,
очевидно, единственную. Обратно: точке M (х, у) поставим в соответствие
комплексное число z = х + iy, также единственное. В такой интерпретации
плоскость Оху принимают за C и называют комплексной плоскостью, а z –
точка этой плоскости. Плоскость, на которой изображаются комплексные
числа, называется плоскостью комплексного переменного z (на плоскости
ставиться символ z в кружке). Действительным числам соответствует ось
абсцисс, именуемая действительной осью, а мнимым – ось ординат,
называемая мнимой осью. Интерпретация комплексных чисел как точек
плоскости позволяет говорить о геометрической форме представления
комплексного числа. Соединив точку M (х, у) с началом координат, получим
вектор ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝑀. В некоторых случаях удобно считать геометрическим
изображением комплексного числа z =х + iy вектор ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝑀. На плоскости C
комплексно сопряженным числам соответствуют точки, расположенные
симметрично относительно действительной оси.
Сложение (вычитание) двух комплексных чисел z1 и z2 легко
выполнить, обращаясь к алгебраической форме записи этих чисел:
z1  z2 = (x1 + i y1)  (x2 + i y2) = (x1  x2) + i (y1  y2),
и производя действия как над обычными двучленами.
Видим, что действительная часть суммы двух комплексных чисел
равна сумме их действительных частей, а мнимая часть равна сумме их
мнимых частей. Это свойство распространяется на конечное число
слагаемых.
Наряду с декартовой системой координат для записи комплексного
числа z = х + iy удобно пользоваться полярной системой координат с
полюсом полярной системы в точке О и с направлением полярной оси,
совпадающим с положительным направлением оси Оx. Обозначим полярные
1
координаты точки M (х, у) через r и . Тогда, если M  0, М (х, у) = М (r, ),
где
x = r cos , y = r sin  .
Полярные координаты r и  точки, изображающей комплексное число z
на комплексной плоскости, называют соответственно модулем и аргументом
комплексного числа и обозначают z и Arg z. Нетрудно увидеть, что
y
z  r  x 2  y 2 , tg ( A rg z )  tg  .
x
Модуль комплексного числа определен однозначно, а аргумент – с
точностью до слагаемого, кратного 2. Угол  отсчитывают так же, как в
тригонометрии: положительным направлением изменения угла считают
направление против часовой стрелки. Для комплексного числа z = 0 аргумент
не определен. Это комплексное число определяют единственным условием
r = z = 0.
Главное значение аргумента комплексного числа, обозначаемое arg z,
есть значение аргумента комплексного числа, удовлетворяющее условию
  arg z   .
С учетом этих ограничений, налагаемых на главное значение аргумента
комплексного числа z = х + i y, получаем

y
при x  0,
arctg
x


y
arg z    arctg
при x  0, y  0,
x


y



arctg
при x  0, y  0.

x

Кроме того



arg z   2
 
 2
Очевидно, что
при x  0, y  0,
при x  0, y  0.
Arg z = arg z +2k,
2
k  Z.
Иногда под главным значение аргумента понимают то, которое
попадает в промежуток [0, 2). В этом случае главное значение аргумента
также определено однозначно.
Комплексное число можно представить в форме
z  z (cos  i sin  ) ,
называемой тригонометрической. Она удобна для умножения (деления)
комплексных чисел, а также для возведения в степень комплексного числа и
извлечения корня из комплексного числа.
Тригонометрические и показательные функции связаны формулой
Эйлера cos  i sin   ei . Отсюда получаем показательную форму
комплексного числа
z  z (cos  i sin  )  z ei .
Согласно определению произведения комплексных чисел и используя
формулы для косинуса и синуса суммы углов, получаем
z1 z2  rr
1 2
cos(1  2 )  i sin(1  2 )  .
Видим, что модуль произведения двух комплексных чисел равен
произведению их модулей, а аргумент – сумме аргументов сомножителей.
Это свойство распространяется на конечное число сомножителей.
При нахождении произведения комплексных чисел z1 = x1 + i y1 и z2 = x2
+ i y2 можно выполнить действия над выражением в правой части равенства
z1 z2  ( x1  iy1 )( x2  iy2 )  ( x1 x2  y1 y2 )  i( x1 y2  x2 y1 )
по обычным правилам алгебры, учитывая только, что
i2 = – 1, i3 = – i, i4 = (–i)  (–i) = 1 и т.д.
Произведение сопряженных комплексных чисел z = х + iy и z = х – iy
выражается так:
z z = х2 + y2 или z z = |z|2 = | z |2.
Произведение сопряженных комплексных чисел равняется квадрату модуля
каждого из них.
По определению, частное, полученное от деления комплексного числа
z2 = x2 + i y2 на комплексное число z1 = x1 + i y1, x12  y12  0 , дается формулой
z2 x1 x2  y1 y2
x y x y
 2
 i 1 22 22 1 ,
2
z1
x1  y1
x1  y1
и определяется как действие, обратное умножению. Практически деление
комплексных чисел выполняется следующим образом: чтобы разделить z2 =
x2 + i y2 на z1 = x1 + i y1 умножим делимое и делитель на комплексное число,
сопряженное делителю (т.е. на x1 – i y1).
Тогда делителем будет действительное число; разделив на него
действительную и мнимую части делимого, получим частное:
x2  iy2 ( x2  iy2 )( x1  iy1 ) x1 x2  y1 y2
x1 y2  x2 y1

 2

i
.
x1  iy1 ( x1  iy1 )( x1  iy1 )
x1  y12
x12  y12
Если комплексные числа даны в тригонометрической форме
3
z2 = r2(cos 2 + i sin 2), z1 = r1(cos 1 + i sin 1),
то
z2 r2 (cos 2  i sin 2 ) r2

  cos(2  1 )  i sin(2  1 ) .
z1 r1 (cos 1  i sin 1 ) r1
Таким образом, модуль частного двух комплексных чисел равен
частному модулей делимого и делителя. Аргумент частного равен разности
аргументов делимого и делителя.
Замечание. Из этих правил над комплексными числами следует, что в
результате операций сложения, вычитания, умножения и деления
комплексных чисел получается снова комплексное число.
Рассматривая возведение комплексного числа z = r(cos  + i sin ) в
натуральную степень как умножение z на себя п раз, находим
z n  (r (cos  i sin  ))n  r n (cos n  i sin n ).
Это соотношение называют формулой Муавра возведения комплексного
числа в целую положительную степень. Отметим, что при вычислении zn
можно считать, что  = arg z, поскольку в силу периодичности
тригонометрических функций cos x и sin x, слагаемое, кратное 2, можно не
писать.
Извлечение корня – это операция, обратная возведению в степень, т.е.
1
w  m z  z m , если wm  z.
Однако, в то время как все рассматриваемые до сих пор вычислительные
операции имели однозначные результаты, операция извлечения корня
степени m дает m различных результатов (корней):

  2k
  2k
m
m 
 i sin
 wk  z  r  cos
m
m


k  0,1,..., m  1.


,

Из этого соотношения, называемого формулой Муавра извлечения корня
целой положительной степени из комплексного числа, следует, что среди
возможных значений m z различными будут m значений, соответствующих
значениям k  0,1,2,..., m  1.
Все m различных значений имеют один и тот же модуль, а их
аргументы отличны на углы, кратные 2 / m. Значениям m z отвечают точки
комплексной плоскости, расположенные в вершинах правильного mугольника, вписанного в окружность радиуса m r с центром в начале
координат. При этом радиус-вектор одной из вершин образует с осью Оx
угол arg z/m.
Пример. Найти все значения 5 1 .
Решение. Так как 1 = 1(cos 0 + i sin 0), то
0  2 k
0  2 k 
5 1(cos0  i sin 0)  1 cos
 i sin

.
5
5 

4
Тогда получим
1) k = 0, z0 = 1.
2) k = 1, z1 = cos (2/5) + i sin (2/5).
3) k = 2, z2 = cos (4/5) + i sin (4/5).
4) k = 3, z3 = cos (6/5) + i sin (6/5).
5) k = 4, z4 = cos (8/5) + i sin (8/5).
Дадим геометрическую интерпретацию полученных значений. Модули
всех найденных значений 5 1 равны единице. Следовательно, точки z0, z1, z2,
z3, z4 лежат на окружности, радиус которой  = 1.
Углы 0, 2/5, 4/5, 6/5, 8/5 определяют аргументы соответствующих
точек.
Построим точки z0, z1, z2, z3, z4 и проведем радиус-векторы этих точек
y
z1
z2
z0
0
x

z3
z4
Если соединить точки z0, z1, z2, z3, z4 прямыми, то получиться
правильный пятиугольник с вершинами в точках z0, z1, z2, z3, z4.
Рассмотрим уравнение
ax2 + bx + c = 0, a, b, c  R,
и воспользуемся правилом решения квадратных уравнений в R.
1. Запишем коэффициенты уравнения a, b, c и найдем его дискриминант
D = b2 – 4ac.
2. Сравним дискриминант D с нулем. Если D  0, уравнение имеет
действительные корни; если D < 0, уравнение имеет комплексные
корни.
3. Определим действительные корни уравнения (D  0) по формулам
b  D
x1,2 
,
2a
а комплексные корни (D < 0) по формулам
5
x1,2 
b  i D
.
2a
Таким образом, любое квадратное уравнение разрешимо в C.
Пример. Найти корни уравнения x2 + 2x + 5 = 0.
Решение. Коэффициенты уравнения a = 1, b = 2, c = 5, тогда D = b2 – 4ac = 4 –
20 = –16. Дискриминант отрицательный, уравнение имеет комплексные
корни. Находим корни уравнения:
b  i D 2  i 16
x1,2 

 1  2i .
2a
2
Рассмотрим алгебраическое уравнение степени n:
a0 zn + a1 zn-1 + a2 zn-2 +… + an-1 z + an = 0, (3)
где a0  0, ai  R (C), i = 0, 1, 2, …, n, n  N. Решение данного уравнения при
n > 2 является сложной задачей. Вопрос о существовании корней этого
уравнения решается с помощью следующей теоремы.
Теорема (Гаусса). Каждое алгебраическое уравнение имеет в
множестве комплексных чисел хотя бы один корень.
Эту теорему принято называть основной теоремой алгебры. Опираясь
на нее, можно доказать, что левая часть уравнения (3) допускает
представления в виде произведения:
a0 (z – z1) (z + z2) … (z + zk),
где z1, z2, …, zk – корни уравнения (3); , , …,   N, причем  +  + …+  =
n. Тогда говорят, что число z1 является корнем кратности , z2 является
корнем кратности  и т.д. Если условиться считать корень уравнения столько
раз, какова его кратность, то можно сформулировать следующую теорему.
Теорема. Каждое алгебраическое уравнение степени n имеет в
множестве комплексных чисел ровно n корней.
Указанная теорема является теоремой существования, т.е. отвечает на
вопрос о существовании корней у произвольного алгебраического уравнения,
но не дает метода их нахождения. Существуют формулы для решения
уравнений второй, а также третьей и четвертой степени [6, стр. 146-147],
однако они для n = 3 и 4 настолько громоздки, что ими предпочитают не
пользоваться. Для уравнений степени выше четвертой подобных формул в
общем случае нет.
6