Московский Технический Университет Связи и Информатики

Федеральное агентство связи
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального
образования
Московский Технический Университет Связи и Информатики
(МТУСИ)
Кафедра технической электродинамики и антенн
Домашнее задание
по дисциплине «Электродинамика и Распространение Радиоволн»
часть 1
«ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ В
ПРЯМОУГОЛЬНОМ ВОЛНОВОДЕ»
Бригада №2
Вариант №2
Выполнил
студент группы БCC 1203
Щемелев А.Д.
Проверил
Гайнутдинов Т.А.
Москва 2014
2
Тема 1: Основные уравнения электродинамики
Задача №1 – 2
В соответствии с заданием исследовать основные свойства
монохроматического электромагнитного поля, существующего в
системе, изображенной на рисунке (прямоугольном волноводе).
Волновод заполнен однородной изотропной средой с параметрами
εr, μr и σ=0. Стенки волновода являются идеально проводящими.
Известны выражения для составляющих векторов поля:
y
z
εr, μr = 1
σ=0
x
𝐸𝑥𝑚 =
2𝑏
𝜋𝑦
𝐸0 sin( ) exp(−𝑖𝛽𝑧) ,
𝜆
𝑏
𝐸𝑦𝑚 = 𝐸𝑧𝑚 = 0
Таблица исходных данных
λкр=2b
№
группы
01
02
03
04
05
06
E0, В/м
εr
μr
a, мм
b, мм
f1, ГГц
f2, ГГц
80
120
100
50
20
70
2
1
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
30
40
50
60
30
30
20
30
30
40
10
20
3
3,75
2
2,3
10
5
10
6
5,5
4,6
30
10
Задание
1. Используя уравнения Максвелла, найти комплексные амплитуды всех остальных, не
⃗.
заданных в условии задачи, составляющих векторов 𝐸⃗ и 𝐻
2. Определить диапазон частот, в котором рассматриваемое поле представляет собой волну,
бегущую вдоль оси z.
3. Записать выражения для мгновенных значений всех составляющих векторов полей.
Рассчитать и построить графики зависимостей мгновенных значений составляющих полей от
координаты z (при x=a/3, y=b/3) в два момента времени t1=0 и t2=T/4 в интервале 0 ≤ z ≤ 2Λ, где
Λ – длина волны в волноводе на частоте f2.
4. Проверить выполнение граничных условий на стенках волновода (при x=0, a и y=0, b).
5. Определить максимальные значения плотностей продольного и поперечного поверхностных
токов на всех стенках волновода на частоте f2.
6. Вычислить средний за период поток энергии через поперечное сечение волновода на
частоте f2.
7. Определить фазовую скорость Vф и скорость распространения энергии волны V0 на частоте
f2. Рассчитать и построить графики зависимости этих скоростей от частоты.
8. Нарисовать структуру векторных линий полей и эпюры токов на стенках волновода.
3
ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ
E0, В/м εr, Ф/м μr, Гн/м
a, м
b, м
f1, Гц
f2, Гц
−3
−3
9
120
1
1
40 ∙ 10
30 ∙ 10
3.75 ∙ 10 6 ∙ 109
Ф
м
Гн
−6
𝜇𝑎 = 𝜇𝑟 − 𝜇0 = 1.256 ∙ 10
м
3 ∙ 108
м
𝑐ср =
= 3 ∙ 108
с
√𝜀𝑟 𝜇𝑟
𝜆кр = 2𝑏 = 60 ∙ 10−3 м
𝜀𝑎 = 𝜀𝑟 − 𝜀0 = 8.85 ∙ 10−12
𝐸𝑥𝑚 =
{
2𝑏
𝜋𝑦
𝐸0 sin( ) e−𝑖𝛽𝑧
𝜆
𝑏
𝐸𝑦𝑚 = 0
𝐸𝑧𝑚 = 0
ВЫПОЛНЕНИЕ РАБОТЫ
1. Используя уравнения Максвелла, найти комплексные амплитуды всех остальных, не
⃗ и ⃗𝑯
⃗⃗ .
заданных в условии задачи, составляющих векторов ⃗𝑬
⃗ , воспользуемся формулой второго
Чтобы получить комплексные амплитуды вектора 𝐻
уравнения Максвелла:
𝐻𝑚𝑥 = −
1
⃗⃗⃗⃗⃗𝑚̇ )
𝑟𝑜𝑡(𝐸
𝑖𝜔𝜇𝑎
⃗⃗⃗⃗⃗𝑚̇ ) =
𝑟𝑜𝑡 (𝐸
(
⃗⃗⃗⃗
𝑥0
𝜕
𝜕𝑥
̇
𝐸𝑥𝑚
⃗⃗⃗⃗0
𝑦
𝜕
𝜕𝑦
̇
𝐸𝑦𝑚
𝑧⃗⃗⃗0
𝜕
𝜕𝑧
̇
𝐸𝑧𝑚
)
̇
̇
̇
̇
̇
̇
𝜕𝐸𝑦𝑚
𝜕𝐸𝑦𝑚
𝜕𝐸𝑧𝑚
𝜕𝐸𝑧𝑚
𝜕𝐸𝑥𝑚
𝜕𝐸𝑥𝑚
= ⃗⃗⃗⃗
𝑥0 ∙ (
−
) − ⃗⃗⃗⃗
𝑦0 ∙ (
−
) + ⃗⃗⃗
𝑧0 ∙ (
−
)
𝜕𝑦
𝜕𝑧
𝜕𝑥
𝜕𝑧
𝜕𝑥
𝜕𝑦
̇
̇
̇
̇
𝜕𝐸𝑥𝑚
𝜕𝐸𝑥𝑚
𝜕𝐸𝑥𝑚
𝜕𝐸𝑥𝑚
= ⃗⃗⃗⃗
𝑥0 ∙ 0 − ⃗⃗⃗⃗
𝑦0 ∙ (0 −
) + ⃗⃗⃗
𝑧0 ∙ (0 −
) = ⃗⃗⃗⃗
𝑦0 ∙ (−
) + ⃗⃗⃗
𝑧0 ∙ (−
)
𝜕𝑧
𝜕𝑦
𝜕𝑧
𝜕𝑦
Продифференцируем 𝐸̇𝑥𝑚 :
̇
𝜕𝐸𝑥𝑚
𝜕 2𝑏
𝜋𝑦
𝜋 2𝑏
𝜋𝑦
2𝜋
𝜋𝑦
=
( 𝐸0 sin ( ) e−𝑖𝛽𝑧 ) =
𝐸0 cos ( ) e−𝑖𝛽𝑧 =
𝐸0 cos ( ) e−𝑖𝛽𝑧
𝜕𝑦
𝜕𝑦 𝜆
𝑏
𝑏 𝜆
𝑏
𝜆
𝑏
̇
𝜕𝐸𝑥𝑚
𝜕 2𝑏
𝜋𝑦
𝑖 ∙ 2𝑏𝛽
𝜋𝑦
=
( 𝐸0 sin ( ) e−𝑖𝛽𝑧 ) =
𝐸0 sin ( ) e−𝑖𝛽𝑧
𝜕𝑧
𝜕𝑧 𝜆
𝑏
𝜆
𝑏
4
Тогда 𝐻𝑚 примет вид:
𝐻𝑚 = −
=
1
𝑖 ∙ 2𝑏𝛽
𝜋𝑦
2𝜋
𝜋𝑦
(𝑦
⃗⃗⃗⃗0 ∙ (−
𝐸0 sin ( ) e−𝑖𝛽𝑧 ) + ⃗⃗⃗
𝑧0 ∙ (− 𝐸0 sin ( ) e−𝑖𝛽𝑧 )) =
𝑖𝜔𝜇𝑎
𝜆
𝑏
𝜆
𝑏
1
𝑖 ∙ 2𝑏𝛽
𝜋𝑦
2𝜋
𝜋𝑦
(𝑦
⃗⃗⃗⃗0 ∙ (
𝐸0 sin ( ) e−𝑖𝛽𝑧 ) + ⃗⃗⃗
𝑧0 ∙ ( 𝐸0 sin ( ) e−𝑖𝛽𝑧 ))
𝑖𝜔𝜇𝑎
𝜆
𝑏
𝜆
𝑏
Из этого следует:
𝐻𝑥𝑚 = 0
2𝑏𝛽
𝜋𝑦
𝐻𝑦𝑚 =
𝐸0 sin( ) 𝑒 −𝑖𝛽𝑧
𝜔𝜇𝑎 𝜆
𝑏
2𝜋
𝜋𝑦
𝐻𝑧𝑚 =
𝐸0 cos( ) 𝑒 −𝑖𝛽𝑧
{
𝑖𝜔𝜇𝑎 𝜆
𝑏
2. Определить диапазон частот, в котором рассматриваемое поле представляет собой
волну, бегущую вдоль оси 𝒛.
Рассматриваемое поле представляет собой волну, бегущую вдоль оси 𝑧, при выполнении
условия 𝛽 > 0.
2
2𝜋
𝜆
√1 − ( ) > 0, следовательно 𝜆 < 𝜆кр (𝑓 > 𝑓кр )
𝛽=
𝜆
𝜆кр
Найдем 𝑓кр :
𝑐ср 3 ∙ 108 м⁄с
𝑓кр =
=
= 5 ∙ 109 Гц
−3
𝜆кр 60 ∙ 10 м
Тогда диапазон частот:
𝑓 ∈ [5 ∙ 109 Гц, +∞)
3. Записать выражения для мгновенных значений всех составляющих векторов полей.
Рассчитать и построить графики зависимостей мгновенных значений составляющих
𝒂
𝒃
𝑻
полей от координаты 𝒛 (при 𝒙 = 𝟑 , 𝒚 = 𝟑) в два момента времени 𝒕𝟏 = 𝟎 и 𝒕𝟐 = 𝟒 в
интервале 𝟎 ≤ 𝒛 ≤ 𝟐𝜦, где 𝜦 – длина волны в волноводе на частоте 𝒇𝟐 .
1) При 𝑓1 < 𝑓кр : 𝛽 = −𝑖𝛼, 𝛼 =
2𝜋
𝜆
𝜆
√(𝜆 )2 − 1
кр
2𝑏
𝜋𝑦
2𝑏
𝜋𝑦
𝐸0 sin ( ) 𝑒 −𝛼𝑧 𝑒 𝑖𝜔𝑡 } =
𝐸0 sin ( ) 𝑒 −𝛼𝑧 cos(𝜔𝑡)
𝜆
𝑏
𝜆
𝑏
𝑖 ∙ 2𝑏𝛼
𝜋𝑦 −𝛼𝑧 𝑖𝜔𝑡
2𝑏𝛼
𝜋𝑦
𝜋
𝐻𝑦 (𝑡) = Re {−
𝐸0 sin ( ) 𝑒 𝑒 } = −
𝐸0 sin ( ) 𝑒 −𝛼𝑧 cos(𝜔𝑡 + )
𝜔𝜇𝑎 𝜆
𝑏
𝜔𝜇𝑎 𝜆
𝑏
2
2𝑏𝛼
𝜋𝑦 −𝛼𝑧
=−
𝐸 sin ( ) 𝑒
sin(𝜔𝑡)
𝜔𝜇𝑎 𝜆 0
𝑏
2𝜋
𝜋𝑦
2𝜋
𝜋𝑦
𝜋
𝐻𝑧 (𝑡) = Re {
𝐸0 cos ( ) 𝑒 −𝛼𝑧 𝑒 𝑖𝜔𝑡 } =
𝐸0 cos ( ) 𝑒 −𝛼𝑧 cos(𝜔𝑡 − )
𝑖𝜔𝜇𝑎 𝜆
𝑏
𝜔𝜇𝑎 𝜆
𝑏
2
𝐸𝑥 (𝑡) = Re {
5
𝐸𝑥 (𝑡) =
{
2𝑏
𝜋𝑦
𝐸0 sin ( ) 𝑒 −𝛼𝑧 cos(𝜔𝑡)
𝜆
𝑏
𝐸𝑦 (𝑡) = 0
𝐸𝑧 (𝑡) = 0
𝐻𝑥 (𝑡) = 0
2𝑏𝛼
𝜋𝑦
𝐻𝑦 (𝑡) = −
𝐸0 sin ( ) 𝑒 −𝛼𝑧 sin(𝜔𝑡)
𝜔𝜇𝑎 𝜆
𝑏
2𝜋
𝜋𝑦 −𝛼𝑧
𝜋
𝐻𝑧 (𝑡) =
𝐸0 cos ( ) 𝑒
cos(𝜔𝑡 − )
{
𝜔𝜇𝑎 𝜆
𝑏
2
2) При 𝑓2 > 𝑓кр : 𝛽 =
2𝜋
𝜆
𝜆
√1 − ( 𝜆 ) 2 > 0
кр
2𝑏
𝜋𝑦
2𝑏
𝜋𝑦
𝐸0 sin ( ) 𝑒 −𝑖𝛽𝑧 𝑒 𝑖𝜔𝑡 } =
𝐸0 sin ( ) cos(𝜔𝑡 − 𝛽𝑧)
𝜆
𝑏
𝜆
𝑏
2𝑏𝛽
𝜋𝑦 −𝑖𝛽𝑧 𝑖𝜔𝑡
2𝑏𝛽
𝜋𝑦
𝐻𝑦 (𝑡) = Re {
𝐸0 sin( ) 𝑒
𝑒 }=
𝐸0 sin ( ) cos(𝜔𝑡 + 𝛽𝑧)
𝜔𝜇𝑎 𝜆
𝑏
𝜔𝜇𝑎 𝜆
𝑏
2𝜋
𝜋𝑦 −𝑖𝛽𝑧 𝑖𝜔𝑡
2𝜋
𝜋𝑦
𝜋
𝐻𝑧 (𝑡) = Re {
𝐸0 cos( ) 𝑒
𝑒 }=
𝐸0 cos ( ) cos(𝜔𝑡 − 𝛽𝑧 − )
𝑖𝜔𝜇𝑎 𝜆
𝑏
𝜔𝜇𝑎 𝜆
𝑏
2
2𝜋
𝜋𝑦
=−
𝐸 cos ( ) sin(𝛽𝑧 − 𝜔𝑡)
𝜔𝜇𝑎 𝜆 0
𝑏
𝐸𝑥 (𝑡) = Re {
𝐸𝑥 (𝑡) =
{
2𝑏
𝜋𝑦
𝐸0 sin ( ) cos(𝜔𝑡 − 𝛽𝑧)
𝜆
𝑏
𝐸𝑦 (𝑡) = 0
𝐸𝑧 (𝑡) = 0
𝐻𝑥 (𝑡) = 0
2𝑏𝛽
𝜋𝑦
𝐻𝑦 (𝑡) =
𝐸0 sin ( ) cos(𝜔𝑡 + 𝛽𝑧)
𝜔𝜇𝑎 𝜆
𝑏
2𝜋
𝜋𝑦
𝐻𝑧 (𝑡) = −
𝐸0 cos ( ) sin(𝛽𝑧 − 𝜔𝑡)
{
𝜔𝜇𝑎 𝜆
𝑏
6
Графики зависимостей 𝐸𝑥 , 𝐻𝑦 , 𝐻𝑧 от координаты 𝑧 при 𝑓1 < 𝑓кр :
Зависимость Ex от координаты z при t=0 и t=T/4
100
100
Ex, В/м
80
Ex_t0( z) 60
Ex_T ( z)
40
20
0
0
0.0091
0.0182
0.0273
0.0364
0.0455
0
0.0545
0.0636
0.0727
0.0818
0.0909
0.1
2 Λ
z
z, м
Зависимость Hy от координаты z при t=0 и t=T/4
0.2
0.2
Hy, А/м
0.15
Hy_t0( z)
Hy_T ( z)
0.1
0.05
0
0
0.0091
0.0182
0.0273
0.0364
0.0455
0
0.0545
0.0636
0.0727
0.0818
0.0909
0.1
2 Λ
z
z, м
Зависимость Hz от координаты z при t=0 и t=T/4
0.2
0.2
Hz, А/м
0.15
Hz_t0( z)
Hz_T( z)
0.1
0.05
0
0
0
0.0091
0.0182
0.0273
0.0364
0.0455
0.0545
z
z, м
0.0636
0.0727
0.0818
0.0909
0.1
2 Λ
7
Графики зависимостей 𝐸𝑥 , 𝐻𝑦 , 𝐻𝑧 от координаты 𝑧 при 𝑓2 > 𝑓кр :
Зависимость Ex от координаты z при t=0 и t=T/4
200
124.708
Ex, В/м
100
Ex_t0( z)
Ex_T ( z)
0
0.0091
0.0182
0.0273
0.0364
0.0455
0.0545
0.0636
0.0727
0.0818
0.0909
0.1
- 100
- 124.707
- 200
0
2 Λ
z
z, м
Зависимость Hy от координаты z при t=0 и t=T/4
0.2
0.183
Hy, А/м
0.1
Hy_t0( z)
Hy_T ( z)
0
0.0091
0.0182
0.0273
0.0364
0.0455
0.0545
0.0636
0.0727
0.0818
0.0909
0.1
- 0.1
- 0.183
- 0.2
0
2 Λ
z
z, м
Зависимость Hz от координаты z при t=0 и t=T/4
0.2
0.159
Hz, А/м
0.1
Hz_t0( z)
Hz_T( z)
0
0.0091
0.0182
0.0273
0.0364
0.0455
0.0545
0.0636
0.0727
0.0818
0.0909
0.1
- 0.1
- 0.159
- 0.2
0
z
z, м
2 Λ
8
4. Проверить выполнение граничных условий на стенках волновода (при x=0, a и y=0, b).
Граничные условия:
𝐸𝜏 | Me = 0
𝐻𝑛 | Me = 0
1 стенка: 𝑥 = 0
𝐸𝑦𝑚 | 𝑥=0 = 0 - по условию
𝐸𝑧𝑚 | 𝑥=0 = 0 - по условию
𝐻𝑥𝑚 | 𝑥=0 = 0 - из пункта 3
2 стенка: 𝑥 = 𝑎 = 40 ∙ 10−3
𝐸𝑦𝑚 | 𝑥=𝑎 = 0 - по условию
𝐸𝑧𝑚 | 𝑥=𝑎 = 0 - по условию
𝐻𝑥𝑚 | 𝑥=0 = 0 - из пункта 3
3 стенка: 𝑦 = 0
𝐸𝑦𝑚 | 𝑦=0 = 0 - по условию
2𝑏
𝜋 ∙ 0 −𝑖𝛽𝑧
𝐸𝑥𝑚 | 𝑦=0 =
𝐸0 sin(
)e
=0
𝜆
𝑏
2𝑏𝛽
𝜋 ∙ 0 −𝑖𝛽𝑧
𝐻𝑦𝑚 | 𝑦=0 =
𝐸0 sin(
)𝑒
=0
𝜔𝜇𝑎 𝜆
𝑏
4 стенка: 𝑦 = 𝑏 = 30 ∙ 10−3
𝐸𝑧𝑚 | 𝑦=𝑏 = 0 - по условию
2𝑏
𝜋 ∙ 𝑏 −𝑖𝛽𝑧
𝐸𝑥𝑚 | 𝑦=𝑏 =
𝐸0 sin(
)e
=0
𝜆
𝑏
2𝑏𝛽
𝜋 ∙ 𝑏 −𝑖𝛽𝑧
𝐻𝑦𝑚 | 𝑦=𝑏 =
𝐸0 sin(
)𝑒
=0
𝜔𝜇𝑎 𝜆
𝑏
5. Определить максимальные значения плотностей продольного и поперечного
поверхностных токов на всех стенках волновода на частоте f2.
⃗ ст ]
𝐽 = 2[𝑛⃗ст × 𝐻
1 стенка: 𝑥 = 0
𝐽 = 2[𝑥 × (𝑦 ∙ 𝐻𝑦𝑚 + 𝑧 ∙ 𝐻𝑧𝑚 )]
2𝑏𝛽
𝜋𝑦
2𝜋
𝜋𝑦
= 2 [𝑥 × (𝑦 ∙
𝐸0 sin ( ) 𝑒 −𝑖𝛽𝑧 + 𝑧 ∙
𝐸0 cos ( ) 𝑒 −𝑖𝛽𝑧 )]
𝜔𝜇𝑎 𝜆
𝑏
𝑖𝜔𝜇𝑎 𝜆
𝑏
4𝑏𝛽
𝜋𝑦
4𝜋
𝜋𝑦
=𝑧∙
𝐸0 sin ( ) 𝑒 −𝑖𝛽𝑧 − 𝑦 ∙
𝐸0 cos ( ) 𝑒 −𝑖𝛽𝑧
𝜔𝜇𝑎 𝜆
𝑏
𝑖𝜔𝜇𝑎 𝜆
𝑏
Учитывая, что:
𝜆кр = 2𝑏 = 60 ∙ 10−3 м,
𝜆=
𝑐ср
𝑓2
=
3∙108 м⁄с
6∙109 Гц
= 50 ∙ 10−3 м,
𝜔 = 2𝜋𝑓2 = 2 ∙ 3.14 ∙ 6 ∙ 109 Гц = 37.7 ∙ 109 Гц,
𝛽=
2𝜋
𝜆
𝜆
2∙3.14
50∙10−3 м
1
∙ √1 − (𝜆 )2 = 50∙10−3 м ∙ √1 − (60∙10−3 м)2 = 69.463 м,
кр
получим:
max 𝐽прод
1
4 ∙ 30 ∙ 10−3 м ∙ 69.463 м
4𝑏𝛽
В
А
= Re{𝐽} =
𝐸0 =
∙ 120 = 0.422
Гн
𝜔𝜇𝑎 𝜆
м
м
37.7 ∙ 109 Гц ∙ 1.256 ∙ 10−6 м ∙ 50 ∙ 10−3 м
max 𝐽⊥ = Im{𝐽} =
4𝜋
4 ∙ 3.14
В
А
𝐸0 =
∙ 120 = 0.637
Гн
𝜔𝜇𝑎 𝜆
м
м
37.7 ∙ 109 Гц ∙ 1.256 ∙ 10−6 м ∙ 50 ∙ 10−3 м
9
2 стенка: 𝑦 = 0
Учитывая, что:
𝐻𝑦𝑚 =
2𝑏𝛽
𝜋 ∙ 0 −𝑖𝛽𝑧
𝐸0 sin(
)𝑒
=0
𝜔𝜇𝑎 𝜆
𝑏
Получим:
𝐽 = 2[𝑦 × 𝑧 ∙ 𝐻𝑧𝑚 ] = 2 [𝑥 × 𝑧 ∙
max 𝐽прод = 0
А
м
max 𝐽⊥ = Im{𝐽} =
2𝜋
𝜋𝑦
4𝜋
𝜋𝑦
𝐸0 cos ( ) 𝑒 −𝑖𝛽𝑧 ] = 𝑧 ∙
𝐸0 cos ( ) 𝑒 −𝑖𝛽𝑧
𝑖𝜔𝜇𝑎 𝜆
𝑏
𝑖𝜔𝜇𝑎 𝜆
𝑏
4𝜋
4 ∙ 3.14
В
А
𝐸0 =
∙ 120 = 0.637
Гн
𝜔𝜇𝑎 𝜆
м
м
37.7 ∙ 109 Гц ∙ 1.256 ∙ 10−6 м ∙ 50 ∙ 10−3 м
6. Вычислить средний за период поток энергии через поперечное сечение волновода на
частоте f2.
𝑎
𝑏
𝑃 = ∮𝑆 Re(Пм )𝑑𝑆 = ∫0 ∫0 Re(Пм )𝑧𝑑𝑥𝑑𝑦, где
⊥
1
̌𝑧𝑚 − 𝐸𝑧𝑚 𝐻
̌𝑦𝑚 ) + 𝑦 ∙ (𝐸𝑧𝑚 𝐻
̌𝑥𝑚 − 𝐸𝑥𝑚 𝐻
̌𝑧𝑚 ) + 𝑧 ∙ (𝐸𝑥𝑚 𝐻
̌𝑦𝑚 − 𝐸𝑦𝑚 𝐻
̌𝑥𝑚 )} =
Пм = 2 {𝑥 ∙ (𝐸𝑦𝑚 𝐻
1
̌𝑧𝑚 + 𝑧 ∙ 𝐸𝑥𝑚 𝐻
̌𝑦𝑚 };
{−𝑦 ∙ 𝐸𝑥𝑚 𝐻
2
учитывая, что
̌𝑦𝑚 = 2𝑏𝛽 𝐸0 sin(𝜋𝑦) 𝑒 𝑖𝛽𝑧 ,
𝐻
𝜔𝜇 𝜆
𝑏
𝑎
̌𝑧𝑚 = − 2𝜋 𝐸0 cos(𝜋𝑦) 𝑒 𝑖𝛽𝑧 ,
𝐻
𝑖𝜔𝜇 𝜆
𝑏
𝑎
получим
Пм =
1
2𝑏
𝜋𝑦
2𝜋
𝜋𝑦
2𝑏
𝜋𝑦
{−𝑦 ∙
𝐸0 sin ( ) e−𝑖𝛽𝑧 ∙ (−
𝐸0 cos ( ) 𝑒 𝑖𝛽𝑧 ) + 𝑧 ∙
𝐸0 sin ( ) e−𝑖𝛽𝑧
2
𝜆
𝑏
𝑖𝜔𝜇𝑎 𝜆
𝑏
𝜆
𝑏
2𝑏𝛽
𝜋𝑦 𝑖𝛽𝑧
∙
𝐸 sin ( ) 𝑒 } =
𝜔𝜇𝑎 𝜆 0
𝑏
𝑏𝐸0 2 2𝛽
=𝑧∙(
𝜆
)
Re(Пм ) = (
𝜔𝜇𝑎
𝜋𝑦
sin2 ( 𝑏 ) − 𝑦 ∙ (
𝑏𝐸0 2 2𝛽
𝜆
)
𝜔𝜇𝑎
𝜋𝑦
sin2 ( 𝑏 ).
2𝐸0 2 𝑖𝑏𝜋
𝜆
)
2𝜔𝜇𝑎
𝜋𝑦
𝜋𝑦
sin( 𝑏 ) cos( 𝑏 ),
10
Тогда:
𝑎 𝑏
𝑎 𝑏
𝑏
𝑏𝐸0 2 2𝛽
𝜋𝑦
𝑏𝐸0 2 2𝛽
𝜋𝑦
2
𝑃 = ∫ ∫ П𝑧𝑚 𝑑𝑥𝑑𝑦 = (
)
∫ ∫ sin ( ) 𝑑𝑥𝑑𝑦 = (
)
∙ 𝑎 ∙ ∫ sin2 ( ) 𝑑𝑦
𝜆
𝜔𝜇𝑎
𝑏
𝜆
𝜔𝜇𝑎
𝑏
0 0
=(
0 0
𝑏
2
𝑏𝐸0 2𝛽𝑎
1 1
2𝜋𝑦
𝑏𝐸0 2𝛽𝑎
1 1
2𝜋𝑦
)
∙ ∫( − cos(
))𝑑𝑦 = (
)
∙ ∫( − cos(
))𝑑𝑦
𝜆
𝜔𝜇𝑎
2 2
𝑏
𝜆
𝜔𝜇𝑎
2 2
𝑏
0
0
𝑏
2
=(
0
𝑏
2
2
𝑏𝐸0 𝛽𝑎
2𝜋𝑦
𝑏𝐸0 𝛽𝑎
)
∙ (𝑏 − ∫ cos (
) 𝑑𝑦 = (
)
∙ (𝑏 −
𝜆
𝜔𝜇𝑎
𝑏
𝜆
𝜔𝜇𝑎
0
2𝜋𝑦 𝑏
)
𝑏 | )
2𝜋⁄𝑏
sin (
0
2
2
𝑏𝐸0 𝛽𝑎
𝑏𝐸0 𝛽𝑎𝑏
)
∙ (𝑏 − 0) = (
)
𝜆
𝜔𝜇𝑎
𝜆
𝜔𝜇𝑎
2
В
1
30 ∙ 10−3 м ∙ 120 м 69.463 м ∙ 40 ∙ 10−3 м ∙ 30 ∙ 10−3 м
=(
)
= 9.126 ∙ 10−3 Вт
Гн
50 ∙ 10−3 м
37.7 ∙ 109 Гц ∙ 1.256 ∙ 10−6 м
=(
7. Определить фазовую скорость Vф и скорость распространения энергии волны V0 на
частоте f2. Рассчитать и построить графики зависимости этих скоростей от частоты.
𝑐ср
𝑉ф =
√1 − (
=
𝑓кр 2
)
𝑓2
𝑉э = 𝑐ср ∙ √1 − (
3 ∙ 108 м⁄с
м
= 542.7 ∙ 106
с
5 ∙ 109 Гц 2
√1 − (
)
9
6 ∙ 10 Гц
𝑓кр 2
5 ∙ 109 Гц 2
м
) = 3 ∙ 108 м⁄с ∙ √1 − (
) = 165.8 ∙ 106
9
𝑓2
6 ∙ 10 Гц
с
6
60010
fkr
6
Vô ( f )
Vý( f )
40010
Ccp
6
20010
0
010
9
1.810
9
3.610
9
5.510
9
7.310
9
9
9
9
9
9
9
9.110 10.910 12.710 14.510 16.410 18.210 2010
f
11
8. Нарисовать структуру векторных линий полей и эпюры токов на стенках волновода.
Построим структуру векторных линий полей, выбрав 𝑡 = 0 и используя следующие уравнения:
𝐸𝑥 (𝑡) =
{
2𝑏
𝜋𝑦
𝐸0 sin ( ) cos(𝛽𝑧)
𝜆
𝑏
𝐸𝑦 (𝑡) = 0
𝐸𝑧 (𝑡) = 0
𝐻𝑥 (𝑡) = 0
2𝑏𝛽
𝜋𝑦
𝐻𝑦 (𝑡) =
𝐸0 sin ( ) cos(𝛽𝑧)
𝜔𝜇𝑎 𝜆
𝑏
2𝜋
𝜋𝑦
𝐻𝑧 (𝑡) = −
𝐸0 cos ( ) sin(𝛽𝑧)
{
𝜔𝜇𝑎 𝜆
𝑏
Обозначения:
вектор 𝐸⃗
⃗
вектор 𝐻
𝑎
1. Торец (𝑧 = const)
z
y
2. Вертикальное продольное сечение (𝑥 = 2)
b
a
𝜋𝑦
𝑏
𝜋𝑦
𝐻𝑦 ~ sin
𝑏
𝐻𝑧 не видно
𝐸𝑥 ~ sin
x
b
𝐸𝑥 не видно
𝜋𝑦
𝐻𝑦 ~ sin cos 𝛽𝑧
𝑏
𝜋𝑦
𝐻𝑧 ~ − cos
sin 𝛽𝑧
𝑏
y
12
𝑏
3. Горизонтальное продольное сечение (𝑦 = 2)
z
𝐸𝑥 ~ sin
𝜋𝑦
cos 𝛽𝑧
𝜋𝑦
𝐻𝑦 ~ sin cos 𝛽𝑧
𝑏
𝐻𝑧 не видно
a
𝑏
x
Построим структуру эпюры токов на стенках волновода, используя следующие уравнения:
Боковая стенка:
2𝑏𝛽
𝜋𝑦
2𝜋
𝜋𝑦
𝐸0 sin ( ) cos(𝛽𝑧) − 𝑧 ∙
𝐸0 cos ( ) sin(𝛽𝑧))]
𝜔𝜇𝑎 𝜆
𝑏
𝜔𝜇𝑎 𝜆
𝑏
4𝑏𝛽
𝜋𝑦
4𝜋
𝜋𝑦
=𝑧∙
𝐸0 sin ( ) cos(𝛽𝑧) + 𝑦 ∙
𝐸0 cos ( ) sin(𝛽𝑧)
𝜔𝜇𝑎 𝜆
𝑏
𝜔𝜇𝑎 𝜆
𝑏
𝐽 = 2 [𝑥 × (𝑦 ∙
Нижняя стенка:
При 𝑦 = 0:
2𝑏𝛽
𝜋∙0
𝐸0 sin (
) cos(𝛽𝑧) = 0
𝜔𝜇𝑎 𝜆
𝑏
2𝜋
𝜋∙0
2𝜋
𝐻𝑧 (𝑡) = −
𝐸0 cos (
) sin(𝛽𝑧) = −
𝐸 sin(𝛽𝑧)
𝜔𝜇𝑎 𝜆
𝑏
𝜔𝜇𝑎 𝜆 0
𝐻𝑦 (𝑡) =
Тогда:
𝐽 = 2 [𝑦 × 𝑧 ∙ (−
2𝜋
4𝜋
𝐸0 sin(𝛽𝑧))] = −𝑥 ∙
𝐸 sin(𝛽𝑧)
𝜔𝜇𝑎 𝜆
𝜔𝜇𝑎 𝜆 0
13
4. Токи на боковой стенке (𝑥 = 0)
5. Токи на нижней стенке (𝑦 = 0)
z
z
b
y
a
x