3. метод стрельбы для линейной краевой задачи

ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ
по дисциплине «Математические методы проектирования в радиосвязи»
1. Вопросы к экзамену
1. Решение краевых задач для обыкновенных дифференциальных
уравнений и систем. Основные положения.
2. Метод стрельбы. Схемы дихотомии и секущих.
3. Метод стрельбы для линейной краевой задачи.
4. Метод конечных разностей, или метод сеток.
5. Полуаналитические методы решения краевой задачи. Метод
коллокации.
6. Полуаналитические методы решения краевой задачи. Метод
Галеркина.
7. Разностные схемы для уравнений в частных производных.
Основные понятия.
8. Сходимость, аппроксимация и устойчивость разностных схем
9. Разностные схемы для уравнений параболического типа. Решение
задачи Коши.
10.
Устойчивость двухслойных разностных схем для
уравнений параболического типа.
11.
Построение разностной аппроксимации для уравнения
Пуассона.
12.
Различные краевые задачи и аппроксимация граничных
условий.
13.
Построение разностной схемы в случае задачи Дирихле для
уравнения Пуассона.
14.
Метод матричной прогонки. Итерационный метод решения
разностной схемы для задачи Дирихле.
15.
Разностные схемы для уравнений гиперболического типа.
Решение задачи Коши.
16.
Разностные схемы для уравнений гиперболического типа.
Решение смешанной задачи.
17.
Общие понятия метода конечных элементов.
18.
Дискретизация области и нумерация узлов.
19.
Линейные интерполяционные полиномы.
20.
Одномерный симплекс-элемент.
21.
Двумерный симплекс-элемент.
22.
Местная система координат.
23.
Двумерные L-координаты.
24.
Объединение элементов в ансамбль.
25.
Вывод уравнений для элементов с помощью метода
Галеркина.
26.
Пример расчета одномерного температурного поля в
однородном стержне.
27.
Двумерные уравнения теории поля.
28.
Отображения.
29.
Векторное пространство.
30.
Базис векторного пространства.
31.
Координатные отображения.
32.
Метрика и норма.
33.
Банаховы пространства.
34.
Гильбертово пространство.
35.
Ортогональность и ряд Фурье.
36.
Базис Гильбертова пространства.
37.
Линейные операторы.
38.
Метод последовательных приближений.
39.
Спектральный радиус оператора.
2
2. Задания к лабораторным работам
1. Решение задачи Коши для обыкновенного
дифференциального уравнения
Решить задачу Коши методом Рунге-Кутта четвертого порядка,
разделив интервал изменения x на 10 частей. (Входной контроль)
1.1.
y
 2 y  x,
x
y (0.7)  0.5, y(0.7)  0.8,
x  [0.7,1.7].
y 
1.2.
y  xy  2 y  x  1,
y (1.2)  1, y(1.2)  0.8,
x  [1.2,2.2].
1.3.
y  xy  y  x  1,
y (0.8)  2.7, y(0.8)  1.2,
x  [0.8,1.8].
1.4
y
 3,
x
y (0.2)  2, y(0.2)  0.4,
x  [0.2,1.2].
y  2 y 
1.5.
y  2 y  xy  x 2 ,
y (0.6)  1, y(0.6)  0.7,
x  [0.6,1.6].
3
1.6.
2y
 x  0.4,
x
y (1.1)  2, y(1.1)  0.5,
x  [1.1, 2.1].
y  y 
1.7.
y
 1,
x
y (0.4)  2, y(0.4)  1,
x  [0.4,1.4].
y  3 y 
1.8.
y
 x  1,
x
y (1.2)  0.6, y(1.2)  1,
x  [1.2, 2.2].
y  3 y 
1.9
y
 3 y  2x2,
2
y (1.3)  1, y(1.3)  0.1,
x  [1.3, 2.3].
y 
1.10.
y  1.5 y  xy  0.5,
y (1.6)  3, y(1.6)  0.25,
x  [1.6,2.6].
1.11.
y  2 xy  y  0.4,
y (0.6)  0.1, y(0.6)  2,
x  [0.6,1.6].
4
1.12.
y  0.5 xy  y  2,
y (0.4)  1.2, y(0.4)  0.75,
x  [0.4,1.4].
1.13.
2 y
 3 y  2,
x
y (0.8)  3.5, y(0.8)  1.5,
x  [0.8,1.8].
y 
1.14.
y  2 x 2 y  y  x ,
y (0.8)  3, y(0.8)  0.3,
x  [0.8,1.8].
1.15.
y  3 xy  2 y  1.5,
y (0.7)  0.8, y(0.7)  1.3,
x  [0.7,1.7].
1.16.
y  2 xy  2 y  0.6,
y (2)  0.7, y(2)  1,
x  [2.0,3.0].
1.17.
y
 0.4 y  2 x ,
x
y (0.9)  0.62, y(0.9)  1.7,
x  [0.9,1.9].
y 
5
1.18.
y
 0.8 y  x ,
2x
y (2)  0.5, y(2)  1,
x  [2.0,3.0].
y 
1.19.
y
 xy  2,
3
y (0.8)  1.6, y(0.8)  0.25,
x  [0.8,1.8].
y 
1.20.
y  0.8 y  xy  1.4,
y (1.8)  0.5, y(1.8)  0.8,
x  [1.8,2.8].
2. Решение краевой задачи для обыкновенного
дифференциального уравнения
Следующие задачи решить различными способами и сравнить
полученные решения. Решение протабулировать с шагом, равным одной
десятой длины интервала изменения x.
Применить:
1. Метод стрельбы со схемой дихотомии;
2. метод стрельбы со схемой секущих;
3. метод стрельбы для линейной краевой задачи;
4. метод сеток первого и второго порядка;
5. метод Галеркина.
6
2.1.
y
 2 y  x,
x
y (0.7)  0.5, 2 y (1)  3 y(1)  1.2,
x  [0.7,1.2].
y 
2.2.
y  xy  2 y  x  1,
y (0.9)  0.5 y(0.9)  2, y (1.2)  1,
x  [0.9,1.2].
2.3.
y  xy  y  x  1,
y (0.5)  2 y(0.5)  1, y(0.8)  1.2,
x  [0.5,0.8].
2.4
y
 3,
x
y (0.2)  2, 0.5 y (0.5)  y(0.5)  1,
x  [0.2,0.5].
y  2 y 
2.5.
y  2 y  xy  x 2 ,
y(0.6)  0.7, y (0.9)  0.5 y(0.9)  1,
x  [0.6,0.9].
7
2.6.
2y
 x  0.4,
x
y (1.1)  0.5 y(1.1)  2, y(1.4)  4,
x  [1.1,1.4].
y  y 
2.7.
y
 1,
x
y (0.4)  2, y (0.7)  2 y(0.7)  0.7,
x  [0.4,0.7].
y  3 y 
2.8.
y
 x  1,
x
y(1.2)  1, 2 y (1.5)  y(1.5)  0.5,
x  [1.2,1.5].
y  3 y 
2.9
y
 3 y  2x2,
2
y (1)  2 y(1)  0.6, y (1.3)  1,
x  [1,1.3].
y 
2.10.
y  1.5 y  xy  0.5,
2 y (1.3)  y(1.3)  1, y (1.6)  3,
x  [1.3,1.6].
8
2.11.
y  2 xy  y  0.4,
2 y (0.3)  y(0.3)  1, y(0.6)  2,
x  [0.3,0.6].
2.12.
y  0.5 xy  y  2,
y (0.4)  1.2, y (0.7)  2 y(0.7)  1.4,
x  [0.4,0.7].
2.13.
2 y
 3 y  2,
x
y(0.8)  1.5, 2 y (1.1)  y(1.1)  3,
x  [0.8,1.1].
y 
2.14.
y  2 x 2 y  y  x ,
2 y (0.5)  y(0.5)  1, y (0.8)  3,
x  [0.5,0.8].
2.15.
y  3 xy  2 y  1.5,
y(0.7)  1.3, 0.5 y (1)  y(1)  2,
x  [0.7,1].
2.16.
y  2 xy  2 y  0.6,
y(2)  1, 0.4 y (2.3)  y(2.3)  1,
x  [2,2.3].
9
2.17.
y
 0.4 y  2 x ,
x
y (0.6)  0.3 y(0.6)  0.6, y(0.9)  1.7,
x  [0.6,0.9].
y 
2.18.
y
 0.8 y  x ,
2x
y (1.7)  1.2 y(1.7)  2, y(2)  1,
x  [1.7, 2].
y 
2.19.
y
 xy  2,
3
y (0.8)  1.6, 3 y (1.1)  0.5 y(1.1)  1,
x  [0.8,1.1].
y 
2.20.
y  0.8 y  xy  1.4,
y (1.8)  0.5, 2 y (2.1)  y(2.1)  1.7,
x  [1.8,2.1].
3. Решение задачи Дирихле
Используя метод сеток, составить приближенное решение задачи
2u 2u
Дирихле для уравнения Лапласа

 0 в квадрате ABCD с
x 2 y 2
вершинами A(0;0), B(0;1), C(1;1), D(1;0); шаг сетки h=0,1. Решение
представить в виде числовой таблицы и графически в виде поверхности
u  u( x, y) .
10
3.1. u AB  30 y; u BC  30(1  x );
2
u CD  0; u AD  0.
3.2. u AB  20 y; u BC  30cos
u CD  30cos
y
2
x
2
;
; u AD  20 x 2 .
3.3. u AB  50 y (1  y ); u BC  0;
2
u CD  0; u AD  50sin  x.
3.4. u AB  20 y; u BC  20;
u CD  20 y 2 ; u AD  50 x(1  x).
3.5. u AB  0; u BC  50 x (1  x );
u CD  50 y(1  y 2 ); u AD  50 x(1  x).
3.6. u AB  30sin  y; u BC  20 x;
u CD  20 y; u AD  30 x (1  x ).
3.7. u AB  30(1  y ); u BC  20 x ;
u CD  20 y; u AD  30(1  x ).
3.8. u AB  50sin  y; u BC  30 x ;
u CD  30 y 2 ; u AD  50sin  x.
3.9. u AB  40 y ; u BC  40; u CD  40; u AD  40sin
2
3.10. u AB  50 y ; u BC  50(1  x );
2
u CD  0; u AD  60 x(1  x 2 ).
11
x
2
.
3.11. u AB  20 y ; u BC  20; u CD  20 y; u AD  10 x (1  x ).
2
3.12. u AB  40 y ; u BC  40(1  x );
u CD  20(1  y ); u AD  0.
3.13. u AB  20cos
y
2
; u BC  30 x (1  x );
u CD  30 y (1  y 2 ); u AD  20(1  x 2 ).
3.14. u AB  30 y (1  y ); u BC  50sin  x;
2
u CD  0; u AD  10 x 2 (1  x).
3.15. u AB  20 y; u BC  20(1  x );
2
u CD  30 y (1  y); u AD  0.
3.16. u AB  30(1  y ); u BC  30 x;
2
u CD  30; u AD  30.
3.17. u AB  30cos
y
2
; u BC  30 x 2 ;
u CD  30 y; u AD  30cos
x
2
.
3.18. u AB  0; u BC  50sin  x;
u CD  50 y(1  y 2 ); u AD  0.
3.19. u AB  20 y ; u BC  20;
u CD  20 y 2 ; u AD  40 x(1  x).
3.20. u AB  50 y (1  y ); u BC  20 x (1  x );
2
12
u CD  30 y (1  y 2 ); u AD  20(1  x 2 ).
4. Решение параболического уравнения
Используя
метод
сеток,
решить
смешанную
задачу
для
u  u
при заданных начальных условиях

t x 2
и дополнительных условиях
u( x,0)  f ( x)
u(0, t )   (t ),
u(0.6, t )   (t ) , где x  [0,0.6] . Решение выполнить с шагом по х h  0.1
для t  [0,0.05] . Шаг по t выбрать так, чтобы выполнялось условие
 1
устойчивости схемы (для явной схемы это условие принимает вид 2  ).
2
h
2
параболического уравнения
Решение представить в виде числовой таблицы и графически в виде
поверхности u  u( x, t ) .
4.1. u( x,0)  cos2 x,
u(0, t )  1  6t , u(0.6, t )  0.3624 .
4.2. u( x,0)  x( x  1),
u(0, t )  0, u(0.6, t )  2t  0.96 .
4.3. u( x,0)  1.2  lg( x  0.4),
u(0, t )  0.8  t , u(0.6, t )  1.2 .
4.4. u( x,0)  sin 2 x,
u(0, t )  2t , u(0.6, t )  0.932 .
4.5. u( x,0)  3 x(2  x),
u(0, t )  0, u(0.6, t )  t  2.52 .
4.6. u( x,0)  1  lg( x  0.4),
u(0, t )  1.4, u(0.6, t )  t 1.
4.7. u( x,0)  sin(0.55 x  0.03),
u(0, t )  t  0.03, u(0.6, t )  0.354 .
4.8. u( x,0)  2 x(1  x)  0.2,
13
u(0, t )  0.2, u(0.6, t )  t  0.68 .
4.9. u( x,0)  sin x  0.08,
u(0, t )  0.08  2t, u(0.6, t )  0.6446 .
4.10. u( x,0)  cos(2 x  0.19),
u(0, t )  0.932, u(0.6, t )  0.1798 .
4.11. u( x,0)  2 x( x  0.2)  0.4,
u(0, t )  2t  0.4, u(0.6, t )  1.36 .
4.12. u( x,0)  lg( x  0.26)  1,
u(0, t )  0.415  t , u(0.6, t )  0.9345 .
4.13. u( x,0)  sin( x  0.45),
u(0, t )  0.435  2t , u(0.6, t )  0.8674 .
4.14. u( x,0)  0.3  x( x  0.4),
u(0, t )  0.3, u(0.6, t )  6t  0.9 .
4.15. u( x,0)  ( x  0.2)( x  1)  0.2,
u(0, t )  6t , u(0.6, t )  0.84 .
4.16. u( x,0)  x(0.3  2 x),
u(0, t )  0, u(0.6, t )  6t  0.9 .
4.17. u( x,0)  sin( x  0.48),
u(0, t )  0.4618, u(0.6, t )  3t  0.882 .
4.18. u( x,0)  sin( x  0.02),
u(0, t )  3t  0.02, u(0.6, t )  0.581.
4.19. u( x,0)  cos( x  0.48),
u(0, t )  6t  0.887, u(0.6, t )  0.4713 .
4.20. u( x,0)  lg(2.63  x),
u(0, t )  3(0.14  t ), u(0.6, t )  0.3075 .
14
5. Решение гиперболического уравнения
Используя метод сеток, решить смешанную
гиперболического
2u 2u

t 2 x 2
уравнения
u( x,0)  f ( x) , ut ( x ,0)  g ( x ) ,
с
(0  x  1)
задачу
начальными
для
условиями
и краевыми условиями,
u(0, t )   (t ), u(1,t )  (t ). Решение выполнить с шагом по x h  0.1
на промежутке 0  t  1 c шагом   0.1 . Решение привести в виде таблицы
и графически в виде поверхности
5.1. f ( x)  x( x  1), g( x)  cos x,
 (t )  0,  (t )  2(t  1) .
5.2. f ( x)  x cos x, g( x)  x(2  x),
 (t )  2t ,  (t )  1.
5.3. f ( x )  cos
x
2
, g( x)  x 2 ,
 (t )  1  2t ,  (t )  0 .
5.4. f ( x)  ( x  0.5)( x  1), g( x)  sin( x  0.2),
 (t )  t  0.5,  (t )  3t .
5.5. f ( x)  2 x( x  1)  0.3, g( x)  2sin x,
 (t )  0.3,  (t )  4.3  t .
5.6. f ( x )  ( x  0.2)sin
x
2
, g( x)  1  x 2 ,
 (t )  0,  (t )  1.2(t  1) .
5.7. f ( x )  x sin  x, g ( x )  ( x  1) ,
2
 (t )  2t ,  (t )  0 .
5.8. f ( x)  3 x(1  x), g( x)  cos( x  0.5),
 (t )  2t ,  (t )  0 .
5.9. f ( x)  x(2 x  0.5), g( x)  cos2 x,
15
 (t )  t 2 ,  (t )  1.5 .
5.10. f ( x )  ( x  1)sin  x, g ( x )  x  x,
2
 (t )  0,  (t )  0.5t .
5.11. f ( x )  (1  x )cos
x
2
, g ( x )  2 x  1,
 (t )  2t  1,  (t )  0 .
5.12. f ( x)  0.5 x( x  1), g( x)  x cos x,
 ( t )  2t 2 ,  ( t )  1 .
5.13. f ( x )  0.5( x  1), g ( x )  x sin 2 x,
2
 (t )  0.5  3t ,  (t )  1 .
x
5.14. f ( x )  ( x  1)sin
2
, g( x)  1  x 2 ,
 (t )  0.5t ,  (t )  2 .
5.15. f ( x )  x cos  x, g ( x )  x ( x  1),
2
2
 (t )  0.5t ,  (t )  t 1.
5.16. f ( x )  (1  x )cos  x, g ( x )  2 x  0.6,
2
 (t )  1  0.4t ,  (t )  0 .
5.17. f ( x )  ( x  0.5) , g ( x )  ( x  1)sin x,
2
 (t )  0.5(0.5  t ),  (t )  2.25 .
5.18. f ( x )  1.2 x  x , g ( x )  ( x  0.6)sin x,
2
 (t )  0,  (t )  0.2  0.5t .
5.19. f ( x)  ( x  0.5)( x  1), g( x)  cos( x  0.3),
 (t )  0.5,  (t )  3  2t .
5.20. f ( x )  0.5( x  1) , g ( x )  ( x  0.5)cos  x,
2
 (t )  0.5,  (t )  2  3t .
16