На траекторию в кубе.

Всероссийский конкурс
исследовательских работ
« Шаги в науку»
Направление: математика
Тема: «Моё открытие куба»
Выполнила: Сидоренко Софья Андреевна
Место учёбы: МБОУ лицея №1, 6 класс
Научный руководитель: Будлянская Наталья
Леонидовна.
Город: Комсомольск-на-Амуре,2015 год
На занятиях наглядной геометрии в 5,6 классе мы очень много работали с кубом:
1.
2.
3.
4.
изучили его свойства
понятие развёртки
формулы площади поверхности
объём
Мне очень понравилось решать задачи на:
1.
2.
3.
4.
5.
проекции фигур
комбинации из кубиков
вычисления объёмов
траекторию движения внутри куба
на раскраску и распиливание.
Поэтому я выбрала объектом своего исследования куб, а предметом -свойства
куба и применение их в решении задач.
И так.
1. У китайцев куб - божество Земли, тогда как сфера является небесным
символом.
2. У евреев куб - это Святая Святых
3. В исламе Кааба - это куб, стабильность, статическое совершенство.
4. У майя куб - Земля; Древо Жизни растет из центра куба.
Так чем обусловлено такое обожествление куба? Что это за фигура, и какими
свойствами обладает, и где эти свойства могут применяться? На эти вопросы я и
искала ответы, работая над выбранной темой.
Так, что такое куб?
Куб (гексаэдр) – это правильный шестигранный многогранник, каждая грань
которого представляет собой квадрат. Частный случай параллелепипеда и
призмы.
Куб имеет:
1.
2.
3.
4.
12 ребер
6 граней
8 вершин
Граней при вершине - 3
Если куб не из прозрачного материала, то всех ребер, граней и вершин мы не
увидим. Любая грань куба соседствует со всеми гранями кроме противоположной.
Углы
Поскольку каждая грань куба — четырехугольник, всего у куба 24 плоских угла на
поверхности. К каждому ребру примыкает две грани, которые образуют
двугранный угол, и число таких углов соответствует числу граней — 12. Наконец,
три грани, сходящиеся в каждой вершине, задают телесный угол, и таких углов 8.
Итого куб имеет 44 угла: 24 плоских,12 двугранных,8 телесных.
Диагональ
Ещё у куба есть диагонали. Диагональю куба является отрезок, который проходит
через центр фигуры и соединяет симметричные вершины. В правильном
гексаэдре имеется 4 диагонали, и все они будут равны. Очень важно не путать
диагональ самой фигуры с диагональю ее грани или квадрата, который лежит на
его основании. Диагональ грани куба проходит через центр грани и соединяет
противоположные вершины квадрата.
Развёртка
Также у куба есть развёртка. Развертка куба – это оболочка, с ее помощью мы
можем видеть куб со всех сторон. Развертка куба состоит из 6 граней или 6 равных
квадратов.
Задачи на куб
На развёртку
Такие задачи не очень сложные. Лучше всего представить данный куб или
развёртку в уме ,но если это сложно или вы сомневаетесь в ответе лучше сделать
всё наглядно на бумаге.
Представлена развёртка кубика. Как он будет выглядеть если его собрать?
Есть четыре изображения одного кубика с разных сторон. Необходимо правильно
нарисовать его развертку.
Все кубики на рисунке одинаковы. Восстановите развёртку куба.
На вычисления.
В таких задачах очень важно помнить сколько у куба граней, вершин , ребер и
углов.
1.
2.
3.
4.
12 ребер
6 граней
8 вершин
4 угла
Чтобы разрезать куб на 27 кубиков надо , сделать 6 разрезов.
Можно ли уменьшить количество разрезов , если позволить после каждого
разрезания перекладывать части?
Нет невозможно. Каждый кубик имеет 6 граней. Для получения кубика,
расположенного в центре данного куба, должны быть выпилены полностью все 6
граней.
Представьте себе деревянный куб со сторонами 30 см, вся поверхность которого
окрашена в один красный цвет. Вопросы:
1. Сколько потребуется разрезов, чтобы разделить куб на кубики со стороной
10 см?
2. Ответ: шесть разрезов.
3. Сколько получится таких кубиков?
4. Ответ:27 кубиков;
5. Сколько кубиков будут иметь по 4 окрашенные грани?
6. Ответ: ни одного
7. Сколько кубиков будут иметь по 3 окрашенные грани?
8. Ответ: восемь - столько, сколько вершин у куба.
9. 5) Сколько кубиков будут иметь по 2 окрашенные грани?
10.
Ответ: двенадцать - столько, сколько ребер у куба
11.
Сколько кубиков будут иметь по 1 окрашенной грани?
12.
Ответ: шесть - столько, сколько граней у куба.
13.
Сколько кубиков будет неокрашенными?
14.
Ответ: один
Занумеруйте вершины куба порядковыми числами(1,2,3,4,5,6,7,8) так ,чтобы
сумма номеров на каждой из шести его граней оказалась одинаковой.
Ответ: каждая вершина куба принадлежит 3 граням, поэтому сумму
(1+2+3…..+8)следует умножить на 3 , а затем разделить на 6 (число
граней),получиться 18 - сумма номеров на каждой грани.
На траекторию в кубе.
На гранях непрозрачного кубика написаны буквы так, как показано на рис а. Кубик
подбросили, и он упал так, что одна из букв стала располагаться, как показано на
рис б. Нанесите на остальные грани кубика соответствующие буквы (они могут
оказаться повернутыми). Проверьте свой ответ с помощью модели куба.
Большой кубик склеен из маленьких деревянных кубиков. В нем просверлили 6
сквозных отверстий, параллельных ребрам. Сколько маленьких кубиков осталось
не поврежденными?
Ответ. 44 кубика.
Фигуры из кубов.
Такие задачи можно решить в воображении , но лучше всего на бумаге так как
очень сложно всё правильно представить
Какие из семи черных фигур в точности соответствует красной?
Ответ: А,E,F.
Сколько кубиков нужно, чтобы сложить такую фигуру?
Ответ. 106 кубиков.
Мои задачи.
Траектория движения в кубе.
Как плавал пузырь в аквариуме показано на рисунке. Изобразите вид сверху.
Птичка в квадратной клетке пролетела так что ,мальчик успел лишь заметить её
траекторию спереди и сверху а ,девочка с боку. Восстановите полёт птицы.
Нарисуйте путь червячка в квадратном горшке.
На развёртку.
На рисунке изображены игральный кубик и три развертки. Какие из них
могут быть развертками именно этого кубика?
Мы знаем, что чтобы сделать многогранник прежде надо начертить развёртку.
У куба всего 11 разверток , попробуйте найти или вспомнить хотя бы 5 из них.
В квадратном аквариуме улитка Стёпа сидел в точке А и думал как ему быстрее
переползти в точку В.Наша задача помочь Стёпе. Самое хорошее решение сделать
это наглядно на развёртке.
На вычисления.
Существует ли куб, ребро которого выражается натуральным числом и у
которого: сумма длин всех ребер выражается простым числом; площадь
поверхности выражается простым числом?
1. Нет, если а длина ребра куба, то сумма всех ребер равна а*12 это
составное число.
2. Нет, площадь поверхности куба равна а*6 это составное число.
Первоначально ребро куба было равно 40 см затем его увеличили на 5%.Найдите
объём куба и площадь поверхности после увеличения.
Ответ:




1)40*0,05=2(см)
2)40+2=42(см)-новое ребро.
3)42*42*42=74088(см3)-объём.
4)6*42842=10584(см2)-площадь.
На траекторию в кубе.
Рассматривая каркас куба сначала спереди (вид А), затем слева (вид В) и,
наконец, сверху (вид С), прочитайте слово, образованное жирными линиями
(рис. 10).
Ответ. 1) БОР, 2) ЕЛЬ, 3) БЕС.
Сколько кубиков останется, если убрать выделенные?
Ответ:61
Из куба 3*3*3 убрали несколько кубиков ,получилась фигура у которой вид
спереди и с верху соответствует рисунку .Какое минимальное количество могли
убрать?
Ответ:10
Вывод
И так я достигла своих целей. Я узнала много нового и
интересного о кубе ,и о задачах связанных с ним, теперь эти
знания уже помогают мне в решении многих задач. Надеюсь ,что
и другие смогут понять и использовать эти знания.