(x)=f(g(x)).

Сложная функция
Пусть даны две функции z=f(y) и y=g(x). Сложной функцией (или
композицией функций) называется функция z=h(x), значения которой
вычисляются по правилу h(x)=f(g(x)) (т.е. сначала вычисляется g(x), при этом
получается некоторое число у, а затем вычисляется значение f в точке у).
Так, функцию 𝑧 = √1 − 𝑥 2 можно рассматривать как композицию
функций у=1−𝑥 2 и z=√𝑦.
Для записи композиции функций употребляется знак ◦. Например, запись
h=f◦g означает, что функция h получена как композиция функций f и g, т.е.
(f◦g)(x)=f(g(x)).
Операция образования сложной функции не обладает переместительным
свойством: f◦gg◦f,
Суммой функций f и g называется функция f+g, заданная на множестве
D(f+g)=D(f)D(g), и такую, что (f+g)(x)=f(x)+g(x).
Если функции f и g заданы своими выражениями, то выражение для
функции f+g получается путем сложения этих выражений.
Например, суммой функций х3+7, - 1х5 и х2+4, 0х8 является функция
(х3+7)+(х2+4), 0х5.
График функции f+g строится с помощью сложения соответствующих
ординат графиков функций f и g.
Произведением функций f и g называется функция fg, заданная на
множестве D(fg)=D(f)D(g), и такую, что (fg)(x)=f(x)g(x).
Пусть даны числовые функции f и g, такие, что E(f)D(g). Их
композицией называется новая числовая функция F, заданная на D(f), которая
каждому хD(f) ставит в соответствие число g(f(x)).
Примеры решения задач
1
Пример 1. Найти выражение для композиции функций f(x)=x2+1 и g(x)= .
𝑥
Решение: заменяя в выражении
выражение
1
𝑥 2 +1
1
𝑥
переменную х на x2+1, получаем
для f◦g.
Ответ:
1
𝑥 2 +1
Упражнения
1. Пусть f(x)=1+x2. Найдите выражение для:
1) f2(х) – 5f(x)+2
2) 𝑓(
6) xf(x2 – 5x+2)
7)
𝑥−1
𝑥+1
)
𝑓(𝑥)−1
3)
4)
5)
8)
9)
10)
𝑓(𝑥)+1
2. Пусть f(x)=x2, g(x)=x3+1. Найдите выражение для:
1) f2(x)+g2(x)
2) f(x4)g2(x)
3) g(f(x))
4)
5)
6) f4(x)g(x2)
7) f(g(x))
8) f(x+1)+g(x+1)
9)
10)
3. Даны две функции f и g. Постройте сложные функции u=f◦g и v=g◦f, если:
1) 𝑓(𝑥) = , 𝑔(𝑥) = 𝑥 2 + 1
2) 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 + 1, 𝑔(𝑥) = 𝑥 2 − 1
3)
4)
5) 𝑓(𝑥) = √𝑥, 𝑔(𝑥) = 𝑥 2 + 𝑥
6)
7)
8)
9) 𝑓(𝑥) = 3𝑥, 𝑔(𝑥) = 𝑥 2
10)
1
𝑥