m 1 - Южный федеральный университет

Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
А.Л. Цветянский, Ю.А. Игнатова, М.А. Сорочинская, Т.Ю.Привалова
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
к курсу «Физика» (механика) для студентов
факультета высоких технологий
часть 4
Ростов-на-Дону
2010
1
Методические указания разработаны к. физ.-мат. н., проф. кафедры общей
физики А.Л. Цветянским, старшим преподавателем кафедры общей физики Ю.А.
Игнатовой, старшим преподавателем кафедры общей физики М.А. Сорочинской,
к. физ.-мат. н., доцентом кафедры общей физики Т.Ю.Приваловой.
Печатается в соответствии с решением кафедры общей физики физического
факультета ЮФУ, протокол № 23 от 15.06.2010г.
2
Методические указания предназначены для аудиторной и самостоятельной
работы студентов 1 курса факультета высоких технологий. Методические
указания снабжены краткой теорией, примерами решения задач, качественными
задачами,
вопросами
и
заданиями
для
самоконтроля,
приложениями,
содержащими значения фундаментальных физических постоянных, производные
и
первообразные некоторых
функций, формулы
тригонометрии.
3
векторной
алгебры и
ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ
КРАТКАЯ ТЕОРИЯ
ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ИМПУЛЬСА
Основные понятия
Механическая
система
-
совокупность
материальных
точек
(тел),
рассматриваемых как единое целое.
Внутренние силы - силы взаимодействия между материальными точками
механической системы.
Внешние силы - силы, с которыми на материальные точки механической системы
действуют внешние тела.
Замкнутая система - механическая система тел, на которую не действуют
внешние силы.
Закон сохранения импульса
Рассмотрим механическую систему из n тел, масса и скорость которых

соответственно равны m1, m2, …, mn и 1 ,  2 , …,  n .


Второй закон Ньютона для каждого из n тел механической системы


d
m11   F1  F1
dt


d
m22   F2  F2
dt
(1)
……………….


d
mnn   Fn  Fn ,
dt



F
где 1, F2, …, Fn - равнодействующие внутренних сил, действующих на каждое



тело механической системы; F1 , F2 , …, Fn - равнодействующие внешних сил,
действующих на каждое тело механической системы).
После почленного сложения уравнений получим:
4


dp  
 F1  F2  ...  Fn .
dt
Производная
по
времени
от
импульса
(2)
механической
системы
равна
геометрической сумме внешних сил, действующих на систему.
Учли, что
n


p   mi i
i 1
- импульс системы, а геометрическая сумма внутренних сил
механической системы по третьему закону Ньютона равна нулю.
В случае замкнутой системы внешние силы отсутствуют (или геометрическая
сумма всех внешних сил равна нулю):

n

dp
d
  mii   0.
dt i 1 dt
(3)
Закон сохранения импульса:
n


p   mii  const.
i 1
(4)
Импульс замкнутой системы сохраняется, т. е. не изменяется с течением времени.
Закон
сохранения
импульса
фундаментальный
-
закон
природы
(он
универсален).
Закон
сохранения
импульса
-
следствие
однородности
пространства.
Однородность пространства заключается в том, что при параллельном переносе
в пространстве замкнутой системы тел как целого ее физические свойства и
законы движения не изменяются, иными словами, не зависят от выбора
положения начала координат инерциальной системы отсчета.
Импульс сохраняется и для незамкнутой системы, если геометрическая сумма
внешних сил равна нулю.
5
Закон движения центра масс
Центр масс системы материальных точек (тела) – воображаемая точка С,
положение которой характеризует распределение массы этой системы (тела).
Для определения положения центра масс достаточно поочередно подвесить тело
за две различные точки на его поверхности и провести через точки подвеса
вертикали. Их пересечение и даст положение центра масс. Центр масс может
располагаться вне тела.
Радиус-вектор центра масс системы из 𝑛 материальных точек массами 𝑚𝑖

n

rC 
m r
i i
i 1
,
m
(5)

n
где ri - радиус-вектор i-той материальной точки; m   mi - масса системы.
i 1
Скорость центра масс

n

C 
m
i
i 1
m
i
.
(6)
Импульс системы материальных точек равен произведению массы системы на
скорость ее центра масс:


p  m C . [Н∙с]
(7)
Закон движения центра масс: центр масс системы движется как материальная
точка, в которой сосредоточена масса всей системы и на которую действует сила
равная геометрической сумме всех внешних сил, приложенных к системе:

 

d C
m
 F1  F2  ...  Fn .
dt
6
(8)
ЭНЕРГИЯ. РАБОТА. МОЩНОСТЬ
Энергия. Работа силы
Энергия – универсальная мера различных форм движения и взаимодействия.
С различными формами движения материи связывают различные виды энергии –
механическую, тепловую, электромагнитную, ядерную и др.
Работа силы – количественная характеристика процесса обмена энергией между
взаимодействующими телами. Работа – величина скалярная.
Работа
постоянной
силы

F,
составляющей

угол
с
направлением
прямолинейного движения тела равна произведению проекции силы FS на
направление перемещения ( FS  F cos ), умноженной на перемещение точки
приложения силы:
A  FS s  F s cos  . [Дж]
(9)

Рисунок 1 - Под действием постоянной силы F , тело совершает
перемещение s


Элементарная работа силы F на перемещении dr :
 

dA  F dr  F cos ds  FS ds.
(10)



Рисунок 2 -  - угол между векторами F и dr ; ds  dr 

элементарный путь; FS - проекция вектора F на вектор dr
7
Работа силы на участке траектории 1 – 2:
2
2
1
1
A   F ds cos    FS ds.
(11)
Для вычисления этого интеграла надо знать зависимость FS от s вдоль
траектории 1 – 2 (пример на рисунке 3).
Рисунок 3 - Работа определяется на графике площадью
закрашенной фигуры
Геометрический смысл выражения для A - искомая работа определяется на
графике площадью закрашенной фигуры.
Мощность
Мощность – физическая величина, характеризующая скорость совершения
работы.
P
dA
. [Вт]
dt
(12)
Мощность – величина скалярная.

 
За время dt сила F совершает работу F dr , и мощность, развиваемая этой силой,
 

F dr
в данный момент времени равна P 
 F .
dt

Мощность, развиваемая силой F равна скалярному произведению вектора силы
на вектор скорости, с которой движется точка приложения этой силы.
 
P  F .
8
(13)
КИНЕТИЧЕСКАЯ И ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ
Кинетическая энергия
Кинетическая энергия механической системы – энергия механического движения
этой системы.
Приращение кинетической энергии материальной точки (тела) на элементарном
перемещении равно элементарной работе на том же перемещении.
dEк  dA ,
(14)
где dEк - приращение кинетической энергии, dA - элементарная работа.

Сила F , действуя на покоящееся тело и вызывая его движение, совершает работу,
а энергия движущегося тела возрастает на величину затраченной работы. Работа

dA силы F на пути, который тело прошло за время возрастания скорости от нуля

до  , идет на увеличение кинетической энергии dEк тела. Можно записать:

 
 m 2 
 
d 
  dEк .
F dr  m
dr  m d  m d  d 
dt
2


Кинетическая энергия тела массой
m,
(15)
движущегося со скоростью 
определяется работой, которую надо совершить, чтобы сообщить телу данную
скорость.
dEк 
m 2
.
2
(16)
Характерные свойства кинетической энергии:
 всегда положительна;
 неодинакова в разных инерциальных системах отсчета;
 является функцией состояния системы.
Работа сил при перемещении из точки 1 в точку 2:

2
2 
 2
m22 m12
A12   F dr   m d  m   d 

 dEк 2  dEк1.
2
2
1
1
1
9
(17)
Теорема
о
кинетической
энергии:
приращение
кинетической
энергии
материальной точки на некотором перемещении равно алгебраической сумме
работ всех сил, действующих на материальную точку на том же перемещении.
dEк 2  dEк1  A12.
(18)
Консервативная и диссипативная силы
Потенциальное поле – поле, в котором работа, совершаемая силами при
перемещении тела из одного положения в другое, не зависит от того, по какой
траектории это перемещение произошло, а зависит только от начального и
конечного положений.
Консервативные силы – силы, работа которых при перемещении тела из одного
положения в другое, не зависит от того, по какой траектории это перемещение
произошло, а зависит только от начального и конечного положений тела. Пример
консервативной силы – сила тяжести.
Диссипативная сила – сила, работа которой зависит от траектории перемещения
тела из одной точки в другую. Пример – силы трения и сопротивления.
Работа консервативных сил по замкнутому пути (рисунок 4)
A  0.
(19)
A  A1b 2  A2 a1  0 (работы A1b 2 и A2a1 не зависят от траектории перемещения; они
равны и отличаются только знаками).
Рисунок 4 - Тело перемещается по замкнутому пути 1a2b1
Потенциальная энергия и консервативные силы
Потенциальная энергия – механическая энергия системы тел, определяемая их
взаимным расположением и характером сил взаимодействия между ними.
Работа консервативных сил не зависит от траектории и по любому замкнутому
пути равна нулю. Изменение потенциальной энергии, равное по величине работе,
10
тоже не будет зависеть от траектории и по любому замкнутому пути будет
равным нулю. Следовательно, запас потенциальной энергии, как возможной
работы консервативных сил, определяется только начальной и конечной
конфигурациями системы.
Работа консервативных сил при элементарном (бесконечно малом) изменении
конфигурации системы равна приращению потенциальной энергии, взятому со
знаком «минус», так как работа совершается за счет убыли потенциальной
энергии.
dA  dEп .
 
Eп    F dr  C ,
(20)
(21)
где С - постоянная интегрирования.
Потенциальная энергия определяется с точностью до некоторой произвольной
постоянной. Это, однако, не отражается на физических законах, так как в них
входит или разность потенциальных энергий в двух положениях тела, или
производная Eп по координатам. Поэтому потенциальную энергию тела в какомто определенном положении считают равной нулю (выбирают нулевой уровень
отсчета), а энергию тела в других положениях отсчитывают относительно
нулевого уровня.
Связь между консервативной силой и потенциальной энергией.
Для консервативных сил Fx  
где grad Eп 
Eп
E
E
, Fy   п , Fz   п , или в векторном виде
x
z
y

(22)
F   grad Eп ,
  
Eп  Eп  Eп 
i
j
k - градиент скаляра Eп , i , j , k - единичные векторы
x
y
z
координатных осей.
Примеры вычисления потенциальной энергии
Конкретный вид функции Eп зависит от характера силового поля.
11
Потенциальная энергия тела массой m на высоте h :
E п  m g h.
(23)
Это выражение вытекает из того, что потенциальная энергия равна работе силы
тяжести при падении тела с высоты h на поверхность Земли. Высота h
отсчитывается от нулевого уровня, для которого E п 0  0 , g - ускорение
свободного падения.
Поскольку начало отсчета выбирается произвольно, то потенциальная энергия
может
иметь
отрицательное
значение
(кинетическая
энергия
всегда
положительна!). Если принять за нуль потенциальную энергию тела, лежащего на
поверхности Земли, то потенциальная энергия тела, находящегося на дне шахты
глубиной h : E п  m g h .
Потенциальная энергия упруго деформированного тела (пружины):
Eп 
k x2
.
2
(24)
Это выражение получается из того, что работа силы при деформации пружины
идет на увеличение потенциальной энергии пружины.
Элементарная работа
dA ,
совершаемая силой
Fx   Fx упр   k x   k x
при
бесконечно малой деформации dx , dA  Fx dx  k x dx , где k - коэффициент
упругости (для пружины – жесткость); Fx упр  k x - проекция силы упругости на
ось x ; Fx упр направлена в сторону, противоположную деформации x . По третьему
закону Ньютона деформирующая сила равна по модулю силе упругости и
направлена противоположно ей.
x
k x2
Полная работа A   k x dx 
.
2
0
12
ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ
Полная энергия
Полная механическая энергия системы – энергия механического движения и
взаимодействия. Полная механическая энергия равна сумме кинетической и
потенциальной энергий.
E  Eк  Eп .
(25)
Закон сохранения механической энергии
Рассмотрим систему материальных точек массами m1, m2, …, mn , движущихся со

скоростями 1 ,  2 , …,  n .


Второй закон Ньютона для каждой из материальных точек:

d1   
m1
 F1  F1  f1 ,
dt

d2   
m2
 F2  F2  f 2 ,
dt
 

dn   
mn
 Fn  Fn  f n ,
dt
где

F1,

F2, …,

Fn
(26)
- равнодействующие внутренних консервативных сил,



действующих на каждую из этих точек; F1 , F2 , …, Fn - равнодействующие
внешних сил, которые считаются консервативными;
 

f1 , f 2 , …, f n - равнодействующие внешних неконсервативных сил, действующие
на каждую из материальных точек.
Учет перемещений точек под действием сил:



    
 
m1 1 d1   F1  F1 dr1  f1 dr1 ,
 
  
 
m 2 2 d2   F2  F2 dr2  f 2 dr2 ,

.....................................................
 
  
 
m n n dn   Fn  Fn drn  f n drn .


13
(27)
Точки движутся под действием сил, поэтому за время dt совершают перемещения



dr1 , dr2 , , drn . Каждое уравнение второго закона Ньютона умножено скалярно


на соответствующее перемещение, и учтено, что dri  i dt .
После сложения уравнений получим:


n
n 
 
 





m

d


F

F
d
r

 i i i  i i i  f i dri .
n
i 1
i 1
(28)
i 1
Правая часть равенства определяет работу внешних неконсервативных сил,
действующих на систему.
Элементарное приращение кинетической энергии:
n
 mi i2 
 

 dEк .


m

d


d


i
i
i
2 
i 1
i 1 
n
(29)
Первый член равенства (28) равен элементарному приращению кинетической
энергии dE к системы.
Элементарное приращение потенциальной энергии системы:
 F   F  dr
n
i 1



i
i
i
 dE п .
(30)
Второй член равенства (28) равен элементарной работе внутренних и внешних
консервативных сил, взятой со знаком «минус», т.е. равен элементарному
приращению потенциальной энергии dE п системы.
Правая часть равенства (28) задает 𝑑𝐴 – работу неконсервативных внешних сил.
Изменение полной механической энергии системы равно работе внешних
неконсервативных сил, действующих на систему.
d Eк  Eп   dA.
(31)
В случае отсутствия внешних неконсервативных сил:
d Eк  Eп   0.
Из записанного равенства следует, что Eк  Eп  E  const .
14
(32)
Закон сохранения механической энергии: в замкнутой системе тел, между
которыми действуют только консервативные силы, полная механическая энергия
сохраняется, т.е. не изменяется со временем:
Eк  Eп  E  const.
(33)
Закон сохранения энергии – следствие однородности времени. Однородность
времени проявляется в том, что физические законы инвариантны относительно
выбора начала отсчета времени. Например, при свободном падении тела в поле
сил тяжести его скорость и пройденный путь зависят лишь от начальной скорости
и продолжительности свободного падения тела и не зависят от того, когда тело
начало падать.
Закон сохранения и превращения энергии
Диссипативная система – система, в которой механическая энергия постепенно
уменьшается за счет преобразования в другие (немеханические) формы энергии.
Этот процесс получил название диссипации (или рассеяния) энергии.
Все системы в природе, строго говоря, являются диссипативными. В системе, в
которой действуют также неконсервативные силы, например силы трения, полная
механическая энергия системы не сохраняется. Следовательно, в этих случаях
закон
сохранения
«исчезновении»
механической
механической
энергии
энергии
несправедлив.
всегда
возникает
Однако
при
эквивалентное
количество энергии другого вида.
Закон сохранения и превращения энергии: энергия никогда не исчезает и не
появляется вновь, она лишь превращается из одного вида в другой.
В этом и заключается физическая сущность закона сохранения и превращения
энергии – сущность неуничтожимости материи и ее движения.
Этот закон – фундаментальный закон природы, он справедлив как для систем
макроскопических тел, так и для систем микротел.
15
ГРАФИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЭНЕРГИИ
Потенциальные кривые и их анализ на некоторых примерах
Рассмотрим одномерное движение тела (потенциальная энергия – функция лишь
одной переменной). Рассматриваем только системы, в которых механическая
энергия превращается только в механическую.
Потенциальная кривая – график зависимости потенциальной энергии от
некоторого аргумента (рисунок 5).
Анализ потенциальной кривой для тела в однородном поле тяжести
Потенциальная кривая E п h  E п  m g h - прямая линия, проходящая через начало
координат, угол наклона которой к оси h тем больше, чем больше масса m тела (
tg  m g ). График заданной полной энергии тела E - прямая EE , параллельная
оси h .
Потенциальная энергия E п тела на высоте h определяется отрезком вертикали,
заключенным между точкой h на оси абсцисс и потенциальной кривой.
Кинетическая энергия
тела на высоте h
Eк
задается ординатой между
потенциальной кривой и горизонтальной прямой EE .
Eп
E
E
Eк
Eп
0
h
hmax
h
Рисунок 5 - Потенциальная кривая для тела в однородном поле
тяжести
16
Если h  hmax , то Eк  0 и Eп  E  m g hmax , т.е. потенциальная энергия становится
максимальной и равной полной энергии.
Скорость тела на высоте h :
Eк  E  Eп , т.е.
m 2
 m g hmax  m g h , следовательно   2 g hmax  h  .
2
Анализ потенциальной кривой для упругодеформированного тела
Зависимость
потенциальной
энергии
упругой
деформации
k x2
Eп 
2
от
деформации x - потенциальная кривая – имеет вид параболы (рисунок 6). График
заданной полной энергии тела E - прямая EE , параллельная оси x .
Еп
Ек
Еп
Рисунок 6 - Потенциальная кривая для упругодеформированного тела
Потенциальная энергия Eп при деформации x определяется отрезком вертикали,
заключенным между точкой x на оси абсцисс и потенциальной кривой.
Кинетическая энергия Eк при деформации
x
задается ординатой между
потенциальной кривой и горизонтальной прямой EE .
С возрастанием деформации x потенциальная энергия тела возрастает, а
кинетическая – уменьшается.
Абсцисса xmax определяет максимально возможную деформацию растяжения тела,
а  xmax - максимально возможную деформацию сжатия тела.
17
Если x   xmax , то Eк  0 и Eп  E 
2
k xmax
, т.е. потенциальная энергия становится
2
максимальной и равной полной энергии.
При полной энергии тела, равной E , тело не может сместиться правее xmax и левее
 xmax ,
так как кинетическая энергия не может быть отрицательной и,
следовательно, потенциальная энергия не может быть больше полной энергии. В
таком случае говорят, что тело находится в потенциальной яме с координатами
 xmax  x  xmax .
Анализ потенциальной кривой (общий случай)
Рассмотрим одномерное движение тела (потенциальная энергия – функция лишь
одной
переменной
(например,
координаты
x )).
Рассматриваем
только
консервативные системы (в них механическая энергия превращается только в
механическую).
Анализ потенциальной кривой произвольной формы
В общем случае потенциальная кривая может иметь достаточно сложный вид,
например с несколькими чередующимися максимумами и минимумами (см.
рисунок 7).
Еп
Рисунок 7 - Потенциальная кривая произвольной формы
График заданной полной энергии частицы - прямая EE , параллельная оси x .
Частица может находиться только там, где Eп x   E , т.е. в областях I и III.
Переходить из области I в III и обратно частица не может, так как ей препятствует
потенциальный барьер CDG , ширина которого равна интервалу значений x , при
18
которых E  Eп , а его высота определяется разностью ( Eп max  E ) . Для того чтобы
частица смогла преодолеть потенциальный барьер, ей необходимо сообщить
дополнительную энергию, равную высоте барьера или превышающую ее.
В области I частица с полной энергией
E
оказывается «запертой» в
потенциальной яме ABC и совершает колебания между точками с координатами
x A и xC .
При смещении частицы из положения x0 (и влево, и вправо) она испытывает
действие возвращающей силы, поэтому положение x0 является положением
устойчивого равновесия. Указанные условия выполняются и для точки x0 (для
Eп max ). Однако эта точка соответствует положению неустойчивого равновесия, так
как при смещении частицы из положения x0 появляется сила, стремящаяся
удалить ее из этого положения.
УДАР АБСОЛЮТНО УПРУГИХ И НЕУПРУГИХ ТЕЛ
Общие понятия
Удар (соударение) – столкновение двух или более тел, при котором
взаимодействие
длится
очень
короткое
время.
Например,
столкновение
бильярдных шаров, удар человека о землю при прыжке с поезда.
Система тел в процессе соударения – замкнутая система. Силы взаимодействия
между сталкивающимися телами (ударные или мгновенные силы) столь велики,
что внешними силами, действующими на них, можно пренебречь. Это позволяет
систему тел в процессе их соударения приближенно рассматривать как замкнутую
систему и применять к ней законы сохранения.
Кинетическая энергия относительного движения соударяющихся тел на короткое
время преобразуется в энергию упругой деформации. Во время удара имеет место
перераспределение энергии между соударяющимися телами. Наблюдения
показывают, что относительная скорость тел после удара не достигает своего
19
прежнего значения. Это объясняется тем, что нет идеально упругих тел и
идеально гладких поверхностей.
Коэффициент
восстановления
–
отношение
нормальных
составляющих
относительной скорости тел после (  n ) и до ( n ) удара.

n
,
n
(34)
Если   0 , то тела – абсолютно неупругие.
Если   1 , то тела – абсолютно упругие.
Примеры: для стальных шаров   0,56 ; для слоновой кости   0,89 ; для свинца
 0.
Линия удара – прямая, проходящая через точку соприкосновения тел и
нормальная к поверхности их соприкосновения.
Центральный удар – удар, при котором тела до удара движутся вдоль прямой,
проходящей через их центры масс.
Центральный абсолютно упругий удар
Абсолютно упругий удар – столкновение двух тел, в результате которого в обоих
взаимодействующих телах не остается никаких деформаций и вся кинетическая
энергия, которой обладали тела до удара, после удара снова превращается в
кинетическую энергию. Следует отметить, что это идеализация.


Пусть сталкиваются шары массами m1 и m2 ; скорости шаров до удара - 1 и  2 ,


после удара - 1 и  2 . В случае прямого центрального удара векторы скоростей
шаров до и после удара лежат на прямой линии, соединяющей их центры
(рисунок 8). Проекции векторов скорости на эту линию равны модулям скоростей.
Их направления учитываются знаками: положительное значение приписывается
движению вправо, отрицательное – движению влево. Выполняются законы
сохранения импульса и энергии.
20
Рисунок 8 – Столкновение шаров
Законы сохранения импульса и механической энергии (записаны при сделанных
выше допущениях):
m1 1  m2 2  m1 1  m2 2 ,
m1 12 m2 22 m1 12 m2 22



.
2
2
2
2
(35)
Скорости тел после абсолютно упругого удара
После преобразования законов сохранения получим:
m1 1 1   m2 2 2  ;
(*)
1  1  2  2 ;
(**)




m1 12  1 2  m2  22   2 2 .
Решая (*) и (**), получим
1 
m1  m2 1  2 m2 2 ,
m1  m2
m  m1 2  2 m1 1 .
  2
(36)
m1  m2
2
Частные случаи
Шары с одинаковыми массами – обмениваются энергией.
1   2 ;
m1  m2 ;
 2  1 .
(37)
Второй шар покоится


 2  0,
m1  m2
 2  0,
m1  m2
1 
m1  m2
1 ,
m1  m2
1  0 ,
 2 
2 m1
1 .
m1  m2
 2  1 .
(38)
(39)
Если второй шар до удара висел неподвижно, то после удара остановится первый
21
шар, а второй будет двигаться с той же скоростью и в том же направлении, в
котором двигался первый шар до удара (рисунок 9).
Рисунок 9 – Случай, при котором второй шар до удара покоился

 2  0,
m1  m2
1  1 ,
2  1 .
(40)
Первый шар продолжает двигаться в том же направлении, как и до удара, но с
меньшей скоростью (рисунок 10). Скорость второго шара после удара больше,
чем скорость первого после удара.
Рисунок 10 – Упругое соударение движущегося шара
с покоящимся шаром меньшей массы

 2  0,
m1  m2
 2  1 .
(41)
Направление движения первого шара при ударе изменяется – шар отскакивает
обратно (рисунок 11). Второй шар движется в ту же сторону, в которую двигался
первый шар до удара, но с меньшей скоростью, т.е.  2  1 .
Рисунок 11 - Упругое соударение движущегося шара
с покоящимся шаром большей массы
22

 2  0,
m2  m1
 2 
1  1 ,
2 m1 1
 0.
m2
(42)
Пример, столкновение шара со стеной.
Центральный абсолютно неупругий удар
Абсолютно неупругий удар – столкновение двух тел, в результате которого тела
объединяются, двигаясь дальше как единое целое.
Пример: шары из пластилина, движущиеся навстречу друг другу.


Пусть сталкиваются шары массами m1 и m2 ; скорости шаров до удара - 1 и  2 ,

 - общая скорость шаров после удара.



Согласно закону сохранения импульса: m1 1  m2 2  m1  m2  .
Общая скорость шаров после удара




m1 1  m2  2
.
m1  m2
(43)
Если шары двигались навстречу друг другу, то они будут продолжать двигаться
вместе
в ту сторону, в которую двигался шар, обладающий большим импульсом
(рисунок 12).
Рисунок 12 - Неупругое столкновение
В процессе центрального абсолютно неупругого удара шаров между ними
действуют силы, зависящие не от самих деформаций, а от их скоростей, поэтому
эти силы подобны силам трения и закон сохранения механической энергии не
соблюдается. Вследствие деформации происходит «потеря» кинетической
энергии, перешедшей в тепловую или другие формы энергии.
Разность кинетических энергий тел до и после абсолютно неупругого удара
23
 m1 12 m2 22  m1m2  2

Eк  

.
2 
2
 2
(44)
Или, учитывая выражение для 
Eк 
m1 m2
1  2 2 .
2 m1  m2 
(45)
Случай 2  0 (ударяемое тело первоначально неподвижно):

m1 1
,
m1  m2
m2 m112
Eк 
.
m1  m2 2
(46)
(47)
Если m2  m1 (масса неподвижного тела очень большая), то   1 и почти вся
кинетическая энергия при ударе переходит в другие виды энергии. Поэтому для
получения значительной деформации наковальня, например, должна быть
массивнее молота.
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Пример 1. Орудие, установленное на железнодорожной платформе, стреляет под
углом  к горизонту (рисунок 13). Снаряд массой m1  15кг вылетает из орудия со
скоростью 1  800 м / с . Вследствие отдачи платформа с орудием покатилась по
рельсам со скоростью 2  0,5 м/ с . Масса платформы с орудием m2  12т .
Определить угол  .
Рисунок 13 - Рисунок к примеру 1
Решение. Искомый угол  найдем из следующих рассуждений. Считаем, что
система «платформа с орудием – снаряд» является замкнутой. В такой системе
24
действует закон сохранения импульса. Для нашей системы он запишется в виде


m1 1  m2 2  0,
так как до выстрела импульс системы был равен нулю. Запишем это уравнение в
скалярной форме в проекциях на ось OX :
m1 1 cos  m2 2 .
( m1 1X - импульс снаряда, переданный платформе, при этом 1X  1 cos ).
Отсюда найдем искомый угол:
cos 
m2  2
;
m1 1
 m2  2 
  arccos 0,5  60 .
 m1 1 
  arccos 
Пример 2. Человек массы m1 находится на узком плоту массы m2, который
покоится
на
поверхности
озера.
Человек
совершил
r 
перемещение
относительно плота и остановился. Сопротивление воды пренебрежимо мало.

Найдите соответствующее перемещение r2 плота относительно берега.
Решение. В данном случае результирующая всех внешних сил, действующих на
систему человек — плот, равна нулю, поэтому импульс этой системы меняться
не будет, оставаясь равным нулю в процессе движения:


m11  m2 2  0 ,


где 1 и  2 — скорости человека и плота относительно берега. Но скорость




человека относительно берега можно представить в виде 1   2    , где   —

скорость человека относительно плота. Исключив   из этих двух уравнений,
получим

2  
m1 
.
m1  m2
25
Умножив обе части на dt, найдем связь между элементарными перемещениями


плота dr2 и человека dr  относительно плота. Такая же связь будет, очевидно, и
для конечных перемещений:

r2  

m1
r  .
m1  m2

Отсюда видно, что перемещение плота r2 не зависит от характера движения

человека, т. е. не зависит от закона  (t ) .
Покажем, как можно иначе решить эту задачу, если воспользоваться понятием
центра масс. Т. к. сопротивление воды пренебрежимо мало, то результирующая
всех внешних сил, действующих на систему человек — плот, равна нулю. А это
значит, что положение центра масс данной системы в процессе движения
человека (и плота) меняться не будет, т. е.


m1r1  m2 r2  const ,


где r1 и r2 — радиусы-векторы, характеризующие положения центров масс
человека и плота относительно некоторой точки берега. Из этого равенства


найдем связь между приращениями векторов r1 и r2 :


m1r1  m2 r2  0 .


Имея в виду, что приращения r1 и r2 представляют собой перемещения
человека
и
плота
относительно
берега,
причем



r1  r2  r  ,
найдем
перемещение плота:

r2  

m1
r  .
m1  m2
Пример 3. Сила, действующая на частицу в некотором поле консервативных сил,





имеет вид F  a( xi  yj ) , где а — постоянная, i , j - орты осей X и Y. Найти
потенциальную энергию Eп ( x, y) частицы в этом поле.
26


Решение. Вычислим элементарную работу силы F на перемещении dr и
представим ее в виде убыли некоторой функции Eп . Эта функция и есть, по
определению, потенциальная энергия частицы в данном поле. Итак,
 
dA  Fdr  a( ydx  xdy)  d (axy) .
Отсюда Eп x, y   a x y  const .
Пример 4. Груз массой m1  700кг падает с высоты h  5м для забивки сваи массой
m2  300кг . Найти среднюю силу сопротивления грунта, если в результате одного
удара свая входит в грунт на глубину s  4см . Удар между грузом и сваей считать
абсолютно неупругим.
Решение. По условию задачи удар неупругий, и поэтому груз и свая после удара
двигаются вместе, их путь s  4cм . На движущуюся систему действует сила
тяжести и сила сопротивления грунта Fср . По закону сохранения и превращения
энергии
Eк  Eп  A ,
(53)
где Eк - кинетическая энергия; E п - потенциальная энергия; A - работа сил
сопротивления, которую можно определить по формуле A  Fср s . При движении
системы на пути s изменяются ее потенциальная и кинетическая энергия:
𝐸п = (𝑚1 + 𝑚2 )𝑔𝑠;
Eк 
1
m1  m2  2 ,
2
где  - общая скорость груза и сваи после удара (в начале их совместного
движения). Используя это, запишем равенство (1) в виде:
1
m1  m2  2  m1  m2  g s  Fср s .
2
(54)
Для оценки средней силы сопротивления Fср установим значение общей скорости
груза и сваи, для чего применим закон сохранения импульса:
27
m1 1  m1  m2  ,
(55)
где 1 - скорость груза в конце его падения с высоты h ; m1 1 - импульс груза в
конце его падения до удара о сваю; m1  m2  - импульс груза и сваи после удара.
Скорость груза 1 в конце падения с высоты h определяется без учета
сопротивления воздуха и трения:
1  2 g h .
(56)
Общая скорость груза и сваи после удара находится из формул (55) и (56):

m1 2 g h
.
m1  m2
(57)
Средняя сила сопротивления Fср определяется из формул (54) и (57):
Fср 
m1  m2  2
  m1  m2  g ;
2
s
m12 g
h
Fср 
  m1  m2  g  6,11105 Н .
m1  m2  s
Пример 5. С вершины идеально гладкой сферы соскальзывает небольшой груз.
С какой высоты h , считая от вершины, груз сорвется со сферы? Радиус сферы
R  90 см (рисунок 14).
C
h


N

mg
X
Рисунок 14 - С вершины идеально гладкой сферы соскальзывает
небольшой груз
28
Решение. Груз, который, очевидно, можно считать точечным телом, до
некоторой точки - точки отрыва от сферы - движется по дуге окружности
радиуса R.

На груз во время его движения по сфере действуют сила тяжести mg и сила

нормальной реакции N со стороны сферы. Уравнение второго закона Ньютона
для этой части траектории имеет вид:

 
ma  mg  N .
(58)
Проекции этих сил на направление, нормальное к траектории, сообщают телу
нормальное ускорение a n 
2
R

, где  — мгновенная (и, очевидно, непрерывно
возрастающая) скорость тела. В точке С отрыва прекращается взаимодействие
между движущимся телом и поверхностью сферы, и, следовательно, сила

давления тела на сферу и соответственно сила нормальной реакции N
обращаются в нуль. (Начиная с этой точки тело движется только под
действием силы тяжести, и траектория его будет зависеть от модуля и

направления скорости  C в точке отрыва от сферы.) Таким образом, в этой
точке нормальное ускорение, однозначно зависящее от скорости, сообщает
телу только проекция силы тяжести. Для того чтобы определить высоту, на
которой находится точка отрыва, надо найти связь скорости тела при его
движении по сфере с его координатами, в частности с высотой. Такую связь
можно найти, зная законы изменения со временем координат и скорости тела.
Можно это сделать и рассматривая движение тела в поле тяготения Земли.
Поскольку сила нормальной реакции работы не совершает, полная энергия
тела остается постоянной, т. е.
E  E к  E п  0 .
29
(59)
Очевидно, что применение закона сохранения энергии к переходу из
начального состояния в точку отрыва даст в явном виде связь между
скоростью тела и высотой рассматриваемой точки.
При скольжении груза по сфере потенциальная энергия изменяется на
E п  mgh ,
где h — искомая высота, отсчитываемая от вершины сферы. Кинетическая
энергия груза возрастает на
E к 
m C2 m 02

.
2
2
На вершине сферы груз находится в положении неустойчивого равновесия, и

скорость  0 , необходимую для начала движения, можно считать пренебрежимо
малой. Тогда, подставляя найденные выражения в (59), получаем
 mgh 
m C2
 0.
2
(60)
Чтобы от векторного уравнения (58) перейти к скалярным соотношениям,
введем
ось
X.
Тогда
a x  an 
2
R
На
.
основании
уравнения
(58)
m 2
 C2
 mg cos  N . В точке отрыва от сферы a n  , N  0 , следовательно,
R
R
m C2
 mg cos  .
R
Как видно из рисунка 14, cos  
Rh
. Тогда
R
m C2  mg ( R  h) .
(61)

Уравнения (60) и (61) содержат скорость  C и высоту h , относящиеся к одной и
той же точке, и образуют систему уравнений, совместное решение которой
позволяет найти
30
h
R
 0,3 м .
3
Пример 6. Шар массой m1  20г , движущийся горизонтально с некоторой
скоростью 1 , столкнулся с неподвижным шаром массой m2  40г . Шары
абсолютно упругие, удар прямой, центральный. Какую долю

своей
кинетической энергии первый шар передал второму?
Решение. Доля  энергии, переданной первым шаром второму, выразится
соотношением:
E к 2 m 2  2 2 m 2



E к 1 m1 12
m1
  2 
  ,
 1 
2
(62)
где E к 1 - кинетическая энергия первого шара до удара;  2 и E к 2 - скорость и
кинетическая энергия второго шара после удара.
Как видно из формулы (62), для определения  надо найти  2 . При ударе
абсолютно упругих тел одновременно выполняются два закона сохранения: закон
сохранения импульса и закон сохранения механической энергии. Пользуясь этими
законами, найдем  2 . По закону сохранения импульса, учитывая, что второй шар
до удара покоился, получим:
m1 1  m1 1  m2 2 .
(63)
По закону сохранения механической энергии:
m1 12 m1 1 2 m2  2 2
.


2
2
2
Решая совместно уравнения (63) и (64), найдем
 2 
2 m1 1
.
m1  m2
Подставив выражение для  2 в формулу (62) и сократив на 1 и m1 , получим
2
m  2 m1 1 
4 m1 m2
 
  2 
 0,89 .
m1  1 m1  m2  
m1  m2 2
31
(64)
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
1 Как ведёт себя центр масс, если суммарный импульс частиц равен нулю?
2 Система взаимодействующих тел находится в поле сил тяжести вблизи
поверхности Земли. Как ведёт себя центр масс системы? Сопротивлением
воздуха можно пренебречь.
3 Система состоит из трех частиц, массы которых 0,1г, 0,2г, 0,3г. Первая частица
находится в точке с координатами (1,2,3), вторая – в точке (2,3,1), третья – в

точке (3,1,2) (координаты даны в сантиметрах). Определить радиус-вектор rC
центра масс системы.
4 Определите положение центра масс системы, состоящей из четырех шаров,
массы которых равны соответственно т, 2т, 3т и 4m, в следующих случаях:
1) шары расположены на одной прямой; 2) шары расположены по вершинам
квадрата; 3) шары расположены по четырем смежным вершинам куба. Во всех
случаях расстояние между соседними шарами равно 15см. Направление
координатных осей показано на рисунке 15.
Рисунок 15 - Рисунок к задаче 4
Ответ: 1) хс=30см; 2) хс=7,5см, ус=4,5см; 3) хс=1,5см, ус=4,5см, zc=3см.
5 Найти декартовы координаты центра масс однородной квадратной тонкой
пластинки, находящейся в плоскости yz.
6 Однородный круглый конус имеет высоту h. На каком расстоянии l от
вершины находится его центр масс?
32
7 Считая, что спутник Земли движется по круговой орбите, найти приращение

импульса p и приращение модуля импульса p спутника за время 3T 4 , где
T – период обращения.
8 Прыгун в воду совершает с вышки сложный прыжок, состоящий из вращений
и поворотов. Как при этом движется его центр масс?
9 Чему равен импульс системы частиц в системе отсчёта, связанной с её
центром масс?
10 Тело брошено под углом к горизонту. Сохраняется ли: а) импульс тела;
б) проекция импульса, на какое либо направление? Сопротивлением воздуха
пренебречь.
11 На какое расстояние сместится неподвижно стоящая на воде лодка, если
человек массой 70кг пройдет с носа лодки на ее корму? Длина лодки 2,5м,
ее масса 100кг. Сопротивлением воды пренебречь.
Ответ:1,03м.
12 На поверхности озера находится лодка. Она перпендикулярна линии берега
и обращена к нему носом. Расстояние между носом лодки и берегом 0,75м.
В начальный момент лодка неподвижна. Человек, находящийся в лодке,
переходит с носа лодки на корму. Причалит ли лодка к берегу, если ее
длина 2м? Масса лодки 140кг, масса человека 60кг.
Ответ: не причалит.
13 Снаряд разрывается в верхней точке траектории на два одинаковых осколка,
причем один из них попадает на землю под точкой взрыва, находящейся на
расстоянии l от пушки. Считая, что оба осколка падают на землю
одновременно, изобразить примерные траектории снаряда и осколков, также
ответить на вопрос, на каком расстоянии от первого осколка падает на землю
второй. Изменится ли ответ, если падение осколков на землю происходит не
одновременно? Сопротивлением воздуха пренебречь.
33
14 Снаряд, вылетевший из орудия со скоростью  0 , разрывается на два
одинаковых осколка в верхней точке траектории на расстоянии l (по
горизонтали). Один из осколков полетел в обратном направлении со скоростью
движения
снаряда
до
разрыва.
Пренебрегая
сопротивлением
воздуха,
определите, на каком расстоянии (по горизонтали) от орудия упадет второй
осколок.
Ответ: 4 l .
15 Платформа с песком общей массой 2т стоит на рельсах на горизонтальном
участке пути. В песок попадает снаряд массой 8кг и застревает в нем.
Пренебрегая трением, определите, с какой споростью будет двигаться
платформа, если в момент попадания скорость снаряда 450м/с, а ее
направление - сверху вниз под углом 30° к горизонту.
Ответ: 1,55м/с.
16 Бильярдный шар 1, движущийся со скоростью 10м/с, ударился о покоящийся
шар 2 такой же массы. После удара шары разошлись так, как показано на
рисунке 16. Найти скорости шаров после удара.
Рисунок 16 - Рисунок к задаче 16
17 Бильярдный шар, движущийся со скоростью 1,71м/с, ударяется о
неподвижный шар, после чего оба шара разлетаются с одинаковыми
скоростями 1м/с. Под каким углом движутся шары после удара, если удар
абсолютно упругий?
18 Напишите известные вам выражения для элементарной работы dА.
34
19 Частица переместилась по некоторой траектории из начальной точки
P1 x1 , y1 , z1  в конечную P2 x2 , y2 , z 2  . На частицу действовала постоянная сила


F a, b, c  . Найти: 1) работу A12 силы F ; 2) приращение кинетической энергии
частицы E к .
20 Определить работу, которую надо совершить, чтобы поднять на высоту 5м
груз
весом
2Н,
двигая
его
равномерно
по
наклонной
плоскости,
составляющей с горизонтом угол 30°. Коэффициент трения 0,5.
Ответ: 11,73 Дж.
21 Мальчик тянет санки по горизонтальному пути, натягивая при этом
привязанную к ним веревку под углом 37° к горизонту с силой 20Н. Какую
работу он произведет, протащив санки на расстояние 600м?
Ответ: 9,6кДж.
22 Тангенциальное
ускорение
частицы,
движущейся
по
некоторой
криволинейной траектории, изменяется с расстоянием s отсчитанным вдоль
траектории от начального положения частицы, по закону aτ=bs, где b постоянная. Масса частицы равна m. Чему равна работа сил, действующих на
частицу, совершенная на пути s?
23 Частица массы m движется с начальной скоростью  0 под действием силы
F   , где  - положительная постоянная. Найти работу
этой силы над
частицей на пути s  m 0  .
24 Тело массы m с постоянной скоростью втаскивают на наклонную плоскость,

образующую угол  с горизонтом, постоянной силой F , направленной

параллельно плоскости. Найти: 1) реакцию опоры N , действующую на тело со


стороны плоскости; 2) работу сил F , N и силы тяжести к тому моменту, когда
тело поднимется на высоту h от основания. Что можно сказать о возможном
знаке этих работ?
35
25 Под действием очень лёгкого толчка тело, первоначально покоившееся на
наклонной плоскости, сползает с неё с постоянной по величине скоростью.
Начальная высота тела над основанием плоскости h. Определить: 1) реакцию
опоры, действующую на тело; 2) работу силы трения за время спуска тела на
горизонтальную
поверхность;
работу
3)
результирующей
всех
сил,
приложенных к телу, за это же время.
26 Автомашина массой 2000кг останавливается за 6с, пройдя расстояние 30м.
Определить: 1) начальную скорость автомашины; 2) силу торможения.
Ответ: 1) 10м/с; 2) 3,33кН.



27 Тело массы m начинает двигаться под действием силы F  2ti  3t 2 j . Найти
мощность Р(t), развиваемую силой в момент времени t.
28 Материальная точка массой 20г движется по окружности радиусом 1 0 см с
постоянным тангенциальным ускорением. К концу пятого оборота после
начала движения кинетическая энергия материальной точки оказалась равной
6,3мДж. Определить тангенциальное ускорение.
Ответ: 0,1м/с2.
29 Находясь под действием постоянной силы с компонентами (3,10,8) (Н)
частица переместилась из точки 1 с координатами (1,2,3) (м) в точку 2 с
координатами (3,2,1) (м). Какая при этом совершается работа? Как изменилась
кинетическая энергия частицы?
30 Шарик массой 100г, подвешенный на нити длиной 40см, описывает в
горизонтальной плоскости окружность. Какова кинетическая энергия
шарика, если во время его движения нить образует с вертикалью угол 60°?
Ответ:0,3Дж.
31 Пуля массой 1,5г, летевшая горизонтально со скоростью 670м/с, пробивает
доску толщиной 3,5см. Определить кинетическую энергию пули после
36
пробивания доски, если сила сопротивления при движении ее в дереве
равна 74кН.
Ответ: 780Дж.
32 Первоначально покоившаяся частица, находясь под действием силы

 

F  i  2 j  3k
(Н), переместилась из точки (2,4,6) (м) в точку (3,6,9) (м).
Найти кинетическую энергию частицы в конечной точке.
Ответ: 27Дж.
33 Какой кинетической энергией обладало тело массой 2кг, если оно поднялось
по наклонной плоскости с углом наклона 30° на высоту 1м? Коэффициент
трения между телом и наклонной плоскостью 0,1.
Ответ: 23,46Дж.
34 Зависимость потенциальной энергии Е п тела в центральном силовом поле от
расстояния
r
до
центра
поля
задается
функцией
Е п (r ) 
A B

r2 r
(А=6мкДж∙м2, В=0,3мДж∙м). Определите, при каких значениях r максимальное
значение принимают: 1) потенциальная энергия тела; 2) сила, действующая на
тело.
Ответ: 1) r 
2A
3A
 4 см; 2) r 
 6 см.
B
B
35 Потенциальная энергия частицы в некотором силовом поле определяется
выражением: Еп  x  2 y 2  3z 3 (Дж). Найти работу, совершаемую над
частицей силами поля при переходе из точки с координатами (1,1,1) (м) в
точку с координатами (2,2,2) (м).
Ответ: -28Дж.
36 Каким способом можно закинуть льдинку дальше: 1) бросив в воздух под
углом 45° к горизонту или 2) пустив ее скользить по льду с такой же
скоростью? Коэффициент трения 0,02.
37
37 Частица движется по окружности в поле центральной силы, обратно
пропорциональной квадрату расстояния от силового центра. В каком
соотношении находится в этом случае кинетическая Е к , потенциальная Е п и
полная E энергии частицы?
38 Тело массой m брошено со скоростью  0 под углом  к горизонту. Найти
его потенциальную и кинетическую энергию спустя время t. Показать, что
полная механическая энергия тела остается постоянной во время полета.
39 Подвешенный на нити шарик массой 200г отклоняют на угол 45°. Определите
силу натяжения нити в момент прохождения шариком положения равновесия.
Ответ: 3,11H.
40 Шайба массой т скользит без трения с высоты h по желобу, переходящему в
петлю радиусом R. Определите: 1) силу давления F шайбы на опору в точке,
определяемой углом  (рисунок 17); 2) угол  , при котором произойдет отрыв
шайбы.
 2  h 
 2h  R1  sin  

Ответ: 1) F  mg
 sin   ; 2)   arcsin    1 .
R


 3  R 
Рисунок 17 - Рисунок к задаче 40
41 Гиря массой 10кг падает с высоты 0,5м на подставку, скрепленную с
пружиной жесткостью 30Н/см. Определите при этом смещение пружины.
Ответ: 21,6см.
38
42 Гиря, положенная на верхний конец пружины, сжимает ее на 2мм.
Насколько сожмет пружину та же гиря, упавшая на конец пружины с
высоты 5см?
Ответ: 16,3мм.
43 Пуля массой 15г, летящая с горизонтальной скоростью 0,5км/с, попадает в
баллистический маятник массой 6кг и застревает в нем. Определите высоту, на
которую поднимется маятник, откачнувшись после удара.
Ответ: 7,9см.
44 Молоток массой 0,8кг в момент удара о шляпку гвоздя имеет скорость 1,5м/с
и забивает его в бревно на глубину 5мм. Какой массы груз необходимо
положить на шляпку гвоздя, чтобы он вошел в бревно на такую же глубину?
Ответ: 18,8кг.
45 Камень брошен вверх под углом 60° к горизонту. Кинетическая энергия
камня
в
начальный
потенциальную
момент
энергии
20Дж.
камня
в
Определить
наивысшей
кинетическую
точке
и
траектории.
Сопротивлением воздуха пренебречь.
Ответ: 5Дж, 15Дж.
46 Два шара подвешены на тонких параллельных нитях, касаясь друг друга.
Меньший шар отводится на 90° от первоначального положения и
отпускается. После удара шары поднимаются на одинаковую высоту.
Определить массу меньшего шара, если масса большего 0,6кг, а удар
абсолютно упругий.
Ответ: 0,2кг.
47 Два шара массами 9кг и 12кг подвешены на нитях длиной 1,5м.
Первоначально шары соприкасаются между собой, затем меньший шар
отклонили на угол 30° и отпустили. Считая удар неупругим, определите высоту,
на которую поднимутся оба шара после удара.
39
Ответ: 3,7см.
48 Два шара массами 3кг и 2кг подвешены на нитях длиной 1м. Первоначально
шары соприкасаются между собой, затем больший шар отклонили от
положения равновесия на угол 60° и отпустили. Считая удар упругим,
определите скорость второго шара после удара.
Ответ: 3,76м/с.
49 Два шара претерпевают центральный абсолютно неупругий удар. До удара
шар массы m2 неподвижен, шар массы m1 движется с некоторой скоростью.
Какая часть η первоначальной кинетической энергии теряется при ударе если:
1) m1=m2; 2) m1=0,1m2 ; 3) m1=10m2.
50 Шар массы m1
испытывает центральный абсолютно упругий удар о
покоящийся шар массы m2.
1) При каком соотношении масс m1 и m2 первый шар полетит после удара в
обратном направлении?
2) Что происходит с первым шаром если массы шаров одинаковы?
3) что происходит с первым шаром если m1<<m2?
51 Частица массы m1 испытала упругое соударение с покоившейся частицей
массы m2, причём m1>m2. Найти максимальный угол, на который может
отклониться налетающая частица в результате соударения.
52 Определите, во сколько раз уменьшится скорость шара, движущегося со
скоростью 1 , при его соударении с покоящимся шаром, масса которого в n
раз больше массы налетающего шара. Удар считать центральным абсолютно
упругим.
Ответ:
1 n
.
1 n
40
ПРИЛОЖЕНИЕ
Формулы алгебры и тригонометрии
Корни квадратного равнения a x 2  b x  c  0 :
x1, 2 
 b  b 2  4a c
2a
.
Некоторые приближенные формулы.
Если   1 , то
1   
n
 1  n ;
sin   ;
e  1   ;
cos  1   2 2 ;
ln 1      ;
tg   .
Основные тригонометрические формулы:
2tg
;
1  tg 2
sin 2   cos2   1 ;
tg 2 
sin  1 1  ctg 2 ;
   1  cos
;
sin 2   
2
2
cos  1 1  tg 2 ;
   1  cos
;
cos2   
2
2
sin 2  2 sin  cos ;
sin      sin  cos   cos sin  ;
cos 2  cos2   sin 2  ;
cos     cos cos   sin  sin  .
Некоторые сведения о векторах
Скалярное произведение векторов:
 
a b  b a  ab cos  ;
     
a b  c  ab  a c .


Векторное произведение векторов:


ab   b a ;
ab  a bsin ;
   
41
a,b  c   ab   ac.
Смешанное, или векторно-скалярное, произведение трех векторов является
скаляром и численно равно объему параллелепипеда, построенного на этих
векторах:
 
 
 
 
       
a b c  b c a   c a b ;
 
 
 
a b c  b a c   a c b .
Двойное векторное произведение:
    
 
a b c  b a c   c ab .
  
 
Произведение векторов в координатном представлении.




a  a1 i  a 2 j  a3 k ,
Если




b  b1 i  b2 j  b3 k ,



где i , j, k - координатные орты (взаимно перпендикулярные и образующие
правую тройку), то

ab  a1b1  a 2 b2  a 3 b3 ;


i

ab  a1
b1
j
a2
b2
 

k



a 3  a 2 b3  a 3 b2  i  a 3 b1  a1b3  j  a1b2  a 2 b1  k .
b3
Правила дифференцирования векторов, зависящих от некоторой скалярной
переменной t :


d   da db
;
a b 

dt
dt dt

d
da
 d 
 a   a   ;
dt
dt
dt



d   da   db
;
ab 
ba
dt
dt
dt


d    da     db 
a b   b   a  .
dt
 dt   dt 

 
 
Градиент скалярной функции  :
42
 
     
i 
j
k,
x
y
z
  
где i , j , k - координатные орты осей x, y, z .
Таблица 3
Таблица производных и интегралов
Функция
Производная
Функция
Производная
1x
1 x2
sin x
cosx
x
1 2 x
cosx
 sin x
xn
nx n 1
tg x
1 cos2 x
enx
ne n x
ctg x
 1 cos2 x
ax
a x ln a
arcsin x
1 1 x2
ln x
1x
arccosx
1 1 x2
ux 
v x 
vu x  v x u
v2
arctg x
1 1  x 2 
arcctg x
 1 1  x 2 

Таблица 4

Физические постоянные
Скорость света в вакууме
c  2,998  10 8 м с
Гравитационная постоянная
  6,67  10 11 м 3 кг  с 2 
Ускорение свободного падения
g  9,807 м с 2
Постоянная Авогадро
N A  6,022  10 23 моль 1
Элементарный заряд
e  1,602  10 19 Кл
Масса покоя электрона
0,911  10 30 кг
me  
0,511МэВ
Масса покоя протона
m p  1,673  10 27 кг
Атомная единица массы
1,660  10 27 кг
1а.е.м.  
931,4МэВ
43
Таблица 5
Космическое
Астрономические величины
Масса, кг
тело
Средний
Средний
радиус, м
радиус
орбиты, м
Солнце
1,99  10 30
6,96  10 8
-
Земля
5,98  10 24
6,37  10 6
1,50  1011
Луна
7,35  10 22
1,74  10 6
3,84  10 8
Таблица 6
Десятичные приставки к названиям единиц
Т-
тера (10 )
Г-
гига (10 )
М-
мега (10 )
к-
кило (10 )
г-
гекто (10 )
да -
дека (10 )
д-
деци (10 )
2
12
с-
санти (10 )
9
м-
милли (10 )
6
мк -
микро (10 )
3
н-
нано (10 )
2
п-
пико (10 )
1
ф-
фемто (10 )
1
а-
атто (10 )
44
3
6
9
12
15
18
РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
1. Н.И. Гольдфарб. Физика. Задачник. 9-11 классы. М.: Дрофа, 2006.
2. И.Е.
Иродов.
Механика.
Основные
законы.
М.-С-Пб.:
БИНОМ-
Лаборатория знаний, 2005.
3. И.В. Савельев. Курс общей физики. Кн. 1. Механика. Под редакцией
Грибасова Е.С. М.: Астрель: АСТ, 2006.
4. Т.И. Трофимова. Физика в таблицах и формулах. М.: Дрофа, 2002.
5. Т.И. Трофимова. Курс физики: учебное пособие для вузов. М.: Высшая
школа, 2001.
6. Т.И. Трофимова, З.Г. Павлова. Сборник задач по курсу физики с
решениями: учебное пособие для вузов. М.: Высшая школа, 2001.
7. В.С. Волькенштейн. Сборник задач по общему курсу физики. М.: Наука,
2000.
8. И.В. Савельев. Сборник вопросов и задач по общей физике. М.: АСТ
Астрель, 2005.
9. Е.И. Бабаджан и др. Сборник качественных вопросов и задач по общей
физике. М.: Наука, 1990.
10.Иродов И.Е. Задачи по общей физике. C-Пб.-М.-Краснодар: ЛАНЬ, 2006.
11.Новодворская Е.М., Дмитриев Э.М. Сборник задач по физике с решениями
для втузов. М.: ОНИКС 21 век, Мир и Образование, 2005.
45