Числовая система — множество чисел, которое включает в себя

Числовая система — множество чисел, которое включает в себя множество натуральных чисел
и замкнуто относительно операций сложения, умножения и, возможно, некоторых других.
Обычно числовая система предполагает и определенный способ записи чисел (скажем, с
помощью арабских цифр 0,1,…,9) или даже несколько возможных ее вариантов для одного числа.
Кроме того, числовая система может быть наделена какой-либо дополнительной структурой,
например:

частичной или полной упорядоченностью (понятиями «больше» или «меньше»),

метрикой (расстоянием между числами),

нормой (модулем числа).
1. Простейшую числовую систему представляют собой натуральные числа. Они возникают в
процессе счета — и в первую очередь, благодаря возможности перехода от любого натурального
числа к следующему. Наиболее строго эту числовую систему, применявшуюся с незапамятных
времен, описал Дж. Пеано, причем лишь в XIX веке.
Натуральные числа можно складывать друг с другом, умножать друг на друга, вычитать из
большего меньшее, делить с остатком, а иногда и нацело. При этом операции вычитания и
деления (нацело) определяются как обратные к сложению и умножению, т.е. позволяющие по
известным значениям a и b найти значение x из уравнения a+x=b или a∙x=b соответственно.
Пополнение натуральных чисел числом ноль, на которое, в отличие от всех остальных
натуральных чисел, делить нельзя, даже с остатком, — в принципе возможно, но
малосодержательно. Тем не менее, иногда число ноль, по определению, считают тоже
натуральным.
2. Далее, с одной стороны, если к натуральным числам добавить дроби (возникающие
естественным образом при дележе чего-либо на равные части), то получится множество
положительных рациональных чисел. В этой числовой системе можно делить любое число на
любое ненулевое (конечно, деление с остатком здесь уже не используется).
С другой стороны, из тех же натуральных чисел путем добавления к ним нуля и отрицательных
целых чисел получаются целые числа. Эта числовая система замечательна тем, что в ней можно
вычитать любое число из любого. Кстати, в отличие от дробей, отрицательные числа появились
довольно поздно, лишь в средние века: они потребовали от математиков несколько большей
абстракции и ознаменовали собой зарождение алгебры.
Если же свести оба упомянутых расширения воедино, то получится множество всех вообще
рациональных чисел (и положительных, и неположительных). Оно представляет собой
минимальную числовую систему, в которой возможны уже все четыре арифметические операции.
3. Долгое время считалось, что других (кроме рациональных) чисел в природе нет: в них просто
не было потребности. Однако после открытия теоремы Пифагора математики пришли к
парадоксальному выводу: гипотенуза прямоугольного треугольника с единичными катетами не
имеет длины, поскольку ее квадрат должен быть равен 2, а такого рационального числа не
существует (об этом древним грекам было уже известно).
Таким образом, первое появление иррациональных чисел связано с операцией возведения в
натуральную степень. Точнее, с обратной к ней, уже не арифметической, а алгебраической
операцией: извлечением корня натуральной степени a из натурального числа b, т.е.
нахождением значения x из уравнения
такие корни, — это алгебраические числа.
. Наименьшая числовая система, содержащая все
Кстати, рациональных чисел не хватает и для выполнения другой операции, обратной к
возведению в степень, — взятию логарифма по натуральному основанию a≠1 от натурального
числа b, т.е. нахождением значения x из уравнения
. Например, логарифм числа 3 по
основанию 2 иррационален, поскольку число 2 ни в какой рациональной степени не дает 3.
4. Геометрическая интерпретация чисел, как длин различных отрезков, неизбежно приводит к
понятию числовой прямой. Если на прямой заранее задать начало отсчета, направление и
единицу длины, то между всеми ее точками и всеми числами (не только положительными) можно
установить взаимно однозначное соответствие. В итоге точки прямой будут отождествлены с
соответствующими им числами.
Полученная числовая система задает действительные, или вещественные, числа. Числовая
прямая содержит все алгебраические числа, но, как оказалось, не только их. В 1873 г. Г.
Кантор доказал, что на любом интервале числовой прямой имеется бесконечно много других, так
называемых трансцендентных чисел. В том же году Ш. Эрмит привел конкретный пример
трансцендентного числа, каковым является число е, а в 1882 г. была доказана также и
трансцендентность числа π.
В процессе создания строгой теории действительных чисел математиками (в частности, К.
Вейерштрассом, Р. Дедекиндом, Г. Кантором) было, наконец, выявлено свойство полноты
числовой прямой.
5. Начиная с XVI века, задолго до построения строгой теории действительных чисел, в
трудах Дж. Кардано, А. де Муавра, Л. Эйлера и многих других математиков было начато
построение новой числовой системы, в которой возможно было извлечение квадратного корня из
отрицательных чисел.
Появились комплексные числа, для наглядного изображения которых потребовалось перейти с
числовой прямой в числовую комплексную плоскость. При этом произошла потеря линейной
упорядоченности чисел. Зато добавилась новая операция над ними — комплексное сопряжение,
нашлась изящная геометрическая интерпретация их произведения, а также проявилась их
природная связь с преобразованиями плоскости, тригонометрией и обнаружился целый ряд
совершенно замечательных функциональных свойств.
Дальнейшие попытки расширения полученной числовой системы оказались не столь успешными.
Они привели У. Гамильтона к созданию в 1843 г. теории кватернионов, правда, с вынужденной
потерей свойства коммутативности (перестановочности) произведения.