Программа экзамена по ТФКП 2012г.

Программа экзамена по ТФКП
для студентов 2 курса специальности «Прикладная математика и информатика»
2012г.
1.Комплексные числа и действия над ними: сложение и умножение
комплексных чисел. Модуль и аргумент комплексного числа. Их
основные свойства.
2.Комплексная экспонента: определение и элементарные свойства.
Формула Эйлера. Комплексный логарифм, главное значение логарифма.
Степень с комплексным основанием и её главное значение.
3.Расширенная комплексная плоскость и бесконечно удаленная точка.
Стереографическая проекция и формулы для стереографической
проекции.
4.Евклидово и сферическое расстояние на расширенной комплексной
плоскости. Окрестности точек и проколотые окрестности.
5.Внутренние, граничные, внешние и предельные точки подмножества
на расширенной плоскости. Замыкание множества и замкнутые
множества. Граница множества. Принцип компактности в .
6.Последовательности точек в
С и
. Пределы и сходимость
последовательностей. Основные свойства пределов. Числовые ряды и их
сходимость в С и
.
7.Определение и примеры функций комплексного переменного.
Вещественная и мнимая части функции комплексного переменного.
Однолистность функции на множестве и понятие обратной функции.
8.Предел функции в точке и основные свойства предела функции.
Предел в бесконечно удаленной точке.
9.Непрерывность функции в точке и на множестве. Локальные свойства
непрерывных функций. Свойства функций на замкнутых ограниченных
подмножествах (компактах). Непрерывность главной ветви аргумента и
главной ветви комплексного логарифма.
10.  - дифференцируемость функции комплексного переменного и её
вещественный дифференциал. Комплексная производная функции в
точке и условия Коши-Римана. Критерий  -дифференцируемости
функции.
11. Основные правила дифференцирования функций комплексного
переменного. Теорема об обратной функции. Запись условий КошиРимана в полярных координатах.
12.Голоморфность функции в точке и на множестве. Условие
голоморфности функции в бесконечно удаленной точке. Примеры
голоморфных функций. Элементарные свойства голоморфных функций.
13.Геометрический
смысл
комплексной
дифференцируемости.
Конформность отображения в точке и на множестве. Геометрическая
интерпретация модуля и аргумента комплексной производной.
14. Гармонические функции и их связь с голоморфными функциями.
Сопряженная гармоническая функция и теорема о существовании
сопряженной гармонической функции в односвязной области.
15.Линейная функция и её основные свойства.
16.Дробно-линейная функция, её
однолистности. Групповое свойство.
свойства
голоморфности
и
17.Геометрические свойства дробно-линейной функции: круговое
свойство и сохранение симметрии относительно окружности на
расширенной комплексной плоскости. Интерполяционное свойство
дробно-линейной функции.
18. Дробно-линейные изоморфизмы областей. Описание дробнолинейных отображений верхней полуплоскости на единичный круг и
единичного круга на себя.
19.Степенная функция и её основные свойства: конформность, области
однолистности и риманова поверхность.
20.Функция Жуковского и её основные свойства.
21.Показательная функция и тригонометрические функции, их основные
свойства.
22. Аналитические функции и их голомофность. Круг сходимости
степенного ряда и формула Коши-Адамара.
23.Первообразная в области и теорема единственности первообразной.
24.Пути и параметризованные кривые в области. Различные классы кривых
и допустимые перепараметризации. Области с кусочно-дифференцируемой
границей и ориентация границы.
25.Определение интеграла вдоль дифференцируемого пути. Интеграл от
степенной функции. Первообразная и формула Ньютона - Лейбница.
26.Элементарные свойства интеграла: линейность, аддитивность,
инвариантность относительно допустимой перепараметризации. Связь с
криволинейными интегралами и оценка интеграла от ограниченной
функции сверху.
27.Интегральная теорема Коши в односвязной области и существование
первообразной в такой области для голоморфной функции.
28.Интегральная теорема Коши в неодносвязной области. Интегральная
формула Коши и интеграл Коши.
29.Аналитичность голоморфной функции и обобщенная интегральная
формула Коши.
30.Неравенства Коши для коэффициентов степенного ряда, теорема
Лиувилля и основная теорема алгебры комплексных чисел.
31.Теорема Морера и сравнение трех основных свойств голоморфной
функции.
32.Нули голоморфных функций и принцип изолированности нулей.
Порядок нуля функции и признак порядка нуля функции.
33.Теорема единственности и принцип аналитического продолжения.
34.Ряды голоморфных функций, теорема Вейерштрасса о голоморфности
суммы ряда, почленное дифференцирование рядов из голоморфных
функций.
35.Ряды Лорана, множество и область сходимости
Голоморфность суммы ряда Лорана в кольце сходимости.
таких
рядов.
36.Теорема о разложимости в ряд Лорана и единственность разложения.
Приемы разложений в ряды Лорана.
37.Неравенства Коши для коэффициентов ряда Лорана.
38.Особые точки функций и определение изолированной особой точки,
классификация изолированных особых точек по предельному поведению
функции.
39.Теоремы характеризации изолированных особых точек через
лорановские разложения функции. Порядок полюса и число членов в
главной части разложения.
40.Предельные значения функций, теорема Сохоцкого-Вейерштрасса и
формулировка теоремы Пикара.
41.Целые и мероморфные функции в С и
области.
. Мероморфные функции в
42.Определение вычета функции в точке и его основные свойства. Теорема
Коши о вычетах. Приложение теоремы о вычетах к вычислению
комплексных интегралов.
43.Вычет в бесконечно удаленной точке и его свойства. Теорема о полной
сумме вычетов.
44. Применение вычетов к вычислению различных типов несобственных
интегралов. Лемма Жордана и интегралы Фурье.
45.Логарифмический вычет функции в точке и его свойства. Теорема о
логарифмическом вычете.
46.Индекс ориентированного контура относительно точки и аналитический
индекс контура, теорема об их равенстве. Принцип аргумента.
47. Теорема Руше и принцип сохранения области.
48.Принци максимума модуля и лемма Шварца.
49.Канонические области и их конформная не эквивалентность.
50.Группы конформных автоморфизмов канонических областей.
51.Теорема Римана о конформном отображении, единственность
конформного отображения области на область и различные условия
нормировки.
52.Принцип непрерывности аналитического продолжения в область и
принцип симметрии Римана-Шварца.
53.Аналитическое продолжение по цепи аналитических элементов, его
единственность и понятие о полной аналитической функции.
Литература
1.Шабат Б.В. Введение в комплексный анализ. Часть 1.
2.Привалов И.И. Введение в теорию функций комплексной переменной.
3.Маркушевич А.И. Краткий курс теории аналитических функций.
4.Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы ТФКП.
5.Тихонов А.Н., Свешников А.Г. Теория функций комплексной
переменной.
6.Евграфов М.А. Аналитические функции.
7. Гурвиц А., Курант Р. Теория функций.