Домашнее задание №5. 9-11 класс.

Домашнее задание №5.
9-11 класс.
Когда в неравенстве равенство; методы доказательства оценки - разбиение на части,
принцип крайнего, узлы, стенки, координаты.
1. Поля шахматной доски занумерованы, как показано на рисунке. Расставьте на этой доске несколько ферзей так, чтобы
они не били друг друга, а сумма номеров полей, на которых
они стоят, была наибольшей.
2. Какое наибольшее количество ферзей можно разместить на
шахматной доске так, чтобы каждый ферзь бил не более трёх
других ферзей?
3. По крайней мере двумя принципиально разными способами
докажите неравенство
x
y2  1

y
x2  1

ных чисел х и у, сумма которых равна 1.
4. Докажите неравенство: a  b  c
2
2
2
1
для положитель2
2

a  b  c  1
 2abc  3 
2
при неотрица-
тельных a, b, c, не превосходящих 1.
5. Докажите с помощью неравенства Коши, что сумма квадратов трёх действительных
чисел будет не меньше 1/3, если сумма этих чисел равна 1.
6. Набор из трёх целых неотрицательных чисел с суммой 100 назовём красивым. Какое
наибольшее количество красивых наборов можно создать так, чтобы не было наборов,
у которых одинаковые числа стоят на одинаковом месте? (т.е., например, нельзя одновременно взять наборы (0, 20, 80) и (1, 20, 79) из-за числа 20, стоящего на втором месте)
7. Стороны треугольника разбиты на 100 равных частей каждая, и через точки деления
проведены прямые, параллельные сторонам треугольника. Эти прямые разрезают треугольник на 10000 маленьких треугольничков. Среди вершин полученных треугольничков отмечают N точек так, чтобы ни для каких двух отмеченных точек отрезок, соединяющий их, не был параллелен ни одной из сторон исходного треугольника. Каково
наибольшее возможное значение N?
8. На доске написано число 220093201052011. Два игрока делают ходы по очереди. Ход
состоит в том, чтобы разложить любое из написанных на доске чисел на два множителя, имеющих общий делитель, больший 1, стереть число с доски и написать два полученных множителя. Проигрывает не имеющий хода. Кто выиграет при правильной игре?