Экзаменационные вопросы по математике для студентов 1 курса ГФ МГУГиК. Кафедра высшей математики Составитель кандидат физико-математических наук, доцент Емгушева Г.П. Глава 1. Числовые множества. Функции. 1. Числовые множества. Операции над множествами. Модуль вещественного числа. Числовые промежутки. Окрестность и проколотая окрестность точки. 2. Функция, ее способы задания. Основные характеристики функции. Определение последовательности, убывающая и возрастающая последовательности. Ограниченная последовательность. 3. Сложная и обратная функции. Основные элементарные функции, их графики. Глава 2. Понятие предела функции. 4. Предел функции в точке и на бесконечности. Односторонние пределы. 5. Бесконечно малые и бесконечно большие функции, их свойства. 6. Основные теоремы о пределах функций. Связь между функцией, ее пределом и бесконечно малой функцией. 7. Первый и второй замечательные пределы. Признаки существования пределов. 8. Таблица эквивалентных бесконечно малых функций и теоремы о них. Глава 3. Непрерывность функции и точки разрыва. 9. Непрерывность функции в точке и в области. Основные свойства непрерывных функций. 10. Классификация точек разрыва функции и графики для них. Глава 4. Производная функции. 11. Задачи, приводящие к понятию производной. Определение производной, ее механический и геометрический смыслы. Уравнения касательной и нормали к кривой. 12. Зависимость между непрерывностью и дифференцируемостью функции. Гладкая функция. Правила дифференцирования. 13. Производная сложной и обратной функций. Таблица производных элементарных функций. Глава 5. Дифференцирование неявных и параметрически заданных функций. Производные высших порядков. Дифференциал функции. 14. Дифференцирование неявных и параметрически заданных функций. Логарифмическое дифференцирование. 15. Производные высших порядков. Механический смысл производной второго порядка. Производные высших порядков функций, заданных неявно и параметрически. 16. Дифференциал функции и его геометрический смысл. 17. Теоремы о дифференциалах. Применение дифференциала к приближенным вычислениям. Глава 6. Исследование функций с помощью производных. 18. Теоремы Ролля, Лагранжа и Коши для дифференцируемых функций, их геометрические интерпретации. Правила Лопиталя. 19. Необходимые и достаточные условия возрастания и убывания функции. Экстремум функции. Необходимое и два достаточных условия экстремума, их геометрические интерпретации. 20. Применение второй производной к выпуклости графика функции и точкам перегиба. Вертикальная и наклонная асимптоты графика функции. 21. Приложение производных к формуле Тейлора для многочлена. Формула Тейлора для произвольной функции. Формула Маклорена, Глава 7. Неопределенный интеграл. 22. Первообразная функция. Неопределенный интеграл и его свойства. Таблица основных интегралов. 23. Непосредственное интегрирование и подстановка (замена переменной) в интеграле. Метод интегрирования по частям и его применение к трем основных типам интеграла. 24. Дробно-рациональная функция. Четыре типа простейших рациональных дробей. Метод сравнения при разложении правильной рациональной дроби. 25. Интегрирование четырех простейших рациональных дробей. Общее правило интегрирования рациональных дробей. 26. Интегрирование тригонометрических функций с помощью универсальной и трех простых m n тригонометрических подстановок. Интегралы вида sin x cos xdx, m, n Z . 27. Интегрирование некоторых видов иррациональностей и дифференциального бинома. Литература. 1. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. Изд-во «АЙРИСпресс».М.2002. 2. Шипачев В.С. Основы высшей математики. Изд-во «Высшая школа».М.1989.