Техническая механика Практические занятия 3,4 ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 3,4 Построение эпюр перерезывающих сил и изгибающих моментов при изгибе балок Задача 3,4.1 Построить эпюры перерезывающих сил Q и изгибающих моментов М от сосредоточенных сил F. Проверить дифференцально-интегрвльную зависимость между Q и М. RA a F a a F a A RB B FC Рис. 3,4.1 Расчётная схема Решение 1. FC F 1) Определяем реакции опор a) MB 0 n Given F a FC 2a F 3a RA 4a 0 Find RA substituteF C F F 2 1 RA (F) F 2 Итак, RB (F) RA (F) 2) Строим эпюру поперечных сил Q и эпюру изгибащих моментов М, делая обход балки от опоры слева и справа (рис. 3,4.2): б) Так как нагружение балки симметричное, то, очевидно, 2. FC 2F 1) Определяем реакции опор a) © Учебный MB n 0 центр «Эрудит», www.childrensafety.jimdo.com , © Maria Bezmelnitsina Collé Техническая механика Практические занятия 3,4 RA a F a a F a RB A B Q 1 F 2 1 F 2 1 F 2 1 Fa 2 1 F 2 1 Fa 2 M Рис. 3,4.2 Эпюры поперечных сил и изгибающих моментов ( FÑ 1 F) 2 Given F a FC 2a F 3a RA 4a Find RA substituteF C 0 2F 0 б) Так как нагружение балки симметричное, то, очевидно, RB (F) RA (F) 2) Строим эпюру поперечных сил Q и эпюру изгибащих моментов М, делая обход балки от опоры слева и справа (рис. 3,4.3): RA a F a a A F a RB B Q 2F F F M Fa Рис. 3,4.3 Эпюры поперечных сил и изгибающих моментов ( FÑ © Учебный центр «Эрудит», www.childrensafety.jimdo.com , © Maria Bezmelnitsina Collé 2F) Техническая механика Практические занятия 3,4 Нетрудно проверить выполнение дифференциальных зависимостей для балок рис. 3,4.2 и 3,4.3 - производная от перерезывающей силы равна величине распределённой нагрузки (она равна нулю и в перевом и во втором случаях), а производная от изгибающего момента по длине балки равна поперечной силе. Задача 3,4.2 Построить эпюры перерезывающих сил Q и изгибающих моментов М от сосредоточенных сил F. Проверить дифференцально-интегрвльную зависимость между Q и М. RA a F a 2F a 3F a A RB B Рис. 3,4.4 Расчётная схема Решение a) MB 1. Определяем реакции опор n Given 3F a 2F 2a F 3a RA 4a Итак, RA (F) 2.5F Given F a 2F 2a 3F 3a RB 4a 0 б) Find RA substituteF C MÀ n 0 0 F 5 F 2 0 7 F Find RB 2 RB (F) 3.5F в) Проверка RA (F) RB (F) F 2F 3F 3.5 F 6 F 2.5 F = 0 Итак, 2) Строим эпюру поперечных сил Q и эпюру изгибащих моментов М, делая обход балки от опоры слева и справа (рис. 3,4.5): © Учебный центр «Эрудит», www.childrensafety.jimdo.com , © Maria Bezmelnitsina Collé Техническая механика Практические занятия 3,4 2.5F a F a 2F a 3F a A 3.5F B 2.5F Q 1.5F 0.5F 3.5F 2.5Fa 4Fa M 3.5Fa Рис. 3,4.5 Эпюры поперечных сил и изгибающих моментов Задача 3,4.3 Построить эпюры перерезывающих сил Q и изгибающих моментов М от сосредоточенных сил F. Проверить дифференцально-интегрвльную зависимость между Q и М. a F F a a F Рис. 3,4.6 Расчётная схема Решение 1. Для консольной балки можно строить эпюры без определения рекций в заделке. При этом строить эпюры нужно совершая обход балки со свободного (незаделанного) конца балки. Строим эпюры (рис. 3,4.6): Задача 3,4.4 Построить эпюры перерезывающих сил Q и изгибающих моментов М êÍ для данной балки (рис. 3,4.8), если F 60êÍ , M0 50êÍ ì , q 10 , a 2ì . ì Проверить дифференцально-интегрвльную зависимость между Q и М. © Учебный центр «Эрудит», www.childrensafety.jimdo.com , © Maria Bezmelnitsina Collé Техническая механика Практические занятия 3,4 F a F a a Q F F F M 2Fa Fa Рис. 3,4.7 Эпюры поперечных сил и изгибающих моментов RA F a a a RB a В q A M0 Рис. 3,4.8 Расчётная схема Решение a) MB 1. Определяем реакции опор RA 10êÍ n Given F 2a q 2a 2a M0 RA 3a Итак, RA 21.667 êÍ RB 10êÍ Given F a q 2a a M0 RB 3a 0 б) 0 0 RA Find RA MÀ n 0 RB Find RB RB 1.667êÍ в) Проверка RA RB F q 2a 0 êÍ Итак, © Учебный центр «Эрудит», www.childrensafety.jimdo.com , © Maria Bezmelnitsina Collé Техническая механика Практические занятия 3,4 2) Строим эпюру поперечных сил Q и эпюру изгибащих моментов М, делая обход балки от опоры слева и справа (рис. 3,4.9): 21.7 кН 2м 60 кН 2м 1.7 кН 2м 2м 10 кН/м В A 50 кНм 18.3 60 Q кН 21.7 1.7 40 41.7 M кНм 63.4 86.8 80 50 3.4 120 Рис. 3,4.9 Эпюры поперечных сил и изгибающих моментов Расчёт балок на прочность Задача 3,4.1 Для данной балки (рис. 3,4.10) построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов, подобрать двутавровое, круглое, кольцевое (d/D = 0.8), и прямоугольное (h/b = 2) сечения. Сравнить вес балок с подобранными сечениями. êÍ Сделать полную проверку на прочность. Принять a 2ì , q 30 , ì w 160ÌÏà . RA RB a a q В A © Учебный центр «Эрудит», www.childrensafety.jimdo.com , © Maria Bezmelnitsina Collé Рис. 3,4.10 Расчётная схема балки Техническая механика Практические занятия 3,4 Решение 1. Определяем реакции опор: MB n a) RA 10êÍ Given a q a RA 2a 2 RA Find RA 0 RA 15 êÍ MÀ n б) Given 3 q a a RB 2a 2 0 0 RB Find RB в) проверка 0 RB 10êÍ RB 45 êÍ RA RB q a 0 êÍ 2. Строим эпюры поперечных сил и изгибающих моментов (рис. 3,4.11) 15 Т 2м 45 Т 2м 30 кН/м В A Q кН z 15 45 M кНм z0 Mmax Рис. 3,4.11 Эпюры поперечных сил и изгибающих моментов © Учебный центр «Эрудит», www.childrensafety.jimdo.com , © Maria Bezmelnitsina Collé Техническая механика Практические занятия 3,4 3. В сечении с координатой z (рис. 3,4.11) действуют: Q(z) RB q z 1) поперечная сила 2 z M (z) RB z q 2 2) изгибающий момент 4. Найдём максимальный изгибающий момент. В сечении, где изгибающий момент максимальный, поперечная сила равна нулю, т.е. z0 2ì Given Q z0 0 Mmax M z0 z0 Find z0 z0 1.5 ì Mmax 33.75êÍ ì 4. Подберём сечение. Условие прочности запишется: M max Wx откуда получим для момента сопротивления изгибу M max Wx M max max 210.937ñì 3 w Wx 211ñì Итак, 3 w w 1) двутавровое сечение. По сортаменту подбираем двутавровую балку № 22 с 3 моментом сопротивления Wx 232ñì . Площадь поперечного сечения 2 Aäâ 30.6ñì . 2) круглое сечение. В этом случае Wx 3 d 32 d 1ñì Определим диаметр Given Wx 3 d 32 d Find (d) d 12.905 ñì 2 d 2 Площадь поперечного сечения Aêðóã Aêðóã 130.801ñì 4 3) кольцевое сечение с отношением диаметров d/D = 0.8. Для кольцевого сечения момент сопротивления определяется формулой Wx Определим диаметр. © Учебный D 32 3 d 4 1 . D центр «Эрудит», www.childrensafety.jimdo.com , © Maria Bezmelnitsina Collé Техническая механика Практические занятия 3,4 D 1ñì Given Wx D Find (D) D 15.383 ñì D 15.4ñì Принимаем 3 D 4 1 0.8 32 d 0.8 D d 12.307 ñì d 12.4ñì Площадь поперечного сечения Aêîëüöà 2 2 D d 1 4 D Aêîëüöà 65.502ñì 2 4) поперечное сечение в форме прямоугольника (h/b = 2). Момент сопротивления 2 Wx b h , или, так как h 6 3 2 b, Wx 2 b 3 b 1ñì Given 3 Wx b Find (b) 2 b 3 b 6.815 ñì Принимаем b 6.82ñì Тогда h 2 b h 13.64 ñì Площадь поперечного сечения прямоугольника Aïð b h Aïð 93.025ñì 2 5. Найдём отношения веса погонного метра каждого профиля к весу погонного метра двутавра, которые можно найти как отношение соответствующих площадей поперечных сечений, т.е. Aêîëüöà Aïð Aêðóã 2.141 3.04 4.275 Aäâ Aäâ Aäâ 6. Проведём полную проверку прочности. 1) Условие прочности по нормальным напряжениям выполняется, так как из него мы подобрали профиль - двутавр № 22 с характеристиками: - высота профиля, h 22ñì Ix 2550ñì 4 3 - момент инерции сечения, - статический момент половины сечения, Sx 131ñì © Учебный центр «Эрудит», www.childrensafety.jimdo.com , © Maria Bezmelnitsina Collé Техническая механика Практические занятия 3,4 b 5.4ìì t 8.7ìì - толщина стенки двутавра, - толщина полки двутавра. t h y1 1 b Рис. 3,4.12 Опасная точка 1 2) Делаем проверку прочности в точке с максимальным касательным напряжением - на нейтральной оси в опасном сечении с поперечной силой Q_ 45êÍ : Q_ Sx max I b x max 42.81ÌÏà Допустимое же касательное напряжение w w 3 w 92.376ÌÏà Итак, условие прочности max w выполняется 3) Проводим проверку прочности в максимально нагруженной точке 1, где действуют значительное касательное и нормальное напряжения. Выберем сечение с большим изгибающим моментом и значительной поперечной силой. В качестве этого сечения можно выбрать середину балки (рис. 3,4.11), где M M (2ì ), Q Q(2ì ) . Определим координату у1 и статический момент отброшенной части для точки 1: y1 h 3 y1 t Sx1 Sx b y1 Sx1 103.293ñì y1 10.13ñì 2 2 Таким образом, нормальное и касательное напряжения в точке 1 равны: © Учебный центр «Эрудит», www.childrensafety.jimdo.com , © Maria Bezmelnitsina Collé Техническая механика Практические занятия 3,4 M y 1 Ix 1 119.176 ÌÏà 1 1 Q Sx1 Ix b 1 11.252ÌÏà Итак, расчётные напряжения по четвёртой теории прочности ðàñ÷.4 2 2 1 3 1 ðàñ÷.4 120.759ÌÏà и удовлетворяют требованиям прочности ðàñ÷.4 w , где w 160ÌÏà © Учебный центр «Эрудит», www.childrensafety.jimdo.com , © Maria Bezmelnitsina Collé