Рациональные уравнения

Рациональные уравнения.
Основными рациональными уравнениями с одной переменной являются
линейные и квадратные уравнения. Все остальные квадратные уравнения
приводятся с помощью различных преобразований к этим основным
уравнениям.
1. Если уравнение дробное, то сначала приводят его к целому виду,
умножив обе части уравнения на общий знаменатель всех дробей. При
этом мы получим лишь следствие исходного уравнения.
2. Если уравнение целое, то используют два способа преобразований: а)
замену переменных (введение новых переменных); б) разложение левой
части уравнения на множители, когда правая часть равна нулю. Покажу
на примерах использование этих преобразований.
Пример 1. Решить уравнение:
3
𝑥 2 +𝑥−2
=
1
𝑥 ∙(𝑥−1)2
+
3
.
𝑥 ∙(𝑥−3)
Решение. Данное уравнение дробное. Чтобы привести его к целому виду,
умножим обе части на общий знаменатель всех дробей:
𝑥 ∙ (𝑥 − 1)2 ∙ (𝑥 + 2) ∙ (𝑥 − 3) (т.к. 𝑥 2 + 𝑥 − 2 = (𝑥 − 1) ∙ (𝑥 + 2)).
Будем помнить, что получили лишь следствие исходного уравнения:
3𝑥 ∙ (𝑥 − 1)(𝑥 − 3) = (𝑥 + 2) ∙ (𝑥 − 3) + 3(𝑥 − 1)2 ∙ (𝑥 + 2).
После раскрытия скобок и приведения членов в каждой части уравнения
получим: 3𝑥 3 − 12𝑥 2 + 9𝑥 = 3𝑥 3 + 𝑥 2 − 10𝑥. Перенесем все члены в левую
сторону и сделаем приведение подобных членов, получим: −13𝑥 2 + 19𝑥 = 0.
Разложим левую часть уровнения на множители: −𝑥 ∙ (13𝑥 − 19) = 0
получили совокупность 2-х линейных уравнений: −𝑥 = 0 и 13𝑥 − 19 = 0,
19
отсюда 𝑥 = 0 и 𝑥 = . т.к в процессе решения использовали
13
преобразования, приводящие к следствиям уравнения, то необходима
проверка. Подстановка в исходное уравнение показывает 𝑥 = 0 – посторонний
корень (т.к. 0 ∉ области определения уравнения). Ответ:
19
.
13
Пример 2. Решить уравнение: (𝑥 2 + 𝑥 + 4)2 + 8𝑥 ∙ (𝑥 2 + 𝑥 + 4) + 15𝑥 2 = 0.
Очевидно, что приведение левой части к стандартному виду многочлена
лишь усложнит уравнение. Поэтому:
1 способ. Разложим левую часть на множители, которая напоминает квадрат
суммы выражений 𝑥 2 + 𝑥 + 4 и 4𝑥, но тогда третье слагаемое должно быть не
15𝑥 2 , а 16𝑥 2 .
Поступим так: (𝑥2 + 𝑥 + 4)2 + 8𝑥(𝑥2 + 𝑥 + 4) + 16𝑥2 − 𝑥2 = 0,
((𝑥 2 + 𝑥 + 4) + 4𝑥)2 − 𝑥 2 = 0,
(𝑥 2 + 5𝑥 + 4 − 𝑥) ∙ (𝑥 2 + 5𝑥 + 4 + 𝑥) = 0,
(𝑥 2 + 4𝑥 + 4) ∙ (𝑥 2 + 6𝑥 + 4) = 0
𝑥 2 + 4𝑥 + 4 = 0 или 𝑥 2 + 6𝑥 + 4 = 0
𝑥 = −2
𝑥 = −3 + √5 и 𝑥 = −3 − √5
Пусть 𝑥 2 + 𝑥 + 4 = 𝑦,
тогда 𝑦 2 + 8𝑥𝑦 + 15𝑥 2 = 0, (𝑦 + 5𝑥) ∙ (𝑦 + 3𝑥) = 0
𝑦 = −5𝑥 или 𝑦 = −3𝑥.
Возвращаемся к замене:
𝑥 2 + 𝑥 + 4 = −5𝑥
𝑥 2 + 𝑥 + 4 = −3𝑥
𝑥 2 + 6𝑥 + 4 = 0
𝑥 2 + 4𝑥 + 4 = 0
𝑥 = −3 + √5 или 𝑥 = −3 − √5
𝑥 = −2
Для закрепления предлагаю учащимся сообщить, какие преобразования
нужно последовательно произвести в процессе решения уравнений:
а) (𝑥 − 2) − 19 ∙ (𝑥 − 2) = 216
6
3
б)
𝑥 2 −4𝑥+5
𝑥 2 +6𝑥+10
𝑥−2 2
)
𝑥+3
=(
Изучение квадратных уравнений занимает самое большое и главное место
в курсе математики. Итак, алгебраическое уравнение вида 𝛼𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0
где 𝛼 ≠ 0, называется квадратным. ОДЗ переменной x – все множества
комплексных чисел. Коэффициенты a, b, c будем считать действительными
𝑏
𝑐
числами. Исходное уравнение равносильно уравнению 𝑥 2 + 𝑥 + = 0 ,
𝑎
𝑎
выделяя полный квадрат получим.
𝑏
𝑏2
𝑏2
𝑐
2
𝑥 + 2𝑥 ∙
+ 2− 2+ =0
2𝑎 4𝑎
4𝑎
𝑎
𝑏 2
𝑐
𝑏2
(𝑥 + ) + ( − 2 ) = 0
2𝑎
𝑎 4𝑎
𝑏 2 𝑏 2 − 4𝑎𝑐
(𝑥 + ) =
2𝑎
4𝑎2
𝑥+
𝑏
√𝑏 2 − 4𝑎𝑐
=±
2𝑎
2𝑎
−𝑏±√ 𝑏2 −4𝑎𝑐
𝑥 1,2=
где 𝑏 2 − 4𝑎𝑐 = 𝒟( дискриминант) «различитель»
2𝑎
Знак 𝒟 определяет наличие или отсутствие действительных корней
квадратного уравнения.
Если 𝒟 > 0, то квадратное уравнение имеет два различных действительных
корня: если 𝒟 = 0, то уравнение имеет два совпадающих корня
действительных; Если 𝒟 < 0, то уравнение не имеет действительных корней.
Если уравнение имеет 𝑥 четный коэффициент, то и для решения этого
уравнения существует формула.
−𝑘± √𝑘 2 −4𝑎𝑐
Уравнение 𝑎𝑥 2 + 2𝑘𝑥 + 𝑐 = 0, корни 𝑥 1,2=
𝑎
Уравнение 𝑥 2 + 𝑝𝑥 + 𝑞 = 0, приведенное квадратное уравнение,
𝑝
𝑝2
2
4
Корни 𝑥 1,2= − ± √
−𝑞
Часто при решении применяют теорему Виета: сумма корней приведенного
квадратного уравнения равна коэффициенту при х, взятому со знаком " − ", а
𝑥 + 𝑥 = −𝑝
произведение корней равно свободному члену т.е.{ 𝑥1 ∙ 𝑥 2= 𝑞
1
2
Справедлива и обратная теорема Виета: если числа m и n таковы, что их
сумма равна – p, а произведение равно q, то эти числа являются корнями
квадратного уравнения 𝑥 2 + 𝑝𝑥 + 𝑞 = 0.
Любое уравнение можно сделать приведенным, поделив обе его части на
коэффициент при квадрате.
По праву достойна в стихах быть воспета
О свойствах корней теорема Виета
Что лучше, скажи, постоянства такого:
Умножишь ты корни – и дробь уж готова?
В числителе 𝒸, в знаменателе 𝒶.
А сумма корней тоже дроби равна.
Хоть с минусом дробь, что за беда!
В числителе 𝒷, в знаменателе 𝒶.
Часто используется ещё одна теорема: если 𝓍1, и x2 – корни квадратного
трехчлена 𝛼𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, то для любого значения 𝓍 справедлива формула:
𝒶𝓍 2 + 𝒷𝓍 + 𝒸 = 𝒶 ∙ (𝓍 − 𝓍1 ) ∙ (𝓍 − 𝓍2 )
Теорема Виета и обратная теорема Виета позволяют решать широкий круг
задач: находить в несложных случаях корни квадратного уравнения;
составлять квадратное уравнение по его корням, выполнять проверку и т.п.
Пример 1. Найти корни уравнения: 1998𝑥 2 − 907𝑥 + 1091 = 0,
Сума коэффициентов = 0,
1998-907+1091=0
Значит 𝑥1 = 1, воспользовавшись т. Виета найдем 𝑥2 .
1091
1091
𝑥1 ∙ 𝑥2 =
, т.к. 𝑥1 = 1, то 𝑥2 =
1998
1998
Пример2. Решая уравнение 9𝑥 2 + 513𝑥 − 172 = 0, нашли, что оно имеет
1
1
корни 𝑥1 = −57 и 𝑥2 = . Выясним, правильно ли решено уравнение.
3
3
Воспользуемся обратной теоремой Виета
1 1
𝑥1 + 𝑥2 = −57 + = −57
3 3
1 1
172 1
172
𝑥1 ∙ 𝑥2 = −57 ∙ = −
∙ =−
3 3
9 3
9
172
2
2
Значит: 𝑥 + 57𝑥 −
= 0 ⇔ 9𝑥 + 513𝑥 − 172 = 0
9
Вывод:
Корни уравнения найдены правильно.
Пример 3. Догадайтесь, чему равны корни уравнения:
А) 𝑥 2 − 7𝑥+12=0
Б) 𝑥 2 − 5𝑥 − 6 = 0
В) 516𝑥 2 − 511𝑥 − 5 = 0
Г) 127𝑥 2 + 123𝑥 − 250 = 0
Сведения о зависимости числа корней квадратного уравнения от его 𝒟 и т.
Виета позволяют, не вычисляя корней квадратного уравнения получить о нем
широкую информацию, выяснить имеет ли квадратное уравнение корни и
сколько. Для уравнения, имеющего корни, определить их знаки, сравнить
корни по модулю, если знаки корней различные: может ли уравнение иметь
целые корни, иметь рациональные корни и т.п.
Пример. Не решая уравнения: 6𝑥 2 − 11𝑥 − 3175 = 0 имеет ли оно корни, и
каковы их знаки.
Решение
𝒟 = 𝑏 2 − 4𝑎𝑐. 𝒟 > 0 т.к. 𝑎 > 0 и 𝑐 < 0.
Значит, уравнение имеет два различных корня 𝑥1 и 𝑥2 .
−3175
Т.к. 𝑥1 ∙ 𝑥2 =
< 0, то знаки корней различные.
11
6
𝑥1 + 𝑥2 = > 0 ⇒ положительный корень уравнения имеет больший
6
модуль, чем отрицательный.