8 - alenn.ru

8 класс, республика, 1997 год
8 класс, республика, 1998 год
1. Расположите натуральные числа от 1 до 100 в строку так, чтобы разность между двумя любыми соседними числами была равна 2 или 3.
1. В полдень из пункта А в пункт Б выехал «Москвич». Одновременно
из Б в А по той же дороге выехали «Жигули». Через час «Москвич»
находился на полпути от А до «Жигулей». Когда он окажется на
полпути от «Жигулей» до Б? (Скорости автомобилей постоянны)
2. Медианой пятиугольника АВСDЕ назовем отрезок, соединяющий вершину с серединой противолежащей стороны (А - с серединой СD, В – с
серединой DE и т.д.) Доказать, что если 4 медианы выпуклого пятиугольника перпендикулярны сторонам, к которым они проведены, то
таким же свойством обладает и пятая медиана.
3. На клетчатой бумаге построены несколько прямоугольников со сторонами, параллельными линиям сетки и общим центром О в одном из узлов сетки. За один вопрос можно про любой из узлов узнать, у скольких
прямоугольников он лежит внутри. Как за четыре вопроса узнать,
сколько прямоугольников содержат только один узел О?
4. На автобусном маршруте 11 остановок, включая первую. На первой
остановке в автобус сели 10 пассажиров, и на всех последующих остановках кроме конечной, суммарное количество вошедших и вышедших
пассажиров равно 10. Кроме того, оказалось, что каждый пассажир ехал
не более 5 остановок (то есть от остановки с номером M не далее, чем
до остановки с номером М+5), и ни в какой момент движения автобус
не был пустым. Какое наибольшее количество пассажиров могло одновременно оказаться в автобусе во время движения?
5. Найдите все натуральные числа, представимые в виде (mn+1)/(m+n), где
m и n - натуральные числа.
6. Можно ли какие-нибудь десять чисел расставить в кружки данной фигуры (см.рис.) так, чтобы сумма чисел в вершинах любого белого треугольника была равна 1996, а сумма
чисел в вершинах любого черного треугольника была
равна 1997?
7. На огороженном поле 1км×1км были построены заборы, разделившие его на прямоугольные участки 5м×20м и 6м×12м. Какова общая длина построенных заборов?
8. Двое по очереди записывают натуральные числа от 1 до 25 в клетки
таблицы 5×5, каждое число может быть записано только один раз. Если
после заполнения всей таблицы сумма чисел в каком-нибудь столбце
или строке будет равна 70, то выигрывает начинающий, в противном
случае выигрывает его соперник. Кто выигрывает при правильной игре
и как он должен играть, чтобы выиграть?
2. На гранях куба написаны натуральные числа, а в каждой вершине –
произведения чисел на трех гранях с этой вершиной. Найдите сумму
чисел на гранях, если сумма в вершинах равна 70.
3. На стороне BC треугольника ABC выбрана точка F. Оказалось, что
отрезок AF пересекает медиану BD в точке E так, что AE = BC. Докажите, что BF = FE.
4. Даны две системы прямоугольников на плоскости I и II. Известно,
что любые два прямоугольника из различных систем имеют общую
точку и их стороны параллельны. Докажите, что либо все прямоугольники в одной системе имеют общую точку, либо существуют
две прямые, первая из которых пересекает все прямоугольники системы I, а вторая – все прямоугольники системы II.
5. Имеется 10 спортсменов разного роста и 10 разного веса. Верно ли,
что найдутся 10 спортсменов, любые два из которых отличаются и
ростом, и весом?
6. Прожектор освещает развернутый угол (1800). Можно ли расположить 19 прожекторов так, чтобы никакие три не находились на одной прямой и каждый прожектор освещал бы только один другой
прожектор?
7. В треугольнике ABC проведены биссектрисы AA1 и CC1. Докажите,
что если длины перпендикуляров, опущенных из вершины B на прямые AA1 и CC1 равны, то треугольник ABC – равнобедренный.
8. Найдутся ли какие-нибудь 4 натуральные числа таких, чтобы среди
наибольших общих делителей пар встретились бы 6 последовательных чисел?
8 класс, республика,1999 год
8 класс, республика, 2000 год
1. На доске были написаны числа от 1 до 9. Часть из этих чисел стёрли и написали все произведения ab из оставшихся на доске чисел (a  b). Оказалось, что
среди этих произведений нашлись числа, оканчивающиеся на все цифры от 0
до 9. Какое наименьшее количество чисел могло остаться на доске?
МА  МА  МИР
1. Расшифруйте числовой ребус 
(одинаковым буквам
 АМ  АМ  РИМ
соответствуют одинаковые цифры, разным - разные).
2. Куб размером 111 оклеили шестью квадратами общей площадью 6. Обязательно ли все эти квадраты равны?
2. На доске написаны числа от 1 до 20. Разрешается, выбрав любые два
числа, стереть их, а вместо них написать на доску их разность (из
большего вычитается меньшее). При этом на доске не должны появляться равные числа. Так поступают до тех пор, пока на доске не останется одно число. Какое наименьшее число может остаться на доске?
3. Есть 9 запечатанных коробок. В первой лежит одна фишка, во второй – две,…,
в девятой – 9 фишек, причем на каждой коробке написано, сколько в ней фишек. Двое играющих по очереди берут по одной фишке из любой коробки,
распечатывая, если необходимо, коробку. Проигрывает тот, кто последним
распечатает коробку. Кто из игроков всегда может выигрывать независимо от
игры партнера?
4. Пусть O – центр вписанной окружности треугольника ABC. На прямой
BC отметим точки A 1 и A 2 , на прямой AC – точки B 1 и B 2 , а на прямой AB
– точки C 1 и C2 так, что OA 1 = OA 2 = OA, OB 1 = OB 2 = OB, OC 1 = OC2 =
OC. Докажите, что A 1 A 2 + B 1 B 2 +C1 C2 = AB+BC+AC.
5. Король приказал чеканить монеты так, чтобы любую сумму можно было
набрать не более чем десятью монетами. Порядок выпуска монет был определен так. Сначала чеканятся монеты в наименьшую возможную сумму – 1 крона. Затем на каждом следующем шаге казначей определяет наименьшую целочисленную сумму, которую нельзя набрать десятью или меньшим числом
уже отчеканенных монет, и выпускает монету достоинством в эту сумму. Какие монеты будут выпущены в королевстве?
6. Бумажный треугольник ABC перегнули по прямой, в результате чего вершина
C попала на сторону AB, а непокрытая часть разбилась на два равнобедренных
треугольника, у которых равные стороны сходятся в вершинах A и B. Найдите
угол C.
7. Два игрока обходят доску 9999 , каждый – своей фишкой. Ходят по очереди,
за каждый ход фишка сдвигается на одну клетку. Первый идет "змейкой":
начинает из левого нижнего угла, идет вправо до упора, затем делает ход
вверх, идет влево до упора, снова делает ход вверх, идет вправо до упора и
т.д. Второй тоже идет "змейкой": стартует из правого нижнего угла, идет
вверх до упора, затем делает ход влево, идет вниз до упора, делает ход влево,
идет вверх до упора и т.д. Наступит ли момент, когда обе фишки окажутся на
одной клетке, и если да, то сколько ходов сделает к этому моменту каждый из
игроков?
8. Можно ли провести на координатной плоскости 10 прямых так, чтобы любые
две пересекались в точке с целочисленными координатами и никакие три не
проходили через одну точку?
3. Малыш и Карлсон делили круглый торт двумя перпендикулярными
разрезами на 4 части. Карлсон взял себе одну наименьшую часть и одну
наибольшую часть, а остальные две отдал Малышу. Докажите, что
Карлсону досталось не менее половины торта.
4. На столе лежали карточки, на которых написаны по разу все делители
числа 2000, причем на каждой карточке написан один из делителей. Два
игрока по очереди берут себе по одной карточке. Проигрывает тот, у
кого число на одной из его карточек делится на число на другой из его
карточек. Кто выигрывает при правильной игре?
5. Можно ли расставить на гранях куба числа 1, 2, 3, 4, 5, 6 так, чтобы
каждое число являлось делителем суммы своих соседей?
6. Кольцевая дорога поделена столбами на километровые участки. Один
из столбов покрашен в желтый цвет, другой – в синий, а остальные – в
белый. Назовем расстоянием между столбами длину кратчайшей из
двух соединяющих их дуг. Найдите расстояние от синего столба до
желтого, если сумма расстояний от синего столба до белых равна 2000
км.
7. Имеется 100 правильных треугольников, у которых одна сторона – белая, одна – синяя, одна – красная. Разрешается прикладывать треугольники друг к другу одноцветными сторонами. Из этих треугольников составлен правильный треугольник со стороной 10. Докажите, что на границе большого треугольника одинаковое число белых, красных и синих
сторон малых треугольников.
8. В треугольнике АВС (АВ ≠ ВС) проведена биссектриса BD. На прямой
BD отметили точку Е, отличную от D, такую, что CE = CD. Докажите,
что прямая, содержащая среднюю линию треугольника АВС, параллельную стороне АВ, проходит через середину отрезка DE.
8 класс, республика, 2001 год
8 класс, республика, 2002 год
1. Назовем натуральное число палиндромом, если оно читается одинаково
слева направо и справа налево. Найдите все палиндромы, которые являются простыми числами и содержат в своей десятичной записи четное количество цифр.
2. Дан угольник, с помощью которого можно проводить прямую через две
точки и проводить через точку прямую, перпендикулярную уже нарисованной прямой (никаких других построений угольником делать нельзя). На плоскости нарисован угол в 60. Как с помощью угольника разделить его пополам (опишите построение и докажите, что оно дает
нужный результат).
3. Коля задумал 10 целых чисел (не обязательно различных), а затем нашел
все возможные суммы любых девяти чисел из этих десяти. У него получились числа 92, 93, …, 100 (повторяющиеся суммы Коля называл
только один раз). Какие числа он задумал?
4. В стране n городов, и из каждого в другие выходит не менее k дорог.
Каждая дорога соединяет ровно два города и каждые два города соединены не более, чем одной дорогой. Страну разбили на m частей так, что
любая дорога соединяет два города из разных частей. Докажите, что
n .
m
1. По кругу стоит 2001 коробка. В каждой коробке лежат черные и белые
шарики, а на коробке написано, сколько в ней черных шариков и сколько – белых. Игорь хочет переложить из каждой коробки по одному шарику в следующую коробку (по часовой стрелке) так, чтобы обе надписи на каждой из коробок стали неверными. Удастся ли ему это?
nk
5. В каждой клетке квадратной доски размером nn (n > 1) стоит по фишке. Каждая фишка покрашена в один из трех цветов таким образом, что
рядом (в соседних по сторонам клетках) с каждой фишкой есть фишки
двух других цветов. Докажите, что найдутся две стоящие рядом фишки,
покрашенные в один цвет.
6. Будем обозначать через mn двузначное число с первой цифрой m и второй цифрой n. Существуют ли такие попарно различные и отличные от
0 цифры a, b и c, что число ab делится на c, число bc делится на a, а
число са делится на b?
7. Точка О – центр окружности, вписанной в четырехугольник ABCD. Докажите, что если периметры треугольников AOB, BOC и COD равны, то
ABCD – ромб.
8. Улитка движется по поверхности куба, переползая от вершины к вершине по ребру или диагонали грани. Ей запрещается пересекать свой
путь и проходить через одну вершину дважды. Найдите протяженность
самого длинного ее пути из какой-либо вершины куба в противоположную (наиболее удаленную от исходной) его вершину.
2. Коля перемножил два подряд идущих нечетных числа, а Вася перемножил три подряд идущих нечетных числа. Мог ли результат Коли оказаться на 2002 больше результата Васи?
3. Фрекен Бок поставила по кругу 50 вазочек с конфетами так, что количество конфет в любых двух соседних вазочках отличается ровно на 1.
Если Карлсон находит две вазочки, в которых поровну конфет, он съедает все конфеты в обеих вазочках. Докажите, что Карлсон сможет
опустошить не менее 32 вазочек.
4. Докажите, что любой прямоугольник можно разрезать не более чем на
5 попарно различных равнобедренных треугольников.
5. Существует ли трехзначное число A, равное сумме двух чисел: суммы
цифр числа A и произведения цифр числа A?
6. Восстановите с помощью циркуля и линейки треугольник ABC по трем
точкам: D, E, M, где D и E – середины высот AH и CP треугольника
ABC, M – середина стороны AC.
7. По кругу расставлены числа 1, 2, …, 2002 по порядку. Разрешается менять местами любые два стоящих рядом числа, разность которых по
модулю больше двух. Можно ли за несколько таких операций добиться
того, чтобы эти числа шли в противоположном порядке?
8. Дано выражение, содержащее 999 дробей:
1 2 3
999
. Докажи* * **
2 3 4
1000
те, что заменив все звездочки знаками арифметических действий, можно получить выражение, равное нулю.
8 класс, республика, 2003 год
8 класс, республика, 2004 год
1. У Васи есть несколько конфет не обязательно одинаковой стоимости.
Известно, что конфеты можно разложить на две кучи так, что суммарная стоимость конфет в одной кучке будет вдвое больше, чем в другой, а можно разложить на две кучки так, чтобы суммарная стоимость в
одной кучке была втрое больше, чем в другой. Какое наименьшее число
конфет могло быть у Васи?
1. Даны действительные числа x, y, z. Докажите, что хотя бы одно из чисел
x2+2xy+z2, y2+2yz+x2, z2+2zx+y2 неотрицательно.
2. Точка пересечения высот остроугольного треугольника равноудалена
от середин его сторон. Докажите, что треугольник равносторонний.
2. Дан клетчатый прямоугольник 11000. Двое играют в следующую игру.
Ходят по очереди. За один ход играющий может покрасить клетки какого-то прямоугольника 11, 13 или 15 клеток (два раза красить одну
и ту же клетку нельзя). Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто
из игроков может обеспечить себе победу независимо от игры соперника?
3. Назовем редкой парой два последовательных натуральных числа, каждое из которых делится на произведение своих цифр (числа не должны
содержать в своей десятичной записи нулей). Среди каких чисел больше редких пар – среди 2002-значных или среди 2003-значных?
3. Пусть AA1 и CC1 — высоты остроугольного треугольника ABC. Из точки A1 проведена прямая под углом C к стороне BC, не параллельная AC,
а из точки C1 проведена прямая под углом A к стороне AB, не параллельная AC. Докажите, что эти прямые пересекаются на стороне AC.
4. Для оклейки кубика 3×3×3 имеется неограниченный набор полосок ширины 1, каждая из которых состоит из целого числа клеток. Какое
наименьшее число полосок необходимо взять, чтобы оклеить кубик в
один слой (оклеивать разрешается так, чтобы каждая клетка полоски
покрывала на поверхности кубика какую-то клетку целиком)?
4. Существуют ли такие натуральные числа x и y, что x2 – y3 = 20032004?
5. На острове Буяне живут племена рыцарей, лжецов и реалистов. Рыцари
всегда говорят правду, лжецы всегда лгут, а реалисты лгут и говорят
правду через раз, причем неизвестно, с правдивого или ложного ответа
начинают реалисты. Однажды репортер спросил у двух жителей А и Б
этого острова, из каких они племен. Они ответили следующее: А: «Б рыцарь. Извините, Б- реалист». Б: «А - лжец. Извините, А - …». К сожалению, последнее слово, сказанное Б, репортер не расслышал. Что
это было за слово?
6. Сумма положительных чисел x, y и z равна 11. Докажите неравенство
[x]4+[y]4+[z]4≥243 ([a] – целая часть числа a, т.е. наибольшее целое число, не превосходящее a).
7. Докажите, что любой параллелограмм можно разрезать ровно на 9 равнобедренных треугольников.
8. На окружности расставлены 56 точек, делящие ее на равные части.
Двое играют в следующую игру. Игрок может своим ходом стереть любой набор точек, которые делят окружность на равные части (при этом
одну или 56 точек стирать нельзя). Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто выигрывает при правильной игре?
5. На перекрестке дорог встретились четыре путника: жители города лжецов (которые всегда лгут) и города рыцарей (которые всегда говорят
правду), причём не все они были жителями одного города. Первый сказал: "Кроме меня, здесь ровно один житель моего города". Второй добавил: "А из моего города — я один". Третий подтвердил слова второго: "Ты прав". А четвертый промолчал. Из какого города четвертый?
6. О натуральных числах a и b известно, что an+1 делится на bn+1 при
любом натуральном n. Докажите, что a = b.
7. Клетчатый прямоугольник разрезали по линиям сетки на шестиклеточные "корытца" и нечетное число отдельных клеточек. Какое наименьшее число отдельных клеточек могло при
этом оказаться? Шестиклеточное "корытце" выглядит так,
как показано на рисунке справа; его можно поворачивать.
8. Докажите, что любой треугольник можно разрезать на три многоугольника, из которых складывается прямоугольный треугольник (переворачивать части исходного треугольника при складывании прямоугольного
нельзя).
8 класс, республика, 2005 год
8 класс, республика, 2006 год
1. На доске выписываются числа по следующему правилу: в первой строке
число 1, во второй строке два числа 2 и 3, в третьей строке три числа 3, 4 и
5 и т.д. (в n-й строке стоят n последовательных натуральных чисел, начиная с n). Сколько раз на доске будет выписано число 2005?
2. В наборе из пяти попарно различных гирь каждая весит натуральное число
граммов. Известно, что суммарный вес любых трех гирь больше суммарного веса двух оставшихся. Найдите наименьший возможный суммарный
вес всех гирь набора.
3. Дан выпуклый четырехугольник ABCD, в котором A = 900, а вершина C
удалена от прямых AB и AD на расстояния, равные длинам отрезков AB и
AD соответственно. Докажите, что диагонали четырехугольника взаимно
перпендикулярны.
4. В клетчатом квадрате 5×5 центральная клетка (вместе с ее границей) закрашена. Два игрока по очереди закрашивают еще не закрашенные клетки.
Клетки закрашиваются вместе с границей. Игрок проигрывает, если после
его хода на любом луче с началом в центральной клетке есть хотя бы одна
закрашенная точка, помимо начала луча. Кто из игроков может выиграть
независимо от игры соперника?
5. В школе все учащиеся сидят за партами по двое, причем у 60% мальчиков
сосед по парте – тоже мальчик, а у 20% девочек сосед по парте – тоже девочка. Сколько процентов учащихся этой школы составляют девочки?
6. Найдите наименьшую возможную сумму 10 различных натуральных чисел
таких, что произведение любых 5 из них – четно, а сумма всех 10 чисел –
нечетна.
7. На сторонах AB, BC, CA треугольника ABC отметили точки C1, A1, B1 соответственно так, что 2AC1 = C1B, 2BA1 = A1C, 2CB1 = B1A. После этого исходный треугольник стерли, оставив точки A1, B1, C1. Постройте исходный
треугольник.
8. Боря соединил лампочку с каждым из десяти выключателей. Олег перерезал пять проводов так, что теперь ровно пять выключателей могут включить лампочку. Олег указал Боре на один из выключателей и спросил, может ли Боря узнать, перерезан ли провод, идущий от него к лампочке. При
этом за одну попытку Олег разрешает включить одновременно любые три
выключателя (лампочка загорится, если хотя бы один из них соединен с
ней). После этого Олег одновременно возвращает выключатели в первоначальное положение. Верно ли, что Боре всегда хватит девяти таких попыток, чтобы ответить на вопрос Олега?
1. В государстве каждый житель – либо рыцарь, либо лжец. Рыцари всегда говорят правду, а лжецы всегда лгут. Все жители знакомы друг с
другом. Президент однажды сделал два утверждения – «Я знаком с
четным числом рыцарей» и «Я знаком с нечетным числом лжецов». Докажите, что любой другой житель сделает такие же утверждения (Президент входит в число жителей).
2. В произведении ДО·РЕ·МИ·СИ одинаковые буквы обозначают одинаковые цифры, а разные буквы – разные цифры. Каким наибольшим количеством нулей может заканчиваться это произведение?
3. Назовем диагональ пятиугольника хорошей, если какие-то другие диагонали делят ее на 3 равные части. Какое наибольшее число хороших
диагоналей может быть у выпуклого пятиугольника?
4. В приборе имеется n ≥ 4 контактов и m ≥ 4 проводов, причем каждый
провод соединяет ровно два контакта. Известно, что для любых четырех проводов найдутся два такие контакта, что любой из этих проводов
подсоединен хотя бы к одному из них. Докажите, что найдутся такие
три контакта, что любой првод в приборе присоединен хотя бы к одному из них.
AC
Петя и Коля заменяют буквы
BC
тремя различными натуральными числами: вначале Петя заменяет букву A, затем Коля – букву B, затем опять Петя – букву C. Докажите, что
Петя может писать числа так, чтобы окончательное число на доске оказалось целым.
6. Клетки прямоугольника 7×8 покрашены в три цвета, причем в любом
квадратике 2×2 есть клетки всех трех цветов. Какое наибольшее количество клеток может быть покрашено в первый цвет?
7. Каждый день Малыш и Карлсон едят пирожные. В первый день они
съели по одному пирожному. Затем Малыш каждый день съедает ровно
одно пирожное, а Карлсон ровно столько, сколько они съели вместе за
все предыдущие дни. Могло ли число пирожных, съеденных однажды
Карлсоном, оканчиваться на 101?
8. На разных сторонах угла с вершиной S выбраны точки P и Q (SP ≠ SQ).
Через середину M отрезка PQ проведена прямая, перпендикулярная
биссектрисе угла. Эта прямая пересекается с прямой SP в точке T. Докажите, что перпендикуляр к SP, восставленный в точке T, и перпендикуляр к PQ, восставленный в точке M, пересекаются на биссектрисе угла.
5. В написанном на доске выражении
8 класс, республика, 2007 год
8 класс, республика, 2008 год
1. Найдите наименьшее четырехзначное число такое, что произведение
его цифр, увеличенных на 1, равно 21.
1. Даны шестизначные числа A и B. Число A состоит из четных цифр, число B – из нечетных, а в числе C = A+B четные и нечетные цифры чередуются. Какое наибольшее значение может принимать С?
2. В треугольнике ABC проведены высоты AA1 и CC1. Точка, симметричная середине стороны AC относительно прямой BC, обозначена через
A2, а точка, симметричная той же середине относительно прямой AB –
через С2. Докажите, что отрезки A1A2 и C1C2 параллельны.
3. Существуют ли попарно различные действительные числа a, b, c такие,
что a(b–c) =b(c–a) = c(a–b)?
4. Какое наименьшее количество ладей можно поставить на шахматной
доске так, чтобы каждая не занятая ладьей клетка находилась под боем
хотя бы трех из них? (Ладья бьет клетку, если клетка находится с ней в
одной горизонтали или вертикали, и между ними нет занятых клеток).
5. Числа a, b, c и d таковы, что (a–b)(b–c)(c–d)(d–a)<0. Число b – наибольшее из a, b, c и d. Определите, какое из чисел a, b, c и d – третье по величине.
6. Лестница насчитывает 2008 ступенек, на каждой из которых написано
одно из чисел –2, –1, 1 или 2. Число на ступеньке указывает, на сколько
ступенек следует с нее шагнуть (вверх, если число положительное, или
вниз, если число отрицательное). Известно, что с какой бы ступеньки
ни начинался путь, он не выйдет за пределы лестницы и обязательно
пройдет через верхнюю ступеньку. Может ли сумма всех чисел на ступеньках быть отрицательной?
7. На сторонах треугольника ABC отмечены точки L на BC, M на CA, и N
на AB. Через точку L проведены две прямые: lc параллельно AB и lb параллельно AC. Аналогично через точку M проведены прямые ma параллельно BC и mc параллельно AB, а через точку N – прямые nb параллельно AC и na параллельно BC. Докажите, что если прямые ma, nb и lc
пересекаются в одной точке, то прямые mc, na и lb образуют треугольник, равный ABC.
8. На окружности отмечены 2n ≥ 6 точек, делящих ее на равные дуги.
Двое играют в следующую игру. Ходят по очереди. Ход состоит в том,
чтобы обвести кружочками пару диаметрально противоположных точек
и еще одну точку. Дважды обводить одну и ту же точку нельзя. Проигрывает тот, кто не может сделать очередного хода. Кто из игроков имеет стратегию, позволяющую ему выиграть независимо от ходов соперника? (Дайте ответ в зависимости от n).
2. Докажите, что если точка, которая делит одну из сторон треугольника в
отношении 1:3, равноудалена от середин двух других сторон, то треугольник - прямоугольный.
3. При каком наименьшем n на шахматную доску можно поставить n ладей и n слонов так, чтобы любая ладья била хотя бы двух слонов, а любой слон были хотя бы двух ладей?
4. На координатной плоскости проведено 20 прямых – графиков линейных функций y = k1x+b1, y = k2 x +b2,…, y x= k20 x +b20, где каждый из
коэффициентов k1, k2,…,k20, b1, b2,…, b20 равен одному из чисел 1, 2, …,
20. Известно, что любые две прямые пересекаются в точке, не лежащей
на оси ординат, но никакие три не проходят через одну точку. Отмечены все точки пересечения всех пар прямых. Докажите, что модуль произведения абсцисс всех отмеченных точек равен 1.
5. Сколько решений имеет ребус ABA  AA  AB  AAA  A , где A и B – различные цифры, A≠0?
6. Имеется 40 внешне неразличимых монет, среди которых 3 фальшивых
– они весят одинаково и легче, чем настоящие (настоящие монеты также весят одинаково). Как с помощью трех взвешиваний на чашечных
весах без гирь отобрать 16 настоящих монет?
7. Пусть AA1 и BB1 – высоты остроугольного треугольника ABC, H – точка
их пересечения. Через точку, симметричную середине отрезка BH относительно прямой BC, провели прямую, перпендикулярную стороне AC.
Докажите, что она пересекает прямую BC в точке A1.
8. По кругу расставлены n > 2007 чисел, не все из которых равны. Известно, что сумма любых 13 стоящих подряд чисел не превосходит 1, а
сумма любых 21 стоящих подряд чисел не превосходит 21. Докажите,
что сумма всех чисел строго меньше n.
8 класс, республика, 2009 год – Эйлеровская
8 класс, республика, 2010 год - Эйлеровская
1. Гриб называется плохим, если в нем не менее 10 червей, и хорошим — если
меньше. В лукошке 90 плохих и 10 хороших грибов. Может ли случиться, что
все грибы станут хорошими после того, как некоторые черви переползут из плохих грибов в хорошие?
1. Однажды барон Мюнхгаузен, вернувшись с прогулки, рассказал, что половину пути он шёл со скоростью 5 км/ч, а половину времени, затраченного на прогулку — со скоростью 6 км/ч. Не ошибся ли барон?
2. Точка К — середина гипотенузы АВ прямоугольного равнобедренного треугольника ABC. Точки L и М выбраны на катетах ВС и АС соответственно так,
что BL = СМ. Докажите, что треугольник LMK — также прямоугольный равнобедренный.
2. Найдите какие-нибудь семь последовательных натуральных чисел, каждое из которых можно изменить (увеличить или уменьшить) на 1 таким
образом, чтобы произведение семи полученных в результате чисел равнялось произведению семи исходных чисел.
3. По кругу выписаны числа 1, 2, 3, ..., 10 в некотором порядке. Петя вычислил 10
сумм всех троек соседних чисел и написал на доске наименьшее из вычисленных чисел. Какое наибольшее число могло быть написано на доске?
3. На гипотенузе BC прямоугольного треугольника ABC выбрана точка K
так, что AB = AK. Отрезок AK пересекает биссектрису CL в ее середине.
Найдите острые углы треугольника ABC.
4. Имеются чашечные весы и 100 монет, среди которых несколько (больше 0, но
меньше 99) фальшивых монет. Все фальшивые монеты весят одинаково, все
настоящие тоже весят одинаково, при этом фальшивая монета легче настоящей. Можно делать взвешивание на весах, заплатив перед взвешиванием одну
из монет (неважно, фальшивую или настоящую). Докажите, что можно с гарантией обнаружить настоящую монету.
4. Даны натуральные числа a и b, причем a < 1000. Докажите, что если a21
делится на b10, то a2 делится на b.
5. На столе лежат 7 карточек с цифрами от 0 до 6 (с каждой цифрой — ровно одна
карточка). Двое по очереди берут по одной карточке. Выигрывает тот, кто впервые из своих карточек сможет составить натуральное число, делящееся на 17.
Кто выиграет при правильной игре — начинающий или его противник?
6. В трех клетках клетчатого листа записаны числа, а остальные клетки пусты.
Разрешается выбрать два числа из разных непустых клеток и записать в пустую клетку их сумму; также можно выбрать числа а, b, c из трех разных непустых клеток и записать в пустую клетку число ab+с2. Докажите, что при помощи нескольких таких операций можно записать в одну из клеток квадрат суммы трех исходных чисел (какими бы они ни были).
7. В выпуклом четырехугольнике ABCD некоторая точка диагонали АС принадлежит серединным перпендикулярам к сторонам АВ и CD, а некоторая точка диагонали BD принадлежит серединным перпендикулярам к сторонам AD и ВС. Докажите, что ABCD — прямоугольник.
8. В футбольном турнире участвовало 8 команд, причем каждая сыграла с каждой
ровно по одному разу. Известно, что любые две команды, сыгравшие между
собой вничью, набрали в итоге разное число очков. Найдите наибольшее возможное общее число ничьих в этом турнире.(За выигрыш матча команде
начисляется 3 очка, за ничью — 1, за поражение — 0.)
5. Незнайка выписал по кругу 11 натуральных чисел. Для каждых двух соседних чисел он посчитал их разность (из большего вычел меньшее). В
результате среди найденных разностей оказалось четыре единицы, четыре
двойки и три тройки. Докажите, что Незнайка где-то допустил ошибку.
6. В компании из шести человек любые пять могут сесть за круглый стол
так, что каждые два соседа окажутся знакомыми. Докажите, что и всю
компанию можно усадить за круглый стол так, что каждые два соседа
окажутся знакомыми.
7. При каком наибольшем n можно раскрасить числа 1, 2, ..., 14 в красный и
синий цвета так, чтобы для любого числа k = 1, 2, ..., n нашлись пара синих чисел, разность между которыми равна k, и пара красных чисел, разность между которыми тоже равна k?
8. Биссектрисы углов A и C трапеции ABCD пересекаются в точке P, а биссектрисы углов B и D — в точке Q, отличной от P. Докажите, что если
отрезок PQ параллелен основанию AD, то трапеция равнобокая.
8 класс, республика, 2011 год - Эйлеровская
8 класс, республика, 2012 год – Эйлеровская
1. На доске нарисованы три четырёхугольника. Петя сказал: «На доске нарисова-
1. Назовем четырехзначное число x забавным, если каждую его цифру можно увеличить или уменьшить на 1 (при этом цифру 9 можно только уменьшать, а 0 —
только увеличивать) так, чтобы в результате получилось число, делящееся на x.
а) Найдите два забавных числа. б) Найдите три забавных числа.
в) Существует ли четыре забавных числа?
2. Трапеция ABCD с основаниями AD и BC такова, что угол ABD — прямой и
BC+CD = AD. Найдите отношение оснований AD : BC.
3. На столе лежат 100 одинаковых с виду монет, из которых 85 фальшивых и 15
настоящих. В вашем распоряжении есть чудо-тестер, в который можно положить две монеты и получить один из трех результатов — «обе монеты настоящие», «обе монеты фальшивые» и «монеты разные». Можно ли за 64 таких теста найти все фальшивые монеты?
4. Собственным делителем числа называется любой его натуральный делитель,
кроме 1 и самого числа. С составным натуральным числом a разрешается проделывать следующие операции: разделить на наименьший собственный делитель или прибавить любое натуральное число, делящееся на его наибольший
собственный делитель. Если число получилось простым, то с ним ничего нельзя делать. Верно ли, что с помощью таких операций из любого составного числа можно получить число 2011?
5. Существуют ли 10 различных рациональных чисел таких, что произведение любых двух из них — целое число, а произведение любых трех — нет? Напомним,
что рациональным называется число, равное отношению двух целых чисел.
6. По кругу выложены черные и белые шары, причем черных в два раза больше,
чем белых. Известно, что среди пар соседних шаров одноцветных пар втрое
больше, чем разноцветных. Какое наименьшее число шаров могло быть выложено?
7. 1000 различных положительных чисел записаны в ряд в порядке возрастания.
Вася разбил эти числа на 500 пар соседних и нашел суммы чисел во всех парах.
Петя разбил эти же числа на 500 пар таким образом, что между числами в каждой паре стоит ровно три других числа, и тоже нашел суммы чисел во всех парах. Докажите, что произведение сумм, найденных Петей, больше, чем произведение сумм, найденных Васей.
ны по крайней мере две трапеции». Вася сказал: «На доске нарисованы по
крайней мере два прямоугольника». Коля сказал: «На доске нарисованы по
крайней мере два ромба». Известно, что один из мальчиков сказал неправду, а
двое других — правду. Докажите, что среди нарисованных на доске четырёхугольников есть квадрат. (Напомним, что трапеция — это четырёхугольник, у
которого две стороны параллельны, а две другие — нет.)
2. Про три положительных числа известно, что если выбрать одно из них и прибавить к нему сумму квадратов двух других, то получится одна и та же сумма,
независимо от выбранного числа. Докажите, что какие-то два из исходных чисел совпадают.
3. Дан выпуклый четырёхугольник ABCD такой, что AD = АВ+CD. Оказалось, что
биссектриса угла А проходит через середину стороны ВС. Докажите, что биссектриса угла D также проходит через середину ВС.
4. Через центры некоторых клеток шахматной доски 8x8 проведена замкнутая ломаная без самопересечений. Каждое звено ломаной соединяет центры соседних
по горизонтали, вертикали или диагонали клеток. Докажите, что в ограниченной ею части доски общая площадь чёрных кусков равна общей площади белых кусков.
5. Бизнесмен Борис Михайлович решил устроить с трактористом Васей гонки по
шоссе. Поскольку его «Лексус» едет вдесятеро быстрее Васиного трактора, он
дал Васе фору и выехал через час после Васи. После того, как Васин трактор
проехал ровно половину запланированной трассы, у него отвалилась рессора,
поэтому оставшуюся часть пути Вася проехал вдвое медленнее, чем первую. В
результате встречи с Васиной рессорой Борису Михайловичу пришлось заехать в оказавшийся рядом сервис на 4 часа, после чего он продолжил путь
вдвое медленнее, чем раньше. Докажите, что в результате он отстал от Васи не
менее, чем на час.
6. На доске написано число 1. Если на доске написано число а, его можно заменить любым числом вида a+d, где d взаимно просто с а и 10 ≤ d ≤ 20. Можно ли
через несколько таких операций получить на доске число 18! = 123...18?
7. Для четырёх различных целых чисел подсчитали все их попарные суммы и попарные произведения. Полученные суммы и произведения выписали на доску.
Какое наименьшее количество различных чисел могло оказаться на доске?
8. В треугольнике ABC точки М и N — середины сторон АС и АВ соответственно.
На медиане ВМ выбрана точка Р, не лежащая на CN. Оказалось, что PC = 2PN.
Докажите, что АР = ВС.
8. В выпуклом четырехугольнике ABCD углы ABC и ADC прямые. На сторонах
AB, BC, CD, DA взяты точки K, L, M, N соответственно так, что KLMN — прямоугольник. Докажите, что середина диагонали AC равноудалена от прямых
KL и MN.
8 класс, республика, 2013 год – Эйлеровская
1. Каждый из 10 гномов — либо рыцарь, всегда говорящий правду, либо лжец,
который всегда врёт, причём хотя бы один из гномов — рыцарь. Все гномы
выстроились в шеренгу, после чего девятеро сказали: «Среди стоящих слева от
меня есть рыцарь», а оставшийся, Глоин, сказал: «Среди стоящих справа от
меня есть рыцарь». Правду сказал Глоин или солгал?
2. На пути в музей группа детсадовцев построилась парами, причём количество
пар из двух мальчиков было в три раза больше количества пар из двух девочек.
На обратном пути та же группа построилась так, что количество пар из двух
мальчиков было в четыре раза больше количества пар из двух девочек. Докажите, что эту же группу можно построить так, чтобы количество пар из двух
мальчиков было в семь раз больше количества пар из двух девочек.
3. На отрезке AB отмечена точка M. Точки P и Q — середины отрезков AM и BM
соответственно, точка O — середина отрезка PQ. Выберем точку C так, чтобы
угол ACB был прямым. Пусть MD и ME — перпендикуляры, опущенные из
точки M на прямые CA и CB, а F — середина отрезка DE. Докажите, что длина
отрезка OF не зависит от выбора точки C.
4. Существуют ли шесть различных натуральных чисел a, b, c, d, e, f таких, что
справедливо равенство (a+b+c+d+e+f) : (1/a+1/b+1/c+1/d+1/e+1/f) = 2012?
5. У Синдбада в кошельке 11 внешне одинаковых динаров, среди которых, возможно, один фальшивый, отличающийся от настоящего по весу, но неизвестно
в какую сторону. Как ему расплатиться с торговцем восемью настоящими динарами, если торговец разрешил два
раза воспользоваться его чашечными весами, но без гирь?
6. Дан остроугольный треугольник ABC. Высота AA1 продолжена за вершину A на отрезок AA2 = BC. Высота CC1 продолжена за вершину C на отрезок CC2 = AB. Найдите углы
треугольника A2BC2.
7. Пусть a, b, c — три натуральных числа. На доску выписали три произведения
ab, ac, bc, и у каждого из них стёрли все цифры, кроме двух последних. Могло
ли случиться, что в результате получились три последовательных двузначных
числа?
8. В клетках доски 88 расставлены числа 1 и –1 (в каждой клетке — по одному
числу). Рассмотрим всевозможные расположения четырёхклеточной фигурки
на доске (фигурку можно поворачивать, но её клетки не должны
выходить за пределы доски). Назовём такое расположение неудачным, если сумма чисел, стоящих в четырёх клетках фигурки, не
равна 0. Найдите наименьшее возможное число неудачных расположений.
8 класс, республика, 2014 год – Эйлеровская
1. Ученик за одну неделю получил 13 оценок (из набора 2, 3, 4, 5), среднее арифметическое которых — целое число. Докажите, что какую-то оценку он получил не
более двух раз.
2. Эксперту предъявили 12 одинаковых на вид монет, среди которых, возможно,
есть фальшивые. Все настоящие монеты весят одинаково, все фальшивые —
тоже, фальшивая монета легче настоящей. У эксперта есть чашечные весы (см.
рисунок) и эталонные монеты: 5 настоящих и 5 фальшивых. Сможет ли он за 4
взвешивания определить количество фальшивых монет в мешке?
3. Взяли четыре натуральных числа. Для каждой пары этих чисел выписали их
наибольший общий делитель. Получились шесть чисел: 1, 2, 3, 4, 5, N, где N >
5. Какое наименьшее значение может принимать число N?
4. На стороне AC треугольника ABC выбрана точка D такая, что BD = AC. Медиана AM этого треугольника пересекает отрезок BD в точке K. Оказалось, что DK
= DC. Докажите, что AM+KM = AB.
5. На окружности отметили 2013 точек и каждую соединили с двумя соседними.
Также отметили центр окружности и соединили его со всеми остальными отмеченными точками. Можно ли покрасить 1007 отмеченных точек в красный, а
остальные 1007 — в синий цвет так, чтобы каждая красная точка была соединена с нечётным числом синих, а каждая синяя — с чётным числом синих?
6.Дан выпуклый пятиугольник ABCDE, причём прямая BE параллельна прямой
CD и отрезок BE короче отрезка CD. Внутри пятиугольника выбраны точки F и
G таким образом, что ABCF и AGDE — параллелограммы. Докажите, что CD =
BE + FG.
7. На клетчатой доске размером 20142014 закрашено несколько (не меньше одной) клеток так, что в каждом квадратике размером 33 клетки закрашено чётное число клеток. Каково наименьшее возможное число закрашенных клеток?
8. Дано 2014 попарно различных натуральных чисел таких, что произведение любых двух из них делится на сумму этих двух чисел. Докажите, что ни одно из
данных чисел не может быть равно произведению шести попарно различных
простых чисел.
8 класс, республика, 2015 год – Эйлеровская
1. На доске написаны четыре числа, ни одно из которых не равно 0. Если каждое из
них умножить на сумму трёх остальных, получатся четыре одинаковых результата. Докажите, что квадраты записанных на доске чисел равны.
2. Разрешается вырезать из шахматной доски размером 2020 любые 18 клеток, а
потом выставить на оставшиеся клетки несколько ладей, не бьющих друг друга. Какое наибольшее число ладей можно выставить таким образом? Ладьи
бьют друг друга, если они стоят на одной горизонтали или вертикали доски и
между ними нет вырезанных клеток.
3. Делитель натурального числа называется собственным, если он меньше этого
числа, но больше 1. У натурального числа n нашли все собственные делители
(их оказалось не меньше трёх) и записали всевозможные их попарные суммы
(повторно одинаковые суммы не записывали). Докажите, что полученный
набор не мог оказаться набором всех собственных делителей никакого натурального числа.
4. Серединные перпендикуляры к сторонам AB и BC выпуклого четырёхугольника
ABCD пересекают стороны CD и DA в точках P и Q соответственно. Оказалось,
что APB = BQC. Внутри четырёхугольника выбрана точка X такая, что
QX || AB и PX || BC. Докажите, что прямая BX делит диагональ AC пополам.
5. На столе лежит палочка длиной 10 см. Петя ломает её на две части и кладёт обе
получившиеся палочки на стол. С одной из лежащих на столе палочек Вася проделывает ту же операцию, потом то же делает Петя и т.д., по очереди. Петя хочет, чтобы после 18 разломов все получившиеся палочки были короче 1 см. Вася
хочет помешать Пете. Кто из них имеет возможность добиться своей цели независимо от действий соперника?
6. Зрители оценивают фильм целым числом баллов от 0 до 10. В каждый момент
времени рейтинг фильма вычисляется как сумма всех выставленных оценок,
делённая на их количество. В некоторый момент времени T рейтинг был целым
числом, а затем с каждым новым проголосовавшим зрителем уменьшался на
единицу. Какое наибольшее количество зрителей могло проголосовать после
момента T?
7. В трапеции ABCD, где AD || BC, угол B равен сумме углов A и D. На продолжении отрезка CD за вершину D
отложен отрезок DK = BC. Докажите, что AK = BK.
8. На шахматной доске размером 2020 расставлены 220
коней, которые бьют все свободные клетки. Докажите,
что можно убрать 20 коней таким образом, чтобы
оставшиеся кони били все свободные клетки. Напомним,
что конь бьёт буквой «Г» (см. рисунок).